2017初三中考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案(2)
2017初三中考數(shù)學(xué)模擬試題答案
一、選擇題(本大題共15個(gè)小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1. 的平方根是( )
A.81 B.±3 C.﹣3 D.3
【考點(diǎn)】21：平方根.
【分析】首先求出81的算術(shù)平方根，然后再求其結(jié)果的平方根.
【解答】解：∵ =9，
而9=(±3)2，
∴ 的平方根是±3.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查算術(shù)平方根和平方根的知識(shí)點(diǎn)，是基礎(chǔ)題需要重點(diǎn)掌握.
2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】R5：中心對稱圖形;P3：軸對稱圖形.
【分析】依據(jù)軸對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義回答即可.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故A錯(cuò)誤;
B、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故B錯(cuò)誤;
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C錯(cuò)誤;
D、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故D正確.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
3.如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB= ，AD=3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長度的最大值為( )
A.3 B.4 C.4.5 D.5
【考點(diǎn)】KX：三角形中位線定理.
【分析】根據(jù)三角形中位線定理可知EF= DN，求出DN的最大值即可.
【解答】解：如圖，連結(jié)DN，
∵DE=EM，F(xiàn)N=FM，
∴EF= DN，
當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合時(shí)，DN的值最大即EF最大，
在RTABD中，∵∠A=90°，AD=3，AB=3 ，
∴BD= = =6，
∴EF的最大值= BD=3.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是中位線定理的靈活應(yīng)用，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考常考題型.
4.已知關(guān)于x的分式方程 + =1的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是( )
A.m>2 B.m≥2 C.m≥2且m≠3 D.m>2且m≠3
【考點(diǎn)】B2：分式方程的解.
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解表示出x，根據(jù)方程的解為非負(fù)數(shù)求出m的范圍即可.
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，
解得：x=m﹣2，
由方程的解為非負(fù)數(shù)，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3.
故選：C
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，時(shí)刻注意分母不為0這個(gè)條件.
5.商店某天銷售了14件襯衫，其領(lǐng)口尺寸統(tǒng)計(jì)如表：
領(lǐng)口尺寸(單位：cm) 38 39 40 41 42
件數(shù) 1 5 3 3 2
則這14件襯衫領(lǐng)口尺寸的眾數(shù)與中位數(shù)分別是( )
A.39cm、39cm B.39cm、39.5cm C.39cm、40cm D.40cm、40cm
【考點(diǎn)】W5：眾數(shù);W4：中位數(shù).
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義與眾數(shù)的定義，結(jié)合圖表信息解答.
【解答】解：同一尺寸最多的是39cm，共有5件，
所以，眾數(shù)是39cm，
14件襯衫按照尺寸從小到大排列，第7，8件的尺寸是40cm，
所以中位數(shù)是40cm.
故選C
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)與眾數(shù)，確定中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個(gè)則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)，中位數(shù)有時(shí)不一定是這組數(shù)據(jù)的數(shù);眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，眾數(shù)有時(shí)不止一個(gè).
6.如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，則∠DFE的度數(shù)是( )
A.55° B.60° C.65° D.70°
【考點(diǎn)】MI：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠B=50°，再根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和定理，得∠DOE=130°，再根據(jù)圓周角定理得∠DFE=65°.
【解答】解：∵∠A=100°，∠C=30°，
∴∠B=50°，
∵∠BDO=∠BEO，
∴∠DOE=130°，
∴∠DFE=65°.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和定理以及切線的性質(zhì)定理、圓周角定理.
7.已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+4m+n+2mn的值為( )
A.1 B.3 C.﹣5 D.﹣9
【考點(diǎn)】AB：根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解即可得出m+n=﹣3、mn=﹣2、m2+3m=2，將其代入m2+4m+n+2mn中即可求出結(jié)論.
【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m+n=﹣3，mn=﹣2，m2+3m=2，
∴m2+4m+n+2mn=m2+3m+m+n+2mn=2﹣3﹣2×2=﹣5.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，熟練掌握x1+x2=﹣ 、x1x2= 是解題的關(guān)鍵.
