北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)教案下冊(cè)第一章：等腰三角形(三)

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1.探索等腰三角形判定定理.

　　2.理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡單的證明.

　　3.了解反證法的基本證明思路，并能簡單應(yīng)用。

　　4.培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

　　教學(xué)重點(diǎn) 經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)一一猜想——證明”的過程，能夠用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論.

　　教學(xué)難點(diǎn) 反證法的理解與運(yùn)用.

　　教學(xué)過程

　　1、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

　　通過問題串回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)交流。

　　問題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么?這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么?

　　問題2.我們是如何證明上述定理的?

　　問題3.我們把性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過來還成立么?如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等?

　　2、講述新課

　　教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結(jié)論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條途徑.例如“等邊對(duì)等角”，反過來成立嗎?也就是：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎?

　　[生]如圖，在△ABC中，∠B=∠C，要想證明AB=AC，只要構(gòu)造兩個(gè)全等的三角A形，使AB與AC成為對(duì)應(yīng)邊就可以了.

　　[師]你是如何想到的?

　　[生]由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以把△ABC分成兩個(gè)全等的三角形.

　　[師]很好.同學(xué)們可在練習(xí)本上嘗試一下是否如此，然后分組討論. B[生]我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把△ABC分成了兩個(gè)三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們?nèi)?因?yàn)槲覀兊玫降臈l件是兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)兩邊及其一邊的對(duì)角分別相等，是不能夠判斷兩個(gè)三角形全等的.后兩種方法是可行的.

　　[師]那么就請(qǐng)同學(xué)們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過程書寫出來.(教師可讓兩個(gè)同學(xué)在黑板上演示，并對(duì)推理證明過程講評(píng))

　　[師]我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個(gè)非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡單敘述為：等角對(duì)等邊.我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對(duì)稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的對(duì)稱美.

　　3、鞏固練習(xí) D已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2. 求證：AB=AC.

　　證明：∵AD∥BC，

　　∴∠1=∠B(兩直線平行，同位角相等)，

　　∠2=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).

　　又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C. ∴AB=AC(等角對(duì)等邊).

　　4、適時(shí)提問 導(dǎo)出反證法

　　我們類比歸納獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，“反過來”思考問題也獲得了一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論.如果否定命題的條件，是否也可獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論嗎?我們一起來“想一想”：

　　小明說，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?

　　有學(xué)生提出：“我認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的.因?yàn)槲耶嬃藥讉€(gè)三角形，觀察并測(cè)量發(fā)現(xiàn)，如果兩個(gè)角不相等，它們所對(duì)的邊也不相等.但要像證明“等角對(duì)等邊”那樣卻很難證明，因?yàn)樗臈l件和結(jié)論都是否定的.”的確如此.像這種從正面人手很難證明的結(jié)論，我們有沒有別的證明思路和方法呢?

　　我們來看一位同學(xué)的想法：

　　如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時(shí)AB與Ac要么相等，要么不相等.

　　假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得∠C=∠B，但已

　　知條件是∠B≠∠C.“∠C=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，

　　因此AB≠AC

　　你能理解他的推理過程嗎?

　　再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個(gè)直角，也可以采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”與“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個(gè)直角.

　　引導(dǎo)學(xué)生思考：上一道面的證法有什么共同的特點(diǎn)呢?引出反證法。

　　都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法.

　　接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理“等角對(duì)等邊”，最后結(jié)合實(shí)例了解了反證法的含義.

　　5、拓展延伸

　　在一節(jié)課結(jié)束之際，為培養(yǎng)學(xué)生思維的綜合性、靈活性特安排了2個(gè)練習(xí)。一個(gè)是通過平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過線段的轉(zhuǎn)換求圖形的周長。另一個(gè)是一個(gè)開放性的問題，考察學(xué)生多角度多維度思考問題的能力。學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上再小組交流。

　　1.如圖，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，設(shè)AB=12，AC=18，求△AMN的周長.

　　2.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時(shí)的等腰三角形的頂角的度數(shù)?

　　6、課堂小結(jié)

　　(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?(2)等腰三角形的判定方法有哪幾種?(3)結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系.(4)舉例談?wù)動(dòng)梅醋C法說理的基本思路

　　7、課后作業(yè) 教學(xué)反思