幾何分布有哪些公式及發(fā)展分支
幾何分布有哪些公式及發(fā)展分支
幾何分布是離散型概率分布。幾何分布也是有一定的計算公式的。以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理的幾何分布的內(nèi)容，希望大家喜歡!
幾何分布的定義
其中一種定義為：在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機率。詳細地說，是：前k-1次皆失敗，第k次成功的概率。
幾何分布的公式
公式：X ~ G (p)
它分兩種情況：
1. 得到1次成功而進行n次伯努利試驗，n的概率分布，取值范圍為『1，2，3，...』;
2. m = n-1次失敗，第n次成功，m的概率分布，取值范圍為『0，1，2，3，...』.
實際使用中指的是哪一個取決于慣例和使用方便。
這兩種分布不應(yīng)該混淆。前一種形式(X的分布)經(jīng)常被稱作shiftedgeometric distribution;但是，為了避免歧義，最好明確地說明取值范圍。
如果每次試驗的成功概率是p，那么k次試驗中，第k次才得到成功的概率是，
其中k= 1, 2, 3, ....
上式描述的是取得一次成功所需要的試驗次數(shù)。而另一種形式，也就是第一次成功之前所失敗的次數(shù)，可以寫為，
其中k= 0, 1, 2, 3, ....
兩種情況產(chǎn)生的序列都是幾何數(shù)列。
比如，假設(shè)不停地擲骰子，直到得到1。投擲次數(shù)是隨機分布的，取值范圍是無窮集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一個p= 1/6的幾何分布。
幾何的發(fā)展分支
幾何學(xué)發(fā)展
幾何學(xué)發(fā)展歷史悠長，內(nèi)容豐富。它和代數(shù)、分析、數(shù)論等等關(guān)系極其密切。幾何思想是數(shù)學(xué)中最重要的一類思想。暫時的數(shù)學(xué)各分支發(fā)展都有幾何化趨向，即用幾何觀點及思想方法去探討各數(shù)學(xué)理論。
平面與立體
最早的幾何學(xué)當(dāng)屬平面幾何。平面幾何就是研究平面上的直線和二次曲線(即圓錐曲線，就是橢圓、雙曲線和拋物線)的幾何結(jié)構(gòu)和度量性質(zhì)(面積、長度、角度)。平面幾何采用了公理化方法，在數(shù)學(xué)思想史上具有重要的意義。
平面幾何的內(nèi)容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何。為了計算體積和面積問題，人們實際上已經(jīng)開始涉及微積分的最初概念。
笛卡爾引進坐標(biāo)系后，代數(shù)與幾何的關(guān)系變得明朗， 且日益緊密起來。這就促使了解析幾何的產(chǎn)生。解析幾何是由笛卡爾、費馬分別獨立創(chuàng)建的。這又是一次具有里程碑意義的事件。從解析幾何的觀點出發(fā)，幾何圖形的性質(zhì)可以歸結(jié)為方程的分析性質(zhì)和代數(shù)性質(zhì)。幾何圖形的分類問題(比如把圓錐曲線分為三類)，也就轉(zhuǎn)化為方程的代數(shù)特征分類的問題，即尋找代數(shù)不變量的問題。
立體幾何歸結(jié)為三維空間解析幾何的研究范疇，從而研究二次曲面(如球面，橢球面、錐面、雙曲面，鞍面)的幾何分類問題，就歸結(jié)為研究代數(shù)學(xué)中二次型的不變量問題。
總體上說，上述的幾何都是在歐氏空間的幾何結(jié)構(gòu)--即平坦的空間結(jié)構(gòu)--背景下考察，而沒有真正關(guān)注彎曲空間下的幾何結(jié)構(gòu)。歐幾里得幾何公理本質(zhì)上是描述平坦空間的幾何特性，特別是第五公設(shè)引起了人們對其正確性的疑慮。由此人們開始關(guān)注其彎曲空間的幾何， 即“非歐幾何”。非歐幾何中包括了最經(jīng)典幾類幾何學(xué)課題， 比如“球面幾何”，“羅氏幾何”等等。另一方面，為了把無窮遠的那些虛無縹緲的點也引入到觀察范圍內(nèi)， 人們開始考慮射影幾何。
