2017初三中考數(shù)學(xué)練習(xí)試卷(2)
2017初三中考數(shù)學(xué)練習(xí)試題答案
一、選擇題(本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分)
1.﹣2，﹣1，0， 四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最小的數(shù)是( )
A. B.﹣2 C.0 D.﹣1
【考點(diǎn)】18：有理數(shù)大小比較;15：絕對(duì)值.
【分析】首先求出每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值各是多少;然后根據(jù)有理數(shù)大小比較的法則，判斷出﹣2，﹣1，0， 四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最小的數(shù)是哪個(gè)即可.
【解答】解：|﹣2|=2，|﹣1|=1，|0|=0，| |= ，
∵2>1> >0，
∴﹣2，﹣1，0， 四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最小的數(shù)是0.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了絕對(duì)值的含義和求法，以及有理數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0;②負(fù)數(shù)都小于0;③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小.
2.下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】R5：中心對(duì)稱圖形;P3：軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形.故此選項(xiàng)正確;
B、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形.故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形.故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：
軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合;
中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.
3.要使分式 有意義，則x的取值應(yīng)滿足( )
A.x≠﹣2 B.x≠2 C.x≠﹣1 D.x=1
【考點(diǎn)】62：分式有意義的條件.
【分析】分式有意義：分母不等于零.
【解答】解：依題意得：﹣x+2≠0，
解得x≠2.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式有意義的條件.分式有意義的條件是分母不等于零.
4.對(duì)“某市明天下雨的概率是80%”這句話，理解正確的是( )
A.某市明天將有80%的時(shí)間下雨
B.某市明天將有80%的地區(qū)下雨
C.某市明天一定會(huì)下雨
D.某市明天下雨的可能性較大
【考點(diǎn)】X3：概率的意義.
【分析】根據(jù)概率的意義進(jìn)行解答即可.
【解答】解：“某市明天下雨的概率是80%”說(shuō)明某市明天下雨的可能性較大，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是概率的意義，概率是反映事件發(fā)生機(jī)會(huì)的大小的概念，只是表示發(fā)生的機(jī)會(huì)的大小，機(jī)會(huì)大也不一定發(fā)生，機(jī)會(huì)小也有可能發(fā)生.
5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(﹣ ，2)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點(diǎn)】D1：點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答.
【解答】解：∵﹣ >0，
∴點(diǎn)P(﹣ ，2)在第一象限.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限(+，+);第二象限(﹣，+);第三象限(﹣，﹣);第四象限(+，﹣).
6.下列計(jì)算正確的是( )
A.2a3•3a2=6a6 B.a3+2a2=3a5
C.a÷b× =a D.( ﹣ )÷x﹣1=
【考點(diǎn)】6C：分式的混合運(yùn)算;49：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式;6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算以及分式的運(yùn)算法則即可求出答案.
【解答】解：(A)原式=6a5，故A錯(cuò)誤;
(B)a3與2a2不是同類項(xiàng)，不能合并，故B錯(cuò)誤;
(C)原式=a× × = ，故C錯(cuò)誤;
故選(D)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.
7.設(shè)函數(shù)y= (k≠0，x>0)的圖象如圖所示，若z= ，則z關(guān)于x的函數(shù)圖象可能為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】G2：反比例函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)解析式以及z= ，即可找出z關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象在第一象限可得出k>0，結(jié)合x(chóng)的取值范圍即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵y= (k≠0，x>0)，
∴z= = = (k≠0，x>0).
∵反比例函數(shù)y= (k≠0，x>0)的圖象在第一象限，
∴k>0，
∴ >0.
∴z關(guān)于x的函數(shù)圖象為第一象限內(nèi)，且不包括原點(diǎn)的正比例的函數(shù)圖象.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的圖象以及正比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是找出z關(guān)于x的函數(shù)解析式.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)分式的變換找出z關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵.
8.已知a，b，c為常數(shù)，且(a﹣c)2>a2+c2，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是( )
A.用兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C.不確定，與b的取值有關(guān) D.無(wú)實(shí)數(shù)根
【考點(diǎn)】AA：根的判別式.
【分析】利用完全平方的展開(kāi)式將(a﹣c)2展開(kāi)，即可得出ac<0，再結(jié)合方程ax2+bx+c=0根的判別式△=b2﹣4ac，即可得出△>0，由此即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵(a﹣c)2=a2+c2﹣2ac>a2+c2，
∴ac<0.