8.若關(guān)于x的不等式 的整數(shù)解共有4個(gè)，則m的取值范圍是( )
A.6
【考點(diǎn)】CC：一元一次不等式組的整數(shù)解.
【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含m的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于m的不等式，從而求出m的范圍.
【解答】解：由(1)得，x
由(2)得，x≥3，
故原不等式組的解集為：3≤x
∵不等式的正整數(shù)解有4個(gè)，
∴其整數(shù)解應(yīng)為：3、4、5、6，
∴m的取值范圍是6
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道較為抽象的中考題，利用數(shù)軸就能直觀的理解題意，列出關(guān)于m的不等式組，再借助數(shù)軸做出正確的取舍.
9.如圖，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC為直徑作半圓，圓心為點(diǎn)O;以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作 ，過點(diǎn)O作AC的平行線交兩弧于點(diǎn)D、E，則陰影部分的面積是( )
A. B. C.2 D.
【考點(diǎn)】MO：扇形面積的計(jì)算.
【分析】如圖，連接CE.圖中S陰影=S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE.根據(jù)已知條件易求得OB=OC=OD=2，BC=CE=4.∠ECB=60°，OE=2 所以由扇形面積公式、三角形面積公式進(jìn)行解答即可.
【解答】解：如圖，連接CE.
∵AC⊥BC，AC=BC=4，以BC為直徑作半圓，圓心為點(diǎn)O;以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作弧AB，
∴∠ACB=90°，OB=OC=OD=2，BC=CE=4.
又∵OE∥AC，
∴∠ACB=∠COE=90°.
∴在直角△OEC中，OC=2，CE=4，
∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=2
∴S陰影=S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE= ﹣ π×22﹣ ×2×2 = ﹣2 ，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算.不規(guī)則圖形的面積一定要注意分割成規(guī)則圖形的面積進(jìn)行計(jì)算.
10.如圖，已知四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD= ，E為CD中點(diǎn)，連接AE，且AE=2 ，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，則BF=( )
A.1 B.3﹣ C. ﹣1 D.4﹣2
【考點(diǎn)】LJ：等腰梯形的性質(zhì).
【分析】延長AE交BC的延長線于G，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CE=DE，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得到∠DAE=∠G=30°，然后利用“角角邊”證明△ADE和△GCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=AD，AE=EG，然后解直角三角形求出AF、GF，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于N，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得BM=CN，再解直角三角形求出MG，然后求出CN，MF，然后根據(jù)BF=BM﹣MF計(jì)算即可得解.
【解答】解：如圖，延長AE交BC的延長線于G，
∵E為CD中點(diǎn)，
∴CE=DE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠G=30°，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE(AAS)，
∴CG=AD= ，AE=EG=2 ，
∴AG=AE+EG=2 +2 =4 ，
∵AE⊥AF，
∴AF=AGtan30°=4 × =4，
GF=AG÷cos30°=4 ÷ =8，
過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于N，
則MN=AD= ，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴BM=CN，
∵M(jìn)G=AG•cos30°=4 × =6，
∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣ ﹣ =6﹣2 ，
∵AF⊥AE，AM⊥BC，
∴∠FAM=∠G=30°，
∴FM=AF•sin30°=4× =2，
∴BF=BM﹣MF=6﹣2 ﹣2=4﹣2 .
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形，過上底的兩個(gè)頂點(diǎn)作出梯形的兩條高.
11.如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
【考點(diǎn)】PA：軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題.
【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA;PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果.
【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，
分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：
∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA;
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵△PMN周長的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵.
12.如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函數(shù)y= 在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC﹣S△BAD為( )
A.36 B.12 C.6 D.3
【考點(diǎn)】G5：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;KW：等腰直角三角形.
【分析】設(shè)△OAC和△BAD的直角邊長分別為a、b，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)及圖象可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.
【解答】解：設(shè)△OAC和△BAD的直角邊長分別為a、b，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a+b，a﹣b).
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y= 的第一象限圖象上，
∴(a+b)×(a﹣b)=a2﹣b2=6.
