八年級上數(shù)學(xué)期末測試卷
八年級上數(shù)學(xué)期末測試卷
天道酬勤,曾經(jīng)的每一分付出,必將收到百倍回報?，F(xiàn)在就到八年級數(shù)學(xué)期末考試,別忘面帶微笑。小編整理了關(guān)于八年級上數(shù)學(xué)期末測試卷，希望對大家有幫助!
八年級上數(shù)學(xué)期末測試題
一、選擇題：本大題共12小題，其中1-8小題每小題3分，9-12小題每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請將正確選項代號填入表格中.
1.下列圖案屬于軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列計算正確的是( )
A.(x3)3=x6 B.a6•a4=a24
C.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=b2c2 D.x6÷x3=x2
3.如圖，為估計池塘岸邊A、B兩點的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點O，測得OA=8米，OB=6米，A、B間的距離不可能是( )
A.12米 B.10米 C.15米 D.8米
4.若分式 的值為零，則x的值為( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.不存在
5.如圖所示，一個60°角的三角形紙片，剪去這個60°角后，得到一個四邊形，則∠1+∠2的度數(shù)為( )
A.120° B.180° C.240° D.300°
6.若分式 中的x和y都擴大2倍，那么分式的值( )
A.擴大2倍 B.不變 C.縮小2倍 D.擴大4倍
7.點P(a+b，2a﹣b)與點Q(﹣2，﹣3)關(guān)于x軸對稱，則a=( )
A. B. C.﹣2 D.2
8.九年級學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度.設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則所列方程正確的是( )
A. = ﹣ B. = ﹣20 C. = + D. = +20
9.如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍，那么這個多邊形的邊數(shù)是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
10.一輛汽車從山南澤當(dāng)飯店出發(fā)開往拉薩布達(dá)拉宮.如果汽車每小時行使V1千米，則t小時可以到達(dá)，如果汽車每小時行使V2千米，那么可以提前到達(dá)布達(dá)拉宮的時間是( )小時.
A. B.
C. D.
11.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，則下列結(jié)論正確的是( )
A.2α+∠A=180° B.α+∠A=90° C.2α+∠A=90° D.α+∠A=180°
12.為了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，則2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1.仿照以上方法計算1+5+52+53+…+52012的值是( )
A.52013﹣1 B.52013+1 C. D.
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把答案寫在題中橫線上.
13.分解因式：a4(x﹣y)+(y﹣x)= .
14.代數(shù)式4x2+3mx+9是完全平方式，則m= .
15.若關(guān)于x的分式方程 ﹣1= 無解，則m的值 .
16.如圖，四邊形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC、DC上的一點，當(dāng)△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為 .
三、解答題：本大題共6小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(1)解分式方程： ;
(2)先化簡再求值： ，其中x=2，y=5.
18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個△ABC，點A(﹣1，3)，B(2，0)，C(﹣3，﹣1).
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱軸圖形△A1B1C1(不寫畫法);
(2)若網(wǎng)格上的每個小正方形的邊長為2，則△ABC的面積是多少?寫出解答過程.
19.已知：△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC，點F在CE的延長線上，CF=AB，求證：AF⊥AQ.
20.由甲、乙兩個工程隊承包某校校園綠化工程，甲、乙兩隊單獨完成這項工程所需時間比是3：2，兩隊共同施工6天可以完成.
(1)求兩隊單獨完成此項工程各需多少天?
(2)此項工程由甲、乙兩隊共同施工6天完成任務(wù)后，學(xué)校付給他們3000元報酬，若按各自完成的工程量分配這筆錢，問甲、乙兩隊各得到多少元?
21.如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點，E是BC延長線上一點，CE=DA，連接DE交AC于F，過D點作DG⊥AC于G點.證明下列結(jié)論：
(1)AG= AD;
(2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.
22.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.
求證：①ME⊥BC;②DE=DN.
八年級上數(shù)學(xué)期末測試卷參考答案
一、選擇題：本大題共12小題，其中1-8小題每小題3分，9-12小題每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請將正確選項代號填入表格中.
