高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)

時(shí)間：2017-04-01 09:24:06 威敏1027由分享

　　函數(shù)是整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條主線，因此研究高中函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)具有重要意義。下面學(xué)習(xí)啦小編為你整理了高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)，希望對你有幫助。

　　高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)：冪函數(shù)

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1、通過對冪函數(shù)概念的學(xué)習(xí)以及對冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的歸納與概括，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

　　2、使學(xué)生理解并掌握冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)，并能初步運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生的靈活思維能力。

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　冪函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用

　　教學(xué)過程

　　一、教學(xué)導(dǎo)入

　　數(shù)學(xué)和日常生活是密不可分的，觀察下列問題中的函數(shù)個(gè)有什么共同特征?

　　(1)如果李斯在超市買了每支1元的水筆n(支)，那么他應(yīng)支付p=n元。這里p是n的函數(shù)。

　　(2)如果正方形的邊長a，那么正方形的面積為S=a2 ，這里S是a的函數(shù)。

　　(3)如果立方體的邊長a，那么立方體的體積為V=a3 ，這里V是a的函數(shù)。

　　(4)如果正方形的面積為S，那么這個(gè)正方形的邊長為a=S ，這里a是S的函數(shù)。

　　(5)如果壯壯t(s)內(nèi)騎車行進(jìn)了1(km)，那么他騎車的平均速度為v=t-1 ( )，這里v是t的函數(shù)。

　　由學(xué)生討論，總結(jié)，即可得出：p=n，S=a2 ，V=a3 ，a=S ，v=t-1 都是自變量的若干次冪的形式。

　　這節(jié)課，我們將來共同學(xué)習(xí)另一種函數(shù)——冪函數(shù)(老師板書課題)

　　二、講授新課

　　1、定義：一般地，函數(shù)y=xa 叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是實(shí)常數(shù)。

　　判斷一個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)?注意：①是否為冪的形式;②自變量是冪的底數(shù)，指數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)。

　　例1、(1)y=xa 與y=ax 一樣嗎?

　　(2)在函數(shù)y=x+2，y=1，y=x2+x，y=2x2+3，y= 中，哪幾個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)?

　　(3)已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像過點(diǎn)(2， )，試求出這個(gè)函數(shù)的解析式。

　　三、課外作業(yè)

　　P49 習(xí)題2—5 A組 1、2

　　教學(xué)后記

　　本節(jié)課主要從五個(gè)具體冪函數(shù)中認(rèn)識(shí)冪函數(shù)的一些性質(zhì)，畫五個(gè)冪函數(shù)的圖像并由圖像概括其性質(zhì)是教學(xué)中可能遇到的困難，所以要注意引導(dǎo)學(xué)生親自動(dòng)手畫圖像、分組討論等形式，讓學(xué)生自己去探究，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生。

　　高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)：指數(shù)函數(shù)

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1.使學(xué)生掌握的概念,圖象和性質(zhì).

　　(1)能根據(jù)定義判斷形如什么樣的函數(shù)是,了解對底數(shù)的限制條件的合理性,明確的定義域.

　　(2)能在基本性質(zhì)的指導(dǎo)下,用列表描點(diǎn)法畫出的圖象,能從數(shù)形兩方面認(rèn)識(shí)的性質(zhì).

　　(3) 能利用的性質(zhì)比較某些冪形數(shù)的大小,會(huì)利用的圖象畫出形如的圖象.

　　2. 通過對的概念圖象性質(zhì)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生觀察,分析歸納的能力,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

　　3.通過對的研究,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.使學(xué)生善于從現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)問題,解決問題.

　　教學(xué)建議

　　教材分析

　　(1) 是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念,基本掌握了函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的,它是重要的基本初等函數(shù)之一,作為常見函數(shù),它既是函數(shù)概念及性質(zhì)的第一次應(yīng)用,也是今后學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ),同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,所以應(yīng)重點(diǎn)研究.

　　(2) 本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是在理解定義的基礎(chǔ)上掌握的圖象和性質(zhì).難點(diǎn)是對底數(shù) 在和時(shí),函數(shù)值變化情況的區(qū)分.

