一元一次方程解法步驟
一元一次方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),在教學(xué)過(guò)程中教師和學(xué)生都有 有心無(wú)力 的感覺(jué),如何將一元一次方程與實(shí)際應(yīng)用更好地結(jié)合起來(lái)是教學(xué)一元一次方程中的核心問(wèn)題，什么是一元一次方程呢？怎么解呢？下面是學(xué)習(xí)啦小編整理的什么是一元一次方程，歡迎閱讀。
什么是一元一次方程
只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1的等式叫做一元一次方程(linear equation in one unknown);使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解(solution)
一元一次方程基本信息
標(biāo)準(zhǔn)形式
一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(即所有一元一次方程經(jīng)整理都能得到的形式)是ax=b( )。其中 是未知數(shù)的系數(shù)， 是常數(shù)， 是未知數(shù)。未知數(shù)一般常設(shè)為 , , 。
方程特點(diǎn)
(1)該方程為整式方程。
(2)該方程有且只含有一個(gè)未知數(shù)。
(3)該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是1。
滿足以上三點(diǎn)的方程，就是一元一次方程。
判斷方法
要判斷一個(gè)方程是否為一元一次方程，先看它是否為整式方程。若是，再對(duì)它進(jìn)行整理。如果能整理為 的形式，則這個(gè)方程就為一元一次方程。里面要有等號(hào)，且分母里不含未知數(shù)。
變形公式
( ， 為常數(shù)， 為未知數(shù)，且 )
求根公式
一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0 (a≠0)
其求根公式為：x=-b/a
一元一次方程只有一個(gè)根
通常解法
去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類(lèi)項(xiàng)→未知項(xiàng)系數(shù)化為1(即化為x=a的形式)
兩種類(lèi)型
(1)總量等于各分量之和。將未知數(shù)放在等號(hào)左邊，常數(shù)放在右邊。如： 。
(2)等式兩邊都含未知數(shù)。如： ， 。
方程舉例
3y=-1
5z+2=5
2x=1
5a+4=13×32
都是一元一次方程。
一元一次方程起源
“方程”一詞來(lái)源于中國(guó)古算術(shù)書(shū)《九章算術(shù)》。在這本著作中，已經(jīng)列出了一元一次方程。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾把未知數(shù)和常數(shù)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算所組成的方程稱(chēng)為代數(shù)方程。在19世紀(jì)以前，方程一直是代數(shù)的核心內(nèi)容。
主要用途
一元一次方程通常可用于做應(yīng)用題，如工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、分配問(wèn)題、盈虧問(wèn)題、積分表問(wèn)題、電話計(jì)費(fèi)問(wèn)題、數(shù)字問(wèn)題等。[1]
補(bǔ)充說(shuō)明
合并同類(lèi)項(xiàng)
(1)依據(jù)：乘法分配律
(2)把所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)合并成一項(xiàng);常數(shù)計(jì)算后合并成一項(xiàng)
(3)合并時(shí)次數(shù)不變，只是系數(shù)相加減。
移項(xiàng)
(1)依據(jù)：等式的性質(zhì)一
(2)含有未知數(shù)的項(xiàng)變號(hào)后都移到方程左邊，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊。
(3)把方程一邊某項(xiàng)移到另一邊時(shí)，一定要變號(hào)(如：移項(xiàng)時(shí)將+改為-)。
等式性質(zhì)
等式的性質(zhì)一：等式兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，等式仍然成立。
等式的性質(zhì)二：等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)不為零的代數(shù)式，等式仍然成立。
等式的性質(zhì)三：等式兩邊同時(shí)乘方，等式仍然成立。
解方程都是依據(jù)等式的這三個(gè)性質(zhì)。
解的定義：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，也可以說(shuō)是滿足方程的一個(gè)數(shù)值
一元一次方程解法步驟
一、去分母
做法：在方程兩邊各項(xiàng)都乘以各分母的最小公倍數(shù);
依據(jù)：等式的性質(zhì)二
二、去括號(hào)
一般先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，可根據(jù)乘法分配律(記住如括號(hào)外有減號(hào)或除號(hào)的話一定要變號(hào))
依據(jù)：乘法分配律
三、移項(xiàng)
做法：把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊(一般是含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程左邊，而把常數(shù)項(xiàng)移到右邊)
依據(jù)：等式的性質(zhì)一
四、合并同類(lèi)項(xiàng)
做法：把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
依據(jù)：乘法分配律(逆用乘法分配律)
五、系數(shù)化為1
做法：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a。
依據(jù)：等式的性質(zhì)二.
