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八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)期中測試題

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  八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)期中試題

  一、選擇題(本大題共8小題,每小題3分,共24分)

  1.下列學(xué)習(xí)用具中,不是軸對稱圖形的是( )

  A. B. C. D.

  2.下列各組數(shù)作為三角形的邊長,其中不能構(gòu)成直角三角形的是( )

  A.6,8,10 B.5,12,13 C.9,40,41 D.7,9,12

  3.如果等腰三角形兩邊長是6和3,那么它的周長是( )

  A.9 B.12 C.15或12 D.15

  4.如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪個(gè)條件不能判定△ABM≌△CDN( )

  A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM∥CN D.AM=CN

  5.電子鐘鏡子里的像如圖所示,實(shí)際時(shí)間是( )

  A.21:10 B.10:21 C.10:51 D.12:01

  6.如圖,DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線,如果BC=9cm,AB=11cm,則△EBC的周長為

  ( )

  A.9cm B.11cm C.20cm D.31cm

  7.在等腰△ABC中,AB=AC,中線BD將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩個(gè)部分,則這個(gè)等腰三角形的底邊長為( )

  A.7 B.11 C.7或11 D.7或10

  8.已知∠AOB=30°,點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部,點(diǎn)P1與點(diǎn)P關(guān)于OA對稱,點(diǎn)P2與點(diǎn)P關(guān)于OB對稱,則△P1OP2是( )

  A.含30°角的直角三角形 B.頂角是30°的等腰三角形

  C.等邊三角形 D.等腰直角三角形

  二、填空題(本大題共12小題,每小題2分,共24分)

  9.等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的大小為50°,則其頂角的大小為__________.

  10.如圖,已知B、E、F、C在同一直線上,BF=CE,AF=DE,則添加條件__________,可以判斷△ABF≌△DCE.

  11.如圖,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,則圖中等腰三角形有__________個(gè).

  12.已知,如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,若AC=4,BC=3,則CD=__________.

  13.如圖,由四個(gè)直角邊分別為5和4的全等直角三角形拼成“趙爽弦圖”,其中陰影部分面積為__________.

  14.若直角三角形中,一斜邊比一直角邊大2,且另一直角邊長為6,則斜邊為__________.

  15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,且CD=5,則點(diǎn)D到AB的距離為__________.

  16.如圖,將矩形紙片ABCD沿EF折疊后,點(diǎn)C、D分別落在點(diǎn)C′、D′處,若∠AFE=65°,則∠C′EF=__________度.

  17.如圖,等邊△ABC的邊長為1cm,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,且點(diǎn)A′在△ABC外部,則陰影部分圖形的周長為__________cm.

  18.如圖,把Rt△ABC(∠C=90°)折疊,使A、B兩點(diǎn)重合,得到折痕ED,再沿BE折疊,C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合,則∠A等于__________度.

  19.如圖,∠ACB=90°,E、F為AB上的點(diǎn),AE=AC,BC=BF,則∠ECF=__________.

  20.如圖,△ABC中,AB=17,BC=10,CA=21,AM平分∠BAC,點(diǎn)D、E分別為AM、AB上的動(dòng)點(diǎn),則BD+DE的最小值是__________.

  三、解答題(本 大題共有7小題,共52分.把解答過程寫在相對應(yīng)的位置上,解答時(shí)應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明,作圖 時(shí)用鉛筆)

  21.如圖,已知直線l及其同側(cè)兩點(diǎn)A、B.

  (1)在直線l上求一點(diǎn)P,使到A、B兩點(diǎn)距離之和最短;

  (2)在直線l上求一點(diǎn)O,使OA=OB.(請找出所有符合條件的點(diǎn),并簡要說明作法,保留作圖痕跡)

  22.如圖,已知,EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E;求證:BC=DC.

  23.如圖所示,在四邊形ABCD中,AC⊥DC,△ADC的面積為30cm2,DC=12cm,AB=3cm,BC=4cm,求△ABC的面積.

  24.等邊△ABC和等邊△ADE如圖放置,且B、C、E三點(diǎn)在一條直線上,連接CD.

  求證:∠ACD=60°.

