層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP)是將與決策總是有關(guān)的元素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次，在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行定性和定量分析的決策方法。下文是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于層次法數(shù)學(xué)建模論文的范文，歡迎大家閱讀參考!

　　層次法數(shù)學(xué)建模論文1

　　層次分析法建模

　　70 年代由美國運(yùn)籌學(xué)家T·L·Satty提出的，是一種定性與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法論。吸收利用行為科學(xué)的特點(diǎn)，是將決策者的經(jīng)驗(yàn)判斷給予量化，對(duì)目標(biāo)(因素)結(jié)構(gòu)復(fù)雜而且缺乏必要的數(shù)據(jù)情況下，採用此方法較為實(shí)用，是一種系統(tǒng)科學(xué)中，常用的一種系統(tǒng)分析方法，因而成為系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。

　　一、問題舉例：

　　A.大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)選擇問題

　　獲得大學(xué)畢業(yè)學(xué)位的畢業(yè)生，“雙向選擇”時(shí)，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標(biāo)準(zhǔn)和要求。就畢業(yè)生來說選擇單位的標(biāo)準(zhǔn)和要求是多方面的，例如：

　　① 能發(fā)揮自己的才干為國家作出較好貢獻(xiàn)(即工作崗位適合發(fā)揮專長);

　?、?工作收入較好(待遇好);

　?、?生活環(huán)境好(大城市、氣候等工作條件等);

　?、?單位名聲好(聲譽(yù)-Reputation);

　　⑤ 工作環(huán)境好(人際關(guān)系和諧等)

　?、?發(fā)展晉升(promote, promotion)機(jī)會(huì)多(如新單位或單位發(fā)展有后勁)等。

　　問題：現(xiàn)在有多個(gè)用人單位可供他選擇，因此，他面臨多種選擇和決策，問題是他將如何作出決策和選擇?——或者說他將用什么方法將可供選擇的工作單位排序?

　　B.假期旅游地點(diǎn)選擇

　　暑假有3個(gè)旅游勝地可供選擇。例如：P1：蘇州杭州，P2北戴河，P3桂林，到底到哪個(gè)

　　地方去旅游最好?要作出決策和選擇。為此，要把三個(gè)旅游地的特點(diǎn)，例如：①景色;②費(fèi)用;③居住;④環(huán)境;⑤旅途條件等作一些比較——建立一個(gè)決策的準(zhǔn)則，最后綜合評(píng)判確定出一個(gè)可選擇的最優(yōu)方案。

　　目標(biāo)層

　　準(zhǔn)則層

　　方案層

　　C.資源開發(fā)的綜合判斷

　　7種金屬可供開發(fā)，開發(fā)后對(duì)國家貢獻(xiàn)可以通過兩兩比較得到，決定對(duì)哪種資源先開發(fā)，效用最用。

　　二、問題分析：

　　例如旅游地選擇問題：一般說來，此決策問題可按如下步驟進(jìn)行：

　　(S1)將決策解分解為三個(gè)層次，即：

　　目標(biāo)層：(選擇旅游地)

　　準(zhǔn)則層：(景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途等5個(gè)準(zhǔn)則)

　　方案層：(有P1，P2，P3三個(gè)選擇地點(diǎn))

　　并用直線連接各層次。

　　(S2)互相比較各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，各方案對(duì)每一個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重。這些權(quán)限重在人的思維過

　　程中常是定性的。

　　例如：經(jīng)濟(jì)好，身體好的人：會(huì)將景色好作為第一選擇;

　　中老年人：會(huì)將居住、飲食好作為第一選擇;

　　經(jīng)濟(jì)不好的人：會(huì)把費(fèi)用低作為第一選擇。

　　而層次分析方法則應(yīng)給出確定權(quán)重的定量分析方法。

　　(S3)將方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重，及準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合。

　　(S4)最終得出方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重，從而作出決策。

　　以上步驟和方法即是AHP的決策分析方法。

　　三、確定各層次互相比較的方法——成對(duì)比較矩陣和權(quán)向量

　　因素比較方法 —— 成對(duì)比較矩陣法：

　　目的是，要比較某一層n個(gè)因素C1,C2, , Cn對(duì)上一層因素O的影響(例如：旅游決策解中，比較景色等5個(gè)準(zhǔn)則在選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)中的重要性)。

　　采用的方法是：每次取兩個(gè)因素Ci和Cj比較其對(duì)目標(biāo)因素O的影響，并用aij表示，全部

　　比較的結(jié)果用成對(duì)比較矩陣表示，即：

　　A(aij)nxn, aij0, aji1aij(或aijaij1) (1)