∴S△OAC﹣S△BAD= a2﹣ b2= (a2﹣b2)= ×6=3.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、等腰三角形的性質(zhì)以及面積公式，解題的關(guān)鍵是找出a2﹣b2的值.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，設(shè)出等腰直角三角形的直角邊，用其表示出反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵.
13.如圖，已知AB=12，點(diǎn)C，D在AB上，且AC=DB=2，點(diǎn)P從點(diǎn)C沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止)，以AP、BP為斜邊在AB的同側(cè)畫等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，連接EF，取EF的中點(diǎn)G，下列說法中正確的有( )
①△EFP的外接圓的圓心為點(diǎn)G;②四邊形AEFB的面積不變;
?、跡F的中點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長為4;④△EFP的面積的最小值為8.
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【考點(diǎn)】MR：圓的綜合題.
【分析】分別延長AE、BF交于點(diǎn)H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點(diǎn)，則G的運(yùn)行軌跡為三角形HCD的中位線MN.再求出CD的長，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出MN的長度即可確定③正確;又由G為EF的中點(diǎn)，∠EPF=90°，可知②錯(cuò)誤.根據(jù)直角三角形兩直角邊的差越大，直角三角形的面積越小，可求得答案.
【解答】解：如圖 ，
分別延長AE、BF交于點(diǎn)H.
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，
∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°﹣∠EPA﹣∠FPB=90°，
∴四邊形EPFH為平行四邊形，
∴EF與HP互相平分.
∵G為EF的中點(diǎn)，
∴G也為PH中點(diǎn)，
即在P的運(yùn)動(dòng)過程中，G始終為PH的中點(diǎn)，
∴G的運(yùn)行軌跡為△HCD的中位線MN.
∵CD=12﹣2﹣2=8，
∴MN=4，即G的移動(dòng)路徑長為4.
故③EF的中點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長為4，正確;
∵G為EF的中點(diǎn)，∠EPF=90°，
∴①△EFP的外接圓的圓心為點(diǎn)G，正確.
∴①③正確.
∵點(diǎn)P從點(diǎn)C沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止)，易證∠EPF=90°，所以四邊形面積便是三個(gè)直角三角形的面積和，設(shè)cp=x，則四邊形面積S=
∴AP不斷增大，
∴四邊形的面積S也會(huì)隨之變化，故②錯(cuò)誤.
④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∠EPF=90°，
AP= PE，BP= PF，
當(dāng)AP=AC=2時(shí)，即PE= ，PF=5 ，
S△PEF最小= PE•PF=5，故④錯(cuò)誤;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形外接圓的知識(shí)以及三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí).此題綜合性很強(qiáng)，圖形也很復(fù)雜，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.此題屬于動(dòng)點(diǎn)問題，是中考的熱點(diǎn).
14.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)(﹣1，0)，對稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：(1)2a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)5a+7b+2c>0;(4)若點(diǎn)A(﹣3，y1)、點(diǎn)B(﹣ ，y2)、點(diǎn)C( ，y3)在該函數(shù)圖象上，則y1
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【考點(diǎn)】HA：拋物線與x軸的交點(diǎn);H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】(1)根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =2，則有4a+b=0;
(2)觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x=﹣3時(shí)，函數(shù)值小于0，則9a﹣3b+c<0，即9a+c<3b;
(3)由(1)得b=﹣4a，由圖象過點(diǎn)(﹣1，0)得：c=﹣5a，代入5a+7b+2c中，根據(jù)a的大小可判斷結(jié)果是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，
(4)根據(jù)當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而增大，進(jìn)行判斷;
(5)由(x+1)(x﹣5)<0，由圖象可知：x<﹣1或x>5可得結(jié)論.
