八年級下冊數(shù)學期末試卷及答案人教版
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親愛的八年級同學:歡迎你參加數(shù)學期末考試!做題時要認真審題,積極思考,細心答題,發(fā)揮你的最好水平。小編整理了關于八年級下冊數(shù)學期末試卷人教版,希望對大家有幫助!
八年級下冊數(shù)學期末試卷人教版
一、選擇題(本題共10小題,每題3分,共30分.下列各題都有代號為A、B、C、D的四個結論供選擇,其中只有一個結論是正確的,請把你認為正確的結論代號填入下面表格中)
1.在平行四邊形,矩形,圓,正方形,等邊三角形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的圖形有( )
A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個
2.若Rt△ABC中,∠C=90°且c=13,a=12,則b=( )
A. 11 B. 8 C. 5 D. 3
3.平行四邊形的一個內角為40°,它的另一個內角等于( )
A. 40° B. 140° C. 40°或140° D. 50°
4.菱形的兩條對角線長分別為18與24,則此菱形的周長為( )
A. 15 B. 30 C. 60 D. 120
5.小華所在的九年級一班共有50名學生,一次體檢測量了全班學生的身高,由此求得該班學生的平均身高是1.65米,而小華的身高是1.66米,下列說法錯誤的是( )
A. 1.65米是該班學生身高的平均水平
B. 班上比小華高的學生人數(shù)不會超過25人
C. 這組身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定是1.65米
D. 這組身高數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是1.65米
6.已知a、b、c是三角形的三邊長,如果滿足(a﹣6)2+ =0,則三角形的形狀是( )
A. 底與腰不相等的等腰三角形 B. 等邊三角形
C. 鈍角三角形 D. 直角三角形
7.已知在一次函數(shù)y=﹣1.5x+3的圖象上,有三點(﹣3,y1)、(﹣1,y2)、(2,y3),則y1,y2,y3的大小關系為( )
A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y2>y1>y3 D. 無法確定
8.如圖,點O(0,0),A(0,1)是正方形OAA1B的兩個頂點,以OA1對角線為邊作正方形OA1A2B1,再以正方形的對角線OA2作正方形OA1A2B1,…,依此規(guī)律,則點A8的坐標是( )
A. (﹣8,0) B. (0,8) C. (0,8 ) D. (0,16)
9.如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,動點E從B點出發(fā),沿B﹣C﹣D﹣A運動至A點停止,設運動的路程為x,△ABE的面積為y,則y與x的函數(shù)關系用圖象表示正確的是( )
A. B. C. D.
10.如圖,將邊長為12cm的正方形ABCD折疊,使得點A落在CD邊上的點E處,折痕為MN.若CE的長為7cm,則MN的長為( )
A. 10 B. 13 C. 15 D. 無法求出
二、填空題(本題共6小題,每小題3分,滿分18分)
11.已知點P(﹣b,2)與點Q(3,2a)關于原點對稱,則a= ,b= .
12.甲、乙兩名學生在相同的條件下各射靶10次,命中的環(huán)數(shù)如下:
甲:7、8、6、8、6、5、9、10、7、4
乙:9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
經(jīng)過計算,兩人射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)均為7,S甲2=3,S乙2= ,因為S甲2 S乙2, 的成績更穩(wěn)定,所以確定 去參加比賽.
13.矩形ABCD中,AC交BD于O點,已知AC=2AB,∠AOD= °.
14.已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象如圖,根據(jù)圖中信息請寫出不等式ax+b≥2的解集為 .
15.周末,小華騎自行車從家里出發(fā)到植物園游玩,從家出發(fā)0.5小時后,因自行車損壞修理了一段時間后,按原速前往植物園,小華離家1小時20分鐘后,爸爸開車沿相同路線前往植物園,如圖是他們離家的路程y(km)與小華離家時間x(h)的函數(shù)圖象.已知爸爸開車的速度是小華騎車速度的3倍,若爸爸比小華早10分鐘到達植物園,則從小華家到植物園的路程是 km.
16.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=4,O為AC的中點,OE⊥OD交AB于點E.若AE=3,則OD的長為 .
三、解答題(本大題共9小題,共72分)
17.如圖,已知,在平面直角坐標系中,A(﹣3,﹣4),B(0,﹣2).
(1)△OAB繞O點旋轉180°得到△OA1B1,請畫出△OA1B1,并寫出A1,B1的坐標;
(2)判斷以A,B,A1,B1為頂點的四邊形的形狀,并說明理由.
18.某人欲橫渡一條河,由于水流的影響,實際上岸地點C偏離了欲到達點B,結果離欲到達點B 240米,已知他在水中游了510米,求該河的寬度(兩岸可近似看做平行).
19.某公司為了了解員工每人所創(chuàng)年利潤情況,公司從各部抽取部分員工對每年所創(chuàng)年利潤情況進行統(tǒng)計,并繪制如圖1,圖2統(tǒng)計圖.
