2017遼寧丹東中考數(shù)學(xué)模擬試卷(2)
2017遼寧丹東中考數(shù)學(xué)模擬試題答案
一、選擇題(每小題4分，共40分)
1.在﹣2，﹣5，5，0這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是( )
A.﹣2 B.﹣5 C.5 D.0
【考點(diǎn)】有理數(shù)大小比較.
【分析】有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0;②負(fù)數(shù)都小于0;③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可.
【解答】解：根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法，可得
﹣5<﹣2<0<5，
∴在﹣2，﹣5，5，0這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是﹣5.
故選：B.
2.據(jù)統(tǒng)計(jì)2014年我國(guó)高新技術(shù)產(chǎn)品出口總額40570億元，將數(shù)據(jù)40570億用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.4.0570×109 B.0.40570×1010 C.40.570×1011 D.4.0570×1012
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).本題中40570億，有13位整數(shù)，n=13﹣1=12.
【解答】解：40570億=4057000000000=4.057×1012，
故選D.
3.如圖，直線(xiàn)l1∥l2，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠1=50°，則∠BCD的度數(shù)為( )
A.50° B.45° C.40° D.30°
【考點(diǎn)】平行線(xiàn)的性質(zhì).
【分析】先依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可求得∠ABC的度數(shù)，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD的度數(shù).
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1=∠ABC=50°.
∵CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠CDB=90°.
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°.
∴∠BCD=40°.
故選：C.
4.不等式組﹣2≤x+1<1的解集，在數(shù)軸上表示正確的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集;解一元一次不等式組.
【分析】先求出不等式組的解集，再求出其公共解集，并在數(shù)軸上表示出來(lái)即可.
【解答】解：∵由題意可得 ，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x<0，
∴﹣3≤x<0，
在數(shù)軸上表示為：
.
故選：B.
5.過(guò)正方體上底面的對(duì)角線(xiàn)和下底面一頂點(diǎn)的平面截去一個(gè)三棱錐所得到的幾何體如圖所示，它的俯視圖為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.
【分析】俯視圖是從上向下看得到的視圖，結(jié)合選項(xiàng)即可作出判斷.
【解答】解：所給圖形的俯視圖是B選項(xiàng)所給的圖形.
故選B.
6.如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)處，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB.
【解答】解：過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D.
根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B.
在Rt△BCD中，tanB= = ，
∴tanB′=tanB= .
故選B.
7.下表是某校合唱團(tuán)成員的年齡分布
年齡/歲 13 14 15 16
頻數(shù) 5 15 x 10﹣x
對(duì)于不同的x，下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是( )
A.平均數(shù)、中位數(shù) B.眾數(shù)、中位數(shù)
C.平均數(shù)、方差 D.中位數(shù)、方差
【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)量的選擇;頻數(shù)(率)分布表.
【分析】由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為10，即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第15、16個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案.
【解答】解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為x+10﹣x=10，
則總?cè)藬?shù)為：5+15+10=30，
故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為14歲，中位數(shù)為： =14歲，
即對(duì)于不同的x，關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)，
故選：B.
8.已知一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)(1，﹣4)，(2，﹣2)兩點(diǎn)，在自變量x的某個(gè)取值范圍內(nèi)，都有函數(shù)值y隨x的增大而減小，則符合上述條件的函數(shù)可能是( )
A.正比例函數(shù) B.一次函數(shù) C.反比例函數(shù) D.二次函數(shù)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì);一次函數(shù)的性質(zhì);正比例函數(shù)的性質(zhì);反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)其性質(zhì)進(jìn)行判斷.
【解答】解：設(shè)一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，
由題意得， ，
解得， ，
∵k>0，
∴y隨x的增大而增大，
∴A、B錯(cuò)誤，
設(shè)反比例函數(shù)解析式為：y= ，
由題意得，k=﹣4，
k<0，
∴在每個(gè)象限，y隨x的增大而增大，
∴C錯(cuò)誤，
當(dāng)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，x>1時(shí)，y隨x的增大而減小.
故選：D.
9.某工廠二月份的產(chǎn)值比一月份的產(chǎn)值增長(zhǎng)了x%，三月份的產(chǎn)值又比二月份的產(chǎn)值增長(zhǎng)了x%，則三月份的產(chǎn)值比一月份的產(chǎn)值增長(zhǎng)了( )
A.2x% B.1+2x% C.(1+x%)x% D.(2+x%)x%
【考點(diǎn)】列代數(shù)式.
【分析】直接利用已知表示出三月份的產(chǎn)值，進(jìn)而表示出增長(zhǎng)率，即可得出答案.