【解答】解：(1)﹣ =2，
∴4a+b=0，
所以此選項(xiàng)不正確;
(2)由圖象可知：當(dāng)x=﹣3時(shí)，y<0，
即9a﹣3b+c<0，
9a+c<3b，
所以此選項(xiàng)不正確;
(3)∵拋物線開口向下，
∴a<0，
∵4a+b=0，
∴b=﹣4a，
把(﹣1，0)代入y=ax2+bx+c得：a﹣b+c=0，
a+4a+c=0，
c=﹣5a，
∴5a+7b+2c=5a﹣7×(﹣4a)+2×(﹣5a)=﹣33a>0，
∴所以此選項(xiàng)正確;
(4)由對稱性得：點(diǎn)C( ，y3)與(0.5，y3)對稱，
∵當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而增大，
且﹣3<﹣ <0.5，
∴ y1
所以此選項(xiàng)正確;
(5)∵a<0，c>0
∴(x+1)(x﹣5)= <0，
即(x+1)(x﹣5)<0，
故x<﹣1或x>5，
所以此選項(xiàng)正確;
∴正確的有三個(gè)，
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口;常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn). 拋物線與y軸交于(0，c);拋物線是軸對稱圖形，明確拋物線的增減性與對稱軸有關(guān)，并利用數(shù)形結(jié)合的思想綜合解決問題.
15.如圖，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2 為邊長的正方形DEFG的一邊GD在直線AB上，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，現(xiàn)將正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)停止，則在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，正方形DEFG與△ABC的重合部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】E7：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.
【分析】首先根據(jù)Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，分別求出AC、BC，以及AB邊上的高各是多少;然后根據(jù)圖示，分三種情況：(1)當(dāng)0≤t≤2 時(shí);(2)當(dāng)2 時(shí);(3)當(dāng)6
【解答】解：如圖1，CH是AB邊上的高，與AB相交于點(diǎn)H， ，
∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，
∴AC=AB×cos30°=8× =4 ，BC=AB×sin30°=8× =4，
∴CH=AC× ，AH= ，
(1)當(dāng)0≤t≤2 時(shí)，
S= = t2;
(2)當(dāng)2 時(shí)，
S= ﹣
= t2 [t2﹣4 t+12]
=2t﹣2
(3)當(dāng)6
S= [(t﹣2 )•tan30° ]×[6﹣(t﹣2 )] ×[(8﹣t)•tan60° ]×(t﹣6)
= [ ]×[﹣t+2 +6] ×[﹣ t ]×(t﹣6)
=﹣ t2+2t+4 ﹣ t2 ﹣30
=﹣ t2 ﹣26
綜上，可得
S=
∴正方形DEFG與△ABC的重合部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是A圖象.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】(1)此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答此類問題的關(guān)鍵是通過看圖獲取信息，并能解決生活中的實(shí)際問題，用圖象解決問題時(shí)，要理清圖象的含義即學(xué)會(huì)識(shí)圖.
(2)此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及三角形、梯形的面積的求法，要熟練掌握.
二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分.)
16.分解因式：2x2﹣12x﹣32= 2(x﹣8)(x+2) .
【考點(diǎn)】55：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】原式提取2，再利用十字相乘法分解即可.
【解答】解：原式=2(x2﹣6x﹣16)
=2(x﹣8)(x+2).
故答案為：2(x﹣8)(x+2).
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
17.如果方程kx2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 k≤1 .
【考點(diǎn)】AA：根的判別式.
【分析】分二次項(xiàng)系數(shù)k=0和k≠0兩種情況考慮：當(dāng)k=0時(shí)，解一元一次方程可求出x的值，由此得出k=0符合題意;當(dāng)k≠0時(shí)，利用根的判別式△≥0即可求出k的取值范圍.綜上所述即可得出結(jié)論.
【解答】解：當(dāng)k=0時(shí)，原方程為2x+1=0，
解得：x=﹣ ，
∴k=0符合題意;
當(dāng)k≠0時(shí)，∵方程kx2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=4﹣4k≥0，
解得：k≤1且k≠0.
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≤1.
故答案為：k≤1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式、解一元一次方程以及解一元一次不等式，分二次項(xiàng)系數(shù)k=0和k≠0兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵.
18.一個(gè)包裝盒的設(shè)計(jì)方法如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm.若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取的值為 15 cm.