　　由于上述成對(duì)比較矩陣有特點(diǎn)： A(aij) , aij0, aij

　　1aji

　　1aji

　　故可稱A為正互反矩陣：顯然，由 aij，即：aijaji1，故有：aji1

　　四、一致性檢驗(yàn)——一致性指標(biāo)：

　　1.一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義和確定——CI的定義：

　　maxn

　　CI

　　n1

　　一般CI01，認(rèn)為主觀判斷矩陣A的一致性可以接受，否則應(yīng)重新進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造主觀判斷矩陣。

　　2.隨機(jī)一致性檢驗(yàn)指標(biāo)——RI

　　問題：實(shí)際操作時(shí)發(fā)現(xiàn)：主觀判斷矩陣A的維數(shù)越大，判斷的一致性越差，故應(yīng)放寬對(duì)高維矩

　　陣的一致性要求。于是引入修正值RI來校正一致性檢驗(yàn)指標(biāo)：即定義RI的修正值表為：

　　CIRI

　　并定義新的一致性檢驗(yàn)指標(biāo)——一致性比率為：CR

　　當(dāng)：CR

　　CIRI

　　01時(shí)，認(rèn)為主觀判斷矩陣A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，

　　可用其特征向量作為權(quán)向量。否則，對(duì)主觀判斷矩陣A重新進(jìn)行成對(duì)比較，構(gòu)重新的主觀判斷矩陣A。 注：上式CR

　　CIRI

　　0

　　1的選取是帶有一定主觀信度的。

　　五、標(biāo)度——比較尺度解：

　　六、組合權(quán)向量的計(jì)算——層次總排序的權(quán)向量的計(jì)算

　　七、層次分析法的基本步驟：

　　(S1)建立層次結(jié)構(gòu)模型

　　將有關(guān)因素按照屬性自上而下地分解成若干層次：

　　同一層各因素從屬于上一層因素，或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的影響。

　　最上層為目標(biāo)層(一般只有一個(gè)因素)，最下層為方案層或?qū)ο髮?決策層，中間可以有1個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。

　　當(dāng)準(zhǔn)則層元素過多(例如多于9個(gè))時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。

　　(S2)構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，以層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對(duì)于從屬于(或影響及)上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和1～9比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，直到最下層。

　　(S3)計(jì)算(每個(gè)成對(duì)比較矩陣的)權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)

　　(S4)計(jì)算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗(yàn)——即層次總排序 八、應(yīng)用實(shí)例

　　目標(biāo)層：

　　準(zhǔn)則層：

　　決策層： 1.

　　1

　　43312121755

　　112111A4723=0.25

　　112110.333350.333

　　

　　11

　　311

　　35

　　0.510.1430.20.2

　　47123

　　350.511

　　

　　50.333

　　1

　　1

　　3

　　max 5.0721

　　0.26360.4758

　　

　　 5.0721 , W0.0538

　　0.09810.1087

　　故有最大特征根max

　　對(duì)A一致性檢驗(yàn)指標(biāo)：CI

　　maxn

　　n1

　　

　　0.07214

　　0.018

　　RI1.12CR

　　0.021.12

　　0.01610.1

　　故通過檢驗(yàn)。

　　2.準(zhǔn)則B1, B2, B3, B4, B5相對(duì)于P1, P2, P3的成對(duì)比較矩陣為

　　b11

　　B1b21

　　b31

　　b12b22b32

　　

　　b131

　　

　　b231/2

　　

　　b33211/2

　　1

　　

　　2B23

　　

　　18

　　5

　　3

　　13

　　

　　31

　　1B31

　　1/3

　　111/3

　　331

　　

　　B4

　　

　　14

　　311

　　14

　　1 B51

　　41

　　

　　114

　　

　　4 41

　　對(duì)以上每個(gè)比較矩陣都可計(jì)算出最大特征根max及對(duì)象的特征向量W(即權(quán)重向量)，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：CIRI CR

　　列表如下：

　　n

　　其中W1, W2, W3的計(jì)算公式為：Wi

　　a

　　j1

　　j

　　bij (i1,,n)

　　WP1

　　

　　因此層次總排序：組合權(quán)向量為：WWP2

　　WP

　　30.29920.2452 0.4556

　　故最終決策為P3首選，P1次之，P2最后。 組合一致性檢驗(yàn)：

　　m

　　a

　　由CR

　　j1m

　　j

　　CIRI

　　j

　　可知：組合一致性檢驗(yàn)結(jié)果為——層次總排序的一致性檢驗(yàn)：

　　j

　　j

　　a

　　j1

　　5

　　a

　　CR

　　j15

　　j

　　CI3

　　0.00260.1， RIj

　　a

　　j1

　　j

　　最下層對(duì)第一層的組合一致性比率為0.0161+0.0026=0.0187. 故整個(gè)層次一致性檢驗(yàn)通過。

　　6

　　層次法數(shù)學(xué)建模論文2

　　基于層次分析法的數(shù)學(xué)分析教材選擇

　　摘 要：數(shù)學(xué)分析課程是數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課，該課程具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和科學(xué)的系統(tǒng)性，從而使得大部分大一新生在學(xué)習(xí)該課程時(shí)遇到較大的困難，導(dǎo)致難以達(dá)到很好的學(xué)習(xí)效果繼而影響后繼課程的學(xué)習(xí)。為更好地提高教育教學(xué)質(zhì)量，實(shí)踐以學(xué)生為主體的辦學(xué)理念，選擇一套適合該院學(xué)生的該課程教材是教學(xué)改革的重要環(huán)節(jié)之一。通過引入層次分析法，計(jì)算出數(shù)學(xué)分析教材選擇中的指標(biāo)權(quán)重，從而得到更合理、更科學(xué)的數(shù)學(xué)分析教材選擇模型。

