小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)案例分析三

　　小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算關(guān)系中的算理都應(yīng)用生活模型來理解。計(jì)算能力，對(duì)應(yīng)內(nèi)容是數(shù)的認(rèn)識(shí)(整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù))及其計(jì)算(加減和乘除)，又可分為兩個(gè)階段。

　　第一階段是多位整數(shù)和小數(shù)的加減乘除，第二階段是分?jǐn)?shù)概念及其計(jì)算。

　　1) 計(jì)算內(nèi)容第一階段

　　主要內(nèi)容是多位整數(shù)和小數(shù)的加減乘除，核心知識(shí)是大九九乘法表。加減乘除，和差積商。減法是加法的逆運(yùn)算，多位數(shù)加減法關(guān)鍵是數(shù)位的對(duì)齊(數(shù)位代表著單位，每一數(shù)位的“權(quán)”)。 乘法是加法的升級(jí)版，多位數(shù)乘法則是加法的一種疊加。除法是乘法的逆運(yùn)算，而多位數(shù)的除法本質(zhì)是多步的帶余除法。 核心規(guī)律：

　　2+3=3+2=5 到5-3=2，5-2=3，加法交換律和加減互逆; 2×3=3×2=6 到6÷3=2，6÷2=3，乘法交換律和乘除互逆。

　　幾個(gè)研討的問題：

　　a) 用平均分實(shí)際問題引入帶余除法。

　　多位數(shù)除法的本質(zhì)就是多步的帶余除法，學(xué)生對(duì)此常常認(rèn)識(shí)不足。帶余除法可以理解為用多次乘法(試商)和減法來做除法，其關(guān)鍵在于對(duì)余數(shù)必須小于除數(shù)的認(rèn)識(shí)。

　　除法就是平均分的認(rèn)識(shí)，已經(jīng)被學(xué)生理解。表內(nèi)除法的算式，要求學(xué)生能夠舉例說明，實(shí)際上就是能夠?qū)?yīng)生活中的模型。3÷3=1，對(duì)應(yīng)3粒糖果3個(gè)小朋友平均分，一人分到1粒;6÷3=2，對(duì)應(yīng)6粒糖果2個(gè)小朋友平均分，一人分到1粒;那么4、5粒，7、8粒糖應(yīng)該如何分呢?

　　4÷3=1„1， 3個(gè)人每人分得1粒糖，還剩1粒。

　　5÷3=1„2， 3個(gè)人每人分得1粒糖，還剩2粒。

　　6÷3=2， 3個(gè)人每人正好分得2粒糖，沒有剩余。

　　7÷3=2„1， 3個(gè)人每人分得2粒糖，還剩1粒。

　　最關(guān)鍵的就是上面這個(gè)算式，因?yàn)樽畛Ｒ姷膯栴}就出在

　　7÷3=1„4， 錯(cuò)誤。因?yàn)閷?duì)應(yīng)的實(shí)際問題解決不合理：3個(gè)人每人分得1粒糖，還剩4粒。因?yàn)槭聦?shí)上剩余的4粒還可以繼續(xù)分，每個(gè)人還可以多分到1粒，最后還剩1粒。所以：7÷3=2„1， 3個(gè)人每人分得2粒糖，還剩1粒。

　　而 7÷3=3„?，錯(cuò)誤，因?yàn)槊咳朔值?粒糖，需要9粒糖，不夠分。 關(guān)鍵就是對(duì)于7÷3的結(jié)果，學(xué)生要能夠舉實(shí)例透徹地說明算理，同時(shí)在過程中明白試商就是試乘的過程，1×3，2×3<7，3×3>7，明白用試商(乘)和減法做帶余除法的過程。所以，8÷3=2„2，9÷3=3，10÷3=3„1。