在方程ax2+bx+c=0中，
∵△=b2﹣4ac≥﹣4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式，用到的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：(1)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)△<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.也考查了完全平方公式.
9.有以下四個(gè)命題：①半徑為2的圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為2 ;②有兩邊及其一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;③從裝有大小和質(zhì)地完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子中，隨機(jī)摸取1個(gè)球，摸到紅色球和黑色球的可能性相等;④函數(shù)y=﹣x2+2x，當(dāng)y>﹣3時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值為x>3或x<﹣1，其中假命題的個(gè)數(shù)為( )
A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)
【考點(diǎn)】O1：命題與定理.
【分析】利用正多邊形和圓、全等三角形的判定、概率公式及二次函數(shù)的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).
【解答】解：①半徑為2的圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為2 ，正確，是真命題;
?、谟袃蛇吋捌鋳A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故錯(cuò)誤，是假命題;
?、蹚难b有大小和質(zhì)地完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子中，隨機(jī)摸取1個(gè)球，摸到紅色球的可能性大于摸到黑色球的可能性，故錯(cuò)誤，是假命題;
?、芎瘮?shù)y=﹣x2+2x，當(dāng)y>﹣3時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值為﹣1
假命題有3個(gè)，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解正多邊形和圓、全等三角形的判定、概率公式及二次函數(shù)的性質(zhì)的知識(shí)，難度不大.
10.如圖，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，DE⊥AB，則cos∠ABE的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】S3：黃金分割;KG：線段垂直平分線的性質(zhì);KH：等腰三角形的性質(zhì);T7：解直角三角形.
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)E是線段AC的黃金分割點(diǎn)，根據(jù)余弦的概念計(jì)算即可.
【解答】解：∵AB=AC，∠C=72°，
∴∠A=36°，
∵D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，DE⊥AB，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴點(diǎn)E是線段AC的黃金分割點(diǎn)，
∴BE=AE= ×4=2( ﹣1)，
∴cos∠ABE= = ，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)、黃金分割的概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)、熟記黃金比值是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11.如圖，已知a，b，c，d四條直線，a∥b，c∥d，∠1=110°，則∠2等于 70° .
【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠3=∠1，4=∠3，然后由鄰補(bǔ)角的定義即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵a∥b，c∥d，
∴∠3=∠1，∠4=∠3，
∴∠1=∠4=110°，
∴∠2=180°﹣∠4=70°，
故答案為：70°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：運(yùn)用兩直線平行，同位角相等是解答此題的關(guān)鍵.
12.某商品的進(jìn)價(jià)為每件100元，按標(biāo)價(jià)打八折售出后每件可獲利20元，則該商品的標(biāo)價(jià)為每件 150 元.
【考點(diǎn)】8A：一元一次方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)該商品的標(biāo)價(jià)為每件為x元，根據(jù)八折出售可獲利20元，可得出方程：80%x﹣100=20，再解答即可.
【解答】解：設(shè)該商品的標(biāo)價(jià)為每件x元，
由題意得：80%x﹣100=20，
解得：x=150.
答：該商品的標(biāo)價(jià)為每件150元.
故答案為：150.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是仔細(xì)審題，得出等量關(guān)系，列出方程，難度一般.
13.在數(shù)軸上從滿足|x|<2的任意實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)中隨機(jī)選取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大于1的概率為 .
【考點(diǎn)】X5：幾何概率;29：實(shí)數(shù)與數(shù)軸.
【分析】直接利用數(shù)軸的性質(zhì)，結(jié)合a的取值范圍得出答案.
【解答】解：∵|x|<2，
∴﹣2
當(dāng)a>1時(shí)有1
∴取到的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大于1的概率為： ，
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了幾何概率，正確利用數(shù)軸，結(jié)合a的取值范圍求解是解題關(guān)鍵.
14.分解因式：a3﹣6a2+5a= a(a﹣5)(a﹣1) .
【考點(diǎn)】57：因式分解﹣十字相乘法等;53：因式分解﹣提公因式法.
【分析】原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可.
【解答】解：原式=a(a2﹣6a+5)=a(a﹣5)(a﹣1).
故答案是：a(a﹣5)(a﹣1).
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與十字相乘法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
15.如果一個(gè)圓錐的主視圖是等邊三角形，俯視圖是面積為4π的圓，那么這個(gè)圓錐的左視圖的面積是 4 .
