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2017南寧數(shù)學(xué)中考模擬試卷及答案(2)

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  16.如圖,在小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC和△DEF的頂點都在格點上,根據(jù)圖形解答下列問題:

  (1)將△ABC向左平移4個單位長度,再向下平移2個單位長度,畫出平移后的△A1B1C1;

  (2)將△DEF繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△DE1F1.

  【考點】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換;作圖﹣平移變換.

  【分析】(1)根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出平移后的△A1B1C1即可;

  (2)根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)后的△DE1F1即可.

  【解答】解(1)如圖所示:△A1B1C1即為所求;

  (2)如圖所示:△DE1F1即為所求;

  四、(共2小題,滿分16分)

  17.某條道路上通行車輛限速為60千米/時,在離道路50米的點P處建一個監(jiān)測點,道路AB段為檢測區(qū)(如圖).在△ABP中,已知∠PAB=30°,∠PBA=45°,那么車輛通過AB段的時間在多少秒以內(nèi)時,可認定為超速(精確到0.1秒)?(參考數(shù)據(jù): ≈1.41, ≈1.73,60千米/時= 米/秒)

  【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

  【分析】作PC⊥AB于點C,根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC與BC的長,則AB即可求得,用AB的長除以速度即可求解.

  【解答】解:作PC⊥AB于點C.

  在直角△APC中,tan∠PAC= ,

  則AC= =50 ≈86.5(米),

  同理,BC= =PC=50(米),

  則AB=AC+BC≈136.5(米),

  60千米/時= 米/秒,

  則136.5÷ ≈8.2(秒).

  故車輛通過AB段的時間在8.2秒內(nèi)時,可認定為超速.

  18.如圖,我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”,已知點A、B、C、D分別是“果圓”與坐標軸的交點,AB為半圓的直徑,拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3,求這個“果圓”被y軸截得線段CD的長 3+  .

  【考點】二次函數(shù)綜合題.

  【分析】將x=0代入拋物線的解析式得y=﹣3,故此可得到DO的長,然后令y=0可求得點A和點B的坐標,故此可得到AB的長,由M為圓心可得到MC和OM的長,然后依據(jù)勾股定理可求得OC的長,最后依據(jù)CD=OC+OD求解即可.

  【解答】解:連接AC,BC.

  ∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3,

  ∴點D的坐標為(0,﹣3),

  ∴OD的長為3.

  設(shè)y=0,則0=x2﹣2x﹣3,解得:x=﹣1或3,

  ∴A(﹣1,0),B(3,0).

  ∴AO=1,BO=3,AB=4,M(1,0).

  ∴MC=2,OM=1.

  在Rt△COB中,OC= = .

  ∴CD=CO+OD=3+ ,即這個“果圓”被y軸截得的線段CD的長3+ .

  故答案為:3+ .

  五、(共2小題,滿分20分)

  19.某電視臺在它的娛樂性節(jié)目中每期抽出兩名場外幸運觀眾,有一期甲、乙兩人被抽為場外幸運觀眾,他們獲得了一次抽獎的機會,在如圖所示的翻獎牌的正面4個數(shù)字中任選一個,選中后翻開,可以得到該數(shù)字反面的獎品,第一個人選中的數(shù)字第二個人不能再選擇了.

  (1)如果甲先抽獎,那么甲獲得“手機”的概率是多少?

  (2)小亮同學(xué)說:甲先抽獎,乙后抽獎,甲、乙兩人獲得“手機”的概率不同,且甲獲得“手機”的概率更大些.你同意小亮同學(xué)的說法嗎?為什么?請用列表或畫樹狀圖分析.

  【考點】列表法與樹狀圖法.

  【分析】(1)一共有4種情況,手機有一種,除以總情況數(shù)即為所求概率;

  (2)列舉出所有情況,看所求的情況占總情況的多少即可.

  【解答】解:(1)第一位抽獎的同學(xué)抽中手機的概率是 ;

  (2)不同意.

  從樹狀圖中可以看出,所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共12種,而且這些情況都是等可能的.