【考點(diǎn)】H7：二次函數(shù)的最值;KW：等腰直角三角形;LE：正方形的性質(zhì).
【分析】可設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)，寫出a，h與x的關(guān)系式，并注明x的取值范圍.再利用側(cè)面積公式表示出包裝盒側(cè)面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，最后求出何時(shí)它取得最大值即可;
【解答】解：設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)，則a= x，h= (30﹣x)，0
S=4ah=8x(30﹣x)=﹣8(x﹣15)2+1800，
∴當(dāng)x=15cm時(shí)，S取最大值.
故答案為：15.
【點(diǎn)評(píng)】考查函二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形及正方形的性質(zhì)，同時(shí)還考查了考查運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力.屬于基礎(chǔ)題.
19.如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn) A(﹣1，0)，點(diǎn) A1，A2，A3，A4，A5，…按所示的規(guī)律排列在直線l上.若直線l上任意相鄰兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相差1、縱坐標(biāo)也都相差1，若點(diǎn)An(n為正整數(shù))的橫坐標(biāo)為2015，則n= 4031 .
【考點(diǎn)】F8：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】觀察①n為奇數(shù)時(shí)，橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)變化得出規(guī)律;②n為偶數(shù)時(shí)，橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)變化得出規(guī)律，再求解.
【解答】解：觀察①n為奇數(shù)時(shí)，橫坐標(biāo)變化：﹣1+1，﹣1+2，﹣1+3，…﹣1+ ，
縱坐標(biāo)變化為：0﹣1，0﹣2，0﹣3，…﹣ ，
②n為偶數(shù)時(shí)，橫坐標(biāo)變化：﹣1﹣1，﹣1﹣2，﹣1﹣3，…﹣1﹣ ，
縱坐標(biāo)變化為：1，2，3，… ，
∵點(diǎn)An(n為正整數(shù))的橫坐標(biāo)為2015，
∴n為奇數(shù)，
∴﹣1+ =2015，解得n=4031.
故答案為：4031.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是找出坐標(biāo)的規(guī)律.
20.如圖，已知△ABC，外心為O，BC=6，∠BAC=60°，分別以AB、AC為腰向形外作等腰直角三角形△ABD與△ACE，連接BE、CD交于點(diǎn)P，則OP的最小值是 3﹣ .
【考點(diǎn)】MA：三角形的外接圓與外心;KD：全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】由△ABD與△ACE是等腰直角三角形，得到∠BAD=∠CAE=90°，∠DAC=∠BAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠ABE，求得在以BC為直徑的圓上，由△ABC的外心為O，∠BAC=60°，得到∠BOC=120°，如圖，當(dāng)PO⊥BC時(shí)，OP的值最小，解直角三角形即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵△ABD與△ACE是等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC與△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠PDB+∠PBD=90°，
∴∠DPB=90°，
∴P在以BC為直徑的圓上，
∵△ABC的外心為O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
如圖，當(dāng)PO⊥BC時(shí)，OP的值最小，
∵BC=6，
∴BH=CH=3，
∴OH= ，PH=3，
∴OP=3﹣ .
故答案為：3﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
21.如圖，點(diǎn)A在雙曲線y= 的第一象限的那一支上，AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC=2AB，點(diǎn)E在線段AC上，且AE=3EC，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，若△ADE的面積為 ，則k的值為 .
【考點(diǎn)】GB：反比例函數(shù)綜合題.
【分析】連接CD，由AE=3EC，△ADE的面積為 ，得到△CDE的面積為 ，則△ADC的面積為2，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，則k=ab，AB=a，OC=2AB=2a，BD=OD= b，利用S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC即可得出ab的值進(jìn)而得出結(jié)論.
【解答】解：連CD，如圖，
∵AE=3EC，△ADE的面積為 ，
∴△CDE的面積為 ，
∴△ADC的面積為2，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，則AB=a，OC=2AB=2a，
∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，
∴BD=OD= b，
∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴ (a+2a)×b= a× b+2+ ×2a× b，
∴ab= ，
把A(a，b)代入雙曲線y= 得，
∴k=ab= .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)綜合題，熟知若點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式;利用三角形的面積公式和梯形的面積公式建立等量關(guān)系等知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.