【解答】解：設(shè)一月份的產(chǎn)值為a，則二月份的產(chǎn)值為：a(1+x%)，
故三月份的產(chǎn)值為：a(1+x%)2，
則三月份的產(chǎn)值比一月份的產(chǎn)值增長(zhǎng)了 ﹣1=(2+x%)x%.
故選：D.
10.如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b(a>b).在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE.則EF等于( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì).
【分析】依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的知識(shí)，可得出EF的長(zhǎng)度.
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，
∴ = ， = ， = ， = ，
∵AB=AC，
∴CD=CE，
解得：CD=CE= ，DE= ，EF= .
故選C.
二、填空題(每小題5分，共20分)
11.分解因式：m3n﹣4mn= mn(m﹣2)(m+2) .
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】先提取公因式mn，再利用平方差公式分解因式得出即可.
【解答】解：m3n﹣4mn
=mn(m2﹣4)
=mn(m﹣2)(m+2).
故答案為：mn(m﹣2)(m+2).
12.若函數(shù)y= 與y=x﹣2圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)(a，b)，則 ﹣ 的值為 ﹣2 .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，可得b= ，b=a﹣2，進(jìn)而得出ab=1，b﹣a=﹣2，即可求得 ﹣ = = =﹣2.
【解答】解：∵函數(shù)y= 與y=x﹣2圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)(a，b)，
∴b= ，b=a﹣2，
∴ab=1，b﹣a=﹣2，
∴ ﹣ = = =﹣2
故答案為﹣2.
13.一組數(shù)：2，1，3，x，7，y，23，…，滿(mǎn)足“從第三個(gè)數(shù)起，前兩個(gè)數(shù)依次為a、b，緊隨其后的數(shù)就是2a﹣b”，例如這組數(shù)中的第三個(gè)數(shù)“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么這組數(shù)中y表示的數(shù)為 ﹣9 .
【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi).
【分析】根據(jù)“從第三個(gè)數(shù)起，前兩個(gè)數(shù)依次為a、b，緊隨其后的數(shù)就是2a﹣b”，首先建立方程2×3﹣x=7，求得x，進(jìn)一步利用此規(guī)定求得y即可.
【解答】解：
解法一：常規(guī)解法
∵從第三個(gè)數(shù)起，前兩個(gè)數(shù)依次為a、b，緊隨其后的數(shù)就是2a﹣b
∴2×3﹣x=7
∴x=﹣1
則2×(﹣1)﹣7=y
解得y=﹣9.
解法二：技巧型
∵從第三個(gè)數(shù)起，前兩個(gè)數(shù)依次為a、b，緊隨其后的數(shù)就是2a﹣b
∴7×2﹣y=23
∴y=﹣9
故答案為：﹣9.
14.如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線(xiàn)EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論：
?、偎倪呅蜟FHE是菱形;②線(xiàn)段BF的取值范圍為3≤BF≤4;
③EC平分∠DCH;④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF=2
以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有 ①②④ .(填序號(hào))
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);菱形的判定;矩形的性質(zhì).
【分析】①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確;
?、邳c(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF=x，表示出AF=FC=8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF=CD，求出BF=4，然后寫(xiě)出BF的取值范圍，判斷出②正確;
?、鄹鶕?jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角線(xiàn)可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°時(shí)EC平分∠DCH，判斷出③錯(cuò)誤;
④過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確.
【解答】解：①∵FH與CG，EH與CF都是矩形ABCD的對(duì)邊AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四邊形CFHE是平行四邊形，
由翻折的性質(zhì)得，CF=FH，
∴四邊形CFHE是菱形，
故①正確;
?、邳c(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF=x，則AF=FC=8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=(8﹣x)2，
解得x=3，
點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴線(xiàn)段BF的取值范圍為3≤BF≤4，
故②正確;
?、?there4;∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°時(shí)EC平分∠DCH，
故③錯(cuò)誤;
過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，
則ME=(8﹣3)﹣3=2，
由勾股定理得，
EF= =2 ，
故④正確.
綜上所述，結(jié)論正確的有①②④.
故答案為：①②④.
三、解答題(本大題共2小題，每小題8分，共16分)
15.計(jì)算：﹣22﹣ +2cos45°+|1﹣ |
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】原式利用乘方的意義，二次根式性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=﹣4﹣2 +2× + ﹣1=﹣5.
16.如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(2，0)和(0，﹣4)，根據(jù)圖象求 的值.
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】先根據(jù)題意得出一次函數(shù)的解析式，求出k、b的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(2，0)和(0，﹣4)，
∴ ，解得 .
∵k2﹣2kb+b2=(k﹣b)2=(2+4)2=36，
∴ = =6.
