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所有的面積公式

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  數(shù)學(xué)中,面積公式可以讓我們計(jì)算出它的具體面積。下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家整理的所有的面積公式,供大家參閱!

  梯形面積公式

  S=(a+b)×h÷2{梯形面積=(上底+下底)×高÷2}

  球體(正球)表面積公式

  S=4πr^2{球體(正球)表面積=圓周率×半徑×半徑×4}

  坐標(biāo)公式

  1:△ABC,三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),

  S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.

  2:空間△ABC,三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面積為S,則

  S^2=(a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+

  (a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2.

  圓公式/面積公式 設(shè)圓半徑為 :r, 面積為 :S .

  則 面積 S= π·r^2 ; π 表示圓周率

  即 圓面積 等于 圓周率 乘以 圓半徑的平方

  扇形面積公式

  在半徑為R的圓中,因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積S=πR^2,所以圓心角為n°的扇形面積:

  比如:半徑為1cm的圓,那么所對(duì)圓心角為135°的扇形的周長(zhǎng):

  C=2R+nπR÷180

  =2×1+135×3.14×1÷180

  =2+2.355

  =4.355(cm)=43.55(mm)

  扇形的面積:

  S=nπR^2÷360

  =135×3.14×1×1÷360

  =1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)

  扇形還有另一個(gè)面積公式

  面積公式其中l(wèi)為弧長(zhǎng),R為半徑

  扇環(huán)面積公式

  面積公式圖冊(cè)圓環(huán)周長(zhǎng):外圓的周長(zhǎng)+內(nèi)圓的周長(zhǎng)(圓周率X(大直徑+小直徑))

  圓環(huán)面積:外圓面積-內(nèi)圓面積(圓周率X大半徑的平方-圓周率X小半徑的平方\圓周率X(大半徑的平方-小半徑的平方)

  用字母表示:

  S內(nèi)+S外(πR方)

  S外—S內(nèi)=∏(R方-r方)

  還有第二種方法:

  S=π[(R-r)×(R+r)]

  R=大圓半徑

  r=圓環(huán)寬度=大圓半徑-小圓半徑

  還有一種方法:

  已知圓環(huán)的外直徑為D,圓環(huán)厚度(即外內(nèi)半徑之差)為d。

  d=R-r,

  D-d=2R-(R-r)=R+r,

  可由第一、二種方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d,

  圓環(huán)面積S=π(D-d)×d

  這是根據(jù)外直徑和圓環(huán)厚度(即外內(nèi)半徑之差)得出面積。這兩個(gè)數(shù)據(jù)在現(xiàn)實(shí)易于測(cè)量,適用于計(jì)算實(shí)物,例如圓鋼管。

  三角形面積公式

  海倫公式

  任意三角形的面積公式(海倫公式):S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=(a+b+c)/2, a.b.c為三角形三邊。

  證明: 證一 勾股定理

  分析:先從三角形最基本的計(jì)算公式S△ABC = aha入手,運(yùn)用勾股定理推導(dǎo)出海倫公式。

  證明:如圖ha⊥BC,根據(jù)勾股定理,得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此時(shí)S△ABC為變形④,故得證。

  證二:斯氏定理

  分析:在證一的基礎(chǔ)上運(yùn)用斯氏定理直接求出ha。

  斯氏定理:△ABC邊BC上任取一點(diǎn)D, 若BD=u,DC=v,AD=t.則 t 2 = 證明:由證一可知,u = v = ∴ ha 2 = t 2 = - ∴ S△ABC = aha = a × = 此時(shí)為S△ABC的變形⑤,故得證。

  證三:余弦定理

  分析:由變形② S = 可知,運(yùn)用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 對(duì)其進(jìn)行證明。

  證明:要證明S = 則要證S = = = ab×sinC 此時(shí)S = ab×sinC為三角形計(jì)算公式,故得證。

  證四:恒等式 分析:考慮運(yùn)用S△ABC =r p,因?yàn)橛腥切蝺?nèi)接圓半徑出現(xiàn),可考慮應(yīng)用三角函數(shù)的恒等式。 恒等式:若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 證明:如圖,tg = ① tg = ② tg = ③ 根據(jù)恒等式,得: + + = ①②③代入,得: ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如圖可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x ∴x = 同理:y = z = 代入 ④,得: r 2 · = 兩邊同乘以 ,得: r 2 · = 兩邊開(kāi)方,得: r · = 左邊r · = r·p= S△ABC 右邊為海倫公式變形①,故得證。

  證五:半角定理 半角定理:tg = tg = tg = 證明:根據(jù)tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得: r3 = ×xyz

  弓形面積公式

  設(shè)弓形AB所對(duì)的弧為弧AB,那么:

  當(dāng)弧AB是劣弧時(shí),那么S弓形=S扇形-S△AOB(A、B是弧的端點(diǎn),O是圓心)。

  當(dāng)弧AB是半圓時(shí),那么S弓形=S扇形=1/2S圓=1/2×πr^2。

  當(dāng)弧AB是優(yōu)弧時(shí),那么S弓形=S扇形+S△AOB(A、B是弧的端點(diǎn),O是圓心)

  計(jì)算公式分別是:

  S=nπR^2÷360-ah÷2

  S=πR^2/2

  S=nπR^2÷360+ah÷2

  橢圓面積公式

  橢圓面積公式: S=πab 橢圓面積定理:橢圓的面積等于圓周率(π)乘該橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)(a)與短半軸長(zhǎng)(b)的乘積。