三、解答題(本大題共7個(gè)小題，共57分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
22.先化簡再計(jì)算： ，其中x是一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的正數(shù)根.
【考點(diǎn)】6D：分式的化簡求值;A3：一元二次方程的解.
【分析】先把原式化為最簡形式，再利用公式法求出一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的根，把正根代入原式計(jì)算即可.
【解答】解：原式= ÷
= •
= .
解方程x2﹣2x﹣2=0得：
x1=1+ >0，x2=1﹣ <0，
所以原式= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡求值及解一元二次方程，解答此題的關(guān)鍵是把原分式化為最簡形式，再進(jìn)行計(jì)算.
23.如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E為對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE并延長交AB于點(diǎn)F，連結(jié)BE.
(1)如圖①：求證∠AFD=∠EBC;
(2)如圖②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度數(shù);
(3)若∠DAB=90°且當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，求∠EFB的度數(shù)(只寫出條件與對應(yīng)的結(jié)果)
【考點(diǎn)】LO：四邊形綜合題.
【分析】(1)直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE(SAS)，即可得出答案;
(2)利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合垂直的定義得出∠DAB的度數(shù);
(3)利用正方形的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出①當(dāng)F在AB延長線上時(shí)，以及②當(dāng)F在線段AB上時(shí)，分別求出即可.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴DC=CB，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE(SAS)，
∴∠EDC=∠EBC，
∵DC∥AB，
∴∠EDC=∠AFD，
∴∠AFD=∠EBC;
(2)解：∵DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
設(shè)∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，則∠CBF=2x°，
由BE⊥AF得：2x+x=90°，
解得：x=30°，
∴∠DAB=∠CBF=60°;
(3)分兩種情況：
①如圖1，當(dāng)F在AB延長線上時(shí)，
∵∠EBF為鈍角，
∴只能是BE=BF，設(shè)∠BEF=∠BFE=x°，
可通過三角形內(nèi)角形為180°得：
90+x+x+x=180，
解得：x=30，
∴∠EFB=30°;
②如圖2，當(dāng)F在線段AB上時(shí)，
∵∠EFB為鈍角，
∴只能是FE=FB，設(shè)∠BEF=∠EBF=x°，則有∠AFD=2x°，
可證得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，
得x+2x=90，
解得：x=30，
∴∠EFB=120°，
綜上：∠EFB=30°或120°.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了四邊形綜合題，解題時(shí)，涉及到了菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵.
24.某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取”主題班會(huì)活動(dòng)，活動(dòng)后，就活動(dòng)的5個(gè)主題進(jìn)行了抽樣調(diào)查(2017•章丘市二模)為了給學(xué)生提供更好的學(xué)習(xí)生活環(huán)境，重慶一中寄宿學(xué)校2015年對校園進(jìn)行擴(kuò)建.某天一臺(tái)塔吊正對新建教學(xué)樓進(jìn)行封頂施工，工人在樓頂A處測得吊鉤D處的俯角α=22°，測得塔吊B，C兩點(diǎn)的仰角分別為β=27°，γ=50°，此時(shí)B與C距3米，塔吊需向A處吊運(yùn)材料.(tan27°≈0.5，tan50°≈1.2，tan22°≈0.4)
(1)吊鉤需向右、向上分別移動(dòng)多少米才能將材料送達(dá)A處?
(2)封頂工程完畢后需盡快完成新建教學(xué)樓的裝修工程.如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成;如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成.求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù).
【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題;B7：分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，則△AHC，△AHB均為Rt△，設(shè)CH=x，在△ACH與△ABH中分別用x表示出AH的長，故可得出x的值，進(jìn)而可得出AM與DM的長，由此得出結(jié)論;
(2)設(shè)甲單獨(dú)做y天完成此工程，則乙單獨(dú)做(y+10)天完成此工程，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成求出y的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.
