2017安徽中考數(shù)學(xué)練習(xí)試卷(2)
2017安徽中考數(shù)學(xué)練習(xí)試題參考答案
一、選擇題(本大題共12小題，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來(lái)，每小題選對(duì)得3分，錯(cuò)選、不選或選出的答案超過(guò)一個(gè)均記0分.)
1.下列運(yùn)算正確的是( )
A.an•a2=a2n B.a3•a2=a6
C.an•(a2)n=a2n+2 D.a2n﹣3÷a﹣3=a2n
【考點(diǎn)】48：同底數(shù)冪的除法;46：同底數(shù)冪的乘法;47：冪的乘方與積的乘方;6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則、同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算，判斷即可.
【解答】解：an•a2=a2+n，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
a3•a2=a5，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
an•(a2)n=a3n，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
a2n﹣3÷a﹣3=a2n，D選項(xiàng)正確，
故選：D.
2.人工智能AlphaGo因在人機(jī)大戰(zhàn)中大勝韓國(guó)圍棋手李世石九段而聲名顯赫.它具有自我對(duì)弈學(xué)習(xí)能力，決戰(zhàn)前已做了兩千萬(wàn)局的訓(xùn)練(等同于一個(gè)人近千年的訓(xùn)練量).此處“兩千萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.0.2×107 B.2×107 C.0.2×108 D.2×108
【考點(diǎn)】1I：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí)，n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù).
【解答】解：將“兩千萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為：2×107，
故選：B
3.如圖，廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC=10米，∠B=36°，則中柱AD(D為底邊中點(diǎn))的長(zhǎng)是( )
A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米
【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切進(jìn)行計(jì)算即可得到AD的長(zhǎng)度.
【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，
∴DC=BD=5米，
在Rt△ADC中，∠B=36°，
∴tan36°= ，即AD=BD•tan36°=5tan36°(米).
故選：C.
4.已知關(guān)于x的分式方程 + =1的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是( )
A.m>2 B.m≥2 C.m≥2且m≠3 D.m>2且m≠3
【考點(diǎn)】B2：分式方程的解.
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解表示出x，根據(jù)方程的解為非負(fù)數(shù)求出m的范圍即可.
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，
解得：x=m﹣2，
由方程的解為非負(fù)數(shù)，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3.
故選：C
5.若關(guān)于x的方程x2﹣ +cosα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角α為( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【考點(diǎn)】AA：根的判別式;T5：特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosα的方程，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答.
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣ +cosα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0，
即 ﹣4×1×cosα=0，
∴cosα= ，
∴α=60°.
故選C.
6.已知一個(gè)圓錐體的三視圖如圖所示，則這個(gè)圓錐體的側(cè)面積是( )
A.40π B.24π C.20 π D.12π
【考點(diǎn)】U3：由三視圖判斷幾何體;MP：圓錐的計(jì)算.
【分析】先利用三視圖得到底面圓的半徑為4，圓錐的高為3，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出母線長(zhǎng)l為5，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)=πrl代入計(jì)算即可.
【解答】解：根據(jù)三視圖得到圓錐的底面圓的直徑為8，即底面圓的半徑r為4，圓錐的高為3，
所以圓錐的母線長(zhǎng)l= =5，
所以這個(gè)圓錐的側(cè)面積是π×4×5=20π.
故選C.
7.如圖，在△ABC中，∠CAB=65°，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為( )
A.35° B.40° C.50° D.65°
【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ACC′=∠CAB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC′，然后利用等腰三角形兩底角相等求∠CAC′，再根據(jù)∠CAC′、∠BAB′都是旋轉(zhuǎn)角解答.
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°.
故選C.
8.如圖，矩形ABCD中，AB= ，BC= ，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且BE=1.8，連接AE并延長(zhǎng)交DC于F，則 等于( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì);LB：矩形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)勾股定理求出BD，得到DE的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入計(jì)算即可求出DF的長(zhǎng)，求出CF，計(jì)算即可.
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，又AB= ，BC= ，
∴BD= =3，
∵BE=1.8，
∴DE=3﹣1.8=1.2，
∵AB∥CD，
∴ = ，即 = ，
解得，DF= ，
則CF=CD﹣DF= ，
∴ = = ，
故選A.