　　這樣的教學(xué)讓學(xué)生明白，帶余除法并不是和整除除法(表內(nèi)除法)有什么不同，而是完全統(tǒng)一于生活實(shí)際的解決問題，只是解決平均分問題的不同情況。表內(nèi)乘法熟練了，逆向就可以做表內(nèi)除法，升級(jí)就可以做多位整數(shù)乘法;同樣是表內(nèi)乘法熟練了，就可以做帶余除法;帶余除法熟練了，多位數(shù)除一位數(shù)就是多步的帶余除法。而多位商除以多位數(shù)中，帶余除法的難點(diǎn)在于試商，而試商本質(zhì)仍是試乘，可以多次嘗試。所以所有的計(jì)算重點(diǎn)和核心仍然是乘法，但是實(shí)現(xiàn)從多位數(shù)乘法到多位數(shù)除法的最后一躍，帶余除法仍然是關(guān)鍵之關(guān)鍵。

　　b) 用生活中的購物問題來引入小數(shù)及其計(jì)算

　　小數(shù)的概念，用生活中的購物價(jià)格，用元角分的單位及互換來引入。因?yàn)樾?shù)之為小數(shù)，關(guān)鍵是多了小數(shù)點(diǎn)。小小一點(diǎn)，帶來了數(shù)位的變化：從小數(shù)點(diǎn)向左是個(gè)位，十位，百位，越來越大;小數(shù)點(diǎn)向右是十分位，百分位，越來越小。所以小數(shù)計(jì)算的關(guān)鍵無非就是確定小數(shù)點(diǎn)的位置，實(shí)際上轉(zhuǎn)化成整數(shù)形式的運(yùn)算。如何理解小數(shù)加減乘除中小數(shù)點(diǎn)位置的確定規(guī)則呢?

　　小數(shù)加減法，生活模型就是購物中的金額加減問題。學(xué)生從計(jì)算金額和差時(shí)，自然而然的做到元角分對(duì)齊，引入相應(yīng)的計(jì)算算理，即小數(shù)點(diǎn)要對(duì)齊這一關(guān)鍵。小數(shù)的乘除法，生活模型是購物問題中的單價(jià)及數(shù)量模型，只是單價(jià)出現(xiàn)了小數(shù)而已。小數(shù)乘法的小數(shù)點(diǎn)確定是根據(jù)乘法中積變化的規(guī)律，兩個(gè)因數(shù)的小數(shù)位數(shù)之和就是積的小位位數(shù)(去小數(shù)點(diǎn)后的末尾0之前);而小數(shù)除法的小數(shù)點(diǎn)確定是根據(jù)除法中商不變的規(guī)律，把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)。對(duì)于除數(shù)是整數(shù)的除法，商的小數(shù)點(diǎn)和被除法小數(shù)點(diǎn)是對(duì)齊的。這在下文中“四條關(guān)于不變和變化的規(guī)律”中還會(huì)談到。

　　c)加減乘除的基本算理和性質(zhì)的生活化模型

　　加法交換律：2+3=3+2=5，其生活模型：男生2人加女生3人，得到全體5人;或者女生3人加男生2人，也得到全體5人。所以2+3=3+2。

　　加法結(jié)合律：(1+2)+3=1+(2+3)=6，其生活模型：男老師1人，男生2個(gè)，女生3人，求總?cè)藬?shù)。方法1計(jì)算：男性(1+2)名，女生女性3人，總?cè)藬?shù)(1+2)+3=6名;方法2計(jì)算：老師1人，學(xué)生(2+3)名，總?cè)藬?shù)1+(2+3)=6名。所以(1+2)+3=1+(2+3)。;

　　乘法交換律：2×3=3×2=6，其生活模型：可樂每瓶2元，購買3瓶，需要付款2+2+2=2×3=6元;豆奶每瓶3元，購買2瓶，需要付款3+3=3×2=6元。同樣是6元錢，可以購買2元一瓶的可樂3瓶，或者3元一瓶的豆奶2瓶。所以2×3=3×2。

　　乘法結(jié)合律：(2×3)×4=2×(3×4)=24，其生活模型：可樂2元一罐，3罐為一排，4排為一扎。一扎可樂多少錢?方法1計(jì)算：一排可樂是(2×3)元，4排一共需要(2×3)×4=24元;方法2計(jì)算：一罐可樂2元，一扎可樂是(3×4)罐，一扎一共需要總?cè)藬?shù)2×(3×4)=24