四、解答題(本大題共2小題，每小題8分，共16分)
17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣4，3)、B(﹣3，1)、C(﹣1，3).
(1)請(qǐng)按下列要求畫(huà)圖：
?、賹ⅰ鰽BC先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度、再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到△A1B1C1，畫(huà)出△A1B1C1;
②△A2B2C2與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，畫(huà)出△A2B2C2.
(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)中心M點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換;作圖﹣平移變換.
【分析】(1)①根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可;
?、诟鶕?jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出A、B、C關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可;
(2)連接B1B2，C1C2，交點(diǎn)就是對(duì)稱(chēng)中心M.
【解答】解：(1)①△A1B1C1如圖所示;
②△A2B2C2如圖所示;
(2)連接B1B2，C1C2，得到對(duì)稱(chēng)中心M的坐標(biāo)為(2，1).
18.有甲、乙兩個(gè)不透明的盒子，甲盒子中裝有3張卡片，卡片上分別寫(xiě)著3cm、7cm、9cm;乙盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫(xiě)著2cm、4cm、6cm、8cm;盒子外有一張寫(xiě)著5cm的卡片.所有卡片的形狀、大小都完全相同.現(xiàn)隨機(jī)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出一張卡片，與盒子外的卡片放在一起，用卡片上標(biāo)明的數(shù)量分別作為一條線(xiàn)段的長(zhǎng)度.
(1)請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求這三條線(xiàn)段能組成三角形的概率;
(2)求這三條線(xiàn)段能組成直角三角形的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法;勾股定理的逆定理.
【分析】(1)首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與這三條線(xiàn)段能組成三角形的情況，再利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先由樹(shù)狀圖求得這三條線(xiàn)段能組成直角三角形的情況，然后直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：(1)畫(huà)樹(shù)狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，這三條線(xiàn)段能組成三角形的有7種情況，
∴這三條線(xiàn)段能組成三角形的概率為： ;
(2)∵這三條線(xiàn)段能組成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm;
∴這三條線(xiàn)段能組成直角三角形的概率為： .
五、解答題(本大題共2小題，每小題10分，共20分)
19.已知：如圖，斜坡AP的坡度為1：2.4，坡長(zhǎng)AP為26米，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P處測(cè)得該塔的塔頂B的仰角為45°，在坡頂A處測(cè)得該塔的塔頂B的仰角為76°.求：
(1)坡頂A到地面PQ的距離;
(2)古塔BC的高度(結(jié)果精確到1米).(參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題;解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題.
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PQ，垂足為點(diǎn)H，利用斜坡AP的坡度為1：2.4，得出AH，PH，AP的關(guān)系求出即可;
(2)利用矩形性質(zhì)求出設(shè)BC=x，則x+10=24+DH，再利用tan76°= ，求出即可.
【解答】解：(1)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PQ，垂足為點(diǎn)H.
∵斜坡AP的坡度為1：2.4，∴ = ，
設(shè)AH=5km，則PH=12km，
由勾股定理，得AP=13km.
∴13k=26m. 解得k=2.
∴AH=10m.
答：坡頂A到地面PQ的距離為10m.
(2)延長(zhǎng)BC交PQ于點(diǎn)D.
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ.
∴四邊形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH.
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD.
設(shè)BC=x，則x+10=24+DH.∴AC=DH=x﹣14.
在Rt△ABC中，tan76°= ，即 ≈4.0，
解得x= ，即x≈19，
答：古塔BC的高度約為19米.
20.如圖，點(diǎn)B、C、D都在⊙O上，過(guò)C點(diǎn)作CA∥BD交OD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=2 .
(1)求證：AC是⊙O的切線(xiàn);
(2)求由線(xiàn)段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
【考點(diǎn)】切線(xiàn)的判定;扇形面積的計(jì)算.
【分析】(1)連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠COA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OCA，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可;
(2)求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積，即可得出答案.
【解答】(1)證明：連接OC，交BD于E，
∵∠B=30°，∠B= ∠COD，
∴∠COD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠OCA=90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線(xiàn);
(2)解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，
∴∠OED=∠OCA=90°，
∴DE= BD= ，
∵sin∠COD= ，
∴OD=2，
在Rt△ACO中，tan∠COA= ，
∴AC=2 ，
∴S陰影= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ .
六、解答題(本題滿(mǎn)分12分)
21.如圖甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分別為B、P、D，且三個(gè)垂足在同一直線(xiàn)上，我們把這樣的圖形叫“三垂圖”.
(1)證明：AB•CD=PB•PD.