9.二次函數(shù)y=﹣x2+1的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，1) B.線段AB的長(zhǎng)為2
C.△ABC是等腰直角三角形 D.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而增大
【考點(diǎn)】HA：拋物線與x軸的交點(diǎn);H3：二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】判斷各選項(xiàng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)可以令x=0，得到的y值即為點(diǎn)C的縱坐標(biāo);令y=0，得到的兩個(gè)x值即為與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A、B;且AB的長(zhǎng)也有兩點(diǎn)坐標(biāo)求得，對(duì)函數(shù)的增減性可借助函數(shù)圖象進(jìn)行判斷.
【解答】解：A，令x=0，y=1，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)，正確;
B，令y=0，x=±1，則A(﹣1，0)，B(1，0)，|AB|=2，正確;
C，由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可以得出AC=BC，且AC2+BC2=AB2，則△ABC是等腰直角三角形，正確;
D，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而減小，錯(cuò)誤.
故選D.
10.如圖，⊙C過(guò)原點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于A、D兩點(diǎn).已知∠OBA=30°，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，2)，則⊙C半徑是( )
A. B. C. D.2
【考點(diǎn)】M2：垂徑定理;D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì);M5：圓周角定理.
【分析】連接AD.根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，得AD是直徑，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得∠D=∠B=30°，運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)即可求解.
【解答】解：連接AD.
∵∠AOD=90°，
∴AD是圓的直徑.
在直角三角形AOD中，∠D=∠B=30°，OD=2，
∴AD= = .
則圓的半徑是 .
故選B.
11.如圖，在菱形ABCD中，∠B=45°，以點(diǎn)A為圓心的扇形與BC，CD相切，向這樣一個(gè)靶子上隨意拋一枚飛鏢，則飛鏢插在陰影區(qū)域的概率為( )
A.1﹣ B. C.1﹣ D.
【考點(diǎn)】X5：幾何概率;MC：切線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到AE⊥BC，根據(jù)投資研究得到AE=BE= AB，根據(jù)求概率的公式即可得到結(jié)論.
【解答】解：如圖，設(shè)切點(diǎn)為E，F(xiàn)，連接AE，
∵以點(diǎn)A為圓心的扇形與BC，CD相切，
∴AE⊥BC，
∵∠B=45°，
∴AE=BE= AB，∠BAC=135°，
∴S菱形ABCD=BC•AE= AB2，
S陰影=S菱形﹣S扇形= AB2﹣ = πAB2，
∴飛鏢插在陰影區(qū)域的概率=1﹣ ，
故選A.
12.如圖，邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)等邊三角形，開(kāi)始它們?cè)谧筮呏睾?，大三角形固定不?dòng)，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.設(shè)小三角形移動(dòng)的距離為x，兩個(gè)三角形重疊面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】E7：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.
【分析】根據(jù)題目提供的條件可以求出函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式判斷函數(shù)的圖象的形狀.
【解答】解：①x≤1時(shí)，兩個(gè)三角形重疊面積為小三角形的面積，
∴y= ×1× = ，
?、诋?dāng)1
y= (2﹣x)× = x2﹣ x+ ，
?、郛?dāng)x=2時(shí)，兩個(gè)三角形沒(méi)有重疊的部分，即重疊面積為0，
故選：B.
二、填空題(本大題共6小題，共18分.只要求填寫(xiě)最后結(jié)果，每小題填對(duì)得3分.)
13.分解因式：x2﹣y2﹣3x﹣3y= (x+y)(x﹣y﹣3) .
【考點(diǎn)】56：因式分解﹣分組分解法.
【分析】根據(jù)觀察可知，此題有4項(xiàng)且前2項(xiàng)適合平方差公式，后2項(xiàng)可提公因式，分解后也有公因式(x+y)，直接提取即可.
【解答】解：x2﹣y2﹣3x﹣3y，
=(x2﹣y2)﹣(3x+3y)，
=(x+y)(x﹣y)﹣3(x+y)，
=(x+y)(x﹣y﹣3).
14.計(jì)算 ﹣|2 ﹣2cos30°|+( )﹣1﹣(1﹣π)0的結(jié)果是 2 +1 .
【考點(diǎn)】2C：實(shí)數(shù)的運(yùn)算;6E：零指數(shù)冪;6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;T5：特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】原式利用二次根式性質(zhì)，絕對(duì)值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=3 ﹣ +2﹣1=2 +1，
故答案為：2 +1
15.如圖，已知函數(shù)y=ax+b與函數(shù)y=kx﹣3的圖象交于點(diǎn)P(4，﹣6)，則不等式ax+b≤kx﹣3<0的解集是 ﹣4
【考點(diǎn)】FD：一次函數(shù)與一元一次不等式.