　　元。所以(2×3)×4=2×(3×4)。

　　乘法分配律：(2+3)×4=2×4+3×4=20，其生活模型：老師請(qǐng)4個(gè)同學(xué)喝飲料，一人一瓶可樂又一瓶豆奶。已知可樂每瓶2元，豆奶每瓶3元。老師需要付多少錢?方法1計(jì)算：每個(gè)同學(xué)花了(2+3)元，4名同學(xué)一共花了(2+3)×4=20元;方法2計(jì)算：4瓶可樂2×4元，4瓶豆奶3×4元，總共是2×4+3×4=20元。所以(2+3)×4=2×4+3×4。

　　以上五個(gè)運(yùn)算律，其中加法交換律和結(jié)合律，及乘法交換律和結(jié)合律，比較容易讓學(xué)生“自然而然”地接受。而乘法分配律既是小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)，又是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用的難點(diǎn)。這個(gè)定律實(shí)質(zhì)可以說成是乘法對(duì)加法的分配律。如果讓學(xué)生理解以上生活化的算理，他們可以通過自己反復(fù)的計(jì)算來驗(yàn)證和熟悉。更進(jìn)一步，可以讓學(xué)生自己來舉例子、說模型，真正明白“道理背后的道理”，從而真心確信這已經(jīng)是自己承認(rèn)和掌握的道理，而不再僅僅是老師教的道理。這樣的道理再多，也不怕記。

　　另外還有一些有關(guān)簡(jiǎn)便運(yùn)算的性質(zhì)，初中將作為“加減括號(hào)”的形式運(yùn)算加以學(xué)習(xí)，但在小學(xué)階段如何理解則大多是言之不詳。比如23-6-4=23-(6+4)的變形，利用生活化的模型語言則可以講得非常明白。小華有23元，買筆用了6元，買本用了4元，則等式左邊是按每次用錢就計(jì)算一次的方法，右邊的算法則是先計(jì)算一共花的錢數(shù)，再從整體一次減去的方法，兩種算法的結(jié)果當(dāng)然是一樣的。

　　d)四條關(guān)于不變和變化的規(guī)律。

　　教材中出現(xiàn)了除法中商不變的規(guī)律，可以類比到減法中差不變的規(guī)律：被減數(shù)和減數(shù)同時(shí)增加或減少相同的數(shù)，所得的差不變。實(shí)際上差不變的規(guī)律在小學(xué)數(shù)學(xué)中同樣有重要的作用，比如對(duì)于簡(jiǎn)便計(jì)算123-98=123-(100-2)=123-100+2的解釋。既然教材中沒有出現(xiàn)去括號(hào)的規(guī)律，說明這個(gè)規(guī)律因形式上的抽象性不對(duì)小學(xué)生做要求。但是可以用“差不變的規(guī)律”來解釋這個(gè)問題，123-98=(123+2)-(98+2)=125-100=25，非常容易理解。如果是123+98呢，如何實(shí)現(xiàn)通常所謂的“湊整”呢?由差不變的規(guī)律，可以聯(lián)想類推到和不變的規(guī)律：兩個(gè)加數(shù)中有一個(gè)增大，而另一個(gè)減少相同的數(shù)，則加法的和不變，所以123+98=(123-2)+(98+2)=121+100=221。再由和不變的規(guī)律，可以類推出積不變的規(guī)律：兩個(gè)乘數(shù)中有一個(gè)增大，而另一個(gè)縮小相同的倍數(shù)，則乘法的積不變：44×25=(44÷4)×(25×4)=1100。既然有乘法積不變的規(guī)律，當(dāng)然有乘法積變化的規(guī)律：兩個(gè)乘數(shù)中有一個(gè)縮小A倍，而另一個(gè)縮小B倍，其中A、B均不為零。則乘法的積縮小為AB倍。所以，0.41×2.5=(41÷100)×(25÷10)=(41×25)÷(100×10)=(41×25)÷1000，這就是小數(shù)乘法的基本算理：按照整數(shù)乘法來進(jìn)行計(jì)算，再整體確定積的小數(shù)點(diǎn)位置即可。