  橢圓面積公式應(yīng)用實(shí)例

  橢圓的長(zhǎng)半軸為8cm,短半軸為6cm,假設(shè)π=3.14,求該橢圓的面積。

  答:S=πab=3.14*8*6=150.72(cm²)

  菱形面積公式

  定理簡(jiǎn)述及證明

  菱形面積=對(duì)角線乘積的一半,即S=(a×b)÷2

  菱形的面積也可=底乘高

  拋物線弓形面積公式

  拋物線弦長(zhǎng)公式及應(yīng)用

  本文介紹一個(gè)公式,可以簡(jiǎn)捷準(zhǔn)確地求出直線被拋物線截得的弦長(zhǎng),還可以利用它來(lái)判斷直線與拋物線位置關(guān)系及解決一些與弦長(zhǎng)有關(guān)的題目.方法簡(jiǎn)單明了,以供參考.

  拋物線弓形面積公式等于:以割線為底,以平行于底的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)的內(nèi)接三角形的3/4,即:

  拋物線弓形面積=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S

  定理 直線y=kx+b(k≠0)被拋物線y^2=2Px截得的弦AB的長(zhǎng)度為

  ∣AB∣= ①

  證明 由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2-+=0

  ∴ y1+y2=,y1y2=.

  ∣y1-y2∣==2,

  ∴∣AB∣=∣y1-y2|=

  當(dāng)直線y=kx+b(k≠0)過(guò)焦點(diǎn)時(shí),b=-,代入①得∣AB∣=P(1+k2),

  于是得出下面推論:

  推論1 過(guò)焦點(diǎn)的直線y=kx-(k ≠0)被拋物線y^2=2Px截得的弦

  AB的長(zhǎng)度為

  ∣AB∣=P(1+k2) ②

  在①中,由容易得出下面推論:

  推論2 己知直線l: y=kx+b(k≠0)及拋物線C:y^2=2Px

 ?、?當(dāng)P>2bk時(shí),l與C交于兩點(diǎn)(相交);

  Ⅱ)當(dāng)P=2bk時(shí),l與C交于一點(diǎn)(相切);

 ?、?當(dāng)P<2bk時(shí),l與C無(wú)交點(diǎn)(相離).

  定理應(yīng)用

  下面介紹定理及推論的一些應(yīng)用:

  例1 (課本P.57例1)求直線y=x+被拋物線y=x^2截得的線段的長(zhǎng)?

  分析:題中所給方程與定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.

  解 曲線方程可變形為x^2=2y則P=1,直線方程可變形為x=y-,

  即k=1,b=-.由①得∣AB∣=4.

  例2 求直線2x+y+1=0到曲線y^2-2x-2y+3=0的最短距離.

  分析:可求與已知直線平行并和曲

  線相切的直線,二直線間距離即為要求的最短距離.

  解 曲線可變形為(y-1)^2=2(x-1)則P=1,由2x+y+1=0知k=-2.由推論2,令2bk=P,解得b=-.∴所求直線方

  程為y-1=-2(x-1)-,即2x+y-=0. ∴.

  故所求最短距離為.

  例3 當(dāng)直線y=kx+1與曲線y=-1有交點(diǎn)時(shí),求k的范圍.

  解 曲線可變形為(y+1)^2=x+1

  (x≥-1,y≥-1) ,則P=1/2.直線相應(yīng)地可變?yōu)?y+1=k(x+1)-k+2,∴b=2-k.由推論2,令2bk≤P,即2k(2-k)≤,解得k≤1-或k≥1+.故k≤1-或k≥1+時(shí)直線與曲線有交點(diǎn).

  注:曲線作怎樣變形,直線也必須作相應(yīng)平移變形,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

  例4 拋物線y^2=2Px內(nèi)接直角三角形,一直角邊所在直線為y=2x,斜邊長(zhǎng)為5.求拋物線的方程.

  解 設(shè)直角三角形為AOB.由題設(shè)知kOA=2,kOB=-.由①, |OA|=,

  |OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴拋物線方程為y^2=x.

  例5設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn),F為焦點(diǎn),PQ為過(guò)的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ

  解 以O(shè)為原點(diǎn),OF為x軸建立直角坐標(biāo)系(見(jiàn)圖),依題設(shè)條件,拋物線方程為y^2=4ax(P=2a),設(shè)PQ的斜率為k,由②|PQ|=,

  已知|PQ|=b,k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,

  ∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π-θ)=ab sinθ=.

  常見(jiàn)的面積定理

  1. 一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積的和;

  2. 兩個(gè)全等圖形的面積相等;

  3. 等底等高的三角形、平行四邊形、梯形(梯形等底應(yīng)理解為兩底的和相等)的面積相等;

  4. 等底(或等高)的三角形、平行四邊形、梯形的面積比等于其所對(duì)應(yīng)的高(或底)的比;

  5. 相似三角形的面積比等于相似比的平方;

  6. 等角或補(bǔ)角的三角形面積的比,等于夾等角或補(bǔ)角的兩邊的乘積的比;等角的平行四邊形面積比等于夾等角的兩邊乘積的比;

  7. 任何一條曲線都可以用一個(gè)函數(shù)y=f(x)來(lái)表示,那么,這條曲線所圍成的面積就是對(duì)X求積分

 

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