　　(3)是學(xué)生完全陌生的一類函數(shù),對于這樣的函數(shù)應(yīng)怎樣進(jìn)行較為系統(tǒng)的理論研究是學(xué)生面臨的重要問題,所以從的研究過程中得到相應(yīng)的結(jié)論固然重要,但更為重要的是要了解系統(tǒng)研究一類函數(shù)的方法,所以在教學(xué)中要特別讓學(xué)生去體會(huì)研究的方法,以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究.

　　教法建議

　　(1)關(guān)于的定義按照課本上說法它是一種形式定義即解析式的特征必須是的樣子,不能有一點(diǎn)差異,諸如 , 等都不是.

　　(2)對底數(shù) 的限制條件的理解與認(rèn)識(shí)也是認(rèn)識(shí)的重要內(nèi)容.如果有可能盡量讓學(xué)生自己去研究對底數(shù),指數(shù)都有什么限制要求,教師再給予補(bǔ)充或用具體例子加以說明,因?yàn)閷@個(gè)條件的認(rèn)識(shí)不僅關(guān)系到對的認(rèn)識(shí)及性質(zhì)的分類討論,還關(guān)系到后面學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)中底數(shù)的認(rèn)識(shí),所以一定要真正了解它的由來.

　　關(guān)于圖象的繪制,雖然是用列表描點(diǎn)法,但在具體教學(xué)中應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目列表計(jì)算,也應(yīng)避免盲目的連點(diǎn)成線,要把表列在關(guān)鍵之處,要把點(diǎn)連在恰當(dāng)之處,所以應(yīng)在列表描點(diǎn)前先把函數(shù)的性質(zhì)作一些簡單的討論,取得對要畫圖象的存在范圍,大致特征,變化趨勢的大概認(rèn)識(shí)后,以此為指導(dǎo)再列表計(jì)算,描點(diǎn)得圖象.

　　教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　課題

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1. 理解的定義,初步掌握的圖象,性質(zhì)及其簡單應(yīng)用.

　　2. 通過的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生觀察,分析,歸納的能力,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

　　3. 通過對的研究,使學(xué)生能把握函數(shù)研究的基本方法,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)是理解的定義,把握圖象和性質(zhì).

　　難點(diǎn)是認(rèn)識(shí)底數(shù)對函數(shù)值影響的認(rèn)識(shí).

　　教學(xué)過程

　　一. 引入新課

　　我們前面學(xué)習(xí)了指數(shù)運(yùn)算,在此基礎(chǔ)上,今天我們要來研究一類新的常見函數(shù)-------.1.6.(板書)

　　這類函數(shù)之所以重點(diǎn)介紹的原因就是它是實(shí)際生活中的一種需要.比如我們看下面的問題:

　　問題1:某種細(xì)胞分裂時(shí),由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè),……一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂次后,得到的細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù) 與之間,構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系,能寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式嗎?

　　由學(xué)生回答: 與之間的關(guān)系式,可以表示為 .

　　問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,……剪了次后繩子剩余的長度為米,試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系.

　　由學(xué)生回答: .

　　在以上兩個(gè)實(shí)例中我們可以看到這兩個(gè)函數(shù)與我們前面研究的函數(shù)有所區(qū)別,從形式上冪的形式,且自變量均在指數(shù)的位置上,那么就把形如這樣的函數(shù)稱為.

　　一. 的概念(板書)

　　1.定義:形如的函數(shù)稱為.(板書)

　　教師在給出定義之后再對定義作幾點(diǎn)說明.

　　2.幾點(diǎn)說明 (板書)

　　(1) 關(guān)于對的規(guī)定:

　　教師首先提出問題:為什么要規(guī)定底數(shù)大于0且不等于1呢?(若學(xué)生感到有困難,可將問題分解為若會(huì)有什么問題?如 ,此時(shí) , 等在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值不存在.

　　若對于都無意義,若則無論取何值,它總是1,對它沒有研究的必要.為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定且 .