  25.如圖,直線a、b相交于點(diǎn)A,C、E分別是直線b、a上兩點(diǎn)且BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M、N是EC、DB的中點(diǎn).求證:MN⊥BD.

  26.如圖,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.

  (1)求證:△BCE≌△DCF;

  (2)若AB=17,AD=9,求AE的長.

  27.如圖,四邊形ABCD,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,AB=4,BC=9.

  (1)求CD的長為__________.

  (2)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),連接DP.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,則當(dāng)t為何值時(shí),△PDC為等腰三角形?

  八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)期中測試題參考答案

  一、選擇題(本大題共8小題,每小題3分,共24分)

  1.下列學(xué)習(xí)用具中,不是軸對稱圖形的是( )

  A. B. C. D.

  【考點(diǎn)】軸對稱圖形.

  【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念:把一個(gè)圖形沿著某條直線折疊,兩邊能夠重合的圖形是軸對稱圖形,對各選項(xiàng)判斷即可.

  【解答】解:A、是軸對稱圖形,不合題意,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

  B、是軸對稱圖形,不合題意,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

  C、不是軸對稱圖形,符合題意,故本選項(xiàng)正確;

  D、是軸對稱圖形,不合題意,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 ;

  故選:C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對稱圖形的知識(shí),屬于基礎(chǔ)題,判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸.

  2.下列各組數(shù)作為三角形的邊長,其中不能構(gòu)成直角三角形的是( )

  A.6,8,10 B.5,12,13 C.9,40,41 D.7,9,12

  【考點(diǎn)】勾股數(shù).

  【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對四個(gè)答案進(jìn)行逐一判斷即可.

  【解答】解:A、∵62+82=102=100,∴能構(gòu)成直角三角形;

  B、52+122=132=169,∴能構(gòu)成直角三角形;

  C、92+402=412=1681,∴能構(gòu)成直角三角形;

  D、∵72+92≠122,∴不能構(gòu)成直角三角形.

  故選D.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀,即若三角形的三邊符合a2+b2=c2,則此三角形是直角三角形.

  3.如果等腰三角形兩邊長是6和3,那么它的周長是( )

  A.9 B.12 C.15或12 D.15

  【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.

  【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為6和3,而沒有明確腰、底分別是多少,所以要進(jìn)行討論,還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

  【解答】解:當(dāng)腰為3時(shí),3+3=6,不能構(gòu)成三角形,因此這種情況不成立.

  當(dāng)腰為6時(shí),6﹣3<6<6+3,能構(gòu)成三角形;

  此時(shí)等腰三角形的周長為6+6+3=15.

  故選D.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系;題目從邊的方面考查三角形,涉及分類討論的思想方法.求三角形的周長,不能盲目地將三邊長相加起來,而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣,把不符合題意的舍去.

  4.如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪個(gè)條件不能判定△ABM≌△CDN( )

  A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM∥CN D.AM=CN

  【考點(diǎn)】全等三角形的判定.

  【分析】利用三角形全等的條件分別進(jìn)行分析即可.

  【解答】解:A、加上∠M=∠N可利用ASA定理證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)不合題意;

  B、加上AB=CD可利用SAS定理證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)不合題意;

  C、加上AM∥CN可證明∠A=∠NCB,可利用ASA定理證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)不合題意;

  D、加上AM=CN不能證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)符合題意;

  故選:D.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法,判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

  注意:AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等,判定兩個(gè)三角形全等時(shí),必須有邊的參與,若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí),角必須是兩邊的夾角.

  5.電子鐘鏡子里的像如圖所示,實(shí)際時(shí)間是( )

  A.21:10 B.10:21 C.10:51 D.12:01

  【考點(diǎn)】鏡面對稱.

  【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解,在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒,且關(guān)于鏡面對稱.

  【解答】解:根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì),分析可得題中所顯示的圖片與10:51成軸對稱,所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為10:51.

  故選C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì).解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察,注意技巧.

  6.如圖,DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線,如果BC=9cm,AB=11cm,則△EBC的周長為

  ( )

  A.9cm B.11cm C.20cm D.31cm

  【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).

  【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE,故可得出AB=AE+BE=CE+BE,由此即可得出結(jié)論.