(1)求抽取員工總人數(shù),并將圖補充完整;
(2)每人所創(chuàng)年利潤的眾數(shù)是 ,每人所創(chuàng)年利潤的中位數(shù)是 ,平均數(shù)是 ;
(3)若每人創(chuàng)造年利潤10萬元及(含10萬元)以上為優(yōu)秀員工,在公司1200員工中有多少可以評為優(yōu)秀員工?
20.已知▱ABCD中,AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,分別交CD、AB于E、F,求證:AE=CF.
21.某商場欲購進果汁飲料和碳酸飲料共50箱,兩種飲料每箱的進價和售價如下表所示.設購進果汁飲料x箱(x為正整數(shù)),且所購進的兩種飲料能全部賣出,獲得的總利潤為W元(注:總利潤=總售價﹣總進價).
(1)設商場購進碳酸飲料y箱,直接寫出y與x的函數(shù)關系式;
(2)求總利潤w關于x的函數(shù)關系式;
(3)如果購進兩種飲料的總費用不超過2100元,那么該商場如何進貨才能獲利最多?并求出最大利潤.
飲料 果汁飲料 碳酸飲料
進價(元/箱) 51 36
售價(元/箱) 61 43
22.已知直線l為x+y=8,點P(x,y)在l上,且x>0,y>0,點A的坐標為(6,0).
(1)設△OPA的面積為S,求S與x的函數(shù)關系式,并直接寫出x的取值范圍;
(2)當S=9時,求點P的坐標;
(3)在直線l上有一點M,使OM+MA的和最小,求點M的坐標.
23.將矩形ABCD折疊使A,C重合,折痕交BC于E,交AD于F,
(1)求證:四邊形AECF為菱形;
(2)若AB=4,BC=8,求菱形的邊長;
(3)在(2)的條件下折痕EF的長.
24.如圖1,四邊形ABCD是正方形,點G是BC邊上任意一點,DE⊥AG于點E,BF∥DE且交AG于點F.
(1)求證:AE=BF;
(2)如圖2,連接DF、CE,探究線段DF與CE的關系并證明;
(3)圖1中,若AB=4,BG=3,求EF長.
25.如圖,直線y=﹣ x+1交y軸于A點,交x軸于C點,以A,O,C為頂點作矩形AOCB,將矩形AOCB繞O點逆時針旋轉90°,得到矩形DOFE,直線AC交直線DF于G點.
(1)求直線DF的解析式;
(2)求證:OG平分∠CGD;
(3)在第一象限內,是否存在點H,使以G,O,H為頂點的三角形為等腰直角三角形?若存在請求出點H的坐標;若不存在,請什么理由.
八年級下冊數(shù)學期末試卷人教版參考答案
一、選擇題(本題共10小題,每題3分,共30分.下列各題都有代號為A、B、C、D的四個結論供選擇,其中只有一個結論是正確的,請把你認為正確的結論代號填入下面表格中)
1.在平行四邊形,矩形,圓,正方形,等邊三角形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的圖形有( )
A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個
考點: 中心對稱圖形;軸對稱圖形.
分析: 根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.
解答: 解:既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的圖形為:矩形、圓,正方形,共3個.
故選:A.
點評: 本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念:軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉180度后與原圖重合.
2.若Rt△ABC中,∠C=90°且c=13,a=12,則b=( )
A. 11 B. 8 C. 5 D. 3
考點: 勾股定理.
分析: 在直角三角形ABC中,利用勾股定理可得b= ,代入數(shù)據(jù)可得出b的長度.
解答: 解:∵三角形ABC是直角三角形,∠C=90°,
∴AC= ,即b= = =5,
故選C.
點評: 此題考查了勾股定理的知識,屬于基礎題,解答本題的關鍵是掌握勾股定理在解直角三角形中的運用.
3.平行四邊形的一個內角為40°,它的另一個內角等于( )
A. 40° B. 140° C. 40°或140° D. 50°
考點: 平行四邊形的性質.
分析: 利用平行四邊形的鄰角互補進而得出答案.
解答: 解:∵平行四邊形的一個內角為40°,∴它的另一個內角為:140°.
故選:B.
點評: 此題主要考查了平行四邊形的性質,正確利用平行四邊形內角之間的關系是解題關鍵.
4.菱形的兩條對角線長分別為18與24,則此菱形的周長為( )
A. 15 B. 30 C. 60 D. 120
考點: 菱形的性質.
分析: 根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分,可知AO和BO的長,再根據(jù)勾股定理即可求得AB的值,由菱形的四條邊相等,繼而求出菱形的周長.
解答: 解:∵AC=18,BD=24,菱形對角線互相垂直平分,
∴AO=9,BO=12cm,
∴AB= = =15,
∴菱形的周長=4×15=60.
故選C.
點評: 本題考查的是菱形的性質,考查了菱形各邊長相等的性質及勾股定理在直角三角形中的運用,根據(jù)勾股定理求AB的值是解題的關鍵.
