什么是統(tǒng)計量_完全性分析
什么是統(tǒng)計量_完全性分析
統(tǒng)計量是統(tǒng)計理論中用來對數(shù)據(jù)進行分析、檢驗的變量。那么你對統(tǒng)計量了解多少呢?以下是由學習啦小編整理關(guān)于什么是統(tǒng)計量的內(nèi)容，希望大家喜歡!
統(tǒng)計量的簡介
樣本的已知函數(shù);其作用是把樣本中有關(guān)總體的信息匯集起來;是數(shù)理統(tǒng)計學中一個重要的基本概念。統(tǒng)計量依賴且只依賴于樣本x1,x2,…xn;它不含總體分布的任何未知參數(shù)。從樣本推斷總體(見統(tǒng)計推斷)通常是通過統(tǒng)計量進行的。例如x1,x2，…，xn是從正態(tài)總體N(μ,1)(見正態(tài)分布)中抽出的簡單隨機樣本，其中均值(見數(shù)學期望)μ是未知的，為了對μ作出推斷，計算樣本均值。可以證明，在一定意義下，塣包含樣本中有關(guān)μ的全部信息，因而能對μ作出良好的推斷。這里只依賴于樣本x1,x2，…，xn，是一個統(tǒng)計量。
統(tǒng)計量的類型
樣本矩
設(shè)x1,x2，…，xn是一個大小為n的樣本，對自然數(shù)k，分別稱 為k階樣本原點矩和k階樣本中心矩，統(tǒng)稱為樣本矩。許多最常用的統(tǒng)計量，都可由樣本矩構(gòu)造。例如，樣本均值(即α1)和樣本方差 是常用的兩個統(tǒng)計量，前者反映總體中心位置的信息，后者反映總體分散情況。還有其他常用的統(tǒng)計量，如樣本標準差，樣本變異系數(shù)S/塣，樣本偏度，樣本峰度等都是樣本矩的函數(shù)。若(x1,Y1)，(x2,Y2)，…，(xn,Yn)是從二維總體(x，Y)抽出的簡單樣本，則樣本協(xié)方差·及樣本相關(guān)系數(shù) 也是常用的統(tǒng)計量，r可用于推斷x和Y的相關(guān)性。
次序統(tǒng)計量
把樣本X1,x2，…，xn由小到大排列，得到，稱之為樣本x1,x2，…,xn的次序統(tǒng)計量。其中最小次序統(tǒng)計量x⑴最大次序統(tǒng)計量x(n)稱為極值，在那些如年枯水量、年最大地震級數(shù)、材料的斷裂強度等的統(tǒng)計問題中很有用。還有一些由次序統(tǒng)計量派生出來的有用的統(tǒng)計量，如：樣本中位數(shù) 是總體分布中心位置的一種度量，若樣本大小n為奇數(shù)，，若n為偶數(shù)，，它容易計算且有良好的穩(wěn)健性。樣本p分位數(shù)Zp(0<p<1)及極差x(n)-x⑴也是重要的統(tǒng)計量。其中Zp當時即為中位數(shù)，而當時，表示不超過1+np的最大整數(shù))。樣本分位數(shù)的一個重要應用是構(gòu)造連續(xù)總體分布的非參數(shù)性容忍區(qū)間(見區(qū)間估計)。
U統(tǒng)計量
這是W.霍夫丁于1948年引進的，它在非參數(shù)統(tǒng)計中有廣泛的應用。其定義是：設(shè)x1,x2，…，xn，為簡單樣本，m為不超過n的自然數(shù)，為m元對稱函數(shù)，則稱 為樣本x1,x2，…，xn的以為核的U統(tǒng)計量。樣本均值和樣本方差都是它的特例。從霍夫丁開始，這種統(tǒng)計量的大樣本性質(zhì)得到了深入的研究，主要應用于構(gòu)造非參數(shù)性的量的一致最小方差無偏估計(見點估計)，并在這種估計的基礎(chǔ)上檢驗非參數(shù)性總體中的有關(guān)假設(shè)。
秩統(tǒng)計量
把樣本X1，X2，…，Xn 按大小排列為，若 則稱Ri為xi的秩，全部n個秩R1，R2，…，Rn構(gòu)成秩統(tǒng)計量，它的取值總是1,2，…，n的某個排列。秩統(tǒng)計量是非參數(shù)統(tǒng)計的一個主要工具。
還有一些統(tǒng)計量是因其與一定的統(tǒng)計方法的聯(lián)系而引進的。如假設(shè)檢驗中的似然比原則所導致的似然比統(tǒng)計量，K.皮爾森的擬合優(yōu)度(見假設(shè)檢驗)準則所導致的Ⅹ統(tǒng)計量，線性統(tǒng)計模型中的最小二乘法所導致的一系列線性與二次型統(tǒng)計量，等等。
統(tǒng)計量的完全性
統(tǒng)計量是由樣本加工而成的，在用統(tǒng)計量代替樣本作統(tǒng)計推斷時，樣本中所含的信息可能有所損失，如果在將樣本加工為統(tǒng)計量時，信息毫無損失，則稱此統(tǒng)計量為充分統(tǒng)計量。例如，從一大批產(chǎn)品中依次抽出n個，若第i次抽出的是合格品，則xi=0，否則xi=1(i=1,2，…，n)?？傮w分布取決于整批產(chǎn)品的廢品率p，可以證明：統(tǒng)計量，即樣本中的廢品個數(shù)，包含了(x1，x2，…，xn)中有關(guān)p的全部信息，是一個充分統(tǒng)計量。若取m<n，令Tm(x1，，則Tm仍是一個統(tǒng)計量，不過不是充分的。
充分性是數(shù)理統(tǒng)計的一個重要基本概念，它是R.A.費希爾在1925年引進的，費希爾提出，并由J.奈曼和P.R.哈爾莫斯在1949年嚴格證明了一個判定統(tǒng)計量充分性的方法，叫因子分解定理。這個定理適用面廣且應用方便，利用它可以驗證很多常見統(tǒng)計量的充分性。例如，若正態(tài)總體有已知方差，則樣本均值塣是充分統(tǒng)計量。若正態(tài)總體的均值、方差都未知，則樣本均值和樣本方差S合起來構(gòu)成充分統(tǒng)計量(塣，S)。一個統(tǒng)計量是否充分，與總體分布有密切關(guān)系。
將樣本加工成統(tǒng)計量要求越簡單越好。簡單的程度的大小，主要用統(tǒng)計量的維數(shù)來衡量。簡單地講，若統(tǒng)計量T2是由統(tǒng)計量T1加工而來(即T2是T1的函數(shù))，則T2比T1簡單。在此意義上，最簡單的充分統(tǒng)計量叫極小充分統(tǒng)計量。這是E.L.萊曼和H.謝菲于1950年提出的。前例中的充分統(tǒng)計量都有極小性。在任何情況下，樣本x1,x2，…，xn本身就是一個充分統(tǒng)計量，但一般不是極小的。
關(guān)于統(tǒng)計量的另一個重要的基本概念是完全性。設(shè)T為一統(tǒng)計量，θ為總體分布參數(shù)，若對θ的任意函數(shù)g(θ)，基于T的無偏估計至多只有一個(以概率1相等的兩個估計量視為相同)，則稱T為完全的。
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