八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中測(cè)試題
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八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中試題
一、選擇題(本大題共8小題,每小題3分,共24分)
1.下列學(xué)習(xí)用具中,不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各組數(shù)作為三角形的邊長(zhǎng),其中不能構(gòu)成直角三角形的是( )
A.6,8,10 B.5,12,13 C.9,40,41 D.7,9,12
3.如果等腰三角形兩邊長(zhǎng)是6和3,那么它的周長(zhǎng)是( )
A.9 B.12 C.15或12 D.15
4.如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪個(gè)條件不能判定△ABM≌△CDN( )
A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM∥CN D.AM=CN
5.電子鐘鏡子里的像如圖所示,實(shí)際時(shí)間是( )
A.21:10 B.10:21 C.10:51 D.12:01
6.如圖,DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線,如果BC=9cm,AB=11cm,則△EBC的周長(zhǎng)為
( )
A.9cm B.11cm C.20cm D.31cm
7.在等腰△ABC中,AB=AC,中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15和12兩個(gè)部分,則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為( )
A.7 B.11 C.7或11 D.7或10
8.已知∠AOB=30°,點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部,點(diǎn)P1與點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱,點(diǎn)P2與點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱,則△P1OP2是( )
A.含30°角的直角三角形 B.頂角是30°的等腰三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
二、填空題(本大題共12小題,每小題2分,共24分)
9.等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的大小為50°,則其頂角的大小為_(kāi)_________.
10.如圖,已知B、E、F、C在同一直線上,BF=CE,AF=DE,則添加條件__________,可以判斷△ABF≌△DCE.
11.如圖,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,則圖中等腰三角形有__________個(gè).
12.已知,如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,若AC=4,BC=3,則CD=__________.
13.如圖,由四個(gè)直角邊分別為5和4的全等直角三角形拼成“趙爽弦圖”,其中陰影部分面積為_(kāi)_________.
14.若直角三角形中,一斜邊比一直角邊大2,且另一直角邊長(zhǎng)為6,則斜邊為_(kāi)_________.
15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,且CD=5,則點(diǎn)D到AB的距離為_(kāi)_________.
16.如圖,將矩形紙片ABCD沿EF折疊后,點(diǎn)C、D分別落在點(diǎn)C′、D′處,若∠AFE=65°,則∠C′EF=__________度.
17.如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1cm,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,且點(diǎn)A′在△ABC外部,則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為_(kāi)_________cm.
18.如圖,把Rt△ABC(∠C=90°)折疊,使A、B兩點(diǎn)重合,得到折痕ED,再沿BE折疊,C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合,則∠A等于__________度.
19.如圖,∠ACB=90°,E、F為AB上的點(diǎn),AE=AC,BC=BF,則∠ECF=__________.
20.如圖,△ABC中,AB=17,BC=10,CA=21,AM平分∠BAC,點(diǎn)D、E分別為AM、AB上的動(dòng)點(diǎn),則BD+DE的最小值是__________.
三、解答題(本 大題共有7小題,共52分.把解答過(guò)程寫(xiě)在相對(duì)應(yīng)的位置上,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的計(jì)算過(guò)程、推演步驟或文字說(shuō)明,作圖 時(shí)用鉛筆)
21.如圖,已知直線l及其同側(cè)兩點(diǎn)A、B.
(1)在直線l上求一點(diǎn)P,使到A、B兩點(diǎn)距離之和最短;
(2)在直線l上求一點(diǎn)O,使OA=OB.(請(qǐng)找出所有符合條件的點(diǎn),并簡(jiǎn)要說(shuō)明作法,保留作圖痕跡)
22.如圖,已知,EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E;求證:BC=DC.
23.如圖所示,在四邊形ABCD中,AC⊥DC,△ADC的面積為30cm2,DC=12cm,AB=3cm,BC=4cm,求△ABC的面積.
24.等邊△ABC和等邊△ADE如圖放置,且B、C、E三點(diǎn)在一條直線上,連接CD.