【解答】解：(1)過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，則△AHC，△AHB均為Rt△，設(shè)CH=x，
∵HC∥AE，
∴∠HCA=γ=50°，
∴AH=x•tan50°=1.2x.
∵HB∥AE，
∴∠HBA=β=27°，
∴在Rt△ABH中，AH=BH•tan27°，即1.2x=(x+3)•tan27°，即1.2x=(x+3)• ，解得x= .
∵四邊形AHCM是矩形，
∴AM= .
在Rt△AMD中，DM=AM•tan22°= ×0.4= .
答：吊鉤需向右、向上分別移動(dòng) 米、 米才能將材料送達(dá)A處;
(2)設(shè)甲單獨(dú)做y天完成此工程，則乙單獨(dú)做(y+10)天完成此工程，
由題意得， + = ，解得y1=20，y2=﹣6(舍去).
經(jīng)檢驗(yàn)，y=20是原分式方程的解且符合題意，
故乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的天數(shù)為10+20=30(天).
答：甲單獨(dú)做20天完成此工程，則乙單獨(dú)做3.天完成此工程.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.
26.母親節(jié)前夕，某淘寶店主從廠家購進(jìn)A、B兩種禮盒，已知A、B兩種禮盒的單價(jià)比為2：3，單價(jià)和為200元.
(1)求A、B兩種禮盒的單價(jià)分別是多少元?
(2)該店主購進(jìn)這兩種禮盒恰好用去9600元，且購進(jìn)A種禮盒最多36個(gè)，B種禮盒的數(shù)量不超過A種禮盒數(shù)量的2倍，共有幾種進(jìn)貨方案?
(3)根據(jù)市場行情，銷售一個(gè)A種禮盒可獲利10元，銷售一個(gè)B種禮盒可獲利18元.為奉獻(xiàn)愛心，該店主決定每售出一個(gè)B種禮盒，為愛心公益基金捐款m元，每個(gè)A種禮盒的利潤不變，在(2)的條件下，要使禮盒全部售出后所有方案獲利相同，m值是多少?此時(shí)店主獲利多少元?
【考點(diǎn)】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用;8A：一元一次方程的應(yīng)用;CE：一元一次不等式組的應(yīng)用.
【分析】(1)利用A、B兩種禮盒的單價(jià)比為2：3，單價(jià)和為200元，得出等式求出即可;
(2)利用兩種禮盒恰好用去9600元，結(jié)合(1)中所求，得出等式，利用兩種禮盒的數(shù)量關(guān)系求出即可;
(3)首先表示出店主獲利，進(jìn)而利用a，b關(guān)系得出符合題意的答案.
【解答】解：(1)設(shè)A種禮盒單價(jià)為2x元，B種禮盒單價(jià)為3x元，依據(jù)題意得：
2x+3x=200，
解得：x=40，
則2x=80，3x=120，
答：A種禮盒單價(jià)為80元，B種禮盒單價(jià)為120元;
(2)設(shè)購進(jìn)A種禮盒a個(gè)，B種禮盒b個(gè)，依據(jù)題意可得：
，
解得：30≤a≤36，
∵a，b的值均為整數(shù)，
∴a的值為：30、33、36，
∴共有三種方案;
(3)設(shè)店主獲利為w元，則
w=10a+(18﹣m)b，
由80a+120b=9600，
得：a=120﹣ b，
則w=(3﹣m)b+1200，
∵要使(2)中方案獲利都相同，
∴3﹣m=0，
∴m=3，
此時(shí)店主獲利1200元.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意結(jié)合得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.
27.⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過 的中點(diǎn)P作⊙O的直徑PG，與弦BC相交于點(diǎn)D，連接AG、CP、PB.
(1)如圖1，求證：AG=CP;
(2)如圖2，過點(diǎn)P作AB的垂線，垂足為點(diǎn)H，連接DH，求證：DH∥AG;
(3)如圖3，連接PA，延長HD分別與PA、PC相交于點(diǎn)K、F，已知FK=2，△ODH的面積為2 ，求AC的長.
【考點(diǎn)】MR：圓的綜合題.