解方程口訣
去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)時(shí)，要變號(hào)，同類(lèi)項(xiàng)，合并好，再把系數(shù)來(lái)除掉。
同解方程
如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程。
同解原理
(1)方程的兩邊都加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)等式所得的方程與原方程是同解方程。
(2)方程的兩邊同乘或同除同一個(gè)不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程。
求根公式
由于一元一次方程是基本方程，故教科書(shū)上的解法只有上述的方法。
但對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式下的一元一次方程：ax+b=0 (a≠0)。
可得出求根公式 。
函數(shù)解法
由于一元一次函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a，b為常量，a≠0)的形式，所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：
當(dāng)某一個(gè)函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值。從圖像上看，這就相當(dāng)于求直線y=kx+b(k，b為常量，k≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。
一元一次方程學(xué)習(xí)實(shí)踐
在小學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)較淺的一元一次方程，到了初中開(kāi)始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解較難的應(yīng)用題。一元一次方程牽涉到許多的實(shí)際問(wèn)題，例如工程問(wèn)題、植樹(shù)問(wèn)題、比賽比分問(wèn)題、行程問(wèn)題、流水行船問(wèn)題、相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題、分段收費(fèi)問(wèn)題、盈虧問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題。
列方程時(shí)，要先設(shè)字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問(wèn)題中的相等關(guān)系，寫(xiě)出含有未知數(shù)的等式，即方程(equation)。
例如：
(1)4x=24
(2)1700+150x=2450
(3)0.52x-(1-0.52)x=80
分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的一種方法。
一元一次方程教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
(1)使學(xué)生初步掌握一元一次方程解簡(jiǎn)單應(yīng)用題的方法和步驟，并會(huì)列出一元一次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題;
(2)培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，提高他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;
(3)使學(xué)生初步養(yǎng)成正確思考問(wèn)題的良好習(xí)慣。
重點(diǎn)及難點(diǎn)
一元一次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題的方法和步驟。
過(guò)程設(shè)計(jì)
(1)從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問(wèn)題：在小學(xué)算術(shù)中，我們學(xué)習(xí)了用算術(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題的有關(guān)知識(shí)，那么，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題能否應(yīng)用一元一次方程來(lái)解決呢?若能解決，怎樣解?用一元一次方程解應(yīng)用題與用算術(shù)方法解應(yīng)用題相比較，它有什么優(yōu)越性呢?
為了回答上述這幾個(gè)問(wèn)題，我們來(lái)看下面這個(gè)例題。
例1：某數(shù)的3倍減2等于某數(shù)與4的和，求某數(shù)。
(首先，用算術(shù)方法解，由學(xué)生回答，教師板書(shū))
解法1：(4+2)÷(3-1)=3。
答：某數(shù)為3。
(其次，用代數(shù)方法來(lái)解，教師引導(dǎo)，學(xué)生口述完成)
解法2：設(shè)某數(shù)為x，則有3x-2=x+4。
解之，得x=3。
答：某數(shù)為3。
縱觀例1的這兩種解法，很明顯，算術(shù)方法不易思考，而應(yīng)用設(shè)未知數(shù)，列出方程并通過(guò)解方程求得應(yīng)用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學(xué)習(xí)運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的目的之一。
我們知道方程是一個(gè)含有未知數(shù)的等式，而等式表示了一個(gè)相等關(guān)系。因此對(duì)于任何一個(gè)應(yīng)用題中提供的條件，應(yīng)首先從中找出一個(gè)相等關(guān)系，然后再將這個(gè)相等關(guān)系表示成方程。
本節(jié)課，我們就通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明怎樣尋找一個(gè)相等的關(guān)系和把這個(gè)相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的方法和步驟。
(2)師生共同分析、研究一元一次方程解簡(jiǎn)單應(yīng)用題的方法和步驟
例2.某面粉倉(cāng)庫(kù)存放的面粉運(yùn)出15%后，還剩余42 500千克，這個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來(lái)有多少面粉?
師生共同分析：
1.本題中給出的已知量和未知量各是什么?
2.已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關(guān)系?(原來(lái)重量-運(yùn)出重量=剩余重量)
3.若設(shè)原來(lái)面粉有x千克，則運(yùn)出面粉可表示為多少千克?利用上述相等關(guān)系，如何布列方程?
