摘要：培養(yǎng)和提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，是中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的迫切要求。本文對(duì)高
中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)進(jìn)行了探討。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題；數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；學(xué)生
作者簡(jiǎn)介：文興奎，任教于甘肅臨洮二中。
培養(yǎng)和提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，是中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的迫切要求，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的始終都應(yīng)注重學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。近年來(lái)高考中，對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的考查逐年增大了。
一、高中數(shù)學(xué)教材中的應(yīng)用問(wèn)題
1.每一章的序言都編排了一個(gè)現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用問(wèn)題，引入該章的知識(shí)內(nèi)容，以突出知識(shí)的實(shí)際背景。如在第三章《數(shù)列》以趣味話題：“國(guó)王對(duì)國(guó)際象棋棋盤發(fā)明者獎(jiǎng)勵(lì)的麥粒數(shù) ”的計(jì)算作為章頭序言，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望，增加教材內(nèi)容的趣味性。
在教材的編排上，既用通俗易懂的語(yǔ)言陳述問(wèn)題，又附以插圖增強(qiáng)直觀形象性、趣味性。
2.在研究“具體問(wèn)題”時(shí)以實(shí)際例子引入課題
高中數(shù)學(xué)的十章內(nèi)容中，分別就概念引入、實(shí)例說(shuō)明、數(shù)學(xué)表示等方面有三十一處都恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了實(shí)際問(wèn)題和具體情景。如用“不同重量信件的郵資問(wèn)題”表示分段函數(shù)，用功和位移的關(guān)系引入向量數(shù)量積的概念等。實(shí)例引入增強(qiáng)了問(wèn)題的實(shí)際背景，為順利解決問(wèn)題作了鋪墊。
3.例題中的應(yīng)用問(wèn)題
例題中安排應(yīng)用問(wèn)題，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，而且通過(guò)范例講解，使學(xué)生掌握解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思想和方法。新教材的十章內(nèi)容中共有 41 個(gè)例題是涉及數(shù)學(xué)應(yīng)用的，占例題總數(shù)的14.6%，它們都非常接近學(xué)生的生活實(shí)際和所學(xué)知識(shí)，難易適中，示范性強(qiáng)。
4.練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題中增加了應(yīng)用問(wèn)題的分量
為使學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，逐步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，新教材在練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題中增加了大量的應(yīng)用問(wèn)題，其中練習(xí)題有45題，占總數(shù)的12.4%；習(xí)題有 105題，占總數(shù)的18.15%；復(fù)習(xí)題有50題，占總數(shù)的14.91%。分別涉及增長(zhǎng)率、行程問(wèn)題、物理、化學(xué)、生物問(wèn)題、儲(chǔ)蓄等各個(gè)方面，量大面寬，情景新穎，融知識(shí)性、趣味性、自主實(shí)踐性于一體。
二、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題問(wèn)題的教學(xué)實(shí)踐
高中學(xué)生年齡一般在15~17周歲，他們認(rèn)識(shí)過(guò)程的各種心理成份雖已接近成人的水平，但智力活動(dòng)帶有明顯的隨意性，其抽象思維從“經(jīng)驗(yàn)型”向“理論型”急劇轉(zhuǎn)化，能夠逐步擺脫具體形象和直接經(jīng)驗(yàn)的限制，借助于概念進(jìn)行合乎邏輯的抽象思維活動(dòng)，開始在教師幫助下獨(dú)立地搜集事實(shí)材料，進(jìn)行分析綜合，抽象概括事物的本質(zhì)屬性。因此，應(yīng)結(jié)合學(xué)生的心理特點(diǎn)和思維規(guī)律進(jìn)行應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)。
1.重視基本方法和基本解題思想的滲透與訓(xùn)練
為培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，教學(xué)中首先應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題，教給學(xué)生解答應(yīng)用題的基本方法、步驟和建模過(guò)程、建模思想。
教學(xué)應(yīng)用題的常規(guī)思路是：將實(shí)際問(wèn)題抽象、概括、轉(zhuǎn)化——數(shù)學(xué)問(wèn)題——解決數(shù)學(xué)問(wèn)題——回答實(shí)際問(wèn)題。具體可按以下程序進(jìn)行：
(1)審題：由于數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及實(shí)際問(wèn)題非數(shù)學(xué)情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問(wèn)題，舍棄與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的因素，抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系。為此，引導(dǎo)學(xué)生從粗讀到細(xì)研，冷靜、縝密地閱讀題目，明確問(wèn)題中所含的量及相關(guān)量的數(shù)學(xué)關(guān)系。對(duì)學(xué)生生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化。
(2)建模：明白題意后，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析題目中各量的特點(diǎn)，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數(shù)式表示，它們之間存在著怎樣的聯(lián)系？將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言，找到與此相聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)，建成數(shù)學(xué)模型。
(3)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，得出數(shù)學(xué)結(jié)論
(4)還原：將得到的結(jié)論，根據(jù)實(shí)際意義適當(dāng)增刪，還原為實(shí)際問(wèn)題。
例：某城市現(xiàn)有人口總數(shù)100萬(wàn)人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%，寫出該城市人口總數(shù)y(人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式：
這是一道人口增長(zhǎng)率問(wèn)題，教學(xué)時(shí)為幫助學(xué)生審題，筆者在指導(dǎo)學(xué)生閱讀題時(shí)提出以下要求：