【分析】(1)利用等弧所對的圓周角相等即可求解;
(2)利用等弧所對的圓周角相等，得到角相等∠APG=∠CAP，判斷出△BOD≌△POH，再得到角相等，從而判斷出線平行;
(3)由三角形相似，得出比例式，△HON∽△CAM， ，再判斷出四邊形CDHM是平行四邊形，最后經(jīng)過計(jì)算即可求解.
【解答】(1)證明：∵過 的中點(diǎn)P作⊙O的直徑PG，
∴CP=PB，
∵AB，PG是相交的直徑，
∴AG=PB，
∴AG=CP;
(2)證明：如圖 2，連接BG
∵AB、PG都是⊙O的直徑，
∴四邊形AGBP是矩形，
∴AG∥PB，AG=PB，
∵P是弧BC的中點(diǎn)，
∴PC=BC=AG，
∴弧AG=弧CP，
∴∠APG=∠CAP，
∴AC∥PG，
∴PG⊥BC，
∵PH⊥AB，
∴∠BOD=90°=∠POH，
在△BOD和△POH中，
，
∴△BOD≌△POH，
∴OD=OH，
∴∠ODH= (180°﹣∠BOP)=∠OPB，
∴DH∥PB∥AG.
(3)解：如圖3，作CM⊥AP于M，ON⊥DH于N，
∴∠HON= ∠BOP= ∠COP=∠CAP，
∴△HON∽△CAM，
∴ ，
作PQ⊥AC于Q，
∴四邊形CDPQ是矩形，
△APH與△APQ關(guān)于AP對稱，
∴HQ⊥AP，
由(1)有：HK⊥AP，
∴點(diǎn)K在HQ上，
∴CF=PF，
∴FK是△CMP的中位線，
∴CM=2FK=4，MF=PF，
∵CM⊥AP，HK⊥AP，
∴CM∥HK，
∴∠BCM+∠CDH=180°，
∵∠BCM=∠CAP=∠BAP=∠PHK=∠MHK，
∴∠MHK+∠CDH=180°，
∴四邊形CDHM是平行四邊形，
∴DH=CM=4，DN=HN=2，
∵S△ODH= DH×ON= ×4×ON=2 ，
∴ON= ，
∴OH= =5，
∴AC= =10.
【點(diǎn)評(píng)】此題是圓的綜合題，主要考查了相似，圓中的一些角的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是判斷出平行線，難點(diǎn)是作輔助線.
28.(10分)(2011•河南)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 與拋物線 交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣8.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E.
?、僭O(shè)△PDE的周長為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值;
?、谶B接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出b，c即可;
(2)①根據(jù)△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP﹣yD求出二函數(shù)最值即可;
?、诋?dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即 ，解得 ，
所以得出P點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，x=﹣ ﹣ x+ ，解得x= ，可得P點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解：(1)對于 ，當(dāng)y=0，x=2.當(dāng)x=﹣8時(shí)，y=﹣ .
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為 .
由拋物線 經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
得
解得 .
∴ .
(2)①設(shè)直線 與y軸交于點(diǎn)M，
當(dāng)x=0時(shí)，y= .∴OM= .
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，∴OA=2.∴AM= .
∵OM：OA：AM=3：4：5.
由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED.
∴DE：PE：PD=3：4：5.
∵點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，
∵PD⊥x軸，
∴PD兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，
∴PD=yP﹣yD=﹣ ﹣ x+ ﹣( x﹣ )
=﹣ x2﹣ x+4，
∴
= .
∴ .
∴x=﹣3時(shí)，l最大=15.
②當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，如圖2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，
即 ，解得 ，
所以 ，
如圖3，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PS⊥x軸于點(diǎn)S，
由△PNF≌△PSA，
PN=PS，可得P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，
故得當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，
x=﹣ ﹣ x+ ，解得x= ，
可得 ， (舍去).
綜上所述：滿足題意的點(diǎn)P有三個(gè)，分別是
.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析以及靈活應(yīng)用相似三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵.
猜你喜歡：
2017初三中考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案(2)