　　(2)關(guān)于的定義域 (板書)

　　教師引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)范圍,發(fā)現(xiàn)指數(shù)可以取有理數(shù).此時(shí)教師可指出,其實(shí)當(dāng)指數(shù)為無理數(shù)時(shí), 也是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),對于無理指數(shù)冪,學(xué)過的有理指數(shù)冪的性質(zhì)和運(yùn)算法則它都適用,所以將指數(shù)范圍擴(kuò)充為實(shí)數(shù)范圍,所以的定義域?yàn)?.擴(kuò)充的另一個(gè)原因是因?yàn)槭顾叽砀袘?yīng)用價(jià)值.

　　(3)關(guān)于是否是的判斷(板書)

　　剛才分別認(rèn)識(shí)了中底數(shù),指數(shù)的要求,下面我們從整體的角度來認(rèn)識(shí)一下,根據(jù)定義我們知道什么樣的函數(shù)是,請看下面函數(shù)是否是.

　　(1) , (2) , (3)(4) , (5) .

　　學(xué)生回答并說明理由,教師根據(jù)情況作點(diǎn)評,指出只有(1)和(3)是,其中(3) 可以寫成 ,也是指數(shù)圖象.

　　最后提醒學(xué)生的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然后把問題引向深入,有了定義域和初步研究的函數(shù)的性質(zhì),此時(shí)研究的關(guān)鍵在于畫出它的圖象,再細(xì)致歸納性質(zhì).

　　3.歸納性質(zhì)

　　作圖的用什么方法.用列表描點(diǎn)發(fā)現(xiàn),教師準(zhǔn)備明確性質(zhì),再由學(xué)生回答.

　　函數(shù)

　　1.定義域 :

　　2.值域:

　　3.奇偶性 :既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

　　4.截距:在軸上沒有,在軸上為1.

　　對于性質(zhì)1和2可以兩條合在一起說,并追問起什么作用.(確定圖象存在的大致位置)對第3條還應(yīng)會(huì)證明.對于單調(diào)性,我建議找一些特殊點(diǎn).,先看一看,再下定論.對最后一條也是指導(dǎo)函數(shù)圖象畫圖的依據(jù).(圖象位于軸上方,且與軸不相交.)

　　在此基礎(chǔ)上,教師可指導(dǎo)學(xué)生列表,描點(diǎn)了.取點(diǎn)時(shí)還要提醒學(xué)生由于不具備對稱性,故的值應(yīng)有正有負(fù),且由于單調(diào)性不清,所取點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能太少.

　　此處教師可利用計(jì)算機(jī)列表描點(diǎn),給出十組數(shù)據(jù),而學(xué)生自己列表描點(diǎn),至少六組數(shù)據(jù).連點(diǎn)成線時(shí),一定提醒學(xué)生圖象的變化趨勢(當(dāng) 越小,圖象越靠近軸, 越大,圖象上升的越快),并連出光滑曲線.

　　二.圖象與性質(zhì)(板書)

　　1.圖象的畫法:性質(zhì)指導(dǎo)下的列表描點(diǎn)法.

　　2.草圖:

　　當(dāng)畫完第一個(gè)圖象之后,可問學(xué)生是否需要再畫第二個(gè)?它是否具有代表性?(教師可提示底數(shù)的條件是且 ,取值可分為兩段)讓學(xué)生明白需再畫第二個(gè),不妨取為例.

　　此時(shí)畫它的圖象的方法應(yīng)讓學(xué)生來選擇,應(yīng)讓學(xué)生意識(shí)到列表描點(diǎn)不是唯一的方法,而圖象變換的方法更為簡單.即 = 與圖象之間關(guān)于軸對稱,而此時(shí) 的圖象已經(jīng)有了,具備了變換的條件.讓學(xué)生自己做對稱,教師借助計(jì)算機(jī)畫圖,在同一坐標(biāo)系下得到的圖象.