(1)粗讀，題目中涉及到哪些關(guān)鍵語(yǔ)句，哪些有用信息？解釋“年自然增長(zhǎng)率”的詞義，指出：城市現(xiàn)有人口、年份、增長(zhǎng)率，城市變化后的人口數(shù)等關(guān)鍵量。
(2)細(xì)想，問(wèn)題中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎樣的關(guān)系？
(3)建模，啟發(fā)學(xué)生分析這道題與學(xué)過(guò)的、見過(guò)的哪些問(wèn)題有聯(lián)系，它們是如何解決的？對(duì)此有何幫助？
學(xué)生討論后，從特殊的1年、2年……抽象歸納，尋找規(guī)律，探討x年的城市總?cè)丝趩?wèn)題：y=100(1+1.2%)x
2.引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行歸類
為了增強(qiáng)學(xué)生的建模能力，在應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)中，及時(shí)結(jié)合所學(xué)章節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行歸類使學(xué)生掌握熟悉的實(shí)際原型，發(fā)揮“定勢(shì)思維”的積極作用，可順利解決數(shù)學(xué)建模的困難，如將高中的應(yīng)用題歸為：①增長(zhǎng)率(或減少率)問(wèn)題；②行程問(wèn)題；③合力的問(wèn)題；④排列組合問(wèn)題；⑤最值問(wèn)題；⑥概率問(wèn)題等。這樣，學(xué)生遇到應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，針對(duì)問(wèn)題情景，就可以通過(guò)類比尋找記憶中與題目相類似的實(shí)際事件，利用聯(lián)想建立數(shù)學(xué)模型。
3.針對(duì)不同內(nèi)容采取不同教法
高中新教材的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題遍及教材的各個(gè)方面，教學(xué)時(shí)針對(duì)不同內(nèi)容，有的放矢，各有側(cè)重，就會(huì)取得較好的效果。
(1)章頭序言，指導(dǎo)閱讀，留下懸念
對(duì)圖文并茂的章頭序言，由教師簡(jiǎn)單提出或由學(xué)生閱讀，使學(xué)生稍作碰壁，留下解題懸念，增強(qiáng)解決問(wèn)題的欲望。
(2)重視例題的示范作用
例題是連接理論知識(shí)與問(wèn)題之間的橋梁，示范性強(qiáng)。因此在講解例題時(shí)應(yīng)在分析題目各個(gè)量的特點(diǎn)關(guān)系、建模、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、還原為實(shí)際問(wèn)題諸環(huán)節(jié)都應(yīng)很好地起示范作用，教師應(yīng)重視例題的分析與講解，積極進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、尋求基本實(shí)際模型的能力，重視數(shù)學(xué)理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用的聯(lián)系。
(3)指導(dǎo)練習(xí)，鞏固方法
充分運(yùn)用課本的練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題，讓學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。練習(xí)題位于具體的理論知識(shí)后面，建模方向性強(qiáng)，教師只需稍作指導(dǎo)；而習(xí)題則更多利用教師批改作業(yè)的機(jī)會(huì)，主要糾正數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化過(guò)程及解題的規(guī)范過(guò)程；復(fù)習(xí)題由于綜合性強(qiáng)，學(xué)生解決有困難，教師要給予必要的指導(dǎo)、提示。
(4)課外閱讀，補(bǔ)充提高
對(duì)于不作教學(xué)要求的閱讀材料，根據(jù)教學(xué)進(jìn)度提出閱讀要求，布置學(xué)生進(jìn)行課外閱讀，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，擴(kuò)大知識(shí)面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
(5)研究性課題，重視自主探究
“研究性課題”是新教材中的一個(gè)專題性欄目，具有探究性和應(yīng)用性的特點(diǎn)，它既是所學(xué)內(nèi)容的實(shí)際綜合應(yīng)用，又對(duì)學(xué)生探究和解決問(wèn)題具有較好的訓(xùn)練價(jià)值。
總之，在數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)和對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)中，應(yīng)重視介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈。
一般情況下，數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生不外乎實(shí)際的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要，高中階段所學(xué)的知識(shí)大都是來(lái)源于實(shí)際生活，許多數(shù)學(xué)知識(shí)都有具體直接的應(yīng)用，如高二運(yùn)用不等式的性質(zhì)計(jì)算最值、線性規(guī)劃，高三的概率統(tǒng)計(jì)等，應(yīng)該讓學(xué)生充分實(shí)踐和體驗(yàn)這些知識(shí)是如何使用的，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。
其次，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述周圍世界中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象
數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以清楚、簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地描述日常生活中的許多現(xiàn)象，讓學(xué)生養(yǎng)成樂意運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的習(xí)慣，既可以增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，也可以提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。在教學(xué)中，需幫助學(xué)生形成一個(gè)開闊的視野，了解數(shù)學(xué)對(duì)于人類發(fā)展的應(yīng)用價(jià)值。在知識(shí)實(shí)踐、能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)主動(dòng)地向?qū)W生展示現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，向?qū)W生提供豐富的閱讀材料，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)知識(shí)是密切相關(guān)、處處聯(lián)系的。
最后，關(guān)于應(yīng)用問(wèn)題中的算法問(wèn)題。新教材要求用科學(xué)計(jì)算器處理、計(jì)算數(shù)值，在例題、習(xí)題中給出的數(shù)據(jù)都比較復(fù)雜，筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的重點(diǎn)是數(shù)學(xué)建模，所以，正確建模，明白算法、算理應(yīng)占主流，一味追求“實(shí)際”，多次出現(xiàn)一些復(fù)雜數(shù)據(jù)，會(huì)沖淡主要問(wèn)題的解決。事實(shí)上，每節(jié)中只要有一兩道實(shí)際數(shù)據(jù)的題目，其他的可選擇特殊數(shù)據(jù)或干脆用字母表示，不僅可突出算理，而且會(huì)加強(qiáng)應(yīng)用問(wèn)題的分析，節(jié)省時(shí)間，體現(xiàn)字母代數(shù)的優(yōu)越性。