5.小華所在的九年級一班共有50名學生,一次體檢測量了全班學生的身高,由此求得該班學生的平均身高是1.65米,而小華的身高是1.66米,下列說法錯誤的是( )
A. 1.65米是該班學生身高的平均水平
B. 班上比小華高的學生人數(shù)不會超過25人
C. 這組身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定是1.65米
D. 這組身高數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是1.65米
考點: 算術平均數(shù);中位數(shù);眾數(shù).
分析: 根據(jù)平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù),它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指標.將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到小)的順序排列,如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù),則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點”,不易受極端值影響,但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息,對每一項進行分析即可.
解答: 解:A、1.65米是該班學生身高的平均水平,故A正確;
B、因為小華的身高是1.66米,不是中位數(shù),不能判斷班上比小華高的學生人數(shù)不會超過25人,故B錯誤;
C、這組身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定是1.65米,故C正確;
D、這組身高數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是1.65米,故D正確.
故選:B.
點評: 此題考查了算術平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),解答此題不是直接求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),而是利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念進行綜合分析,平均數(shù)受極值的影響較大,而中位數(shù)不易受極端值影響.
6.已知a、b、c是三角形的三邊長,如果滿足(a﹣6)2+ =0,則三角形的形狀是( )
A. 底與腰不相等的等腰三角形 B. 等邊三角形
C. 鈍角三角形 D. 直角三角形
考點: 勾股定理的逆定理;非負數(shù)的性質:絕對值;非負數(shù)的性質:偶次方;非負數(shù)的性質:算術平方根.
分析: 首先根據(jù)絕對值,平方數(shù)與算術平方根的非負性,求出a,b,c的值,在根據(jù)勾股定理的逆定理判斷其形狀是直角三角形.
解答: 解:∵(a﹣6)2≥0, ≥0,|c﹣10|≥0,
又∵(a﹣b)2+ =0,
∴a﹣6=0,b﹣8=0,c﹣10=0,
解得:a=6,b=8,c=10,
∵62+82=36+64=100=102,
∴是直角三角形.
故選D.
點評: 本題主要考查了非負數(shù)的性質與勾股定理的逆定理,此類題目在考試中經(jīng)常出現(xiàn),是考試的重點.
7.已知在一次函數(shù)y=﹣1.5x+3的圖象上,有三點(﹣3,y1)、(﹣1,y2)、(2,y3),則y1,y2,y3的大小關系為( )
A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y2>y1>y3 D. 無法確定
考點: 一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
分析: 分別把各點代入一次函數(shù)y=﹣1.5x+3,求出y1,y2,y3的值,再比較出其大小即可.
解答: 解:∵點(﹣3,y1)、(﹣1,y2)、(2,y3)在一次函數(shù)y=﹣1.5x+3的圖象上,
∴y1=﹣1.5×(﹣3)+3=7.5;y2=﹣1.5×(﹣1)+3=1.5;y3=﹣1.5×2+3=0,
∵7.5>1.5>0,
∴y1>y2>y3.
故選A.
點評: 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點,熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關鍵.
8.如圖,點O(0,0),A(0,1)是正方形OAA1B的兩個頂點,以OA1對角線為邊作正方形OA1A2B1,再以正方形的對角線OA2作正方形OA1A2B1,…,依此規(guī)律,則點A8的坐標是( )
A. (﹣8,0) B. (0,8) C. (0,8 ) D. (0,16)
考點: 規(guī)律型:點的坐標.
分析: 根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過一次變化,都順時針旋轉45°,邊長都乘以 ,所以可求出從A到A3的后變化的坐標,再求出A1、A2、A3、A4、A5,得出A8即可.
解答: 解:根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過一次變化,都順時針旋轉45°,邊長都乘以 ,
∵從A到A3經(jīng)過了3次變化,
∵45°×3=135°,1×( )3=2 .
∴點A3所在的正方形的邊長為2 ,點A3位置在第四象限.
∴點A3的坐標是(2,﹣2);
可得出:A1點坐標為(1,1),
A2點坐標為(0,2),
A3點坐標為(2,﹣2),
A4點坐標為(0,﹣4),A5點坐標為(﹣4,﹣4),
A6(﹣8,0),A7(﹣8,8),A8(0,16),
故選:D.
點評: 本題主要考查正方形的性質和坐標與圖形的性質的知識點,解答本題的關鍵是由點坐標的規(guī)律發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過8次作圖后,點的坐標符號與第一次坐標符號相同,每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼?倍,此題難度較大.
9.如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,動點E從B點出發(fā),沿B﹣C﹣D﹣A運動至A點停止,設運動的路程為x,△ABE的面積為y,則y與x的函數(shù)關系用圖象表示正確的是( )
A. B. C. D.
考點: 動點問題的函數(shù)圖象.
分析: 當點E在BC上運動時,三角形的面積不斷增大,當點E在DC上運動時,三角形的面積不變,當點E在AD上運動時三角形的面積不等減小,然后計算出三角形的最大面積即可得出答案.
