初中數(shù)學解題方法歸納總結(jié)
初中數(shù)學解題方法歸納總結(jié)
想要在初中學好數(shù)學，學會解題是關(guān)鍵。那么初中數(shù)學解題方法有哪些呢?為了幫助同學們更好的學習數(shù)學，小編給大家整理了初中數(shù)學解題方法。
初中數(shù)學解題方法歸納
1. 觀察與實驗
( 1 )觀察法：有目的有計劃的通過視覺直觀的發(fā)現(xiàn)數(shù)學對象的規(guī)律、性質(zhì)和解決問題的途徑。
( 2 )實驗法：實驗法是有目的的、模擬的創(chuàng)設一些有利于觀察的數(shù)學對象，通過觀察研究將復雜的問題直觀化、簡單化。它具有直觀性強，特征清晰，同時可以試探解法、檢驗結(jié)論的重要優(yōu)勢。
2. 比較與分類
( 1 )比較法
是確定事物共同點和不同點的思維方法。在數(shù)學上兩類數(shù)學對象必須有一定的關(guān)系才好比較。我們常比較兩類數(shù)學對象的相同點、相異點或者是同異綜合比較。
( 2 )分類的方法
分類是在比較的基礎上，依據(jù)數(shù)學對象的性質(zhì)的異同，把相同性質(zhì)的對象歸入一類，不同性質(zhì)的對象歸為不同類的思維方法。如上圖中一次函數(shù)的 k 在不等于零的情況下的分類是大于零和小于零體現(xiàn)了不重不漏的原則。
3 .特殊與一般
( 1 )特殊化的方法
特殊化的方法是從給定的區(qū)域內(nèi)縮小范圍，甚至縮小到一個特殊的值、特殊的點、特殊的圖形等情況，再去考慮問題的解答和合理性。
( 2 )一般化的方法
4. 聯(lián)想與猜想
( 1 )類比聯(lián)想
類比就是根據(jù)兩個對象或兩類事物間存在著的相同或不同屬性，聯(lián)想到另一事物也可能具有某種屬性的思維方法。
通過類比聯(lián)想可以發(fā)現(xiàn)新的知識;通過類比聯(lián)想可以尋求到數(shù)學解題的方法和途徑：
( 2 )歸納猜想
牛頓說過：沒有大膽的猜想就沒有偉大的發(fā)明。猜想可以發(fā)現(xiàn)真理，發(fā)現(xiàn)論斷;猜想可以預見證明的方法和思路。初中數(shù)學主要是對命題的條件觀察得出對結(jié)論的猜想，或?qū)l件和結(jié)論的觀察提出解決問題的方案與方法的猜想。
歸納是對同類事物中的所蘊含的同類性或相似性而得出的一般性結(jié)論的思維過程。歸納有完全歸納和不完全歸納。完全歸納得出的猜想是正確的，不完全歸納得出的猜想有可能正確也有可能錯誤，因此作為結(jié)論是需要證明的。關(guān)鍵是猜之有理、猜之有據(jù)。
5. 換元與配方
( 1 )換元法
解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。
換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化。
我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。 你可以先觀察算式，你可以發(fā)現(xiàn)這種要換元法的算式中總是有相同的式子，然后把他們用一個字母代替，算出答案，然后答案中如果有這個字母，就把式子帶進去，計算就出來啦。
( 2 )配方法
配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式
6. 構(gòu)造法與待定系數(shù)法
( 1 )構(gòu)造法所謂構(gòu)造性的方法就是數(shù)學中的概念和方法按固定的方式經(jīng)有限個步驟能夠定義的概念和能夠?qū)崿F(xiàn)的方法。常見的有構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造圖形，構(gòu)造恒等式。平面幾何里面的添輔助線法就是常見的構(gòu)造法。構(gòu)造法解題有：直接構(gòu)造、變更條件構(gòu)造和變更結(jié)論構(gòu)造等途徑。
( 2 )待定系數(shù)法：將一個多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法。
7. 公式法與反證法
( 1 )公式法
利用公式解決問題的方法。初中最常用的有一元二次方程求根時使用求根公式的方法;完全平方公式的方法等。如下面一組題就是完全平方公式的應用：
( 2 )反證法是“間接證明法”一類，即：肯定題設而否定結(jié)論，從而得出矛盾，就可以肯定命題的結(jié)論的正確性，從而使命題獲得了證明。
