魔方中的數(shù)學(xué)知識(shí)
魔方中的數(shù)學(xué)知識(shí)
風(fēng)靡全球的魔方也蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)，那么你對(duì)魔方中的數(shù)學(xué)知識(shí)了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于魔方中的數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容，希望大家喜歡!
魔方中的數(shù)學(xué)知識(shí)
通常所說(shuō)的魔方，其國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)稱(chēng)呼是魯比克魔方，由匈牙利布達(dá)佩斯應(yīng)用藝術(shù)學(xué)院的建筑學(xué)教授魯比克—艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明! 關(guān)于魯比克發(fā)明魔方的初衷，流傳甚廣的一個(gè)說(shuō)法是為了發(fā)明一種教具，以幫助學(xué)生理解、認(rèn)識(shí)立體空間的構(gòu)造。
魯比克一開(kāi)始并沒(méi)有意識(shí)到他發(fā)明了一個(gè)極其具有挑戰(zhàn)性的益智玩具，當(dāng)他第一次將自己發(fā)明的魔方打亂，才發(fā)現(xiàn)了這個(gè)后來(lái)被無(wú)數(shù)人反復(fù)證明的事實(shí)：原始狀態(tài)的魔方一旦被打亂，想要將其復(fù)原是一件極其困難的事情。
1980年初，一家玩具公司將魔方帶至在巴黎、倫敦和美國(guó)召開(kāi)的國(guó)際玩具博覽會(huì)展出。此后不久，隨著魔方制造技術(shù)的改進(jìn)，魔方迅速風(fēng)靡全球。到1982年，短短的3年間魔方在全球就售出了200多萬(wàn)只，而到今天，全世界售出了數(shù)億只魔方，魔方已經(jīng)成為全球最為流行的玩具之一。
魔方核心是三個(gè)相互垂直的軸，保證魔方的順利轉(zhuǎn)動(dòng)。外觀(guān)上，由26個(gè)小正方體組成一個(gè)正方體。其中包括與中心軸相連的中心方塊6個(gè)，相對(duì)位置固定不動(dòng)，僅一面涂有顏色;棱塊12個(gè)，兩面有顏色;角塊8個(gè)，三面有色。復(fù)原狀態(tài)下，魔方每面都涂有相同的顏色，六個(gè)面的顏色各不相同。魔方每個(gè)面都可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，從而打亂魔方，形成變化多端的組合。
魔方組合的數(shù)量可以按照如下方式計(jì)算：8個(gè)角塊可以互換位置，存在8!種組合(8=8*7*6*5*4*3*2*1)，又可以翻轉(zhuǎn)，每個(gè)角塊可以具有’種空間位置，但因?yàn)椴荒軉为?dú)翻轉(zhuǎn)一個(gè)角塊，需要除以3，總共存在8!* 37種組合;12個(gè)棱塊可以互換位置，得到12!，又可以翻轉(zhuǎn)，得到212，但因?yàn)椴荒軉为?dú)翻轉(zhuǎn)一個(gè)棱塊，也不能單獨(dú)交換任意兩個(gè)棱塊的位置，需要分別除以2，得到12!*212/(2*2)種組合。綜上，得到魔方的所有可能組合數(shù)為：8!*37*12!*212/(2*2)=43,252,003,274,489,856,000≈4.33*1019
這是一個(gè)天文數(shù)字，如果某位玩家想要嘗試所有的組合，哪怕不吃不喝不睡，每秒鐘轉(zhuǎn)出十種不同的組合，也要花上千億年的時(shí)間才能如愿，這約是當(dāng)前宇宙年齡的10倍。
實(shí)際上，如果將魔方拆開(kāi)隨意組合，其組合情況將多達(dá)5.19*1020種。也就是說(shuō)，如果拆散魔方，再隨意安裝，有11/12的幾率無(wú)法恢復(fù)原狀。所以如果魔方被拆散，安裝時(shí)應(yīng)按復(fù)原狀態(tài)安裝，否則極可能會(huì)無(wú)法復(fù)原。