【分析】先把P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx﹣3得k=﹣ ，則可確定函數(shù)y=﹣ x﹣3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用函數(shù)圖象寫(xiě)出在x軸下方，且直線y=ax+b不在直線y=kx﹣3上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可.
【解答】解：如圖，把P(4，﹣6)代入y=kx﹣3得4k﹣3=﹣6，解得k=﹣ ，
則y=0時(shí)，y=﹣ x﹣3=0，解得x=﹣4，
所以不等式ax+b≤kx﹣3<0的解集為﹣4
故答案為﹣4
16.計(jì)算： = .
【考點(diǎn)】6B：分式的加減法.
【分析】原式通分并利用同分母分式的加減法則計(jì)算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式= = = ，
故答案為：
17.如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，則EF等于 5 .
【考點(diǎn)】LE：正方形的性質(zhì);KD：全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】由△BOF全等于△AOE，得到BF=AE=4，在直角△BEF中，從而求得EF的值.
【解答】解：解：∵正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE和COF全等(ASA)，
∴BF=AE=4，
∵AB=BC，
∴BE=CF=3，
在Rt△BEF中，BF=4，BE=3，
∴EF=5.
故答案為5;
18.手機(jī)上常見(jiàn)的wifi標(biāo)志如圖所示，它由若干條圓心相同的圓弧組成，其圓心角為90°，最小的扇形半徑為1.若每?jī)蓚€(gè)相鄰圓弧的半徑之差為1，由里往外的陰影部分的面積依次記為S1、S2、S3…，則S1+S2+S3+…+S20= 195π .
【考點(diǎn)】MO：扇形面積的計(jì)算.
【分析】先利用扇形的面積公式分別計(jì)算出S1= π;S2= π+π;S3= π+2π，則利用此規(guī)律得到S20= π+19π，然后把它們相加即可.
【解答】解：S1= π•12= π;
S2= π•(32﹣22)= π+π;
S3= π•(52﹣42)= π+2π;
…
S20= π+19π;
∴S1+S2+S3+…+S20=5π+(1+2+3+…+19)π=195π.
故答案為195π.
三、解答題(本大題共7小題，共66分.解答要寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
19.某校數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組在“測(cè)量教學(xué)樓高度”的活動(dòng)中，設(shè)計(jì)了以下兩種方案：
課題 測(cè)量教學(xué)樓高度
方案 一 二
圖示
測(cè)得數(shù)據(jù) CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°， EF=10m，∠AEB=32°，∠AFB=43°
參考數(shù)據(jù) sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，
tan22°≈0.40
sin13°≈0.22，cos13°≈0.97
tan13°≈0.23 sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62
sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93
請(qǐng)你選擇其中的一種方法，求教學(xué)樓的高度(結(jié)果保留整數(shù))
【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用.
【分析】若選擇方法一，在Rt△BGC中，根據(jù)CG= 即可得出CG的長(zhǎng)，同理，在Rt△ACG中，根據(jù)tan∠ACG= 可得出AG的長(zhǎng)，根據(jù)AB=AG+BG即可得出結(jié)論.
若選擇方法二，在Rt△AFB中由tan∠AFB= 可得出FB的長(zhǎng)，同理，在Rt△ABE中，由tan∠AEB= 可求出EB的長(zhǎng)，由EF=EB﹣FB且EF=10，可知 ﹣ =10，故可得出AB的長(zhǎng).
【解答】解：若選擇方法一，解法如下：
在Rt△BGC中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9，
∵CG= ≈ =30，
在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°，
∵tan∠ACG= ，
∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12，
∴AB=AG+BG=12+6.9≈19(米).
答：教學(xué)樓的高度約19米.
若選擇方法二，解法如下：
在Rt△AFB中，∠ABF=90°，∠AFB=43°，
∵tan∠AFB= ，
∴FB= ≈ ，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=32°，
∵tan∠AEB= ，
∴EB= ≈ ，
∵EF=EB﹣FB且EF=10，
∴ ﹣ =10，解得AB=18.6≈19(米).
答：教學(xué)樓的高度約19米.