  先抽取的人抽中手機的概率是 ;

  后抽取的人抽中手機的概率是 = .

  所以,甲、乙兩位同學(xué)抽中手機的機會是相等的.

  20.某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本,其中固定成本每年均為4萬元,可變成本逐年增長,已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2.6萬元,設(shè)可變成本平均每年增長的百分率為x.

  (1)用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為 2.6(1+x)2 萬元;

  (2)如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬元,求可變成本平均每年增長的百分率x.

  【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

  【分析】(1)根據(jù)增長率問題由第1年的可變成本為2.6萬元就可以表示出第二年的可變成本為2.6(1+x),則第三年的可變成本為2.6(1+x)2,故得出答案;

  (2)根據(jù)養(yǎng)殖成本=固定成本+可變成本建立方程求出其解即可

  【解答】解:(1)由題意,得

  第3年的可變成本為:2.6(1+x)2,

  故答案為:2.6(1+x)2;

  (2)由題意,得

  4+2.6(1+x)2=7.146,

  解得:x1=0.1,x2=﹣2.1(不合題意,舍去).

  答:可變成本平均每年增長的百分率為10%.

  六、(滿分12分)

  21.如圖,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,點D為三角形內(nèi)一點,且∠ACD=∠DAB=∠DBC.

  (1)求∠CDB的度數(shù);

  (2)求證:△DCA∽△DAB;

  (3)若CD的長為1,求AB的長.

  【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.

  【分析】(1)只要證明∠CDA=135°,∠ADB=135°即可解決問題.

  (2)根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可判定.

  (3)由△DCA∽△DAB,推出 = = = ,又CD=1,推出AD= ,DB=2.根據(jù)BC= ,求出BC,再在Rt△ABC中,求出AB即可解決問題.

  【解答】(1)解:∵△ABC為等腰直角三角形,

  ∴∠CAB=45°.

  又∵∠ACD=∠DAB,

  ∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°,

  ∴∠CDA=135°

  同理可得∠ADB=135°

  ∴∠CDB=360°﹣∠CDA﹣∠ADB=360°﹣135°﹣135°=90°.

  (2)證明:∵∠CDA=∠ADB,∠ACD=∠DAB,

  ∴△DCA∽△DAB

  (3)解:∵△DCA∽△DAB,

  ∴ = = = ,

  又∵CD=1,

  ∴AD= ,DB=2.

  又∵∠CDB=90°,

  ∴BC= = = ,

  在Rt△ABC中,∵AC=BC= ,

  ∴AB= = .

  七、(滿分12分)

  22.2016年里約奧運會,中國跳水隊贏得8個項目中的7塊金牌,優(yōu)秀成績的取得離不開艱辛的訓(xùn)練.某跳水運動員在進行跳水訓(xùn)練時,身體(看成一點)在空中的運動路線是如圖所示的一條拋物線,已知跳板AB長為2米,跳板距水面CD的高BC為3米,訓(xùn)練時跳水曲線在離起跳點水平距離1米時達到距水面最大高度k米,現(xiàn)以CD為橫軸,CB為縱軸建立直角坐標系.

  (1)當(dāng)k=4時,求這條拋物線的解析式;

  (2)當(dāng)k=4時,求運動員落水點與點C的距離;

  (3)圖中CE= 米,CF= 米,若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)(含點E,F(xiàn))入水時才能達到訓(xùn)練要求,求k的取值范圍.

  【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

  【分析】(1)根據(jù)拋物線頂點坐標M(3,4),可設(shè)拋物線解析為:y=a(x﹣3)2+4,將點A(2,3)代入可得;

  (2)在(1)中函數(shù)解析式中令y=0,求出x即可;

  (3)若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)(含點E,F(xiàn))入水達到訓(xùn)練要求,則在函數(shù)y=a(x﹣3)2+k中當(dāng)x= 米,y>0,當(dāng)x= 米時y<0,解不等式即可得.