  【解答】解:∵DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線,BC=9cm,AB=11cm,

  ∴AE=CE,

  ∴AB=AE+BE=CE+BE=11cm,

  ∴△EBC的周長=BC+(CE+BE)=BC+AB=9+11=20cm.

  故選C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段2垂直平分線的性質(zhì),熟知垂直平分線上任意一點(diǎn),到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.

  7.在等腰△ABC中,AB=AC,中線BD將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩個(gè)部分,則這個(gè)等腰三角形的底邊長為( )

  A.7 B.11 C.7或11 D.7或10

  【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.

  【專題】分類討論.

  【分析】題中給出了周長關(guān)系,要求底邊長,首先應(yīng)先想到等腰三角形的兩腰相等,尋找問題中的等量關(guān)系,列方程求解,然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證答案.

  【解答】解:設(shè)等腰三角形的底邊長為x,腰長為y,則根據(jù)題意,

  得① 或②

  解方程組①得: ,根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理,此時(shí)能組成三角形;

  解方程組②得: ,根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理此時(shí)能組成三角形,

  即等腰三角形的底邊長是11或7;

  故選C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算.學(xué)生在解決本題時(shí),有的同學(xué)會(huì)審題錯(cuò)誤,以為15,12中包含著中線BD的長,從而無法解決問題,有的同學(xué)會(huì)忽略掉等腰三角形的分情況討論而漏掉其中一種情況;注意:求出的結(jié)果要看看是否符合三角形的三邊關(guān)系定理.故解決本題最好先畫出圖形再作答.

  8.已知∠AOB=30°,點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部,點(diǎn)P1與點(diǎn)P關(guān)于OA對稱,點(diǎn)P2與點(diǎn)P關(guān)于OB對稱,則△P1OP2是( )

  A.含30°角的直角三角形 B.頂角是30°的等腰三角形

  C.等邊三角形 D.等腰直角三角形

  【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì).

  【專題】證明題.

  【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì),結(jié)合等邊三角形的判定求解.

  【解答】解:∵P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)分別為P1、P2,

  ∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°,

  ∴故△P1OP2是等邊三角形.

  故選C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對稱的性質(zhì),對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直,對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分,對稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等,對應(yīng)的角、線段都相等.

  二、填空題(本大題共12小題,每小題2分,共24 分)

  9.等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的大小為50°,則其頂角的大小為50°或80°.

  【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).

  【分析】可知有兩種情況(頂角是50°和底角是50°時(shí)),由等邊對等角求出底角的度數(shù),用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù).

  【解答】解:如圖所示,△ABC中,AB=AC.

  有兩種情況:

  ①頂角∠A=50°;

 ?、诋?dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí),

  ∵AB=AC,

  ∴∠B=∠C=50°,

  ∵∠A+∠B+∠C=180°,

  ∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°,

  ∴這個(gè)等腰三角形的頂角為50°和80°.

  故答案為:50°和80°.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理的理解和掌握,能對有的問題正確地進(jìn)行分類討論是解答此題的關(guān)鍵.

  10.如圖,已知B、E、F、C在同一直線上,BF=CE,AF=DE,則添加條件AB=DC(或∠AFB=∠DEC),可以判斷△ABF≌△DCE.

  【考點(diǎn)】全等三角形的判定.

  【專題】開放型.

  【分析】已知兩組邊對應(yīng)相等,可再加第三組邊相等或已知兩組邊的夾角相等都可以.

  【解答】解:由條件可再添加AB=DC,

  在△ABF和△DCE中,

  ,

  ∴△ABF≌△DCE(SSS),

  也可添加∠AFB=∠DEC,

  在△ABF和△DCE中,

  ,

  ∴△ABF≌△DCE(SAS),

  故答案為:AB=DC(或∠AFB=∠DEC).

  【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法,即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵.

  11.如圖,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,則圖中等腰三角形有3個(gè).

  【考點(diǎn)】等腰三角形的判定;三角形內(nèi)角和定理;角平分線的性質(zhì).

  【分析】由已知條件,根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180、角的平分線的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù),然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋,注意做到由易到難,不重不漏.