解答: 解:當點E在BC上運動時,三角形的面積不斷增大,最大面積= = =6;
當點E在DC上運動時,三角形的面積為定值6.
當點E在AD上運動時三角形的面不斷減小,當點E與點A重合時,面積為0.
故選:B.
點評: 本題主要考查的是動點問題的函數(shù)圖象,分別得出點E在BC、CD、DA上運動時的圖象是解題的關鍵.
10.如圖,將邊長為12cm的正方形ABCD折疊,使得點A落在CD邊上的點E處,折痕為MN.若CE的長為7cm,則MN的長為( )
A. 10 B. 13 C. 15 D. 無法求出
考點: 翻折變換(折疊問題).
分析: 根據(jù)圖形折疊前后圖形不發(fā)生大小變化可得出∠DAE=∠DAE,再證明△NFM≌△ADE,然后利用勾股定理的知識求出MN的長.
解答: 解:作NF⊥AD,垂足為F,連接AE,NE,
∵將正方形紙片ABCD折疊,使得點A落在邊CD上的E點,折痕為MN,
∴∠D=∠AHM=90°,∠DAE=∠DAE.
∴△AHM∽△ADE.
∴∠AMN=∠AED.
在Rt△NFM和Rt△ADE中,
,
∴△NFM≌△ADE(AAS),
∴FM=DE=CD﹣CE=5cm,
又∵在Rt△MNF中,F(xiàn)N=AB=12cm,
∴根據(jù)勾股定理得:MN= =13.
故選B.
點評: 此題主要考查了圖形的翻折變換,根據(jù)圖形折疊前后圖形不發(fā)生大小變化得出三角形的全等是解決問題的關鍵,難度一般.
二、填空題(本題共6小題,每小題3分,滿分18分)
11.已知點P(﹣b,2)與點Q(3,2a)關于原點對稱,則a= ﹣1 ,b= 3 .
考點: 關于原點對稱的點的坐標.
分析: 根據(jù)兩個點關于原點對稱時,它們的坐標符號相反,即點P(x,y)關于原點O的對稱點是P′(﹣x,﹣y),進而得出即可.
解答: 解:∵點P(﹣b,2)與點Q(3,2a)關于原點對稱,
∴﹣b=﹣3,﹣2=2a,
∴b=3,a=﹣1.
故答案為:﹣1,3.
點評: 此題主要考查了關于原點對稱點的性質,熟練掌握其性質是解題關鍵.
12.甲、乙兩名學生在相同的條件下各射靶10次,命中的環(huán)數(shù)如下:
甲:7、8、6、8、6、5、9、10、7、4
乙:9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
經(jīng)過計算,兩人射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)均為7,S甲2=3,S乙2= 1.2 ,因為S甲2 > S乙2, 乙 的成績更穩(wěn)定,所以確定 乙 去參加比賽.
考點: 方差.
分析: 首先根據(jù)方差的計算公式,求出S乙2的值是多少,然后比較出S甲2,S乙2的大小關系,判斷出誰的成績更穩(wěn)定,即可確定誰去參加比賽,據(jù)此解答即可.
解答: 解:(9+5+7+8+7+6+8+6+7+7)÷10
=70÷10
=7
S乙2= [(9﹣7)2+(5﹣7)2+(7﹣7)2+(8﹣7)2+(7﹣7)2+(6﹣7)2+(8﹣7)2+(6﹣7)2+(7﹣7)2+(7﹣7)2]
= [4+4+0+1+0+1+1+1+0+0]
= 12
=1.2
∵1.2<3,
∴S甲2>S乙2,
∴乙的成績更穩(wěn)定,所以確定乙去參加比賽.
故答案為:1.2、>、乙、乙.
點評: 此題主要考查了方差的含義和性質的應用,要熟練掌握,解答此題的關鍵是要明確:方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大,則平均值的離散程度越大,穩(wěn)定性也越小;反之,則它與其平均值的離散程度越小,穩(wěn)定性越好.
13.矩形ABCD中,AC交BD于O點,已知AC=2AB,∠AOD= 120 °.
考點: 矩形的性質;含30度角的直角三角形.
分析: 先由矩形的性質得出OA=OB,再證明AOB是等邊三角形,得出∠AOB=60°,由鄰補角關系即可求出結果.
解答: 解:如圖所示:
∵四邊形ABCD是矩形,
∴OA= AC,OB= BD,AC=BD,
∴OA=OB,
∵AC=2AB,
∴OA=OB=AB,
即△AOB是等邊三角形,
∴∠AOB=60°,
∴∠AOD=180°﹣60°=120°;
故答案為:120°.
點評: 本題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質;熟練掌握矩形的性質,證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵.
14.已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象如圖,根據(jù)圖中信息請寫出不等式ax+b≥2的解集為 x≥0 .
考點: 一次函數(shù)與一元一次不等式.
專題: 數(shù)形結合.
分析: 觀察函數(shù)圖形得到當x≥0時,一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值不小于2,即ax+b≥2.