【考點(diǎn)】MP：圓錐的計(jì)算;U3：由三視圖判斷幾何體.
【分析】先利用圓的面積公式得到圓錐的底面圓的半徑為2，再利用等邊三角形的性質(zhì)得母線長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算圓錐的高.
【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則πr2=4π，解得r=2，
因?yàn)閳A錐的主視圖是等邊三角形，
所以圓錐的母線長(zhǎng)為4，
所以它的左視圖的高= =2 ，
所以左視圖的面積為 ×4×2 =4 .
故答案為4 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).
16.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P、D(P、D兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為 2 ﹣2 .
【考點(diǎn)】L8：菱形的性質(zhì);KI：等腰三角形的判定;KK：等邊三角形的性質(zhì).
【分析】分三種情形討論①若以邊BC為底.②若以邊PC為底.③若以邊PB為底.分別求出PD的最小值，即可判斷.
【解答】解：①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上(在菱形的邊及其內(nèi)部)的點(diǎn)滿足題意，此時(shí)就轉(zhuǎn)化為了“直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)連線的線段中垂線段最短“，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PD值最小，為2;
?、谌粢赃匬C為底，∠PBC為頂角時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作圓，與BD相交于一點(diǎn)，則弧AC(除點(diǎn)C外)上的所有點(diǎn)都滿足△PBC是等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，PD最小，最小值為2√3﹣2;
?、廴粢赃匬B為底，∠PCB為頂角，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作圓，則弧BD上的點(diǎn)A與點(diǎn)D均滿足△PBC為等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PD最小，顯然不滿足題意，故此種情況不存在;
綜上所述，PD的最小值為2 ﹣2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.
三、解答題(本大題共9小題，共72分)
17.(10分)(2017•呼和浩特一模)計(jì)算、求值：
(1)計(jì)算：| ﹣2|+( )﹣1﹣( +1)( ﹣1);
(2)已知單項(xiàng)式2xm﹣1yn+3與﹣xny2m是同類項(xiàng)，求m，n的值.
【考點(diǎn)】79：二次根式的混合運(yùn)算;34：同類項(xiàng);6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
【分析】(1)利用絕對(duì)值的定義結(jié)合平方差公式計(jì)算得出答案;
(2)直接利用同類項(xiàng)的定義分析得出答案.
【解答】解：(1)| ﹣2|+( )﹣1﹣( +1)( ﹣1)
=2﹣ +2﹣(5﹣1)
=﹣ ;
(2)∵單項(xiàng)式2xm﹣1yn+3與﹣xny2m是同類項(xiàng)，
∴ ，
解得： .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算以及同類項(xiàng)定義，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.
18.如圖，DE是△ABC的中位線，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F
(1)求證：EF=DE;
(2)若AC=BC，判斷四邊形ADCF的形狀.
【考點(diǎn)】LC：矩形的判定;KD：全等三角形的判定與性質(zhì);KX：三角形中位線定理.
【分析】(1)首先根據(jù)三角形的中位線定理得出AE=EC，然后根據(jù)CF∥BD得出∠ADE=∠F，繼而根據(jù)AAS證得△ADE≌△CFE，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推出EF=DE;
(2)首先證得四邊形ADCF是平行四邊形、四邊形DBCF也為平行四邊形，從而得到BC=DF，然后根據(jù)AC=BC得到AC=DE，從而得到四邊形ADCF是矩形.
【解答】解：(1)∵DE是△ABC的中位線，
∴E為AC中點(diǎn)，
∴AE=EC，
∵CF∥BD，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵ ，
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴DE=FE.
(2)解：四邊形ADCF是矩形.
∵DE=FE，AE=AC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四邊形DBCF為平行四邊形，
∴BC=DF，
∵AC=BC，
∴AC=DE，
∴四邊形ADCF是正方形.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理的知識(shí)，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，難度不大.
19.(10分)(2017•呼和浩特一模)為了解“足球進(jìn)校園”活動(dòng)開(kāi)展情況，某中學(xué)利用體育課進(jìn)行了定點(diǎn)射門(mén)測(cè)試，每人射門(mén)5次，所有班級(jí)測(cè)試結(jié)束后，隨機(jī)抽取了某班學(xué)生的射門(mén)情況作為樣本，對(duì)進(jìn)球的人數(shù)進(jìn)行整理后，繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，該班女生有22人，女生進(jìn)球個(gè)數(shù)的眾數(shù)為2，中位數(shù)為3.