求證:∠ACD=60°.
25.如圖,直線a、b相交于點(diǎn)A,C、E分別是直線b、a上兩點(diǎn)且BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M、N是EC、DB的中點(diǎn).求證:MN⊥BD.
26.如圖,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.
(1)求證:△BCE≌△DCF;
(2)若AB=17,AD=9,求AE的長(zhǎng).
27.如圖,四邊形ABCD,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,AB=4,BC=9.
(1)求CD的長(zhǎng)為_(kāi)_________.
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),連接DP.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,則當(dāng)t為何值時(shí),△PDC為等腰三角形?
八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中測(cè)試題參考答案
一、選擇題(本大題共8小題,每小題3分,共24分)
1.下列學(xué)習(xí)用具中,不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念:把一個(gè)圖形沿著某條直線折疊,兩邊能夠重合的圖形是軸對(duì)稱圖形,對(duì)各選項(xiàng)判斷即可.
【解答】解:A、是軸對(duì)稱圖形,不合題意,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是軸對(duì)稱圖形,不合題意,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、不是軸對(duì)稱圖形,符合題意,故本選項(xiàng)正確;
D、是軸對(duì)稱圖形,不合題意,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 ;
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí),屬于基礎(chǔ)題,判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸.
2.下列各組數(shù)作為三角形的邊長(zhǎng),其中不能構(gòu)成直角三角形的是( )
A.6,8,10 B.5,12,13 C.9,40,41 D.7,9,12
【考點(diǎn)】勾股數(shù).
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)四個(gè)答案進(jìn)行逐一判斷即可.
【解答】解:A、∵62+82=102=100,∴能構(gòu)成直角三角形;
B、52+122=132=169,∴能構(gòu)成直角三角形;
C、92+402=412=1681,∴能構(gòu)成直角三角形;
D、∵72+92≠122,∴不能構(gòu)成直角三角形.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀,即若三角形的三邊符合a2+b2=c2,則此三角形是直角三角形.
3.如果等腰三角形兩邊長(zhǎng)是6和3,那么它的周長(zhǎng)是( )
A.9 B.12 C.15或12 D.15
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為6和3,而沒(méi)有明確腰、底分別是多少,所以要進(jìn)行討論,還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.
【解答】解:當(dāng)腰為3時(shí),3+3=6,不能構(gòu)成三角形,因此這種情況不成立.
當(dāng)腰為6時(shí),6﹣3<6<6+3,能構(gòu)成三角形;
此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為6+6+3=15.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系;題目從邊的方面考查三角形,涉及分類(lèi)討論的思想方法.求三角形的周長(zhǎng),不能盲目地將三邊長(zhǎng)相加起來(lái),而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)能否組成三角形的好習(xí)慣,把不符合題意的舍去.
4.如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪個(gè)條件不能判定△ABM≌△CDN( )
A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM∥CN D.AM=CN
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】利用三角形全等的條件分別進(jìn)行分析即可.
【解答】解:A、加上∠M=∠N可利用ASA定理證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)不合題意;
B、加上AB=CD可利用SAS定理證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)不合題意;
C、加上AM∥CN可證明∠A=∠NCB,可利用ASA定理證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)不合題意;
D、加上AM=CN不能證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)符合題意;
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法,判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等,判定兩個(gè)三角形全等時(shí),必須有邊的參與,若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí),角必須是兩邊的夾角.
5.電子鐘鏡子里的像如圖所示,實(shí)際時(shí)間是( )
A.21:10 B.10:21 C.10:51 D.12:01
【考點(diǎn)】鏡面對(duì)稱.
【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解,在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒,且關(guān)于鏡面對(duì)稱.
【解答】解:根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì),分析可得題中所顯示的圖片與10:51成軸對(duì)稱,所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為10:51.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì).解決此類(lèi)題應(yīng)認(rèn)真觀察,注意技巧.