解答: 解:根據(jù)題意得當x≥0時,ax+b≥2,
即不等式ax+b≥2的解集為x≥0.
故答案為x≥0.
點評: 本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式:從函數(shù)的角度看,就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍;從函數(shù)圖象的角度看,就是確定直線y=kx+b在x軸上(或下)方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.
15.周末,小華騎自行車從家里出發(fā)到植物園游玩,從家出發(fā)0.5小時后,因自行車損壞修理了一段時間后,按原速前往植物園,小華離家1小時20分鐘后,爸爸開車沿相同路線前往植物園,如圖是他們離家的路程y(km)與小華離家時間x(h)的函數(shù)圖象.已知爸爸開車的速度是小華騎車速度的3倍,若爸爸比小華早10分鐘到達植物園,則從小華家到植物園的路程是 30 km.
考點: 一次函數(shù)的應用.
分析: 設從爸爸追上小華的地點到植物園的路程為n(km),根據(jù)爸爸比小華早到10分鐘列出有關n的方程,求得n值即可.
解答: 解:如圖,
小明騎車速度:10÷0.5=20km/h,
爸爸駕車速度:20×3=60km/h,
設直線BC解析式為y=20x+b1,
把點B(1,10)代入得b1=﹣10
∴y=20x﹣10
設直線DE解析式為y=60x+b2,把點D( ,0)
代入得b2=﹣80
∴y=60x﹣80
∴
解得
∴交點F(1.75,25).
設從爸爸追上小華的地點到乙植物園路程為n(km),
由題意得 ﹣ =
∴n=5
∴從家到乙地的路程為5+25=30(km).
故答案為:30.
點評: 本題考查了一次函數(shù)的應用,解題的關鍵是根據(jù)實際問題并結合函數(shù)的圖象得到進一步解題的有關信息,并從實際問題中整理出一次函數(shù)模型.
16.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=4,O為AC的中點,OE⊥OD交AB于點E.若AE=3,則OD的長為 .
考點: 全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形.
分析: 求出△DAO≌△EBO,推出OD=OE,AD=BE,求出AD=BE=1,由勾股定理得出DE2=DO2+OE2=AD2+AE2,求出即可.
解答: 解:如圖,連接DE,
∵∠ABC=90°,O為AC的中點,
∴∠CAB=∠ACB=45°,∠ABO=45°,AO=BO=CO,∠AOB=90°,
∵OE⊥OD,
∴∠DOE=∠AOB=90°,
∴∠DOA=∠BOE=90°﹣∠AOE,
∵AD∥BC,
∴∠DAB=180°﹣∠ABC=90°,
∴∠DAO=90°﹣45°=45°,
∴∠DAO=∠OBE,
在△DAO和△EBO中,
,
∴△DAO≌△EBO(ASA),
∴OD=OE,AD=BE,
∵AB=4,AE=3,
∴AD=BE=4﹣3=1,
在Rt△DAE和Rt△DOE中,由勾股定理得:DE2=DO2+OE2=AD2+AE2,
∴2DO2=12+32=10
∴DO= ,
故答案為: .
點評: 本題考查了等腰直角三角形性質,勾股定理,全等三角形的性質和判定的應用,解此題的關鍵是求出OD=OE,AD=BE,題目比較好,難度適中.
三、解答題(本大題共9小題,共72分)
17.如圖,已知,在平面直角坐標系中,A(﹣3,﹣4),B(0,﹣2).
(1)△OAB繞O點旋轉180°得到△OA1B1,請畫出△OA1B1,并寫出A1,B1的坐標;
(2)判斷以A,B,A1,B1為頂點的四邊形的形狀,并說明理由.
考點: 作圖-旋轉變換;平行四邊形的判定.
專題: 幾何變換.
分析: (1)由于△OAB繞O點旋轉180°得到△OA1B1,利用關于原點中心對稱的點的坐標特征得到A1,B1的坐標,然后描點,再連結OB1、OA1和A1B1即可;
(2)根據(jù)中心對稱的性質得OA=OA1,OB=OB1,則利用對角線互相平分得四邊形為平行四邊形可判斷四邊形ABA1B1為平行四邊形.
解答: 解:(1)如圖,A1(3,4),B1(0,2);
(2)以A,B,A1,B1為頂點的四邊形為平行四邊形,理由如下:
∵△OAB繞O點旋轉180°得到△OA1B1,
∴點A與點A1關于原點對稱,點B與點B1關于原點對稱,
∴OA=OA1,OB=OB1,
∴四邊形ABA1B1為平行四邊形.
點評: 本題考查了作圖﹣旋轉變換:根據(jù)旋轉的性質可知,對應角都相等都等于旋轉角,對應線段也相等,由此可以通過作相等的角,在角的邊上截取相等的線段的方法,找到對應點,順次連接得出旋轉后的圖形.也考查了平行四邊形的判定.
18.某人欲橫渡一條河,由于水流的影響,實際上岸地點C偏離了欲到達點B,結果離欲到達點B 240米,已知他在水中游了510米,求該河的寬度(兩岸可近似看做平行).