　　小結(jié)一下，加減乘除計(jì)算中，和差積商不變的規(guī)律及其變化的規(guī)律，可以說是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算的基本規(guī)律之一，可以在新編教材中加以強(qiáng)化。在現(xiàn)行教材的教學(xué)中，在教材提出商不變的規(guī)律后，反溯類比聯(lián)想到差不變的規(guī)律，再到和不變的規(guī)律，然后類比積不變的規(guī)律，最后是積變化的規(guī)律等等。這其中的類比聯(lián)想的創(chuàng)造性思維也給學(xué)生受益非淺的鍛煉。

　　2)計(jì)算內(nèi)容的第二階段

　　這一階段主要內(nèi)容是分?jǐn)?shù)概念及其計(jì)算。這一部分的學(xué)習(xí)重點(diǎn)有兩點(diǎn)，算理和工具。我常常比喻它們是“分?jǐn)?shù)概念和計(jì)算的任督兩脈”。任脈就是分?jǐn)?shù)計(jì)算的算理，牢牢把握分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于除法，除法中“商不變的規(guī)律”應(yīng)用于分?jǐn)?shù)內(nèi)容，就是“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，也就是說“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”來源于“除法中商不變的規(guī)律”。上文中曾提及四大計(jì)算規(guī)律，分別是“加法中和不變的規(guī)律、減法中差不變的規(guī)律、乘法中積不變的規(guī)律和除法中商不變的規(guī)律”，而在人教版教材中唯一明確提出的，只有“除法中商不變的規(guī)律”。就因?yàn)檫@一規(guī)律是貫串兩個(gè)學(xué)習(xí)階段，在兩個(gè)階段都有重要作用的基本規(guī)律。在第二學(xué)習(xí)階段，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)就是分?jǐn)?shù)計(jì)算的根本規(guī)律，以此為根據(jù)的約分和通分，就是分?jǐn)?shù)乘除法和加減法的基本方法。而分?jǐn)?shù)計(jì)算的督脈就是工具，什么工具呢?就是能在約分中能找到公因數(shù)，在通分中能找到公倍數(shù)，而且在100以內(nèi)要能根據(jù)定義，迅速準(zhǔn)確地找出公因數(shù)和公倍數(shù)。也就是說因數(shù)和倍數(shù)的概念及常見數(shù)據(jù)的因數(shù)和倍數(shù)的熟悉就是這里所謂的工具，所以教學(xué)中要對(duì)1～100的數(shù)反復(fù)進(jìn)行因數(shù)分解的練習(xí)。根據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的算理，掌握因數(shù)和倍數(shù)概念的工具，就是分?jǐn)?shù)概念及其計(jì)算的全部內(nèi)容。以下是教學(xué)中要關(guān)注的兩個(gè)問題。

　　a)乘法的兩種逆運(yùn)算：除法是乘法的逆運(yùn)算，關(guān)系逆運(yùn)算;而因數(shù)分解是也乘法的逆運(yùn)算，形式逆運(yùn)算。乘法是單向的，得到唯一的結(jié)果;因數(shù)分解是多向的，得到發(fā)散的結(jié)果。用乘法逆運(yùn)算來理解因數(shù)分解，并把它和除法并列在一起，有助于完善形成一個(gè)小學(xué)階段三數(shù)四算(整數(shù)小數(shù)的分?jǐn)?shù)之加減乘除)的簡(jiǎn)單而完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。以下的列舉練習(xí)多多益善。

　　1=1×1， 1只有一個(gè)因數(shù)，就是1本身;

　　2=1×2， 2的因數(shù)有：1和2，共2個(gè);

　　3=1×3， 3的因數(shù)有：1和3，共2個(gè);

　　4=1×4=2×2， 4的因數(shù)有：1、2和4，共3個(gè);

　　5=1×5， 5的因數(shù)有：1和5，共2個(gè);

　　6=1×6=2×3， 6的因數(shù)有：1、2、3和6，共4個(gè);

　　7=1×7， 7的因數(shù)有：1和7，共2個(gè);

　　8=1×8=2×4， 8的因數(shù)有：1、2、4和8，共4個(gè);

　　9=1×9=3×3， 9的因數(shù)有：1、3和9，共3個(gè);

　　10=1×10=2×5， 10的因數(shù)有：1、2、5和10，共4個(gè);