　　最后問學(xué)生是否需要再畫.(可能有兩種可能性,若學(xué)生認(rèn)為無需再畫,則追問其原因并要求其說出性質(zhì),若認(rèn)為還需畫,則教師可利用計(jì)算機(jī)再畫出如的圖象一起比較,再找共性)

　　由于圖象是形的特征,所以先從幾何角度看它們有什么特征.教師可列一個(gè)表,如下:

　　以上內(nèi)容學(xué)生說不齊的,教師可適當(dāng)提出觀察角度讓學(xué)生去描述,然后再讓學(xué)生將幾何的特征,翻譯為函數(shù)的性質(zhì),即從代數(shù)角度的描述,將表中另一部分填滿.

　　填好后,讓學(xué)生仿照此例再列一個(gè) 的表,將相應(yīng)的內(nèi)容填好.為進(jìn)一步整理性質(zhì),教師可提出從另一個(gè)角度來分類,整理函數(shù)的性質(zhì).

　　3.性質(zhì).

　　(1)無論為何值, 都有定義域?yàn)?,值域?yàn)?,都過點(diǎn) .

　　(2) 時(shí), 在定義域內(nèi)為增函數(shù), 時(shí), 為減函數(shù).

　　(3) 時(shí), , 時(shí), .

　　總結(jié)之后,特別提醒學(xué)生記住函數(shù)的圖象,有了圖,從圖中就可以能讀出性質(zhì).

　　三.簡單應(yīng)用 (板書)

　　1.利用單調(diào)性比大小. (板書)

　　一類函數(shù)研究完它的概念,圖象和性質(zhì)后,最重要的是利用它解決一些簡單的問題.首先我們來看下面的問題.

　　例1. 比較下列各組數(shù)的大小

　　(1) 與 ; (2) 與 ;

　　(3) 與1 .(板書)

　　首先讓學(xué)生觀察兩個(gè)數(shù)的特點(diǎn),有什么相同?由學(xué)生指出它們底數(shù)相同,指數(shù)不同.再追問根據(jù)這個(gè)特點(diǎn),用什么方法來比較它們的大小呢?讓學(xué)生聯(lián)想,提出構(gòu)造函數(shù)的方法,即把這兩個(gè)數(shù)看作某個(gè)函數(shù)的函數(shù)值,利用它的單調(diào)性比較大小.然后以第(1)題為例,給出解答過程.

　　解: 在上是增函數(shù),且

　　< .(板書)

　　教師最后再強(qiáng)調(diào)過程必須寫清三句話:

　　(1) 構(gòu)造函數(shù)并指明函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及相應(yīng)的單調(diào)性.

　　(2) 自變量的大小比較.

　　(3) 函數(shù)值的大小比較.

　　后兩個(gè)題的過程略.要求學(xué)生仿照第(1)題敘述過程.

　　例2.比較下列各組數(shù)的大小

　　(1) 與 ; (2) 與 ;

　　(3) 與 .(板書)

　　先讓學(xué)生觀察例2中各組數(shù)與例1中的區(qū)別,再思考解決的方法.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(1)來說可以寫成 ,這樣就可以轉(zhuǎn)化成同底的問題,再用例1的方法解決,對(2)來說可以寫成 ,也可轉(zhuǎn)化成同底的,而(3)前面的方法就不適用了,考慮新的轉(zhuǎn)化方法,由學(xué)生思考解決.(教師可提示學(xué)生的函數(shù)值與1有關(guān),可以用1來起橋梁作用)

　　最后由學(xué)生說出 >1, <1, > .

　　解決后由教師小結(jié)比較大小的方法

　　(1) 構(gòu)造函數(shù)的方法: 數(shù)的特征是同底不同指(包括可轉(zhuǎn)化為同底的)

　　(2) 搭橋比較法: 用特殊的數(shù)1或0.

　　三.鞏固練習(xí)

　　練習(xí):比較下列各組數(shù)的大小(板書)

　　(1) 與 (2) 與 ;

　　(3) 與 ; (4) 與 .解答過程略

　　四.小結(jié)

　　1.的概念

　　2.的圖象和性質(zhì)

　　3.簡單應(yīng)用