　　關(guān)鍵詞：教材選擇 層次分析法 指標(biāo)體系

　　1 方法步驟

　　1.1 層次分析法

　　層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡記AHP)是由T.L.Saaty等人在20世紀(jì)70年代提出的一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。該方法自提出之后，由于它在處理復(fù)雜的決策問題上的適應(yīng)性和有效性已經(jīng)在眾多領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用。

　　1.2 建立層次結(jié)構(gòu)模型

　　根據(jù)應(yīng)用型地方本科院校培養(yǎng)人才目標(biāo)及數(shù)學(xué)分析教材選擇時(shí)涉及到的因素進(jìn)行充分分析，建立層次結(jié)構(gòu)如圖1所示。

　　第一層：目標(biāo)層A，表示系統(tǒng)要達(dá)到的目標(biāo)“最佳教材A”。

　　第二層：主準(zhǔn)則層B，衡量達(dá)到目標(biāo)的各項(xiàng)準(zhǔn)則，包括知識(shí)體系B1、學(xué)生心理B2、質(zhì)量體系B3。

　　第三層：子準(zhǔn)則層C，是衡量達(dá)到主準(zhǔn)則層的各項(xiàng)子準(zhǔn)則，包括數(shù)學(xué)分析知識(shí)介紹C1、結(jié)構(gòu)安排情況C2、難易程度C3、符合認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律C4、學(xué)習(xí)興趣C5、學(xué)習(xí)主動(dòng)性C6、印刷水平C7、教材價(jià)格C8、讀者服務(wù)C9。

　　第四層：方案層D，是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可能采取的各種方案。對(duì)眾多的數(shù)學(xué)分析教材進(jìn)行篩選后選定了3套教材，即華東師大編寫數(shù)學(xué)分析D1;劉玉蓮、傅沛仁編數(shù)學(xué)分析D2;王綿森、馬知恩編數(shù)學(xué)分析D3。

　　1.3 構(gòu)造成對(duì)比較陣及計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)

　　從層次結(jié)構(gòu)模型的第二層開始，對(duì)于從屬于(或影響及)上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和1～9比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較陣，直到最下層。由此得到主準(zhǔn)則層B對(duì)目標(biāo)層A的判斷矩陣，利用Matlab軟件對(duì)求出最大特征值。對(duì)做一致性檢驗(yàn)，指標(biāo)為，其中為判斷矩陣的階數(shù)。檢驗(yàn)系數(shù)為，表明矩陣具有滿意的一致性。其中為平均一致性指標(biāo)，當(dāng)時(shí)，。同時(shí)可求得的對(duì)應(yīng)于的單位特征向量為。

　　2 結(jié)語

　　從層次分析模型可知，最佳教材選擇應(yīng)為D1，即華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析(第四版)》。D2所占比例與D1所占比例較接近，這也說明在實(shí)際工作中這兩部教材被眾多普通高校所選擇使用的主要原因。應(yīng)用層次分析法對(duì)數(shù)學(xué)分析教材進(jìn)行選擇，能夠很好地反映教材的實(shí)際情況，具有一定的合理性，避免了憑感覺選擇教材的局限性，從而能夠更好地為教學(xué)工作提供支持。但是用此方法在構(gòu)造判斷矩陣時(shí)任具有一定的主觀性，各項(xiàng)指標(biāo)權(quán)重及測評(píng)指標(biāo)的內(nèi)涵的確定仍有待進(jìn)一步的研究與探索。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1] 韓軍民，劉洪甫，李雪，等.模糊層次分析法在矩陣論教材評(píng)價(jià)方面的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2012，42(16)：7-12.

　　[2] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].4版.北京：高等教育出版社，2011：249.

　　[3] 王燕飛.基于層次分析法的房地產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估[J].吉林化工學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，32(11)：94-97.

　　[4] 于穎，夏吉慶.基于層次分析法的崗位工資確定方法研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，38(24)：84-88.

　　[5] 陳欣.模糊層次分析法在方案優(yōu)選方面的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2004，25(10)：1847-1849.

　　[6] 徐曉敏.層次分析法的運(yùn)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2008(1)：156-158.