考點: 勾股定理的應用.
分析: 根據(jù)題意得出∠ABC=90°,由勾股定理求出AB即可.
解答: 解:根據(jù)題意得:∠ABC=90°,
則AB= = =450(米),
即該河的寬度為450米.
點評: 本題考查了勾股定理的運用;熟練掌握勾股定理,并能進行推理計算是解決問題的關鍵.
19.某公司為了了解員工每人所創(chuàng)年利潤情況,公司從各部抽取部分員工對每年所創(chuàng)年利潤情況進行統(tǒng)計,并繪制如圖1,圖2統(tǒng)計圖.
(1)求抽取員工總人數(shù),并將圖補充完整;
(2)每人所創(chuàng)年利潤的眾數(shù)是 8萬元 ,每人所創(chuàng)年利潤的中位數(shù)是 8萬元 ,平均數(shù)是 8.12萬元 ;
(3)若每人創(chuàng)造年利潤10萬元及(含10萬元)以上為優(yōu)秀員工,在公司1200員工中有多少可以評為優(yōu)秀員工?
考點: 條形統(tǒng)計圖;用樣本估計總體;扇形統(tǒng)計圖;加權平均數(shù);中位數(shù).
分析: (1)根據(jù)扇形中各部分所占的百分比的和是1,即可求得3萬元的員工所占的百分比,然后根據(jù)百分比的意義求得直方圖中缺少部分的人數(shù);
(2)根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的定義求解;
(3)利用總數(shù)1200乘以對應的比例即可求解.
解答: 解:(1)3萬元的員工的百分比為:1﹣36%﹣20%﹣12%﹣24%=8%,
抽取員工總數(shù)為:4÷8%=50(人)
5萬元的員工人數(shù)為:50×24%=12(人)
8萬元的員工人數(shù)為:50×36%=18(人)
(2)每人所創(chuàng)年利潤的眾數(shù)是 8萬元,每人所創(chuàng)年利潤的中位數(shù)是8萬元,
平均數(shù)是: (3×4+5×12+8×18+10×10+15×6)=8.12萬元.
故答案為:8萬元,8萬元,8.12萬元.
(3)1200× =384(人).
答:在公司1200員工中有384人可以評為優(yōu)秀員工.
點評: 本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用,讀懂統(tǒng)計圖,從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù);扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.
20.已知▱ABCD中,AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,分別交CD、AB于E、F,求證:AE=CF.
考點: 平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質.
專題: 證明題.
分析: 利用平行四邊形的性質得出∠DAE=∠BCF,AD=BC,∠D=∠B,進而結合平行線的性質和全等三角形的判定方法得出答案.
解答: 證明:∵▱ABCD,∴AD=BC,∠D=∠B,∠DAB=∠DCB,
又 AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴∠DAE=∠BCF,
在△DAE和△BCF中,
,
∴△DAE≌△BCF(ASA),
∴AE=CF.
點評: 此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定等知識,得出∠DAE=∠BCF是解題關鍵.
21.某商場欲購進果汁飲料和碳酸飲料共50箱,兩種飲料每箱的進價和售價如下表所示.設購進果汁飲料x箱(x為正整數(shù)),且所購進的兩種飲料能全部賣出,獲得的總利潤為W元(注:總利潤=總售價﹣總進價).
(1)設商場購進碳酸飲料y箱,直接寫出y與x的函數(shù)關系式;
(2)求總利潤w關于x的函數(shù)關系式;
(3)如果購進兩種飲料的總費用不超過2100元,那么該商場如何進貨才能獲利最多?并求出最大利潤.
飲料 果汁飲料 碳酸飲料
進價(元/箱) 51 36
售價(元/箱) 61 43
考點: 一次函數(shù)的應用.
分析: (1)根據(jù)購進果汁飲料和碳酸飲料共50箱即可求解;
(2)根據(jù)總利潤=每個的利潤×數(shù)量就可以表示出w與x之間的關系式;
(3)由題意得55x+36(50﹣x)≤2100,解得x的值,然后可求y值,根據(jù)一次函數(shù)的性質可以求出進貨方案及最大利潤.
解答: 解:(1)y與x的函數(shù)關系式為:y=50﹣x;
(2)總利潤w關于x的函數(shù)關系式為:w=(61﹣51)x+(43﹣36)(50﹣x)=3x+350;
(3)由題意,得51x+36(50﹣x)≤2100,解得x≤20,
∵y=3x+350,y隨x的增大而增大,
∴當x=20時,y最大值=3×20+350=410元,此時購進B品牌的飲料50﹣20=30箱,
∴該商場購進A、B兩種品牌的飲料分別為20箱、30箱時,能獲得最大利潤410元.
點評: 本題考查了一次函數(shù)的實際運用,由銷售問題的數(shù)量關系求出函數(shù)的解析式,列一元一次不等式解實際問題的運用,一次函數(shù)的性質的運用,解答時求出函數(shù)的解析式是關鍵.