  【解答】解:(1)如圖所示:

  根據(jù)題意,可得拋物線頂點坐標M(3,4),A(2,3)

  設(shè)拋物線解析為:y=a(x﹣3)2+4,

  則3=a(2﹣3)2+4,

  解得:a=﹣1,

  故拋物線解析式為:y=﹣(x﹣3)2+4;

  (2)由題意可得:當(dāng)y=0,則0=﹣(x﹣3)2+4,

  解得:x1=1,x2=5,

  故拋物線與x軸交點為:(5,0),

  當(dāng)k=4時,求運動員落水點與點C的距離為5米;

  (3)根據(jù)題意,拋物線解析式為:y=a(x﹣3)2+k,

  將點A(2,3)代入可得:a+k=3,即a=3﹣k

  若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)(含點E,F(xiàn))入水,

  則當(dāng)x= 時,y= a+k≥0,即 (3﹣k)+k≥0,

  解得:k≤ ,

  當(dāng)x= 時,y= a+k≤0,即 (3﹣k)+k≤0,

  解得:k≥ ,

  故 ≤k≤ .

  八、(滿分14分)

  23.[發(fā)現(xiàn)]如圖∠ACB=∠ADB=90°,那么點D在經(jīng)過A,B,C三點的圓上(如圖①)

  [思考]如圖②,如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(點C,D在AB的同側(cè)),那么點D還在經(jīng)過A,B,C三點的⊙O上嗎?

  我們知道,如果點D不在經(jīng)過A,B,C三點的圓上,那么點D要么在⊙O外,要么在⊙O內(nèi),以下該同學(xué)的想法說明了點D不在⊙O外.請結(jié)合圖④證明點D也不在⊙O內(nèi).

  【證】

  [結(jié)論]綜上可得結(jié)論,如果∠ACB=∠ADB=α(點C,D在AB的同側(cè)),那么點D在經(jīng)過A,B,C三點的圓上,即:A、B、C、D四點共圓.

  [應(yīng)用]利用上述結(jié)論解決問題:

  如圖⑤,已知△ABC中,∠C=90°,將△ACB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α度(α為銳角)得△ADE,連接BE、CD,延長CD交BE于點F;

  (1)用含α的代數(shù)式表示∠ACD的度數(shù);

  (2)求證:點B、C、A、F四點共圓;

  (3)求證:點F為BE的中點.

  【考點】圓的綜合題.

  【分析】【思考】【證】如圖1,假設(shè)點D在⊙O內(nèi),延長AD交⊙O于點E,連接BE,則∠AEB=∠ACB,根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠ADB>∠AEB,于是得到∠ADB>∠ACB,于是得到結(jié)論;

  【應(yīng)用】(1)由題意可知,AC=AD,∠CAD=α,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到∠ACD=90°﹣ ;

  (2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABE=90°﹣ α,同時代的∠ACD=∠ABE,即可得到結(jié)論;

  (3)由B、C、A、F四點共圓,得到∠BFA+∠BCA=180°,推出AF⊥BE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

  【解答】【思考】【證】如圖1,假設(shè)點D在⊙O內(nèi),延長AD交⊙O于點E,連接BE,則∠AEB=∠ACB,

  ∵∠ADB是△BDE的外角,

  ∴∠ADB>∠AEB,

  ∴∠ADB>∠ACB,

  因此,∠ADB>∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾,

  ∴點D也不在⊙O內(nèi),

  ∴點D即不在⊙O內(nèi),也不在⊙O外,點D在⊙O上;

  【應(yīng)用】(1)由題意可知,AC=AD,∠CAD=α,

  ∴∠ACD=90°﹣ ;

  (2)∵AB=AE,∠BAE=α,∴∠ABE=90°﹣ α,∴∠ACD=∠ABE,

  ∴B、C、A、F四點共圓;

  (3)∵B、C、A、F四點共圓,

  ∴∠BFA+∠BCA=180°,

  又∵∠ACB=90°,

  ∴∠BFA=90°,

  ∴AF⊥BE,

  ∵AB=AE,

  ∴BF=EF,

  即點F為BE的中點.

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