初中學數(shù)學解題技巧
1. 數(shù)學探索題
所謂探索題就是從問題給定的題設條件中探究其相應的結(jié)論并加以證明，或從給定的題目要求中探究相應的必需具備的條件、解決問題的途徑。
條件探索題：解答策略之一是將題設和結(jié)論視為已知，同時推理，在演繹的過程中尋找出相應所需的條件。
結(jié)論探索題：通常指結(jié)論不確定不唯一，或結(jié)論需通過類比、引申、推廣，或給出特例需通過歸納得出一般結(jié)論。可以先猜測再去證明;也可以尋求具體情況下的結(jié)論再證明;或直接演繹推證。
規(guī)律探索題：實際就是探索多種解決問題的途徑，制定多種解題的策略。
活動型探索題：讓學生參與一定的社會實踐，在課內(nèi)和課外的活動中，通過探究完成問題解決。
推廣型探索題：將一個簡單的問題，加以推廣，可產(chǎn)生新的結(jié)論，在初中教學中常見。如平行四邊形的判定，就可以產(chǎn)生許多新的推廣，一方面是自身的推廣，一方面可以延伸到菱形和正方形中。
探索是數(shù)學的生命線，解探索題是一種富有創(chuàng)造性的思維活動，一種數(shù)學形式的探索絕不是單一的思維方式的結(jié)果，而是多種思維方式的聯(lián)系和滲透，這樣可使學生在學習數(shù)學的過程中敢于質(zhì)疑、提問、反思、推廣。通過探索去經(jīng)歷數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學探究、數(shù)學創(chuàng)造的過程，體會創(chuàng)造帶來的快樂。
2. 數(shù)學情境題
情境題是以一段生活實際、故事、歷史、游戲與數(shù)學問題、數(shù)學思想和方法于情境中。這類問題往往生動有趣，激發(fā)學生強烈的研究動機，但同時數(shù)學情景題又有信息量大，開放性強的特點，因此需要學生能從場景中提煉出數(shù)學問題，同時經(jīng)歷了借助數(shù)學知識研究實際問題的數(shù)學化過程。
如老師在講有理數(shù)的混合運算時，
3. 數(shù)學開放題
數(shù)學開放題是相對于傳統(tǒng)的封閉題而言的一種新題型，其特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結(jié)論，也正因為這樣，所以開放題的解題策略往往也是多種多樣的。
( 1 )數(shù)學開放題一般具有下列特征
?、俨淮_定性：所提的問題常常是不確定的和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，因此需收集其他必要的信息，才能著手解的題目。
?、谔骄啃裕簺]有現(xiàn)成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發(fā)現(xiàn)，但是求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索。
?、鄯峭陚湫裕河行﹩栴}的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答的過程中學生的認知結(jié)構(gòu)的重建。
?、馨l(fā)散性：在求解過程中往往可以引出新的問題，或?qū)栴}加以推廣，找出更一般、更概括性的結(jié)論。常常通過實際問題提出，學生必須用數(shù)學語言將其數(shù)學化，也就是建立數(shù)學模型。
?、莅l(fā)展性：能激起多數(shù)學生的好奇性，全體學生都可以參與解答過程。
?、迍?chuàng)新性：教師難以用注入式進行教學，學生能自然地主動參與，教師在解題過程中的地位是示范者、啟發(fā)者、鼓勵者、合作者。
( 2 )對數(shù)學開放題的分類
從構(gòu)成數(shù)學題系統(tǒng)的四要素(條件、依據(jù)、方法、結(jié)論)出發(fā)，定性地可分成四類;如果尋求的答案是數(shù)學題的條件，則稱為條件開放題;如果尋求的答案是依據(jù)或方法，則稱為策略開放題;如果尋求的答案是結(jié)論，則稱為結(jié)論開放題;如果數(shù)學題的條件、解題策略或結(jié)論都要求解題者在給定的情境中自行設定與尋找，則稱為綜合開放題。