6.如圖,DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線,如果BC=9cm,AB=11cm,則△EBC的周長(zhǎng)為
( )
A.9cm B.11cm C.20cm D.31cm
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE,故可得出AB=AE+BE=CE+BE,由此即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線,BC=9cm,AB=11cm,
∴AE=CE,
∴AB=AE+BE=CE+BE=11cm,
∴△EBC的周長(zhǎng)=BC+(CE+BE)=BC+AB=9+11=20cm.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段2垂直平分線的性質(zhì),熟知垂直平分線上任意一點(diǎn),到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.
7.在等腰△ABC中,AB=AC,中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15和12兩個(gè)部分,則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為( )
A.7 B.11 C.7或11 D.7或10
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【專(zhuān)題】分類(lèi)討論.
【分析】題中給出了周長(zhǎng)關(guān)系,要求底邊長(zhǎng),首先應(yīng)先想到等腰三角形的兩腰相等,尋找問(wèn)題中的等量關(guān)系,列方程求解,然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證答案.
【解答】解:設(shè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為x,腰長(zhǎng)為y,則根據(jù)題意,
得① 或②
解方程組①得: ,根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理,此時(shí)能組成三角形;
解方程組②得: ,根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理此時(shí)能組成三角形,
即等腰三角形的底邊長(zhǎng)是11或7;
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算.學(xué)生在解決本題時(shí),有的同學(xué)會(huì)審題錯(cuò)誤,以為15,12中包含著中線BD的長(zhǎng),從而無(wú)法解決問(wèn)題,有的同學(xué)會(huì)忽略掉等腰三角形的分情況討論而漏掉其中一種情況;注意:求出的結(jié)果要看看是否符合三角形的三邊關(guān)系定理.故解決本題最好先畫(huà)出圖形再作答.
8.已知∠AOB=30°,點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部,點(diǎn)P1與點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱,點(diǎn)P2與點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱,則△P1OP2是( )
A.含30°角的直角三角形 B.頂角是30°的等腰三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì).
【專(zhuān)題】證明題.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),結(jié)合等邊三角形的判定求解.
【解答】解:∵P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為P1、P2,
∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°,
∴故△P1OP2是等邊三角形.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì),對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直,對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分,對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等,對(duì)應(yīng)的角、線段都相等.
二、填空題(本大題共12小題,每小題2分,共24 分)
9.等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的大小為50°,則其頂角的大小為50°或80°.
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】可知有兩種情況(頂角是50°和底角是50°時(shí)),由等邊對(duì)等角求出底角的度數(shù),用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù).
【解答】解:如圖所示,△ABC中,AB=AC.
有兩種情況:
?、夙斀?ang;A=50°;
?、诋?dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí),
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=50°,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°,
∴這個(gè)等腰三角形的頂角為50°和80°.
故答案為:50°和80°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理的理解和掌握,能對(duì)有的問(wèn)題正確地進(jìn)行分類(lèi)討論是解答此題的關(guān)鍵.
10.如圖,已知B、E、F、C在同一直線上,BF=CE,AF=DE,則添加條件AB=DC(或∠AFB=∠DEC),可以判斷△ABF≌△DCE.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【專(zhuān)題】開(kāi)放型.
【分析】已知兩組邊對(duì)應(yīng)相等,可再加第三組邊相等或已知兩組邊的夾角相等都可以.
【解答】解:由條件可再添加AB=DC,
在△ABF和△DCE中,
,
∴△ABF≌△DCE(SSS),
也可添加∠AFB=∠DEC,
在△ABF和△DCE中,
,
∴△ABF≌△DCE(SAS),
故答案為:AB=DC(或∠AFB=∠DEC).
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法,即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵.
11.如圖,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,則圖中等腰三角形有3個(gè).
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定;三角形內(nèi)角和定理;角平分線的性質(zhì).
【分析】由已知條件,根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180、角的平分線的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù),然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋,注意做到由易到難,不重不漏.
