一、啟發(fā)式教學(xué)模式是數(shù)學(xué)教學(xué)基本原則——啟發(fā)性原則的具體體現(xiàn)
　　 它作用于各個(gè)具體教學(xué)過(guò)程之中，也就是說(shuō)，哪里有教學(xué)，哪里就有啟發(fā)式模式的運(yùn)用。
　　 啟發(fā)式教學(xué)模式是自古以來(lái)各國(guó)、各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐證明的基本教學(xué)模式。簡(jiǎn)要地說(shuō)，啟發(fā)式教學(xué)模式就是教師不直接地把現(xiàn)成的知識(shí)傳授給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生自己獨(dú)立地去發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的結(jié)果的教學(xué)模式。
　　 啟發(fā)式教學(xué)模式也充分體現(xiàn)了發(fā)展性原則，它是學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中發(fā)揮主動(dòng)性、創(chuàng)造性的基本模式之一。
　　 具體操作程序：教師提出某一個(gè)學(xué)習(xí)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生解決它，并從中獲取解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)(即知識(shí)與思想方法)；然后教師再提出一些與前述問(wèn)題有關(guān)的問(wèn)題，進(jìn)一步引導(dǎo)，逐步解決，從而形成整體經(jīng)驗(yàn)。
　　 二、啟發(fā)式教學(xué)模式的實(shí)施
　　 (1)啟發(fā)式教學(xué)模式實(shí)施的根本要求是要組織好學(xué)生，也就是要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與啟發(fā)活動(dòng)的積極性，通過(guò)預(yù)先評(píng)價(jià)的方法將學(xué)生從事發(fā)現(xiàn)時(shí)所需要的知識(shí)在其腦子里組織起來(lái)，并使學(xué)生按引導(dǎo)的方向進(jìn)行腦力活動(dòng)和思維操作。
　　 (2)啟發(fā)式教學(xué)模式在具體實(shí)施時(shí)有不同的啟發(fā)方式：
　　 ①歸納啟發(fā)式。
　　 歸納啟發(fā)式是以歸納過(guò)程為支配地位的一種啟發(fā)方式，其顯著特點(diǎn)是從具體到概括或者是從特殊到一般。在歸納啟發(fā)作用下，學(xué)習(xí)者運(yùn)用直觀法(和一些邏輯方法)把他所觀察到的一些具體事例、有關(guān)條件、技巧或者解題方法的共同性質(zhì)加以概括，形成新知。
　　 歸納啟發(fā)式是一種應(yīng)用比較廣泛的方法，如概念、原理、公式、法則都可以通過(guò)若干個(gè)具體例子來(lái)啟發(fā)發(fā)現(xiàn)。在運(yùn)用歸納啟發(fā)式教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)確實(shí)讓學(xué)生得到所有必要的具體情況，使他們能有所發(fā)現(xiàn)并進(jìn)行恰當(dāng)?shù)母爬?，?yīng)當(dāng)給每個(gè)概括提供多個(gè)不同的例子，使這種概括得到充分說(shuō)明。并且，為了避免不恰當(dāng)?shù)母爬ǎ€應(yīng)有反面的例子。
　　 ②演繹啟發(fā)式。
　　 演繹啟發(fā)式是以演繹過(guò)程為支配地位的一種啟發(fā)方式。其特點(diǎn)是從概括到具體或者是從一般到特殊。在演繹啟發(fā)式的作用下，學(xué)習(xí)者運(yùn)用邏輯方法(和一些直觀方式)去構(gòu)成一個(gè)以抽象概念和其他概括為基礎(chǔ)的概括。
　　 演繹啟發(fā)式首先指明欲解決或必須解決的問(wèn)題，使學(xué)生產(chǎn)生自己的問(wèn)題空間，然后運(yùn)用預(yù)先評(píng)價(jià)方法確定學(xué)生是否具備進(jìn)行演繹啟發(fā)所必要的技能、知識(shí)、概念及原理，這可以通過(guò)全班討論等方式進(jìn)行，然后著手引導(dǎo)演繹。演繹啟發(fā)式比較適合于從定義、公理和其他定理推導(dǎo)出新定理或組織新定理的證明，對(duì)學(xué)生要求也比較高，因?yàn)檠堇[需要運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯和抽象概括。演繹啟發(fā)比歸納啟發(fā)需要更多的時(shí)間，更易于陷入困境，這時(shí)教師應(yīng)給予適當(dāng)提示(引導(dǎo)性問(wèn)題或其他暗示)。
　　 例如，講過(guò)三角函數(shù)的定義后，可以演繹啟發(fā)學(xué)生得到三角函數(shù)的關(guān)系。首先就應(yīng)表明目的：尋找各三角函數(shù)之間可能存在的關(guān)系，若中間發(fā)現(xiàn)不了平方關(guān)系，教師可給予暗示，讓學(xué)生注意關(guān)系式 。
③類比啟發(fā)式。
　　類比啟發(fā)式是借助類比思維進(jìn)行啟發(fā)的一種方式。其特點(diǎn)是學(xué)生的認(rèn)識(shí)活動(dòng)是以確定各種對(duì)象或者現(xiàn)象之間在某些特征或關(guān)系上的相似為基礎(chǔ)的。它既不是從概括到具體，也不是從具體到概括，而是從相似的一方到另一方，是從具體到具體，從特殊到特殊。
　　 類比啟發(fā)式是一種很重要的啟發(fā)方式，它要求教師首先要給學(xué)生引導(dǎo)出所要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象的類比物(依據(jù)某類相似性)，進(jìn)而設(shè)置問(wèn)題情境，激發(fā)并組織學(xué)生運(yùn)用類比進(jìn)行探索活動(dòng)，引導(dǎo)他們尋找相似的現(xiàn)象、屬性和性質(zhì)，查明結(jié)構(gòu)的相似性，進(jìn)而進(jìn)入類比推理，建立假設(shè)，并加以檢驗(yàn)?？捎糜陬惐葐l(fā)的內(nèi)容很多，如分式的性質(zhì)可由分?jǐn)?shù)類比出來(lái)：
　　 第一步啟發(fā)：提供已知的類比結(jié)構(gòu)。
　　 師問(wèn)：（1） ；（2） 。
這兩個(gè)等式是怎樣從左到右的?應(yīng)用了什么性質(zhì)?　　