20.目前中學(xué)生帶手機(jī)進(jìn)校園現(xiàn)象越來(lái)越受到社會(huì)關(guān)注，針對(duì)這種現(xiàn)象，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)隨機(jī)調(diào)查了學(xué)校若干名家長(zhǎng)對(duì)“中學(xué)生帶手機(jī)”現(xiàn)象的態(tài)度(態(tài)度分為：A.無(wú)所謂;B.基本贊成;C.贊成;D.反對(duì))，并將調(diào)查結(jié)果繪制成頻數(shù)折線統(tǒng)計(jì)圖1和扇形統(tǒng)計(jì)圖2(不完整).請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：
(1)此次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了多少名中學(xué)生家長(zhǎng);
(2)求出圖2中扇形C所對(duì)的圓心角的度數(shù)，并將圖1補(bǔ)充完整;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)1萬(wàn)名中學(xué)生家長(zhǎng)中有多少名家長(zhǎng)持反對(duì)態(tài)度;
(4)在此次調(diào)查活動(dòng)中，初三(1)班和初三(2)班各有2位家長(zhǎng)對(duì)中學(xué)生帶手機(jī)持反對(duì)態(tài)度，現(xiàn)從這4位家長(zhǎng)中選2位家長(zhǎng)參加學(xué)校組織的家校活動(dòng)，用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求選出的2人來(lái)自不同班級(jí)的概率.
【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法;V5：用樣本估計(jì)總體;V9：頻數(shù)(率)分布折線圖;VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)用B類的人數(shù)除以它所占的百分比即可得到調(diào)查的總?cè)藬?shù);
(2)用360°乘以C類所占的百分比得到扇形C所對(duì)的圓心角的度數(shù)，再計(jì)算出C類人數(shù)，然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)用10000乘以D類的百分比可估計(jì)持反對(duì)態(tài)度的家長(zhǎng)的總數(shù);
(4)畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出2人來(lái)自不同班級(jí)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解：(1)共調(diào)查的中學(xué)生家長(zhǎng)數(shù)是：40÷20%=200(人);
(2)扇形C所對(duì)的圓心角的度數(shù)是：360°×(1﹣20%﹣15%﹣60%)=18°，
C類的人數(shù)是：200×(1﹣20%﹣15%﹣60%)=10(人)，
補(bǔ)圖如下：
(3)根據(jù)題意得：
10000×60%=6000(人)，
答：10000名中學(xué)生家長(zhǎng)中有6000名家長(zhǎng)持反對(duì)態(tài)度;
(4)設(shè)初三(1)班兩名家長(zhǎng)為A1，A2，初三(2)班兩名家長(zhǎng)為B1，B2，
畫(huà)樹(shù)狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中2人來(lái)自不同班級(jí)共有8種，
所以選出的2人來(lái)自不同班級(jí)的概率= = .
21.小明早晨從家里出發(fā)勻速步行去上學(xué)，小明的媽媽在小明出發(fā)后10分鐘，發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本沒(méi)帶，于是她帶上課本立即勻速騎車按小明上學(xué)的路線追趕小明，結(jié)果與小明同時(shí)到達(dá)學(xué)校.已知小明在整個(gè)上學(xué)途中，他出發(fā)后t分鐘時(shí)，他所在的位置與家的距離為s千米，且s與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖中的折線段OA﹣AB所示.
(1)試求折線段OA﹣AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請(qǐng)解釋圖中線段AB的實(shí)際意義;
(3)請(qǐng)?jiān)谒o的圖中畫(huà)出小明的媽媽在追趕小明的過(guò)程中，她所在位置與家的距離s(千米)與小明出發(fā)后的時(shí)間t(分鐘)之間函數(shù)關(guān)系的圖象.(友情提醒：請(qǐng)對(duì)畫(huà)出的圖象用數(shù)據(jù)作適當(dāng)?shù)臉?biāo)注)
【考點(diǎn)】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)OA為正比例函數(shù)圖象，可以用待定系數(shù)法求出;
(2)AB段離家距離沒(méi)發(fā)生變化說(shuō)明在以家為圓心做曲線運(yùn)動(dòng);
(3)媽媽的速度正好是小明的2倍，所以媽媽走弧線路用(20﹣12)÷2=4分鐘.