從學生的學習生活和熟悉的事物中收集材料，設計成各種形式的數(shù)學開放性問題，意在開放學生的思路，開放學生潛在的學習能力，開放性數(shù)學問題給不同層次的學生學好數(shù)學創(chuàng)設了機會，多種解題策略的應用，有力地發(fā)展了學生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新技能，提高了學生的創(chuàng)新能力。
( 3 )以數(shù)學開放題為載體的教學特征
?、賻熒P(guān)系開放：教師與學生成為問題解決的共同合作者和研究者
②教學內(nèi)容開放：開放題往往條件不完全、或結(jié)論不完全，需要收集信息加以分析和研究，給數(shù)學留下了創(chuàng)新的空間。
③教學過程的開放性：由于研究的內(nèi)容的開放性可以激起學生的好奇心、同時由于問題的開放性，就沒有現(xiàn)成的解題模式，因此就會留下想象的空間，使所有的學生都可參與想象和解答。
( 4 )開放題的教育價值
有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì);
有助于學生主體意識的形成;
有利于全體學生的參與，實現(xiàn)教學的民主性和合作性;
有利于學生體驗成功、樹立信心，增強學習的興趣;
有助于提高學生解決問題的能力。
4. 數(shù)學建模題(初中數(shù)學建模題也可以看作是數(shù)學應用題)
數(shù)學新課程標準指出 : 要學生會應用所學知識解決實際問題 , 能適應社會日常生活和生產(chǎn)勞動的基本需要。初中數(shù)學的學習目的之一 , 就是培養(yǎng)學生解決實際問題的能力 , 要求學生會分析和解決生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題 , 形成善于應用數(shù)學的意識和能力。從各省市的中考數(shù)學命題來看 , 也更關(guān)注學生靈活運用數(shù)學知識解決實際問題能力的考查 , 可以說培養(yǎng)學生解答應用題的能力是使學生能夠運用所學數(shù)學知識解決實際問題的基本途徑之一
初中數(shù)學應用問題類型
( 1 )探求結(jié)論型數(shù)學應用問題
根據(jù)命題中所給出的條件，要求找出一個或一個以上的正確結(jié)論
( 2 )跨學科的數(shù)學應用問題
①數(shù)學與物理
?、跀?shù)學與生化
以上兩題是與生物和化學有關(guān)的問題，體現(xiàn)了數(shù)學在生化學科的應用。
總之，數(shù)學應用問題較好地考察了學生閱讀理解能力與日常生活體驗，同時又考察了學生獲取信息后的抽象概括與建模能力，判斷決策能力。中考數(shù)學應用問題熱點題型主要包括生活、統(tǒng)計、測量、設計、決策、銷售、開放探索、跨學科等等，中考在強化學生應用意識和應用能力方面發(fā)揮及其良好的導向功能。這就要求我們在平時教學中善于挖掘課本例題、習題的潛在的應用功能。巧妙地將課本中具有典型意義的數(shù)學問題回歸生活、生產(chǎn)的原型，創(chuàng)設一個實際背景，改造成有深刻數(shù)學內(nèi)涵的實際問題，以增強應用意識，發(fā)展數(shù)學建模能力。
四、掌握初中數(shù)學解題策略提來提高數(shù)學學習效率
(1)認真分析問題，找解題準切入點
由于數(shù)學問題紛繁復雜，學生容易受定勢思維的影響，這樣就會響解題思路造成很大的影響。為此，這時教師要給予學生正確指導，幫助學生進行思路的調(diào)整，對題目進行重新認真的分析，將切入點找準后，問題就能游刃而解了。例如：已知：AB=DC，AC=DB。求證:∠A=∠D。
此題是一道比較經(jīng)典的證明全等的題型，主要是對學生對已知條件整合能力和觀察識圖能力的鍛煉。然而，從圖形的直觀角度來證明∠AOC=∠DOB，這樣的思路只會落入題目所設下的陷阱。為此，在對此題的審題時，教師要引導學生注意將題目已知的兩個條件充分結(jié)合起來考慮，提醒學生可以適當添加一定的輔助線。
(2)發(fā)揮想象力，借助面積出奇制勝
面積問題是數(shù)學中常出現(xiàn)的問題，在面積定義及相關(guān)規(guī)律中，蘊含著深刻的數(shù)學思想，如果學生能充分了解其中的韻味，能夠熟練的掌握其中的數(shù)學論證思維，就有可能在其他數(shù)學問題中借助面積，出奇制勝順利實現(xiàn)解題。由于幾何圖形的面積與線段、角、弧等有密切的聯(lián)系，所以用面積法不但可證各種幾何圖形面積的等量關(guān)系，還可證某些線段相等、線段不等、角的相等以及比例式等多種類型的幾何題。例1、 若E、F分別是矩形ABCD邊AB、CD的中點，且矩形EFDA與矩形ABCD相似，則矩形ABCD的寬與長之比為( ) (A) 1∶2(B) 2∶1(C) 1∶2(D) 2∶1