這些早期的非歐幾何學(xué)總的來說，是研究非度量的性質(zhì)，即和度量關(guān)系不大，而只關(guān)注幾何對象的位置問題--比如平行、相交等等。 這幾類幾何學(xué)所研究的空間背景都是彎曲的空間。
微分幾何
為了引入彎曲空間的上的度量(長度、面積等等)，我們就需要引進微積分的方法去局部分析空間彎曲的性質(zhì)。微分幾何于是應(yīng)運而生。研究曲線和曲面的微分幾何稱為古典微分幾何。但古典微分幾何討論的對象必須事先嵌入到歐氏空間里，才定義各種幾何概念等等(比如切線、曲率)。一個幾何概念如果和幾何物體所處的空間位置無關(guān)，而只和其本身的性態(tài)相關(guān)，我們就說它是內(nèi)蘊的。用物理的語言來說，就是幾何性質(zhì)必須和參考系選取無關(guān)。
內(nèi)蘊幾何
哪些幾何概念是內(nèi)蘊性質(zhì)的?這是當(dāng)時最重要的理論問題。高斯發(fā)現(xiàn)了曲面的曲率(即反映彎曲程度的量)竟然是內(nèi)蘊的---盡管它的原始定義看上去和所處的大空間位置有關(guān)。這個重要發(fā)現(xiàn)就稱為高斯絕妙定理。古典幾何的另一個重要發(fā)現(xiàn)就是高斯-博納特公式，它反映了曲率和彎曲空間里的三角形三角之和的關(guān)系。
研究內(nèi)蘊幾何的學(xué)科首屬黎曼幾何·黎曼在一次著名的演講中，創(chuàng)立了這門奠基性的理論。它首次強調(diào)了內(nèi)蘊的思想， 并將所有此前的幾何學(xué)對象都歸納到更一般的范疇里，內(nèi)蘊地定義了諸如度量等等的幾何概念。 這門幾何理論打開了近代幾何學(xué)的大門，具有里程碑的意義。它也成為了愛因斯坦的廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
從黎曼幾何出發(fā)，微分幾何進入了新的時代，幾何對象擴展到了流形(一種彎曲的幾何物體)上--這一概念由龐加萊引入。由此發(fā)展出了諸如張量幾何、黎曼曲面理論、復(fù)幾何、霍奇理論、纖維叢理論、芬斯勒幾何、莫爾斯理論、形變理論等等。
從代數(shù)的角度看， 幾何學(xué)從傳統(tǒng)的解析幾何發(fā)展成了更一般的一門理論--代數(shù)幾何。傳統(tǒng)代數(shù)幾何就是研究多項式方程組的零點集合作為幾何物體所具有的幾何結(jié)構(gòu)和性質(zhì)--這種幾何體叫做代數(shù)簇。解析幾何所研究的直線、圓錐曲線、球面、錐面等等都是其中的特例。稍微推廣一些，就是代數(shù)曲線，特別是平面代數(shù)曲線， 它相應(yīng)于黎曼曲面。代數(shù)幾何可以用交換代數(shù)的環(huán)和模的語言來描述，也可以從復(fù)幾何、霍奇理論等分析的方法去探討。代數(shù)幾何的思想也被引入到數(shù)論中， 從而促使了抽象代數(shù)幾何的發(fā)展，比如算術(shù)代數(shù)幾何。
拓撲學(xué)
拓撲學(xué)是和傳統(tǒng)幾何密切相關(guān)的一門重要學(xué)科，也可以視為一種“柔性”的幾何學(xué)， 也是所有幾何學(xué)的研究基礎(chǔ)。拓撲學(xué)研究始于歐拉，經(jīng)由龐加萊等人的研究發(fā)展，逐漸成為比較成熟的數(shù)學(xué)分支和活躍的研究方向。拓撲學(xué)思想是數(shù)學(xué)思想中極為關(guān)鍵的內(nèi)容。它討論了刻畫幾何物體最基本的一些特征，比如虧格(洞眼個數(shù))等等 。由此發(fā)展出了同調(diào)論、同倫論等等基礎(chǔ)性的理論。
其他學(xué)科
除了以上傳統(tǒng)幾何學(xué)之外，我們還有閔可夫斯基建立的“數(shù)的幾何”; 與近代物理學(xué)密切相關(guān)的新學(xué)科“熱帶幾何”;探討維數(shù)理論的“分形幾何”;還有“凸幾何”、“組合幾何”、“計算幾何”、“排列幾何”、“直觀幾何”等等。
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3.什么是幾何分布