女生進(jìn)球個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)表
進(jìn)球數(shù)(個(gè)) 人數(shù)
0 1
1 2
2 x
3 y
4 4
5 2
(1)求這個(gè)班級(jí)的男生人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并計(jì)算出扇形統(tǒng)計(jì)圖中進(jìn)2個(gè)球的扇形的圓心角度數(shù);
(2)寫(xiě)出女生進(jìn)球個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)表中x，y的值;
(3)若該校共有學(xué)生1880人，請(qǐng)你估計(jì)全校進(jìn)球數(shù)不低于3個(gè)的學(xué)生大約多少人?
【考點(diǎn)】VC：條形統(tǒng)計(jì)圖;V5：用樣本估計(jì)總體;VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖;W4：中位數(shù);W5：眾數(shù).
【分析】(1)根據(jù)進(jìn)球數(shù)為3個(gè)的人數(shù)除以占的百分比求出男生總?cè)藬?shù)即可;求出進(jìn)球數(shù)為4個(gè)的人數(shù)，以及進(jìn)球數(shù)為2個(gè)的圓心角度數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可;
(2)由題意得，x+y=22﹣1﹣2﹣4﹣2=13，由于女生進(jìn)球個(gè)數(shù)的眾數(shù)為2，中位數(shù)為3，于是得到結(jié)論;
(3)求出進(jìn)球數(shù)不低于3個(gè)的百分比，乘以1880即可得到結(jié)果.
【解答】解：(1)這個(gè)班級(jí)的男生人數(shù)為6÷24%=25(人)，
則這個(gè)班級(jí)的男生人數(shù)為25人;男生進(jìn)球數(shù)為4個(gè)的人數(shù)為25﹣(1+2+5+6+4)=7(人)，進(jìn)2個(gè)球的扇形圓心角度數(shù)為360°× =72°;
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示：
(2)由題意得，x+y=22﹣1﹣2﹣4﹣2=13，
∵n女生進(jìn)球個(gè)數(shù)的眾數(shù)為2，中位數(shù)為3，
∴x=7，y=6;
(3)根據(jù)題意得：47個(gè)學(xué)生中女生進(jìn)球個(gè)數(shù)為6+4+2=12;男生進(jìn)球數(shù)為6+7+4=17，
∴1880× =1160(人)，
則全校進(jìn)球數(shù)不低于3個(gè)的學(xué)生大約有1160人.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵.
20.如圖所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊有一點(diǎn)C，測(cè)得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行30米到達(dá)B處，測(cè)得C在B北偏西45°的方向上，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助該同學(xué)計(jì)算出這條河的寬度.(結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可)
【考點(diǎn)】TB：解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題.
【分析】作CE⊥AB于E.由題意可以假設(shè)CE=BE=x，在Rt△CAE中，求出AE，根據(jù)AB=AE﹣BE，列出方程即可解決問(wèn)題.
【解答】解：作CE⊥AB于E.
由題意：∠CAE=31°，∠CBE=45°，AB=30，
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，∠CBE=45°，
∴可以假設(shè)CE=BE=x，
在Rt△CAE中，∵∠CEA=90°，
∴AE= = ，
∵AB=AE﹣BE= ﹣x=30，
∴x= ，
答：這條河的寬度為 m.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形、方位角、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.
21.已知關(guān)于x的不等式組 有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并寫(xiě)出該不等式組的解集.
【考點(diǎn)】CB：解一元一次不等式組.
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集.
【解答】解：解不等式3x﹣a≥0，得：x≥ ，
解不等式 (x﹣2)>3x+4，得：x<﹣2，
由題意得： <﹣2，
解得：a<﹣6，
∴不等式組的解集為 ≤x<﹣2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.
22.在直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1(k≠0)與雙曲線y= (x>0)相交于點(diǎn)P(1，m)
(1)求k的值;
(2)若雙曲線上存在一點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x對(duì)稱，直線y=kx+1與x軸交于點(diǎn)A，求△APQ的面積.
【考點(diǎn)】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【分析】(1)將P的坐標(biāo)代入雙曲線中求出m的值，然后將P的坐標(biāo)代入直線解析式中求出k的值.