魔方復(fù)原的另一個(gè)困難來(lái)自于我們只能按特定的方式復(fù)原，即反復(fù)旋轉(zhuǎn)某一面，一面上的9個(gè)方塊必須整體參與運(yùn)動(dòng)，這樣我們?cè)趶?fù)原過(guò)程中總是會(huì)打亂已經(jīng)復(fù)原的部分，這種限制大大加大了復(fù)原魔方的難度。
很顯然，任意組合的魔方都可以在有限步驟內(nèi)復(fù)原，那么，問(wèn)題來(lái)了，是否存在復(fù)原任意組合魔方所需的最少轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)N?也即，如果至多進(jìn)行N次轉(zhuǎn)動(dòng)便可以將任意魔方復(fù)原，這個(gè)N具體為多少?這個(gè)數(shù)字N被稱(chēng)為上帝數(shù)字，從魔方剛剛流行的1982年便被提了出來(lái)。
當(dāng)然，對(duì)任意的魔方，尋找最少的轉(zhuǎn)動(dòng)步驟是極其困難的，需要針對(duì)每種情況尋找特定的步驟。一般的，還是利用本文前面所述的復(fù)原辦法，只需學(xué)習(xí)記憶少量的套路或公式，如CFOP法，需要學(xué)習(xí)記憶119個(gè)公式，平均只需55次轉(zhuǎn)動(dòng)便可復(fù)原魔方。
數(shù)學(xué)是一門(mén)充滿(mǎn)魅力的學(xué)科，在它復(fù)雜表面的背后，隱藏著大量極其簡(jiǎn)單、漂亮的規(guī)律。有趣的游戲、手頭的玩具，往往在簡(jiǎn)單中蘊(yùn)藏著深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律。而復(fù)雜的數(shù)學(xué)經(jīng)常以極其簡(jiǎn)單、漂亮的形式展現(xiàn)。
魔方以及其數(shù)學(xué)原理
對(duì)于魔方，我們應(yīng)該都不陌生，近兩年來(lái),魔方初級(jí)玩法，稍微細(xì)心一點(diǎn)的人都可以發(fā)現(xiàn)，魔方作為益智玩具的一種，已經(jīng)被越來(lái)越多的擺上了貨架，被越來(lái)越多的人所喜愛(ài)。不久以前，我因?yàn)闊o(wú)聊，也就拿了一個(gè)魔方來(lái)，準(zhǔn)備學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)。(其實(shí)是因?yàn)橥瑢W(xué)說(shuō)，許許多多數(shù)學(xué)牛人魔方都玩得很好，所以就虛榮心作祟了)然后又有一個(gè)同學(xué)和我說(shuō)：\"玩魔方?jīng)]有意思，一看到魔方我就想起小學(xué)那些奧賽題了。\"其實(shí)在研究了之后，我不認(rèn)同這一點(diǎn)，我認(rèn)為魔方作為一個(gè)特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)，還是有其相當(dāng)大的存在價(jià)值和研究?jī)r(jià)值的。這篇文章主要是由一些魔方的入門(mén)知識(shí)(科普版)和數(shù)學(xué)原理(數(shù)學(xué)版)組成的?？破瞻嬷饕獙?xiě)魔方的基本知識(shí)，以及其玩法，啟發(fā)公式的重要性。數(shù)學(xué)版主要是對(duì)魔方的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行探究，其中包含群論的一些內(nèi)容。
科普版：
魔方(Rubik's Cube)是匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院魯比克教授在1974年發(fā)明的。他發(fā)明魔方的目的是考察建筑學(xué)院學(xué)生的空間建構(gòu)能力。具體地說(shuō)，魔方由26塊組成，具有12個(gè)棱塊，8個(gè)角塊，6個(gè)中心塊組成，魔方中心那一塊是中空的。同時(shí)6個(gè)中心塊是無(wú)法移動(dòng)的。那么，其實(shí)，一個(gè)魔方只有12個(gè)棱塊，8個(gè)角塊可以移動(dòng)。(其實(shí)，拆過(guò)魔方的人都清楚，我就是一個(gè)拆魔方狂熱分子。。。)。轉(zhuǎn)動(dòng)魔方只有一種操作，那就是，將一個(gè)面順時(shí)針轉(zhuǎn)90度。其他所有操作，都是這個(gè)操作復(fù)合而成的。那么，這一個(gè)操作，可以將魔方變出多少種不同的狀態(tài)呢?答案是4.3*10^19。如此復(fù)雜的一個(gè)狀態(tài)集合，也難怪大家難以把一個(gè)魔方復(fù)原了。