【解答】解：(1)線段OA對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：s= t(0≤t≤12)
線段AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：s=1(12
(2)圖中線段AB的實(shí)際意義是：
小明出發(fā)12分鐘后，沿著以他家為圓心，1千米為半徑的圓弧形道路上勻速步行了8分鐘;
(3)由圖象可知，小明花20分鐘到達(dá)學(xué)校，則小明的媽媽花20﹣10=10分鐘到達(dá)學(xué)校，可知小明媽媽的速度是小明的2倍，即：小明花12分鐘走1千米，則媽媽花6分鐘走1千米，故D(16，1)，小明花20﹣12=8分鐘走圓弧形道路，則媽媽花4分鐘走圓弧形道路，故B(20，1).
媽媽的圖象經(jīng)過(guò)(10，0)(16，1)(20，1)如圖中折線段CD﹣DB就是所作圖象.
22.LED燈具有環(huán)保節(jié)能、投射范圍大、無(wú)頻閃、使用壽命較長(zhǎng)等特點(diǎn)，在日常生活中，人們更傾向于LED燈的使用，某校數(shù)學(xué)興趣小組為了解LED燈泡與普通白熾燈泡的銷售情況，進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)查：某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批30瓦的LED燈泡和普通白熾燈泡進(jìn)行銷售，其進(jìn)價(jià)與標(biāo)價(jià)如下表：
LED燈泡 普通白熾燈泡
進(jìn)價(jià)(元) 45 25
標(biāo)價(jià)(元) 60 30
(1)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了LED燈泡與普通白熾燈泡共300個(gè)，LED燈泡按標(biāo)價(jià)進(jìn)行銷售，而普通白熾燈泡打九折銷售，當(dāng)銷售完這批燈泡后可以獲利3200元，求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡與普通白熾燈泡的數(shù)量分別為多少個(gè)?
(2)由于春節(jié)期間熱銷，很快將兩種燈泡銷售完，若該商場(chǎng)計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)兩種燈泡120個(gè)，在不打折的情況下，請(qǐng)問(wèn)如何進(jìn)貨，銷售完這批燈泡時(shí)獲利最多且不超過(guò)進(jìn)貨價(jià)的30%，并求出此時(shí)這批燈泡的總利潤(rùn)為多少元?
【考點(diǎn)】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用;9A：二元一次方程組的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡x個(gè)，普通白熾燈泡的數(shù)量為y個(gè)，利用該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了LED燈泡與普通白熾燈泡共300個(gè)和銷售完這批燈泡后可以獲利3200元列方程組，然后解方程組即可;
(2)設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡a個(gè)，則購(gòu)進(jìn)普通白熾燈泡個(gè)，這批燈泡的總利潤(rùn)為W元，利用利潤(rùn)的意義得到W=(60﹣45)a+(30﹣25)=10a+600，再根據(jù)銷售完這批燈泡時(shí)獲利最多且不超過(guò)進(jìn)貨價(jià)的30%可確定a的范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.
【解答】解：(1)設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡x個(gè)，普通白熾燈泡的數(shù)量為y個(gè)，
根據(jù)題意得 ，
解得 ，
答：該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡與普通白熾燈泡的數(shù)量分別為200個(gè)和100個(gè);
(2)設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡a個(gè)，則購(gòu)進(jìn)普通白熾燈泡個(gè)，這批燈泡的總利潤(rùn)為W元，
根據(jù)題意得W=(60﹣45)a+(30﹣25)
=10a+600，
∵10a+600≤[45a+25]×30%，解得a≤75，
∵k=10>0，
∴W隨a的增大而增大，
∴a=75時(shí)，W最大，最大值為1350，此時(shí)購(gòu)進(jìn)普通白熾燈泡=45個(gè).
答：該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡75個(gè)，則購(gòu)進(jìn)普通白熾燈泡45個(gè)，這批燈泡的總利潤(rùn)為1350元.
23.如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別為EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形：
(1)當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，CD=BE嗎?若相等請(qǐng)證明，若不等于請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，△AMN還是等邊三角形嗎?若是請(qǐng)證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由(可用第一問(wèn)結(jié)論).
