2017年廣東省數(shù)學(xué)中考模擬試題(2)
∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°.
在Rt△ACP中，
∵∠ACP=90°，∠APC=30°，
∴AC= AP=50，PC= AC=50 .
在Rt△BPC中，
∵∠BCP=90°，∠BPC=45°，
∴BC=PC=50 .
∴AB=AC+BC=50+50 ≈50+50×1.732≈136.6(米).
答：景點(diǎn)A與B之間的距離大約為136.6米.
四、解答題(二)(每題7分，共21分)
20.“3•15”前夕，為了解食品安全狀況，質(zhì)監(jiān)部門抽查了甲、乙、丙、丁四個(gè)品牌飲料的質(zhì)量，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成圖1和圖2兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，完成下列問(wèn)題：
(1)這次抽查了四個(gè)品牌的飲料共 200 瓶;
(2)請(qǐng)你在答題卡上補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計(jì)圖;
(3)求圖1中“甲”品牌所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);
(4)若四個(gè)品牌飲料的平均合格率是95%，四個(gè)品牌飲料月銷售量約20萬(wàn)瓶，請(qǐng)你估計(jì)這四個(gè)品牌的不合格飲料有多少瓶?
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖;用樣本估計(jì)總體;扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)根據(jù)乙的瓶數(shù)40，所占比為20%，即可求出這四個(gè)品牌的總瓶數(shù);
(2)根據(jù)丁品牌飲料的瓶數(shù)70，總瓶數(shù)是200，即可求出丁所占的百分比，再用整體1減去其它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以總瓶數(shù)，即可得出丙的瓶數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;
(3)根據(jù)甲所占的百分比，再乘以360°，即可得出答案;
(4)用月銷售量×(1﹣平均合格率)即可得到四個(gè)品牌的不合格飲料的瓶數(shù).
【解答】解：(1)四個(gè)品牌的總瓶數(shù)是：
40÷20%=200(瓶);
(2)丁所占的百分比是： ×100%=35%，
丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%，
則丙的瓶數(shù)是：200×15%=30(瓶);
：
(3)甲所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是：30%×360°=108°;
(4)根據(jù)題意得：200000×(1﹣95%)=10000(瓶).
答：這四個(gè)品牌的不合格飲料有10000瓶.
故答案為：200.
21.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)空調(diào)安裝隊(duì)分別為A、B兩個(gè)公司安裝空調(diào)，甲安裝隊(duì)為A公司安裝66臺(tái)空調(diào)，乙安裝隊(duì)為B公司安裝80臺(tái)空調(diào)，乙安裝隊(duì)提前一天開工，最后與甲安裝隊(duì)恰好同時(shí)完成安裝任務(wù).已知甲隊(duì)比乙隊(duì)平均每天多安裝2臺(tái)空調(diào)，求甲、乙兩個(gè)安裝隊(duì)平均每天各安裝多少臺(tái)空調(diào).
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)甲安裝隊(duì)每天安裝x臺(tái)空調(diào)，則乙安裝隊(duì)每天安裝(x﹣2)臺(tái)空調(diào)，根據(jù)乙隊(duì)比甲隊(duì)多用時(shí)間一天為等量關(guān)系建立方程求出其解即可.
【解答】解：設(shè)甲安裝隊(duì)每天安裝x臺(tái)空調(diào)，則乙安裝隊(duì)每天安裝(x﹣2)臺(tái)空調(diào)，由題意，得
，
解得：x1=22，x2=﹣6.
經(jīng)檢驗(yàn)，x1=22，x2=﹣6都是原方程的根，x=﹣6不符合題意，舍去.
∴x=22，
∴乙安裝隊(duì)每天安裝22﹣2=20臺(tái).
答：甲安裝隊(duì)每天安裝22臺(tái)空調(diào)，則乙安裝隊(duì)每天安裝20臺(tái)空調(diào).
22.，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，DE⊥BC，垂足為E.
(1)求證：DE是⊙O的切線;
(2)若DG⊥AB，垂足為點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，∠A=35°，⊙O半徑為5，求劣弧DG的長(zhǎng).(結(jié)果保留π)
【考點(diǎn)】切線的判定;弧長(zhǎng)的計(jì)算.
【分析】(1)連接BD，OD，求出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線判定推出即可;
(2)求出∠BOD=∠GOB，求出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可.
【解答】(1)證明：1，連接BD、OD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴DO∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O切線;
(2)解：2所示，連接OG，OD
∵DG⊥AB，OB過(guò)圓心O，
∴弧BG=弧BD，
∵∠A=35°，
∴∠BOD=2∠A=70°，
∴∠BOG=∠BOD=70°，
∴∠GOD=140°，
∴劣弧DG的長(zhǎng)是 = π.
五、解答題(三)(每題9分，共27分)
23.，直線AB與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，﹣2).