【解答】解:∵∠C=72°,∠DBC=36°,∠A=36°,
∴∠ABD=180°﹣72°﹣36°﹣36°=36°=∠A,
∴AD=BD,△ADB是等腰三角形,
∵根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°=∠C,
∴BD=BC,△BDC是等腰三角形,
∵∠C=∠ABC=72°,
∴AB=AC,△ABC是等腰三角形.
故圖中共3個(gè)等腰三角形.
故答案為:3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的 性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理;由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.
12.已知,如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,若AC=4,BC=3,則CD= .
【考點(diǎn)】勾股定理.
【專(zhuān)題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng),再根據(jù)三角形的面積公式求得CD即可.
【 解答】解:∵AC=4,BC=3,
∴AB=5,
∵S△ABC= ×3×4= ×5×CD,
∴CD= .
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形面積的不同表示方法及勾股定理的綜合應(yīng)用.
13.如圖,由四個(gè)直角邊分別為5和4的全等直角三角形拼成“趙爽弦圖”,其中陰影部分面積為1.
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì).
【分析】求出陰影部分的正方形的邊長(zhǎng),即可得到面積.
【解答】解:∵四個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別是5和4,
∴陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)為5﹣4=1,
∴陰影部分面積為1×1=1.
故答案為:1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“趙爽弦圖”,正方形的面積,熟悉“趙爽弦圖”中小正方形的邊長(zhǎng)等于四個(gè)全等的直角三角形中兩直角邊的差是解題的關(guān)鍵.
14.若直角三角形中,一斜邊比一直角邊大2,且另一直角邊長(zhǎng)為6,則斜邊為10.
【考點(diǎn)】勾股定理.
【專(zhuān)題】探究型.
【分析】設(shè)一條直角邊為a,則斜邊為a+2,再根據(jù)勾股定理求出a的值即可.
【解答】解:設(shè)一條直角邊為a,則斜邊為a+2,
∵另一直角邊長(zhǎng)為6,
∴(a+2)2=a2+62,解得a=8,
∴a+2=8+2=10.
故答案為:10.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理,根據(jù)題意設(shè)出直角三角形的斜邊及直角邊的長(zhǎng)是解答此題的關(guān)鍵.
15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,且CD=5,則點(diǎn)D到AB的距離為5.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論.
【解答】解:過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E,則DE即為所求,
∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,
∴CD=DE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等),
∵CD=5,
∴DE=5.
故答案為:5.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì),熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.
16 .如圖,將矩形紙片ABCD沿EF折疊后,點(diǎn)C、D分別落在點(diǎn)C′、D′處,若∠AFE=65°,則∠C′EF=65度.
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題).
【專(zhuān)題】應(yīng)用題;壓軸題.
【分析】利用矩形ABCD可知,AD∥BC,所以∠FEC=∠AFE=65°,又因?yàn)檠谽F折疊,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠C的度數(shù).
【解答】解:∵AD∥BC
∴∠FEC=∠AFE=65°
又∵沿EF折疊
∴∠C′EF=∠FEC=65°.
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了:①折疊的性質(zhì):折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等;②平行線的性質(zhì)求解.
17.如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1cm,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,且點(diǎn)A′在△ABC外部,則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為3cm.
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);軸對(duì)稱的性質(zhì).
【分析】由題意得AE=A′E,AD=A′D,故陰影部分的周長(zhǎng)可以轉(zhuǎn)化為三角形ABC的周長(zhǎng).
【解答】解:將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,
所以AD=A′D,AE=A′E.
則陰影部分圖形的周長(zhǎng)等于BC+BD+CE+A′D+A′E,
=BC+BD+CE+AD+AE,
=BC+AB+AC,
=3cm.
故答案為:3.
【點(diǎn)評(píng)】折疊問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是“軸對(duì)稱”,解題關(guān)鍵是找出經(jīng)軸對(duì)稱變換所得的等量關(guān)系.