我佩服那些沒(méi)有通過(guò)學(xué)習(xí)魔方玩法而自己把魔方復(fù)原出來(lái)的人。我自己就沒(méi)有，(其實(shí)是我一位同學(xué)太壞了!他把我的魔方拆下來(lái)，又裝上，于是那個(gè)是一個(gè)永不可復(fù)原的魔方，害得我后來(lái)白弄了半個(gè)月，只復(fù)原成只有一個(gè)角塊不對(duì)，當(dāng)然我也感謝這位同學(xué)，他讓我思考了到底把魔方拆了再拼上，是一個(gè)正確魔方的概率有多大，詳見(jiàn)數(shù)學(xué)版)這些沒(méi)有自己把魔方復(fù)原的人大都付出了大量的努力。我非常敬佩這些人的毅力。正是他們，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)又一個(gè)的魔方公式，才使我們還原魔方的速度變得越來(lái)越快。
普通玩法，也就是各種愛(ài)好者啦，他們滿(mǎn)足于復(fù)原一個(gè)魔方，而不作更高的要求。
競(jìng)速玩法，為了追求更高的速度的玩法，這些復(fù)原方法是萬(wàn)能方法，而且他們運(yùn)用的是復(fù)原方法中比較快的一種。我在這里寫(xiě)幾種復(fù)原方法：
1. 層進(jìn)法(入門(mén)方法)：將魔方的一層一層進(jìn)行還原，每一層進(jìn)行還原，最后復(fù)原整個(gè)魔方，這種方法如果有一個(gè)好魔方1min之內(nèi)可以輕松完成。
2. CFOP法(主流方法)：分為4步完成，C=cross(底層十字)F=first 2 layers(前兩層)O=orient last layer(頂層定位)P=position last layer(頂層定向)。這個(gè)方法可以在30S內(nèi)輕松完成。
這些方法大都和CFOP方法屬于一個(gè)系統(tǒng)的。一般只是稍微的改變一下。
時(shí)間上的節(jié)省是用記憶力換得的，層進(jìn)法只需要記憶不過(guò)20種情況，不到10個(gè)公式即可，而CFOP法則需要記憶上百種情況，及其所對(duì)應(yīng)公式。所以為了比別人快，記憶很多東西是不可避免的。層進(jìn)法需要大約120步，而CFOP法需要大約60步。關(guān)于群論上理論證明，復(fù)原任意一個(gè)魔方，只需要最多26步(這個(gè)界不是緊的)，那么我們可以設(shè)想，如果一個(gè)人大腦有足夠的容量，記憶足夠多的公式，那最多26步就可以完成了，肯定是一個(gè)創(chuàng)造吉尼斯紀(jì)錄的成績(jī)。不過(guò)，我覺(jué)得，比速度。。至少對(duì)于我來(lái)說(shuō)，記憶不了那么多吧。所以這種玩法其實(shí)是記憶公式。
盲擰：蒙著眼睛把一個(gè)魔方復(fù)原，是不是一件很神奇的事情呢?如果按照CFOP法，這可不可能呢?答案是否定的，從盲擰和正常擰的世界紀(jì)錄就可以看出它們用的方法不是一種，至今沒(méi)有一個(gè)人成為這樣的記憶奇才。因?yàn)榘儆喾N情況不是鬧著玩的，而且每完成一步以后需要觀(guān)察再進(jìn)行下一步，蒙著眼睛是做不到的。這就需要一個(gè)神奇的公式 三輪換公式，通過(guò)這個(gè)公式，不僅僅使我們變換的塊數(shù)最少，而且還減小了它們之間的相互影響，這也使盲擰變成了一種可能。只需要記住4個(gè)公式就可以完成。當(dāng)然同時(shí)，更讓人頭疼的可能是記住20塊的位置朝向了。所以說(shuō)，盲擰與其說(shuō)是神奇，倒不如說(shuō)是記憶位置。這個(gè)在CCTV科學(xué)探索中播出過(guò)。
最小步數(shù)復(fù)原：這個(gè)很NB。。應(yīng)該是通過(guò)記公式算公式吧，我不太了解原理了。就把記錄寫(xiě)在這里。。。目前的世界紀(jì)錄是28步還原，耗時(shí)2個(gè)半小時(shí)。