【考點(diǎn)】KM：等邊三角形的判定與性質(zhì);KD：全等三角形的判定與性質(zhì);R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】(1)CD=BE.利用“等邊三角形的三條邊相等、三個(gè)內(nèi)角都是60°”的性質(zhì)證得△ABE≌△ACD;然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可求得結(jié)論CD=BE;
(2)△AMN是等邊三角形.首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的對(duì)應(yīng)角相等、已知條件“M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)”、等邊△ABC的性質(zhì)證得△ABM≌△ACN;然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等求得AM=AN、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以有一個(gè)角是60°的等腰三角形的正三角形.
【解答】解：(1)CD=BE.理由如下：
∵△ABC和△ADE為等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，
∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD(SAS)
∴CD=BE;
(2)△AMN是等邊三角形.理由如下：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD.
∵M(jìn)、N分別是BE、CD的中點(diǎn)，∴BM=CN
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN(SAS).
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC.
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°
∴△AMN是等邊三角形.
24.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=10，點(diǎn)O為AC上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，BD的中垂線分別交BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)DF.
(1)求證：DF為⊙O的切線;
(2)若AO=x，DF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
【考點(diǎn)】ME：切線的判定與性質(zhì);KG：線段垂直平分線的性質(zhì);T7：解直角三角形.
【分析】(1)連接OD，由于EF是BD的中垂線，DF=BF.從而可知∠FDB=∠B，又因?yàn)镺A=OD，所以∠OAD=∠ODA，從而可證明∠ODF=90°;
(2)連接OF，由題意可知：AO=x，DF=y，OC=6﹣x，CF=8﹣y，然后在Rt△COF中與Rt△ODF中利用勾股定理分別求出OF，化簡(jiǎn)原式即可求出答案.
【解答】(1)連接OD.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵EF是BD的中垂線，
∴DF=BF.
∴∠FDB=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°.
∴∠ODA+∠FDB=90°.
∴∠ODF=90°，
又∵OD為⊙O的半徑，
∴DF為⊙O的切線，
(2)連接OF.
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，sinA= ，AB=10，
∴AC=6，BC=8，
∵AO=x，DF=y，
∴OC=6﹣x，CF=8﹣y，
在Rt△COF中，
OF2=(6﹣x)2+(8﹣x)2
在Rt△ODF中，
OF2=x2+y2
∴(6﹣x)2+(8﹣x)2=x2+y2，
∴y=﹣ x+ (0
25.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=﹣ x2+ x+4經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn).
(1)寫(xiě)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若一條與y軸重合的直線l以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，分別交線段OA、CA和拋物線于點(diǎn)E、M和點(diǎn)P，連接PA、PB.設(shè)直線l移動(dòng)的時(shí)間為t(0
(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAM是直角三角形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)拋物線的解析式中，令x=0，能確定點(diǎn)B的坐標(biāo);令y=0，能確定點(diǎn)A的坐標(biāo).
(2)四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分;△ABC的面積是定值，關(guān)鍵是求出△PBA的面積表達(dá)式;若設(shè)直線l與直線AB的交點(diǎn)為Q，先用t表示出線段PQ的長(zhǎng)，而△PAB的面積可由( PQ•OA)求得，在求出S、t的函數(shù)關(guān)系式后，由函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值.
(3)△PAM中，∠APM是銳角，而PM∥y軸，∠AMP=∠ACO也不可能是直角，所以只有∠PAC是直角一種可能，即 直線AP、直線AC垂直，此時(shí)兩直線的斜率乘積為﹣1，先求出直線AC的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
【解答】解：(1)拋物線y=﹣ x2+ x+4中：
令x=0，y=4，則 B(0，4);
令y=0，0=﹣ x2+ x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，則 A(8，0);
∴A(8，0)、B(0，4).
(2)△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，則OB=OC=4，∴C(0，﹣4).
由A(8，0)、B(0，4)，得：直線AB：y=﹣ x+4;
依題意，知：OE=2t，即 E(2t，0);
∴P(2t，﹣2t2+7t+4)、Q(2t，﹣t+4)，PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;
S=S△ABC+S△PAB= ×8×8+ ×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;
∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，且最大值為64.
(3)∵PM∥y軸，∴∠AMP=∠ACO<90°;
而∠APM是銳角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°;
由A(8，0)、C(0，﹣4)，得：直線AC：y= x﹣4;
所以，直線AP可設(shè)為：y=﹣2x+h，代入A(8，0)，得：
﹣16+h=0，h=16
∴直線AP：y=﹣2x+16，聯(lián)立拋物線的解析式，得：
，解得 、
∴存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為(3，10).
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