18.如圖,把Rt△ABC(∠C=90°)折疊,使A、B兩點(diǎn)重合,得到折痕ED,再沿BE折疊,C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合,則∠A等于30度.
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】由折疊的性質(zhì)知,AD=BD=BC,可求得sinA= ,所以可得∠A=30°.
【解答】解:根據(jù)折疊的性質(zhì)得AD=BD=BC.
∴sinA=BC:AB= ,
∴∠A=30°.
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了:①折疊的性質(zhì):折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等;②正弦的概念.熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.
19.如圖,∠ACB=90°,E、F為AB上的點(diǎn),AE=AC,BC=BF,則∠ECF=45°.
【考點(diǎn) 】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得:∠AEC=∠ACE= ,∠BFC=∠BCF= ,從而利用F∠EC=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB= + ﹣90°=45°求解.
【解答】解:∵AE=AC,BC=BF,
∴∠AEC=∠ACE= ,∠BFC=∠BCF= ,
∴∠ECF=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB= + ﹣90°=45°,
故答案為:45°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)中的等邊對(duì)等角,難度較小,解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)要求的角和直角之間的關(guān)系.
20.如圖,△ABC中,AB=17,BC=10,CA=21,AM平分∠BAC,點(diǎn)D、E分別為AM、AB上的動(dòng)點(diǎn),則BD+DE的最小值是8.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.
【分析】過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AC于點(diǎn)F,BF與AM交于D點(diǎn),根據(jù)三角形兩邊之和小于第三邊,可知BD+DE的最小值是線段BF的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理列出方程組即可求解.
【解答】解:過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AC于點(diǎn)F,BF與AM交于D點(diǎn).
設(shè)AF=x,則CF=21﹣x,依題意有
,
解得 , (負(fù)值舍去).
故BD+DE的最小值是8.
故答案為:8.
【點(diǎn)評(píng)】考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題,勾股定理和解方程組,理解BD+DE的最小值是AC邊的高的長(zhǎng)是解題的難點(diǎn).
三、解答題(本大題共有7小題,共52分.把解答過(guò)程寫(xiě)在相對(duì)應(yīng)的位置上,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的計(jì)算過(guò)程、推演步驟或文字說(shuō)明,作圖時(shí)用鉛筆)
21.如圖,已知直線l及其同側(cè)兩點(diǎn)A、B.
(1)在直線l上求一點(diǎn)P,使到A、B兩點(diǎn)距離之和最短;
(2)在直線l上求一點(diǎn)O,使OA=OB.(請(qǐng)找出所有符合條件的點(diǎn),并簡(jiǎn)要說(shuō)明作法,保留作圖痕跡)
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.
【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)P,則P為所求點(diǎn);
(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)連接AB,在作出線段AB的垂直平分線即可;
【解答】解:(1)作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求的點(diǎn);
(2)連接AB,作AB的中垂線,交l于點(diǎn)O,點(diǎn)O即為所求的點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題,線段的垂直平分線,主要考查學(xué)生的理解能力和動(dòng)手操作能力,題目比較典型,是一道比較好的題目.
22.如圖,已知,EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E;求證:BC=DC.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專(zhuān)題】證明題.
【分析】先求出∠ACB=∠ECD,再利用“角邊角”證明△ABC和△EDC全等,然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可.
【解答】證明:∵∠BCE=∠DCA,
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE,
即∠ACB=∠ECD,
在△ABC和△EDC中, ,
∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴BC=DC.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),求出相等的角∠ACB=∠ECD是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).
23.如圖所示,在四邊形ABCD中,AC⊥DC,△ADC的面積為30cm2,DC=12cm,AB=3cm,BC=4cm,求△ABC的面積.
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】利用三角形的面積求出AC的長(zhǎng)度,在△ABC中根據(jù)勾股定理逆定理可以得出是直角三角形.面積等于兩直角邊乘積的一半.