  【解答】解:∵∠C=72°,∠DBC=36°,∠A=36°,

  ∴∠ABD=180°﹣72°﹣36°﹣36°=36°=∠A,

  ∴AD=BD,△ADB是等腰三角形,

  ∵根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°=∠C,

  ∴BD=BC,△BDC是等腰三角形,

  ∵∠C=∠ABC=72°,

  ∴AB=AC,△ABC是等腰三角形.

  故圖中共3個(gè)等腰三角形.

  故答案為:3.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的 性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理;由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.

  12.已知,如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,若AC=4,BC=3,則CD= .

  【考點(diǎn)】勾股定理.

  【專題】計(jì)算題.

  【分析】根據(jù)勾股定理求得AB的長,再根據(jù)三角形的面積公式求得CD即可.

  【 解答】解:∵AC=4,BC=3,

  ∴AB=5,

  ∵S△ABC= ×3×4= ×5×CD,

  ∴CD= .

  故答案為: .

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形面積的不同表示方法及勾股定理的綜合應(yīng)用.

  13.如圖,由四個(gè)直角邊分別為5和4的全等直角三角形拼成“趙爽弦圖”,其中陰影部分面積為1.

  【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì).

  【分析】求出陰影部分的正方形的邊長,即可得到面積.

  【解答】解:∵四個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別是5和4,

  ∴陰影部分的正方形的邊長為5﹣4=1,

  ∴陰影部分面積為1×1=1.

  故答案為:1.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“趙爽弦圖”,正方形的面積,熟悉“趙爽弦圖”中小正方形的邊長等于四個(gè)全等的直角三角形中兩直角邊的差是解題的關(guān)鍵.

  14.若直角三角形中,一斜邊比一直角邊大2,且另一直角邊長為6,則斜邊為10.

  【考點(diǎn)】勾股定理.

  【專題】探究型.

  【分析】設(shè)一條直角邊為a,則斜邊為a+2,再根據(jù)勾股定理求出a的值即可.

  【解答】解:設(shè)一條直角邊為a,則斜邊為a+2,

  ∵另一直角邊長為6,

  ∴(a+2)2=a2+62,解得a=8,

  ∴a+2=8+2=10.

  故答案為:10.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理,根據(jù)題意設(shè)出直角三角形的斜邊及直角邊的長是解答此題的關(guān)鍵.

  15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,且CD=5,則點(diǎn)D到AB的距離為5.

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【分析】直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論.

  【解答】解:過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E,則DE即為所求,

  ∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,

  ∴CD=DE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等),

  ∵CD=5,

  ∴DE=5.

  故答案為:5.

  【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì),熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.

  16 .如圖,將矩形紙片ABCD沿EF折疊后,點(diǎn)C、D分別落在點(diǎn)C′、D′處,若∠AFE=65°,則∠C′EF=65度.

  【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).

  【專題】應(yīng)用題;壓軸題.

  【分析】利用矩形ABCD可知,AD∥BC,所以∠FEC=∠AFE=65°,又因?yàn)檠谽F折疊,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠C的度數(shù).

  【解答】解:∵AD∥BC

  ∴∠FEC=∠AFE=65°

  又∵沿EF折疊

  ∴∠C′EF=∠FEC=65°.

  【點(diǎn)評(píng)】本題利用了:①折疊的性質(zhì):折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等;②平行線的性質(zhì)求解.

  17.如圖,等邊△ABC的邊長為1cm,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,且點(diǎn)A′在△ABC外部,則陰影部分圖形的周長為3cm.

  【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);軸對稱的性質(zhì).

  【分析】由題意得AE=A′E,AD=A′D,故陰影部分的周長可以轉(zhuǎn)化為三角形ABC的周長.

  【解答】解:將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,

  所以AD=A′D,AE=A′E.

  則陰影部分圖形的周長等于BC+BD+CE+A′D+A′E,

  =BC+BD+CE+AD+AE,

  =BC+AB+AC,

  =3cm.

  故答案為:3.

  【點(diǎn)評(píng)】折疊問題的實(shí)質(zhì)是“軸對稱”,解題關(guān)鍵是找出經(jīng)軸對稱變換所得的等量關(guān)系.