(1)求直線AB的解析式;
(2)若直線AB上的點(diǎn)C在第一象限，且S△BOC=2，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【分析】(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A(1，0)、點(diǎn)B(0，﹣2)分別代入解析式即可組成方程組，從而得到AB的解析式;
(2)根據(jù)三角形的面積公式和直線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求解.
【解答】解：(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0)，
∵直線AB過(guò)點(diǎn)A(1，0)、點(diǎn)B(0，﹣2)，
∴ ，
解得 ，
∴直線AB的解析式為y=2x﹣2;
(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，n)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式為y= ，
∵點(diǎn)C在第一象限，
∴S△BOC= ×2×m=2，
解得：m=2，
∴n=2×2﹣2=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，2)，
則a=2×2=4，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式為y= .
24.1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H.
(1)求證：CF=CH;
(2)2，△ABC不動(dòng)，將△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°時(shí)，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形?并證明你的結(jié)論.
【考點(diǎn)】菱形的判定;全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)要證明CF=CH，可先證明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH;
(2)根據(jù)△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形，由AC=CD判斷出四邊形ACDM是菱形.
【解答】(1)證明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°.
在△BCF和△ECH中， ，
∴△BCF≌△ECH(ASA)，
∴CF=CH(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等);
(2)解：四邊形ACDM是菱形.
證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=∠2=45°.
∵∠E=45°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，
又∵∠A=∠D=45°，
∴四邊形ACDM是平行四邊形(兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形)，
∵AC=CD，
∴四邊形ACDM是菱形.
25.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC= ，點(diǎn)O是AB邊上動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O與邊BC的另一交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，交⊙O于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE、AE
(1)當(dāng)AE∥BC((1))時(shí)，求⊙O的半徑長(zhǎng);
(2)設(shè)BO=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域;
(3)若以A為圓心的⊙A與⊙O有公共點(diǎn)D、E，當(dāng)⊙A恰好也過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求DE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】圓的綜合題;全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);勾股定理;平行四邊形的判定與性質(zhì);銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BD于G，設(shè)AB與DE的交點(diǎn)為F，(1)，易證△AEF≌△BDF及四邊形AEDC是平行四邊形，從而可得BD=DC=5，根據(jù)垂徑定理可得BG=DG= BD= ，然后在Rt△BGO中運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理即可求出⊙O的半徑長(zhǎng);
(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，(2)，運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理及面積法可求出AC、AB、AH、BH、CH，根據(jù)垂徑定理可得DF=EF，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=AD.然后在Rt△BGO中運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理可求出BG(用x的代數(shù)式表示)，進(jìn)而可用x的代數(shù)式依次表示出BD、DH，AD、AE，問(wèn)題得以解決;
(3)①若點(diǎn)D在H的左邊，(2)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DH=CH，從而依次求出BD、DF、DE的長(zhǎng);②若點(diǎn)D在H的右邊，則點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，從而可依次求出BD、DF、DE的長(zhǎng).
【解答】解：(1)過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BD于G，設(shè)AB與DE的交點(diǎn)為F，(1)，
根據(jù)垂徑定理可得BG=DG.
∵AE∥BC，∴∠AEF=∠BDF.
在△AEF和△BDF中，
，
∴△AEF≌△BDF，
∴AE=BD.
∵∠BFD=∠BAC=90°，
∴DE∥AC.
∵AE∥BC，
∴四邊形AEDC是平行四邊形，
∴AE=DC，
∴BD=DC= BC=5，
∴BG=DG= BD= .
在Rt△BGO中，
tan∠OBG= = ，
∴OG= BG= × = ，
∴OB= = = ，
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為 ;
(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，(2)，
在Rt△BAC中，
tan∠ABC= = ，
設(shè)AC=3k，則AB=4k，
∴BC=5k=10，
∴k=2，
∴AC=6，AB=8，
∴AH= = = ，
∴BH= = = ，
∴HC=BC﹣BH=10﹣ = .
∵AB⊥DE，
∴根據(jù)垂徑定理可得DF=EF，
∴AB垂直平分DE，
∴AE=AD.
在Rt△BGO中，
tan∠OBG= = ，
∴OG= BG，
∴OB= = = BG=x，
∴BG= x，
∴BD=2BG= ，
∴DH=BH﹣BD= ﹣ x，
∴y=AE=AD=
=
=
= (0
(3)①若點(diǎn)D在H的左邊，(2)，
∵AD=AC，AH⊥DC，
∴DH=CH= ，
∴BD=BH﹣DH= ﹣ = .
在Rt△BFD中，
tan∠FBD= = ，
∴BF= DF，
∴BD=
=
= DF= ，
∴DF= ，
∴DE=2DF= ;
?、谌酎c(diǎn)D在H的右邊，
則點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，
∴BD=BC=10，
∴ DF=10，
∴DF=6，
∴DE=2DF=12.
綜上所述：當(dāng)⊙A恰好也過(guò)點(diǎn)C時(shí)，DE的長(zhǎng)為 或12.
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