【解答】解:在Rt△ACD中,
S△ACD= AC•CD=30,
∵DC=12cm,
∴AC=5cm,
∵AB2+BC2=25,
AC2=52=25,
∴AB2+BC2=AC2,
∴S△ABC= AB.BC= ×3×4=6cm2.
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)面積求出一直角邊的長(zhǎng)度,再利用勾股定理逆定理判斷出直角三角形,面積就可以求出了.
24.等邊△ABC和等邊△ADE如圖放置,且B、C、E三點(diǎn)在一條直 線上,連接CD.
求證:∠ACD=60°.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【專(zhuān)題】證明題.
【分析】易證△ABE≌△ACD,即可得出∠B=∠ACD.
【解答】證明:∵等邊△ABC和等邊△ADE,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°,
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD,
∴△ABE≌△ACD,
∴∠B=∠ACD,
∵∠B=60°,
∴∠ACD=60°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),是基礎(chǔ)題,但也要細(xì)心.
25.如圖,直線a、b相交于點(diǎn)A,C、E分別是直線b、a上兩點(diǎn)且BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M、N是EC、DB的中點(diǎn).求證:MN⊥BD.
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線;等腰三角形的判定與性質(zhì).
【專(zhuān)題】證明題.
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM= EC,BM= EC,從而得到DM=BM,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明.
【解答】證明 :∵BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M是EC的中點(diǎn),
∴DM= EC,BM= EC,
∴DM=BM,
∵點(diǎn)N是BD的中點(diǎn),
∴MN ⊥BD.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.
26.如圖,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.
(1)求證:△BCE≌△DCF;
(2)若AB=17,AD=9,求AE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì).
【分析】(1)求出CE=CF,∠F=∠CEB=90°,根據(jù)HL證出兩三角形全等即可.
(2)求出DF=BE,證Rt△AFC≌ Rt△AEC,推出AF=AE,設(shè)DF=BE=x,得出方程17﹣x=9+x,求出x,即可求出答案.
【解答】(1)證明:∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=C F,∠F=∠CEB=90°,
在Rt△BCE與Rt△DCF中, ,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL);
(2)解:∵Rt△BCE≌Rt△DCF,
∴DF=BE,
∵∠F=∠CEA=90°,
∴在Rt△AFC和Rt△AEC中
∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL),
∴AF=AE,
設(shè)DF=BE=x
∵AB=17,AD=9,
∴17﹣x=9+x
解得:x=4
∴AE=17﹣4=13.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,注意:全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.直角三角形全等的判定定理是SAS,ASA,AAS,SSS,HL.
27.如圖,四邊形ABCD,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,AB=4,BC=9.
(1)求CD的長(zhǎng)為5.
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),連接DP.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,則當(dāng)t為何值時(shí),△PDC為等腰三角形?
【考點(diǎn)】勾股定理;等腰三角形的判定.
【專(zhuān)題】動(dòng)點(diǎn)型.
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,先判斷出四邊形ABED是矩形,在Rt△DCE中根據(jù)勾股定理即可得出CD的長(zhǎng);
(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,由題意得PC=9﹣t,PE=6﹣t.再分CD=CP,CD=PD,PD=PC三種情況進(jìn)行討論.
【解答】解:(1)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,
∵AD∥BC,∠B=90°,
∴四邊 形ABED是矩形,
∴BE=AD=6,DE=AB=4,
∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3,
在Rt△DCE中,CD= = =5.
故答案為:5;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,由題意得PC=9﹣t,PE=6﹣t.
當(dāng)CD=CP時(shí),5=9﹣t,解得t=4;
當(dāng)CD=PD時(shí),E為PC中點(diǎn),
∴6﹣t=3,
∴t=3;
當(dāng)PD=PC時(shí),PD2=PC2,
∴(6﹣t)2+42=(9﹣t)2,
解得t= .
故t的值為t=3或4或 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
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