　　以下11～20，21～50，51～100略。

　　學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：1)根據(jù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正整數(shù)可以分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和特殊的1;

　　2)除了完全平方數(shù)1，4，9等，其它的正整數(shù)的因數(shù)都是成對(duì)出現(xiàn)的，因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù);反過來說，完全平方數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù);等等。

　　或者改變排列方式，進(jìn)行如下列舉練習(xí)。

　　10=1×10=2×5， 10的因數(shù)有：1、2、5和10，共4個(gè); 20=1×20=2×10=4×5， 20的因數(shù)有：1、2、4、5、10和20，共6個(gè);

　　30=1×30=2×15=3×10=5×6， 30的因數(shù)有：1、2、3、5、6、10、15和30，共8個(gè);

　　40=1×40=2×20=4×10=5×8， 40的因數(shù)有：1、2、4、5、8、10、20和40，共8個(gè);

　　50=1×50=2×25=5×10， 50的因數(shù)有：1、2、5、10、25和50，共6個(gè);

　　60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10，

　　60的因數(shù)有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、12、20和60，共12個(gè);

　　70=1×70=2×35=5×14=7×10，70的因數(shù)有：1、2、5、7、10、14、35和70，共8個(gè);

　　80=1×80=2×40=4×20=5×16=8×10，

　　80的因數(shù)有：1、2、4、5、8、10、16、20、40和80，共10個(gè);

　　90=1×90=2×45=3×30=5×18=6×15=9×10，

　　90的因數(shù)有：1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45和90，共12個(gè);

　　100=1×100=2×50=4×25=5×20=10×10，

　　100的因數(shù)有：1、2、4、5、10、20、25、50和100，共9個(gè);

　　以下個(gè)位為1的各數(shù)(11，21，„„91)等略。

　　b)關(guān)于教材中分?jǐn)?shù)加減法和乘除法的教學(xué)先后問題。

　　人教版的教材曾經(jīng)是先教分?jǐn)?shù)的乘除法，再教分?jǐn)?shù)的加減法。在引入分?jǐn)?shù)概念之后，緊接內(nèi)容就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。然后是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的概念，和利用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)進(jìn)行約分化簡(jiǎn)得到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的計(jì)算。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘法的本質(zhì)過程就是能約分的先約分，所以在學(xué)習(xí)約分之后，直接學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的乘法順其自然，符合知識(shí)體系發(fā)展的邏輯。而分?jǐn)?shù)除法則是通過轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來解決。而分?jǐn)?shù)的加減法的重難點(diǎn)主要在于異分母時(shí)的通分，通分是通過比較分?jǐn)?shù)大小引入的，困難程度要略大于約分，所以先講分?jǐn)?shù)乘除法再講分?jǐn)?shù)加減法也是符合由易到難的邏輯順序

　　的。另外有一個(gè)供參考的經(jīng)驗(yàn)之談，在異分母加減法中強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)單位的概念，結(jié)合小數(shù)加減法中的數(shù)位對(duì)齊，說明通分的目的就如同小數(shù)加減法中的對(duì)齊，是為了保證相同單位下的相加。下面談?wù)劷滩牡淖兓?/p>

　　人教版在2006版的修訂中把《分?jǐn)?shù)的加法和減法》提前到五下，緊接《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》之后，卻把分?jǐn)?shù)的乘除法分列兩單元，出現(xiàn)在六上。這樣的安排，我估計(jì)是出于整合分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的教學(xué)需要，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)加減法應(yīng)用題的教學(xué)內(nèi)容遠(yuǎn)不如分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題內(nèi)容豐富。但從我的教學(xué)實(shí)踐來看，先學(xué)了分?jǐn)?shù)的約分和化簡(jiǎn)后，再學(xué)通分和分?jǐn)?shù)的加減法，又回頭來學(xué)分?jǐn)?shù)的乘除法，結(jié)果學(xué)生出現(xiàn)了部分學(xué)生，尤其是學(xué)困生，亂用通分做分?jǐn)?shù)乘法的情況。所以說，為了整合應(yīng)用題內(nèi)容而對(duì)分?jǐn)?shù)計(jì)算內(nèi)容順序的這一調(diào)整，是值得再行考慮的。

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