還有單擰(單手?jǐn)Q)腳擰。。。當(dāng)然我認(rèn)為這些是無(wú)聊的。。
數(shù)學(xué)版：
曾經(jīng)有個(gè)人發(fā)表了一個(gè)一篇關(guān)于三輪換的文章，結(jié)果。。有人欽佩，有人諷刺，只有極少數(shù)的人和作者進(jìn)行了討論。魔友大部分只是記住公式，其實(shí)也不用知道原理。他們也許是對(duì)的，不過(guò)，我在這里說(shuō)一句，我覺(jué)得中國(guó)對(duì)于數(shù)學(xué)至少是不重視的，數(shù)學(xué)只是作為一種升學(xué)手段應(yīng)用于應(yīng)試教育中。尤其是奧數(shù)，其實(shí)數(shù)學(xué)當(dāng)中哪里有那么多的技巧??奧數(shù)中絕大部分的題目來(lái)源于同年齡段更高等的數(shù)學(xué)之中。很多人都說(shuō)奧數(shù)題又偏又難，為什么，因?yàn)樗麄儧](méi)有學(xué)過(guò)相關(guān)知識(shí)而去做題，不習(xí)慣那些思考方式，怎么會(huì)不覺(jué)得難?為什么陶哲軒12歲拿到奧數(shù)金牌并且成為數(shù)學(xué)大師而中國(guó)本土出了那么多奧數(shù)金牌卻都平平庸庸?因?yàn)樘照苘幉皇亲鲱}做出來(lái)的，他在12歲前就把微積分學(xué)完了而且學(xué)得很好。再者中國(guó)為什么那么多人痛恨數(shù)學(xué)?做題做的。數(shù)學(xué)是很直觀(guān)的東西，每一個(gè)概念都對(duì)應(yīng)一個(gè)直觀(guān)，從生活中抽象出來(lái)，只要用心看就有收獲。
符號(hào)：u=upper, f=front, b=back,魔方站論壇, r=right, d=down, l=left
我們將魔方面對(duì)右面(r面)，看到右面一層如下左圖，轉(zhuǎn)動(dòng)Y3后如右圖，就可得出各塊的變動(dòng)。
類(lèi)似分析Z3，
二者復(fù)合為
其中對(duì)角方塊，右上角的正號(hào)表示此塊順時(shí)針轉(zhuǎn)2π/3 ，負(fù)號(hào)表示反時(shí)針轉(zhuǎn)。對(duì)棱方塊表示有一個(gè)方向的翻轉(zhuǎn)。 上面分析說(shuō)明，經(jīng)過(guò)Y3,Z3兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，上右前角塊回到原地，但順時(shí)針轉(zhuǎn)了2π/3 。還有5個(gè)角方塊做了一個(gè)輪換，各反時(shí)針轉(zhuǎn)了2π/3 ，或說(shuō)順時(shí)針轉(zhuǎn)了4π/3 。7個(gè)棱方塊做了一個(gè)輪換。
可以看出這是一個(gè)置換群，它是全部狀態(tài)的一個(gè)子群，但它不是一個(gè)普通的20階群，因?yàn)槠淅鈮K角塊的朝向問(wèn)題，魔方的群結(jié)構(gòu)比一般的20階群更復(fù)雜。而且它有另一個(gè)特點(diǎn) 更為特殊。
特殊之處在于兩個(gè)三輪換公式(分別是對(duì)棱塊，角塊)，這個(gè)公式我首先是直觀(guān)認(rèn)識(shí)到的，是我在學(xué)習(xí)層進(jìn)法中眾多公式的一個(gè)，它的意義在于我們可以把3個(gè)棱塊(角塊)互換，相當(dāng)于(123)->(231)，而且在確定位置的情況下，這3塊的朝向是確定的。我本來(lái)沒(méi)有打算去證明這個(gè)結(jié)論，因?yàn)槲覀兙€(xiàn)性代數(shù)老師說(shuō)過(guò)：\"如果你不信這件事情的話(huà)，親自去做做不就行了。
我們證明對(duì)于棱塊的三輪換公式是存在的。設(shè)想有兩個(gè)輪換t1, t2, 它們分別代表一個(gè)對(duì)于魔方的置換。這兩個(gè)輪換有一個(gè)特點(diǎn)，他們變換了一個(gè)相同的棱塊記為a，t1中a1->a,魔方高級(jí)玩法公式，t2中b1->a,下面我們做一個(gè)共軛變換t=(t1')(t2)(t1)，t是什么呢?t是一個(gè)近似t2的變換，只不過(guò)t1的a1變到t2的\"軌道\"里去了，而a還在原來(lái)的位置，下面我們做(t2')(t),就有a1,a,b1互換位置。