上述分析過(guò)程可列表如下：
解：設(shè)原來(lái)有x千克面粉，那么運(yùn)出了15%x千克，由題意，得x-15%x=42500，所以 x=50000。
答：原來(lái)有50000千克面粉。
此時(shí)，讓學(xué)生討論：本題的相等關(guān)系除了上述表達(dá)形式以外，是否還有其他表達(dá)形式?若有，是什么? (還有，原來(lái)重量=運(yùn)出重量+剩余重量;原來(lái)重量-剩余重量=運(yùn)出重量)
教師應(yīng)指出：
1.這兩種相等關(guān)系的表達(dá)形式與“原來(lái)重量-運(yùn)出重量=剩余重量”，雖形式上不同，但實(shí)質(zhì)是一樣的，可以任意選擇其中的一個(gè)相等關(guān)系來(lái)列方程
2.例2的解方程過(guò)程較為簡(jiǎn)捷，同學(xué)應(yīng)注意模仿.
依據(jù)例2的分析與解答過(guò)程，首先請(qǐng)同學(xué)們思考列一元一次方程解應(yīng)用題的方法和步驟;然后，采取提問(wèn)的方式，進(jìn)行反饋。
最后，根據(jù)學(xué)生總結(jié)的情況，教師總結(jié)如下：
1.仔細(xì)審題，透徹理解題意.即弄清已知量、未知量及其相互關(guān)系，并用字母(如x)表示題中的一個(gè)合理未知數(shù)
2.根據(jù)題意找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系.(這是關(guān)鍵一步);
3.根據(jù)相等關(guān)系，正確列出方程.即所列的方程應(yīng)滿足兩邊的量要相等;方程兩邊的代數(shù)式的單位要相同;題中條件應(yīng)充分利用，不能漏也不能將一個(gè)條件重復(fù)利用等;
4.求出所列方程的解;
5.檢驗(yàn)后明確地、完整地寫(xiě)出答案.這里要求的檢驗(yàn)應(yīng)是，檢驗(yàn)所求出的解既能使方程成立，又能使應(yīng)用題有意義。
6.最好能用計(jì)算器再進(jìn)行一次驗(yàn)算。
教學(xué)手段
引導(dǎo)——活動(dòng)——討論[3]
教學(xué)方法
啟發(fā)式教學(xué)。
教學(xué)過(guò)程
主要概念：
1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。 2、一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。 4、解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程。
等式的性質(zhì)：
等式的性質(zhì)1：等式兩邊都加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等。
等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。
解一元一次方程的一般步驟及根據(jù)：
1.去分母——等式的性質(zhì)二
2.去括號(hào)——分配律
3.移項(xiàng)——等式的性質(zhì)一
4.合并——分配律
5.系數(shù)化為1——等式的性質(zhì)二
6.驗(yàn)根——把根分別代入方程的左右邊看求得的值是否相等
注意事項(xiàng)
(1)分母是小數(shù)時(shí)，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分母轉(zhuǎn)化為整數(shù);
(2)去分母時(shí)，方程兩邊各項(xiàng)都乘各分母的最小公倍數(shù)，此時(shí)不含分母的項(xiàng)切勿漏乘，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于括號(hào)，去分母后分子各項(xiàng)應(yīng)加括號(hào);
(3)去括號(hào)時(shí)，不要漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)，不要弄錯(cuò)符號(hào);
(4)移項(xiàng)時(shí)，切記要變號(hào)，不要丟項(xiàng)，有時(shí)先合并再移項(xiàng)，以免丟項(xiàng);
(5)系數(shù)化為1時(shí)，方程兩邊同乘以系數(shù)的倒數(shù)或同除以系數(shù)，不要弄錯(cuò)符號(hào);
(6)不要生搬硬套解方程的步驟，具體問(wèn)題具體分析，，找到最佳解法。[4]
(7)分、小數(shù)運(yùn)算時(shí)不能嫌麻煩。
看了什么是一元一次方程的人還看了：
1.初一上冊(cè)數(shù)學(xué)《一元一次方程》試題及答案
2.七年級(jí)數(shù)學(xué)一元一次方程方程應(yīng)用題歸類(lèi)分析
3.初一上冊(cè)數(shù)學(xué)一元一次方程同步試題及答案
一元一次方程解法步驟