　　 生答：(略)
　　 第二步啟發(fā)：發(fā)現(xiàn)未知的知識(shí)結(jié)構(gòu)。
　　 師問(wèn)：在分?jǐn)?shù)的加減乘除運(yùn)算中，我們用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來(lái)通分或約分，那么，在分式的運(yùn)算中也需要通分或約分，分式有什么性質(zhì)?
　　 生答：(略)
　　 第三步啟發(fā)：應(yīng)用新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，進(jìn)行思維同化。
　　 師問(wèn)：(1) ；（2） 。
這兩個(gè)等式是怎樣從左到右的?應(yīng)用了什么性質(zhì)?　　
　　 生答：(略)。
　　 同樣地，等比數(shù)列的性質(zhì)可由等差數(shù)列類比，立體幾何中許多定理可由平面幾何類比出來(lái)等。
　　 ④實(shí)驗(yàn)啟發(fā)式
　　 數(shù)學(xué)雖非實(shí)驗(yàn)科學(xué)，但觀察和實(shí)驗(yàn)同樣可以用來(lái)說(shuō)明所研究的對(duì)象的某一數(shù)學(xué)性質(zhì)或者對(duì)象本身，可以用來(lái)判斷所研究的性質(zhì)是否正確，從這個(gè)意義上說(shuō)，觀察和實(shí)驗(yàn)對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的意義。1986年國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)也提出“有必要去選擇那些鼓勵(lì)和促進(jìn)實(shí)驗(yàn)方法的數(shù)學(xué)課題或領(lǐng)域”。的確，有些課題從實(shí)驗(yàn)入手引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論是很有效的。如“三角形內(nèi)角和定理”(度量、拼補(bǔ)或旋轉(zhuǎn))。學(xué)生可以通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究問(wèn)題，如探索數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則等，并且通過(guò)對(duì)相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念的具體表現(xiàn)形式的操作，進(jìn)行數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)。
在運(yùn)用實(shí)驗(yàn)啟發(fā)式教學(xué)時(shí)，教師需做三項(xiàng)特殊活動(dòng)：第一，布置或準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)材料，若是學(xué)生自己動(dòng)手的實(shí)驗(yàn)，應(yīng)事先安排好學(xué)生按要求制作實(shí)驗(yàn)材料；第二，制定上課期間組織和使用的計(jì)劃以及監(jiān)督學(xué)生實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的計(jì)劃；第三，教給他們?nèi)绾斡行У夭僮?。如有必要，可提供給學(xué)生如下活動(dòng)程序：確問(wèn)題，決定準(zhǔn)備做什么；思考解決問(wèn)題的方法；通過(guò)實(shí)驗(yàn)，找出典型關(guān)系并進(jìn)行概括：陳述你的收獲；分析和評(píng)價(jià)你的方法和過(guò)程。
　　 一般而言，大多數(shù)學(xué)生都能通過(guò)度量直線和角，比較幾何圖形以及用紙構(gòu)造和折疊出圖形，發(fā)現(xiàn)平面幾何中的許多定理。近年來(lái)，江蘇常州教研室楊裕前等人在平面幾何入門教學(xué)中運(yùn)用實(shí)驗(yàn)啟發(fā)式進(jìn)行教學(xué)，就取得了較好的教學(xué)效果。
　　 (3)不論采取何種啟發(fā)方式，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)與協(xié)同學(xué)生把啟發(fā)所得到的結(jié)果組織成一個(gè)可理解的、有用的結(jié)論，并通過(guò)應(yīng)用把它與有關(guān)信息結(jié)合起來(lái)，納入到學(xué)生的原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，而且應(yīng)使學(xué)生體會(huì)到獲得成功的喜悅感。
　　 啟發(fā)式教學(xué)模式在教學(xué)實(shí)踐中常常表現(xiàn)為啟發(fā)式談話的教學(xué)方法。啟發(fā)式教學(xué)模式可以影響學(xué)生對(duì)待學(xué)習(xí)活動(dòng)的態(tài)度。當(dāng)學(xué)生因啟發(fā)而產(chǎn)生“興趣”時(shí)，他們就會(huì)開始把那種按“現(xiàn)成的指示”一步一步地工作看成是乏味和枯燥的事情。在課堂上或在做家庭作業(yè)時(shí)，一旦獨(dú)立“發(fā)現(xiàn)”題目的某種解法，就會(huì)成為學(xué)生難以忘懷的時(shí)刻。如果某種作業(yè)，可以應(yīng)用啟發(fā)式教學(xué)模式的方法，學(xué)生對(duì)這類作業(yè)的興趣就會(huì)明顯增長(zhǎng)。
　　 當(dāng)然，我們?cè)谶\(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)模式時(shí)，可能所需的教學(xué)時(shí)間較長(zhǎng)，所以不可能在每節(jié)課上完全采用這一模式，而是結(jié)合教師講授模式或其他復(fù)合模式來(lái)實(shí)現(xiàn)教學(xué)任務(wù)的。