22.已知直線l為x+y=8,點P(x,y)在l上,且x>0,y>0,點A的坐標為(6,0).
(1)設△OPA的面積為S,求S與x的函數(shù)關系式,并直接寫出x的取值范圍;
(2)當S=9時,求點P的坐標;
(3)在直線l上有一點M,使OM+MA的和最小,求點M的坐標.
考點: 軸對稱-最短路線問題;一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
分析: (1)根據(jù)三角形的面積公式即可直接求解;
(2)把S=9代入,解方程即可求解;
(3)點O關于l的對稱點B,AB與直線x+y=8的交點就是所求.
解答: 解:(1)如圖所示:
∵點P(x,y)在直線x+y=8上,
∴y=8﹣x,
∵點A的坐標為(6,0),
∴S=3(8﹣x)=24﹣3x,(0
(2)當24﹣3x=9時,x=5,即P的坐標為(5,3).
(3)點O關于l的對稱點B的坐標為(8,8),設直線AB的解析式為y=kx+b,
由8k+b=8,6k+b=0,解得k=4,b=﹣24,
故直線AB的解析式為y=4x﹣24,
由y=4x﹣24,x+y=8解得,x=6.4,y=1.6,
點M的坐標為(6.4,1.6).
點評: 本題考查了軸對稱﹣﹣最短路線問題,要靈活運用對稱性解決此類問題.
23.將矩形ABCD折疊使A,C重合,折痕交BC于E,交AD于F,
(1)求證:四邊形AECF為菱形;
(2)若AB=4,BC=8,求菱形的邊長;
(3)在(2)的條件下折痕EF的長.
考點: 菱形的判定與性質;翻折變換(折疊問題).
專題: 證明題.
分析: (1)根據(jù)折疊的性質得OA=OC,EF⊥AC,EA=EC,再利用AD∥AC得到∠FAC=∠ECA,則可根據(jù)“ASA”判斷△AOF≌△COE,得到OF=OE,加上OA=OC,AC⊥EF,于是可根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形AECF為菱形;
(2)設菱形的邊長為x,則BE=BC﹣CE=8﹣x,AE=x,在Rt△ABE中根據(jù)勾股定理得(8﹣x)2+42=x2,然后解方程即可得到菱形的邊長;
(3)先在Rt△ABC中,利用勾股定理計算出AC=4 ,則OA= AC=2 ,然后在Rt△AOE中,利用勾股定理計算出OE= ,所以EF=2OE=2 .
解答: (1)證明:∵矩形ABCD折疊使A,C重合,折痕為EF,
∴OA=OC,EF⊥AC,EA=EC,
∵AD∥AC,
∴∠FAC=∠ECA,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE,
∴OF=OE,
∵OA=OC,AC⊥EF,
∴四邊形AECF為菱形;
(2)解:設菱形的邊長為x,則BE=BC﹣CE=8﹣x,AE=x,
在Rt△ABE中,∵BE2+AB2=AE2,
∴(8﹣x)2+42=x2,解得x=5,
即菱形的邊長為5;
(3)解:在Rt△ABC中,AC= = =4 ,
∴OA= AC=2 ,
在Rt△AOE中,OE= = = ,
∴EF=2OE=2 .
點評: 本題考查了菱形的判定與性質:菱形是在平行四邊形的前提下定義的,首先它是平行四邊形,但它是特殊的平行四邊形,特殊之處就是“有一組鄰邊相等”,因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法.也考查了折疊的性質.
24.如圖1,四邊形ABCD是正方形,點G是BC邊上任意一點,DE⊥AG于點E,BF∥DE且交AG于點F.
(1)求證:AE=BF;
(2)如圖2,連接DF、CE,探究線段DF與CE的關系并證明;
(3)圖1中,若AB=4,BG=3,求EF長.
考點: 全等三角形的判定與性質;正方形的性質.
分析: (1)根據(jù)垂直的定義和平行線的性質求出∠AED=∠BFA=90°,根據(jù)正方形的性質可得AB=AD,∠BAD=∠ADC=90°,再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE,然后利用“角角邊”證明△AFB和△DEA全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=BF;
(2)根據(jù)同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=DE,根據(jù)正方形的性質可得AD=CD,然后利用“邊角邊”證明△FAD和△EDC全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=CE,全等三角形對應角相等可得∠ADF=∠DCE,再求出∠DCF+∠CDF=90°,然后根據(jù)垂直的定義證明即可;
(3)先利用勾股定理,求出AG的長,再根據(jù)△ABG面積的兩種算法,求出BF的長度,根據(jù)勾股定理求出AF的長度,由AE=BF,EF=AF﹣AE,即可解答.
解答: 解:(1)∵DE⊥AG于點E,BF∥DE且交AG于點F,
∴BF⊥AG于點F,
∴∠AED=∠BFA=90°,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°,
∴∠BAF+∠EAD=90°,
∵∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠BAF=∠ADE,
在△AFB和△DEA中,
,
∴△AFB≌△DEA(AAS),
∴BF=AE;
(2)DF=CE且DF⊥CE.