  18.如圖,把Rt△ABC(∠C=90°)折疊,使A、B兩點(diǎn)重合,得到折痕ED,再沿BE折疊,C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合,則∠A等于30度.

  【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);銳角三角函數(shù)的定義.

  【分析】由折疊的性質(zhì)知,AD=BD=BC,可求得sinA= ,所以可得∠A=30°.

  【解答】解:根據(jù)折疊的性質(zhì)得AD=BD=BC.

  ∴sinA=BC:AB= ,

  ∴∠A=30°.

  【點(diǎn)評(píng)】本題利用了:①折疊的性質(zhì):折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等;②正弦的概念.熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

  19.如圖,∠ACB=90°,E、F為AB上的點(diǎn),AE=AC,BC=BF,則∠ECF=45°.

  【考點(diǎn) 】等腰三角形的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得:∠AEC=∠ACE= ,∠BFC=∠BCF= ,從而利用F∠EC=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB= + ﹣90°=45°求解.

  【解答】解:∵AE=AC,BC=BF,

  ∴∠AEC=∠ACE= ,∠BFC=∠BCF= ,

  ∴∠ECF=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB= + ﹣90°=45°,

  故答案為:45°.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)中的等邊對等角,難度較小,解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)要求的角和直角之間的關(guān)系.

  20.如圖,△ABC中,AB=17,BC=10,CA=21,AM平分∠BAC,點(diǎn)D、E分別為AM、AB上的動(dòng)點(diǎn),則BD+DE的最小值是8.

  【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.

  【分析】過B點(diǎn)作BF⊥AC于點(diǎn)F,BF與AM交于D點(diǎn),根據(jù)三角形兩邊之和小于第三邊,可知BD+DE的最小值是線段BF的長,根據(jù)勾股定理列出方程組即可求解.

  【解答】解:過B點(diǎn)作BF⊥AC于點(diǎn)F,BF與AM交于D點(diǎn).

  設(shè)AF=x,則CF=21﹣x,依題意有

  ,

  解得 , (負(fù)值舍去).

  故BD+DE的最小值是8.

  故答案為:8.

  【點(diǎn)評(píng)】考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題,勾股定理和解方程組,理解BD+DE的最小值是AC邊的高的長是解題的難點(diǎn).

  三、解答題(本大題共有7小題,共52分.把解答過程寫在相對應(yīng)的位置上,解答時(shí)應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明,作圖時(shí)用鉛筆)

  21.如圖,已知直線l及其同側(cè)兩點(diǎn)A、B.

  (1)在直線l上求一點(diǎn)P,使到A、B兩點(diǎn)距離之和最短;

  (2)在直線l上求一點(diǎn)O,使OA=OB.(請找出所有符合條件的點(diǎn),并簡要說明作法,保留作圖痕跡)

  【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.

  【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)P,則P為所求點(diǎn);

  (2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)連接AB,在作出線段AB的垂直平分線即可;

  【解答】解:(1)作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求的點(diǎn);

  (2)連接AB,作AB的中垂線,交l于點(diǎn)O,點(diǎn)O即為所求的點(diǎn).

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題,線段的垂直平分線,主要考查學(xué)生的理解能力和動(dòng)手操作能力,題目比較典型,是一道比較好的題目.

  22.如圖,已知,EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E;求證:BC=DC.

  【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).

  【專題】證明題.

  【分析】先求出∠ACB=∠ECD,再利用“角邊角”證明△ABC和△EDC全等,然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可.

  【解答】證明:∵∠BCE=∠DCA,

  ∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE,

  即∠ACB=∠ECD,

  在△ABC和△EDC中, ,

  ∴△ABC≌△EDC(ASA),

  ∴BC=DC.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),求出相等的角∠ACB=∠ECD是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).

  23.如圖所示,在四邊形ABCD中,AC⊥DC,△ADC的面積為30cm2,DC=12cm,AB=3cm,BC=4cm,求△ABC的面積.

  【考點(diǎn)】勾股定理.

  【分析】利用三角形的面積求出AC的長度,在△ABC中根據(jù)勾股定理逆定理可以得出是直角三角形.面積等于兩直角邊乘積的一半.