由上題已知信息可知，矩形ABCD的寬AD與AB的比，就是矩形EFDA與矩形ABCD的相似比。解：設矩形EFDA與矩形ABCD的相似比為k。因為E、F分別是矩形ABCD的中點，所以S矩形ABCD=2S矩形EFDA。所以S矩形EFDA∶S矩形ABCD=k2。所以k=1∶2。即矩形ABCD的寬與長之比為1∶2;故選(C)。
此題利用了“相似多邊形面積的比等于相似比平方”這一性質(zhì)，巧妙解決相似矩形中的長與寬比的問題。事實上，借助面積，形成解題思路的過程，就是學生思維轉(zhuǎn)換的過程。
(3)巧取特殊值，以簡代繁
初中數(shù)學雖然是基礎數(shù)學，但是這并不意味著就沒有難度，特別是在素質(zhì)教育下，從培養(yǎng)學生綜合素質(zhì)能力的角度出發(fā)，初中數(shù)學越來越重視數(shù)學思維的培養(yǎng)，因此在很多數(shù)學問題的設置上，都進行了相當難度的調(diào)整，使得數(shù)學問題顯得較為繁雜，單一的思維或者解題方式，在有些題目面前會顯得較為艱難。如有些數(shù)學問題是在一定的范圍內(nèi)研究它的性質(zhì)，如果從所有的值去逐一考慮，那么問題將不勝其繁甚至陷入困境。在這種情況下，避開常規(guī)解法，跳出既定數(shù)學思維，就成了解題的關(guān)鍵。
例2、分解因式：x2+2xy-8y2+2x+14y-3。
思路分析：本題是二元多項式，從常規(guī)思路進行解題也未嘗不可，但是從鍛煉學生思維能力的角度出發(fā)，教師可以在立足常規(guī)解法的基礎上，引導學生進行其他方面解題思路的探索。如從巧取特值的角度出發(fā)，把其中的一個未知數(shù)設為0，則可以暫時隱去這個未知數(shù)，而就另一個未知數(shù)的式子來分解因式，達到化二元為一元的目的。
解：令y=0，得x2+2x-3=(x+3)(x-1);令x=0,得:-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。當把兩次分解的一次項的系數(shù)1、1;-2、4?？芍?，1×4+(-2)×1正好等于原式中xy項的系數(shù)。因此，綜合起來有：x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。
其實，用特殊值法，也叫取零法。這種方法在因式分解中可以發(fā)揮很大的作用，幫助學生找到其他的解題思路。一般來說其步驟是：A、把多項式中的一個字母設為0所得的結(jié)果分解因式，B、把多項中的另一個字母設為0所得的結(jié)果分解因式，C、把上兩步分解的結(jié)果綜合起來，得出原多項式的分解結(jié)果。但要注意：兩次分解的一次因式的常數(shù)項必須相等，如本題中，x+3的3和-2y+3的3相等，x-1的-1和4y-1的-1相等。否則，在綜合這兩步的結(jié)果時就無所適從了。
(4)巧妙轉(zhuǎn)換，過渡求解法
在解數(shù)學題時，即要對已知的條件進行全面分析，還要善于將題目中的隱性條件挖掘出來，將數(shù)學中各知識之間的聯(lián)系巧妙的運用起來，用全面、全新的視角來解決問題。
例如：已知：AB為半圓的直徑，其長度為30 cm，點C、D是該半圓的三等分點，求弦AC、AD與弧CD所圍成的圖形的面積。
本題需要解出的是一個不規(guī)則圖形的面積，可能大多數(shù)同學的思維就是將CD連結(jié)起來，將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€角形和弓形，兩者面積之和就為該題需要解決的問題。這時，教師就要引導學生學會對半徑這一已知條件加以利用，幫助其將另外兩條OC、OD輔助線連結(jié)起來，將題目要求解的不規(guī)則圖形的面積，轉(zhuǎn)化成求扇形OCD的面積，這樣該題的解題思維就能一目了然了。
綜上所述，初中數(shù)學解題存在很強的靈活性。有的數(shù)學題不只一種解法，而有多種解法，有的數(shù)學題用常規(guī)方法解決不了，要用特殊方法。因此，解數(shù)學題要注意它的靈活性和技巧性。解題技巧在升學考試中至關(guān)重要，不能忽視。初中數(shù)學教師要注意對解題技巧的鉆研，并鼓勵學生發(fā)散思維，尋找解題技巧，提高解題效率，增強學習數(shù)學的能力。
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