理由如下:∵∠FAD+∠ADE=90°,∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°,
∴∠FAD=∠EDC,
∵△AFB≌△DEA,
∴AF=DE,
又∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=CD,
在△FAD和△EDC中,
,
∴△FAD≌△EDC(SAS),
∴DF=CE且∠ADF=∠DCE,
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°,
∴∠DCF+∠CDF=90°,
∴DF⊥CE;
(3)∵AB=4,BG=3,∠ABG=90°,
∴AG= ,
∵∠BFA=90°,
∴ AB•BG= AG•BF
即 ,
∴BF= ,
在Rt△AFB中,AF= ,
∵AE=BF,
∴EF=AF﹣AE=AF﹣BF= .
點評: 本題考查了正方形的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理,三角形的面積,熟記性質并確定出三角形全等的條件是解題的關鍵.
25.如圖,直線y=﹣ x+1交y軸于A點,交x軸于C點,以A,O,C為頂點作矩形AOCB,將矩形AOCB繞O點逆時針旋轉90°,得到矩形DOFE,直線AC交直線DF于G點.
(1)求直線DF的解析式;
(2)求證:OG平分∠CGD;
(3)在第一象限內,是否存在點H,使以G,O,H為頂點的三角形為等腰直角三角形?若存在請求出點H的坐標;若不存在,請什么理由.
考點: 一次函數(shù)綜合題.
分析: (1)首先根據(jù)直線y=﹣ x+1交y軸于A點,交x軸于C點,可得A點的坐標是(0,1),C點的坐標是(2,0);然后根據(jù)將矩形AOCB繞O點逆時針旋轉90°,得到矩形DOFE,可得F點的坐標是(0,2),D點的坐標是(﹣1,0);最后應用待定系數(shù)法,求出直線DF的解析式即可.
(2)首先作OM⊥DF,交DF于點M,作ON⊥CG,交CG于點N,再判斷出OM=ON;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出Rt△OMG≌Rt△ONG,即可判斷出∠MGO=∠NGO,所以OG平分∠CGD,據(jù)此解答即可.
(3)存在點H,使以G,O,H為頂點的三角形為等腰直角三角形.根據(jù)題意,分三種情況:①當∠OGH=90°時;②當∠GOH=90°時;③當∠GHO=90°時;然后根據(jù)等腰直角三角形的性質,分類討論,求出所有滿足題意的點H的坐標是多少即可.
解答: 解:(1)∵直線y=﹣ x+1交y軸于A點,交x軸于C點,
∴A點的坐標是(0,1),C點的坐標是(2,0),
∵將矩形AOCB繞O點逆時針旋轉90°,得到矩形DOFE,
∴F點的坐標是(0,2),D點的坐標是(﹣1,0),
設直線DF的解析式是y=kx+2,
∴﹣k+2=0,
解得k=2,
∴直線DF的解析式是:y=2x+2.
(2)如圖1,作OM⊥DF,交DF于點M,作ON⊥CG,交CG于點N,
,
在Rt△OAC和Rt△ODF中,
(HL)
∴Rt△OAC≌Rt△ODF,
又∵OM⊥DF,ON⊥CG,
∴OM=ON,
在Rt△OMG和Rt△ONG中,
(HL)
∴Rt△OMG≌Rt△ONG,
∴∠MGO=∠NGO,
∴OG平分∠CGD.
(3)存在點H,使以G,O,H為頂點的三角形為等腰直角三角形.
聯(lián)立
解得
∴點G的坐標是(﹣ , ),
∴OG= ,
∴OG所在的直線的斜率是: ,
?、偃鐖D2,
,
當∠OGH=90°時,
設點H的坐標是(a,b),
則
解得
∴點H的坐標是(0.8,1.6).
?、谌鐖D3,
,
當∠GOH=90°時,
設點H的坐標是(c,d),
則
解得
∴點H的坐標是(1.2,0.4).
③如圖4,
,
當∠GHO=90°時,
設點H的坐標是(e,f),
則
解得
∴點H的坐標是(0.4,0.8).
綜上,可得
存在點H,使以G,O,H為頂點的三角形為等腰直角三角形,
點H的坐標是(0.8,1.6)、(1.2,0.4)或(0.4,0.8).
點評: (1)此題主要考查了一次函數(shù)綜合題,考查了分析推理能力,考查了分類討論思想的應用,考查了數(shù)形結合思想的應用,考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息,并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力.
(2)此題還考查了等腰直角三角形的性質和應用,要熟練掌握,解答此題的關鍵是要明確:等腰直角三角形是一種特殊的三角形,具有所有三角形的性質,還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質.即:兩個銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高,三線合一,等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R,而高又為內切圓的直徑.
(3)此題還考查了待定系數(shù)法求直線解析式,以及全等三角形的判定和性質的應用,要熟練掌握.
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