我們有圖解如下：
其實(shí)證明中有一個(gè)小小的問(wèn)題，因?yàn)橹挥?個(gè)角塊，所以說(shuō)我們要找兩個(gè)共用一個(gè)角塊的四輪換才可以，我們可以利用上述方法繼續(xù)找，方法不詳述了。
推論：我們能找到任意三輪換公式(即任何3個(gè)棱塊(角塊)都存在三輪換)。
對(duì)棱塊進(jìn)行說(shuō)明，記6個(gè)棱塊，123456，首先我們能找到兩個(gè)三輪換(123),(345),我們作一個(gè)共軛變換(345)(123)(345)'=(124)，這樣我們就從一個(gè)三輪換推到了另一個(gè)三輪換。我們?cè)僬乙粋€(gè)關(guān)于6的棱塊，把(124)共軛成(164)，這樣，164三個(gè)棱塊都是任選的了，證畢。
三輪換公式完全說(shuō)明了魔方中角塊和邊塊是互不影響的!也就是我們可以把魔方的20塊拆成12個(gè)角塊和8個(gè)邊塊分別進(jìn)行研究。下面我有些?。。我應(yīng)該說(shuō)明二輪換公式是不存在的，不過(guò)我沒(méi)有證明出來(lái)，但它確實(shí)是不存在的。也許哪位高人可以幫我。其實(shí)計(jì)算機(jī)搜索應(yīng)該是可以解決的。。但一個(gè)純數(shù)學(xué)的證明會(huì)更好些。
下面討論如果把一個(gè)魔方拆了之后再拼上，正確概率有多大?我們知道一個(gè)好的魔方和一個(gè)不好的魔方只是不在一個(gè)\"軌道\"里，但是他們變出的狀態(tài)時(shí)一樣多的，因?yàn)樗麄兺瑯?gòu)。所以說(shuō)我們只需要算出魔方不同軌道個(gè)數(shù)即可。
我們首先計(jì)算出隨便拼出的魔方有多少種狀態(tài)，這是可以由初等數(shù)學(xué)的排列組合解決的。
12!*8!*2^12*3^8=519024039293878272000
然后我們利用上面的結(jié)果，把角塊和棱塊分開(kāi)考慮。對(duì)于棱塊，全部正確是一種情況，如果我們把一塊棱塊朝向改變，其余都正確，是不可復(fù)原的。而這一個(gè)棱塊可以在任意位置，它們都在一個(gè)軌道內(nèi)(這個(gè)用任意三輪換公式可以證明)。還有一種是兩個(gè)棱塊調(diào)換位置，注意調(diào)換位置之后再改變朝向也是可以化到這種情況里的，而3個(gè)棱塊及以上的調(diào)換，都可以用三輪換公式約簡(jiǎn)到2個(gè)棱塊及以下的調(diào)換。所以對(duì)于棱塊來(lái)說(shuō)，只有3種情況。同樣，由于角塊多了一種朝向，所以是4種，那么，我們一共有3*4=12個(gè)軌道。
在這12個(gè)軌道里，我們只有一個(gè)是正確的，所以我們隨意拼上正確的概率為1/12。
由此，我們可以計(jì)算魔方的狀態(tài)數(shù)：12!*8!*2^12*3^8*1/12=43252003274489856000
后記：
其實(shí)我有更深的思考，魔方只是群論中的一個(gè)具體例子，但它已經(jīng)如此繁復(fù)，有限群的研究不是那么簡(jiǎn)單的事情。而23步就一定能復(fù)原一個(gè)魔方給了計(jì)算機(jī)科學(xué)更大的挑戰(zhàn)。如何搜索，能不能出現(xiàn)更新的技術(shù)都是小魔方能引入的大問(wèn)題。實(shí)際上，把魔方用群的語(yǔ)言表示出來(lái)，最后找到復(fù)原解，是一個(gè)純粹符號(hào)的計(jì)算，它只涉及到置換群的乘法，要找到復(fù)原魔法的最小步驟解，只需把分解成最少次乘法。研究這個(gè)搜索技術(shù)應(yīng)該對(duì)研究置換群的運(yùn)算是有很大好處的。
將魔方符號(hào)化是有好處的，它直接允許我們用計(jì)算機(jī)來(lái)研究魔方。
把魔方當(dāng)作數(shù)學(xué)看，真的是一件很有趣的事情，也是學(xué)習(xí)群論的一種手段吧。
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