  【解答】解:在Rt△ACD中,

  S△ACD= AC•CD=30,

  ∵DC=12cm,

  ∴AC=5cm,

  ∵AB2+BC2=25,

  AC2=52=25,

  ∴AB2+BC2=AC2,

  ∴S△ABC= AB.BC= ×3×4=6cm2.

  【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)面積求出一直角邊的長度,再利用勾股定理逆定理判斷出直角三角形,面積就可以求出了.

  24.等邊△ABC和等邊△ADE如圖放置,且B、C、E三點(diǎn)在一條直 線上,連接CD.

  求證:∠ACD=60°.

  【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).

  【專題】證明題.

  【分析】易證△ABE≌△ACD,即可得出∠B=∠ACD.

  【解答】證明:∵等邊△ABC和等邊△ADE,

  ∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°,

  ∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,

  即∠BAE=∠CAD,

  ∴△ABE≌△ACD,

  ∴∠B=∠ACD,

  ∵∠B=60°,

  ∴∠ACD=60°.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),是基礎(chǔ)題,但也要細(xì)心.

  25.如圖,直線a、b相交于點(diǎn)A,C、E分別是直線b、a上兩點(diǎn)且BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M、N是EC、DB的中點(diǎn).求證:MN⊥BD.

  【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線;等腰三角形的判定與性質(zhì).

  【專題】證明題.

  【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM= EC,BM= EC,從而得到DM=BM,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明.

  【解答】證明 :∵BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M是EC的中點(diǎn),

  ∴DM= EC,BM= EC,

  ∴DM=BM,

  ∵點(diǎn)N是BD的中點(diǎn),

  ∴MN ⊥BD.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

  26.如圖,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.

  (1)求證:△BCE≌△DCF;

  (2)若AB=17,AD=9,求AE的長.

  【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì).

  【分析】(1)求出CE=CF,∠F=∠CEB=90°,根據(jù)HL證出兩三角形全等即可.

  (2)求出DF=BE,證Rt△AFC≌ Rt△AEC,推出AF=AE,設(shè)DF=BE=x,得出方程17﹣x=9+x,求出x,即可求出答案.

  【解答】(1)證明:∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,

  ∴CE=C F,∠F=∠CEB=90°,

  在Rt△BCE與Rt△DCF中, ,

  ∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL);

  (2)解:∵Rt△BCE≌Rt△DCF,

  ∴DF=BE,

  ∵∠F=∠CEA=90°,

  ∴在Rt△AFC和Rt△AEC中

  ∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL),

  ∴AF=AE,

  設(shè)DF=BE=x

  ∵AB=17,AD=9,

  ∴17﹣x=9+x

  解得:x=4

  ∴AE=17﹣4=13.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,注意:全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.直角三角形全等的判定定理是SAS,ASA,AAS,SSS,HL.

  27.如圖,四邊形ABCD,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,AB=4,BC=9.

  (1)求CD的長為5.

  (2)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),連接DP.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,則當(dāng)t為何值時(shí),△PDC為等腰三角形?

  【考點(diǎn)】勾股定理;等腰三角形的判定.

  【專題】動(dòng)點(diǎn)型.

  【分析】(1)過點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,先判斷出四邊形ABED是矩形,在Rt△DCE中根據(jù)勾股定理即可得出CD的長;

  (2)過點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,由題意得PC=9﹣t,PE=6﹣t.再分CD=CP,CD=PD,PD=PC三種情況進(jìn)行討論.

  【解答】解:(1)過點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,

  ∵AD∥BC,∠B=90°,

  ∴四邊 形ABED是矩形,

  ∴BE=AD=6,DE=AB=4,

  ∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3,

  在Rt△DCE中,CD= = =5.

  故答案為:5;

  (2)過點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,由題意得PC=9﹣t,PE=6﹣t.

  當(dāng)CD=CP時(shí),5=9﹣t,解得t=4;

  當(dāng)CD=PD時(shí),E為PC中點(diǎn),

  ∴6﹣t=3,

  ∴t=3;

  當(dāng)PD=PC時(shí),PD2=PC2,

  ∴(6﹣t)2+42=(9﹣t)2,

  解得t= .

  故t的值為t=3或4或 .

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

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