(2)求出P關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)Q，然后利用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用S△APQ=S△APB﹣S△AQB即可求出答案.
【解答】解：(1)將x=1代入y= ，
∴y=2，
∴P(1，2)
∴將P(1，2)代入y=kx+1
∴k=1，
(2)易知P(1，2)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為Q(2，1)
設(shè)直線PQ的解析式為：y=kx+b，
將P、Q的坐標(biāo)代入上式，
∴
解得：
∴直線PQ的解析式為：y=﹣x+3
∴令y=0代入y=﹣x+3
∴x=3，
∴S△APQ=S△APB﹣S△AQB
= ×4×(2﹣1)
=2
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法，本題屬于中等題型.
23.春節(jié)期間，某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，已知購(gòu)進(jìn)甲商品2件和乙商品3件共需270元;購(gòu)進(jìn)甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)商場(chǎng)決定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，為滿足市場(chǎng)需求，需購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，且甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍，請(qǐng)你求出獲利最大的進(jìn)貨方案，并求出最大利潤(rùn).
【考點(diǎn)】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用;9A：二元一次方程組的應(yīng)用;C9：一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題;
(2)根據(jù)題意可以得到利潤(rùn)與甲種商品的關(guān)系，由甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍，可以得到甲種商品的取值范圍，從而可以求得獲利最大的進(jìn)貨方案，以及最大利潤(rùn).
【解答】解：(1)設(shè)甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是x元、y元，
，
解得， ，
即甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是30元、70元;
(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種商品a件，獲利為w元，
w=(40﹣30)a+(90﹣70)(100﹣a)=﹣10a+2000，
∵a≥4(100﹣a)，
解得，a≥80，
∴當(dāng)a=80時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=1200，
即獲利最大的進(jìn)貨方案是購(gòu)買(mǎi)甲種商品80件，乙種商品20件，最大利潤(rùn)是1200元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答問(wèn)題.
24.如圖，已知：AB是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，取AD的中點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
求證：
(1)FC=FG;
(2)AB2=BC•BG.
【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì);M2：垂徑定理;MC：切線的性質(zhì).
【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得出EF⊥AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出FA=FD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FAD=∠D，證出∠DCB=∠G，由對(duì)頂角相等得出∠GCF=∠G，即可得出結(jié)論;
(2)連接AC，由圓周角定理證出AC是⊙O的直徑，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，證出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，證明△ABC∽△GBA，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論.
【解答】證明：(1)∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠D，
∵GB⊥AB，
∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠G，
∵∠DCB=∠GCF，
∴∠GCF=∠G
，∴FC=FG;
(2)連接AC，如圖所示：
∵AB⊥BG，
∴AC是⊙O的直徑，
∵FD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，
∴∠DCB=∠CAB，
∵∠DCB=∠G，
∴∠CAB=∠G，
∵∠CBA=∠GBA=90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴ = ，
∴AB2=BC•BG.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、弦切角定理等知識(shí);熟練掌握?qǐng)A周角定理和弦切角定理，證明三角形相似是解決問(wèn)題(2)的關(guān)鍵.
25.(10分)(2017•呼和浩特一模)拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且位于x軸下方.
(1)如圖1，若P(1，﹣3)，B(4，0).D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO=∠POB，且D與B分布位于直線OP的兩側(cè)，求點(diǎn)C與點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖2，A，B是拋物線y=ax2+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線PA，PB與y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 是否為定值?若是，試求出該定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由(記OA=OB=t)
【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案;根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)根據(jù)待定系數(shù)法，可得E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案.
【解答】解：(1)將P(1，﹣3)，B(4，0)代入y=ax2+c，得
，
解得 ，
拋物線的解析式為y= x2﹣ .
∴C(0，﹣ )
如圖1，
當(dāng)點(diǎn)D在OP左側(cè)時(shí)，
由∠DPO=∠POB，得
DP∥OB，
D與P關(guān)于y軸對(duì)稱，P(1，﹣3)，
得D(﹣1，﹣3);
(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)， 是定值，定值為2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q點(diǎn)，設(shè)P(m，am2+c)，A(﹣t，0)，B(t，0)，則at2+c=0，c=﹣at2.
∵PQ∥OF，
∴ = ，
∴OF= =﹣ = =amt+at2.
同理OE=﹣amt+at2.
∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC.
∴ =2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;②利用函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵;(2)利用待定系數(shù)法求出E、F點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
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