(2)如圖乙，也是一個(gè)“三垂圖”，上述結(jié)論成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)已知拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)(0，﹣3)，頂點(diǎn)為P，如圖丙所示，若Q是拋物線(xiàn)上異于A、B、P的點(diǎn)，使得∠QAP=90°，求Q點(diǎn)坐標(biāo).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得證;
(2)與(1)的證明思路相同;
(3)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，設(shè)AQ與y軸相交于D，然后求出PC、AC的長(zhǎng)，再根據(jù)(2)的結(jié)論求出OD的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AD的解析式，與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【解答】(1)證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴ = ，
∴AB•CD=PB•PD;
(2)AB•CD=PB•PD仍然成立.
理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠CDP=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴ = ，
∴AB•CD=PB•PD;
(3)設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)(0，﹣3)，
∴ ，
解得 ，
所以，y=x2﹣2x﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，﹣4)，
過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，設(shè)AQ與y軸相交于D，
則AO=1，AC=1+1=2，PC=4，
根據(jù)(2)的結(jié)論，AO•AC=OD•PC，
∴1×2=OD•4，
解得OD= ，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0， )，
設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y=kx+b(k≠0)，
則 ，
解得 ，
所以，y= x+ ，
聯(lián)立 ，
解得 ， (為點(diǎn)A坐標(biāo)，舍去)，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( ， ).
七、解答題(本題滿(mǎn)分12分)
22.某網(wǎng)店打出促銷(xiāo)廣告：最潮新款服裝50件，每件售價(jià)300元，若一次性購(gòu)買(mǎi)不超過(guò)10件時(shí)，售價(jià)不變;若一次性購(gòu)買(mǎi)超過(guò)10件時(shí)，每多買(mǎi)1件，所買(mǎi)的每件服裝的售價(jià)均降低2元.已知該服裝成本是每件200元，設(shè)顧客一次性購(gòu)買(mǎi)服裝x件時(shí)，該網(wǎng)店從中獲利y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(2)顧客一次性購(gòu)買(mǎi)多少件時(shí)，該網(wǎng)店從中獲利最多?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)題意可得出銷(xiāo)量乘以每臺(tái)利潤(rùn)進(jìn)而得出總利潤(rùn)，進(jìn)而得出答案;
(2)根據(jù)銷(xiāo)量乘以每臺(tái)利潤(rùn)進(jìn)而得出總利潤(rùn)，即可求出即可.
【解答】解：(1)y= ;
(2)在0≤x≤10時(shí)，y=100x，當(dāng)x=10時(shí)，y有最大值1000;
在10
當(dāng)x=30時(shí)，y取得最大值=1400，
∴顧客一次購(gòu)買(mǎi)30件時(shí)，該網(wǎng)站從中獲利最多.
八、解答題(本題滿(mǎn)分14分)
23.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A(﹣2，0)，點(diǎn)B(0，2)，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn).若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α.
(Ⅰ)如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，求AE′，BF′的長(zhǎng);
(Ⅱ)如圖②，當(dāng)α=135°時(shí)，求證AE′=BF′，且AE′⊥BF′;
(Ⅲ)若直線(xiàn)AE′與直線(xiàn)BF′相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題;三角形的外角性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】(1)利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長(zhǎng).
(2)運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問(wèn)題.
(3)首先找到使點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最大時(shí)點(diǎn)P的位置(點(diǎn)P與點(diǎn)D′重合時(shí))，然后運(yùn)用勾股定理及30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值.
【解答】解：(Ⅰ)當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E′與點(diǎn)F重合，如圖①.
∵點(diǎn)A(﹣2，0)點(diǎn)B(0，2)，
∴OA=OB=2.
∵點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)，
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，
∴OE′=OE=1，OF′=OF=1.
在Rt△AE′O中，
AE′= .
在Rt△BOF′中，
BF′= .
∴AE′，BF′的長(zhǎng)都等于 .
(Ⅱ)當(dāng)α=135°時(shí)，如圖②.
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°.
在△AOE′和△BOF′中，
，
∴△AOE′≌△BOF′(SAS).
∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′.
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴AE′⊥BF′.
(Ⅲ)∵∠BPA=∠BOA=90°，∴點(diǎn)P、B、A、O四點(diǎn)共圓，
∴當(dāng)點(diǎn)P在劣弧OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)隨著∠PAO的增大而增大.
∵OE′=1，∴點(diǎn)E′在以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓O上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，∠E′AO(即∠PAO)最大，
此時(shí)∠AE′O=90°，點(diǎn)D′與點(diǎn)P重合，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)達(dá)到最大.
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖③所示.
∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，
∴∠E′AO=30°，AE′= .
∴AP= +1.
∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，
∴PH= AP= .
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值為 .
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