1.下列圖案屬于軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.
【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的概念知A、B、D都不是軸對稱圖形，只有C是軸對稱圖形.故選C.
【點評】軸對稱圖形的判斷方法：把某個圖象沿某條直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個是軸對稱圖形.
2.下列計算正確的是( )
A.(x3)3=x6 B.a6•a4=a24
C.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=b2c2 D.x6÷x3=x2
【考點】同底數(shù)冪的除法;同底數(shù)冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘;同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加;單項式的除法，同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減，對各選項分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解：A、冪的乘方，應(yīng)底數(shù)不變，指數(shù)相乘，所以(x3)3=x9，故本選項錯誤;
B、是同底數(shù)冪的乘法，應(yīng)底數(shù)不變，指數(shù)相加，所以a6•a4=a10，故本選項錯誤;
C、(﹣bc)4÷(﹣bc)2=(﹣bc)4﹣2=b2c2，正確;
D、是同底數(shù)冪的除法，應(yīng)底數(shù)不變，指數(shù)相減，所以a6÷a3=a3，故本選項錯誤;
故選C.
【點評】本題綜合考查了整式運算的多個考點，包括冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法和除法，需熟練掌握且區(qū)分清楚，才不容易出錯.
3.如圖，為估計池塘岸邊A、B兩點的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點O，測得OA=8米，OB=6米，A、B間的距離不可能是( )
A.12米 B.10米 C.15米 D.8米
【考點】三角形三邊關(guān)系.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到2
【解答】解：連接AB，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得：
8﹣6
即：2
∴AB的值在2和14之間.
故選C.
【點評】本題主要考查對三角形的三邊關(guān)系定理的理解和掌握，能正確運用三角形的三邊關(guān)系定理是解此題的關(guān)鍵.題型較好.
4.若分式 的值為零，則x的值為( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.不存在
【考點】分式的值為零的條件.
【分析】分式的值為0的條件是：(1)分子為0;(2)分母不為0.兩個條件需同時具備，缺一不可.據(jù)此可以解答本題.
【解答】解：由分式 的值為零，得
|x|﹣2=0且x﹣2≠0.
解得x=﹣2，
故選：B.
【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.注意：“分母不為零”這個條件不能少.
5.如圖所示，一個60°角的三角形紙片，剪去這個60°角后，得到一個四邊形，則∠1+∠2的度數(shù)為( )
A.120° B.180° C.240° D.300°
【考點】多邊形內(nèi)角與外角;三角形內(nèi)角和定理.
【分析】三角形紙片中，剪去其中一個60°的角后變成四邊形，則根據(jù)多邊形的內(nèi)角和等于360度即可求得∠1+∠2的度數(shù).
【解答】解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：
四邊形除去∠1，∠2后的兩角的度數(shù)為180°﹣60°=120°，
則根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得：
∠1+∠2=360°﹣120°=240°.
故選C.
【點評】主要考查了三角形及四邊形的內(nèi)角和是360度的實際運用與三角形內(nèi)角和180度之間的關(guān)系.
6.若分式 中的x和y都擴大2倍，那么分式的值( )
A.擴大2倍 B.不變 C.縮小2倍 D.擴大4倍
【考點】分式的基本性質(zhì).
【分析】依題意分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質(zhì)化簡即可.
【解答】解：分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，得
=2×
可見新分式是原分式的2倍.
故選：A.
【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì).解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)，解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論.
7.點P(a+b，2a﹣b)與點Q(﹣2，﹣3)關(guān)于x軸對稱，則a=( )
A. B. C.﹣2 D.2
【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo).
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答.
【解答】解：∵點P(a+b，2a﹣b)與點Q(﹣2，﹣3)關(guān)于x軸對稱，
∴ ，
解得：
則a= .
故選：A.
【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：
(1)關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù);
(2)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù);
(3)關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).
8.九年級學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度.設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則所列方程正確的是( )
A. = ﹣ B. = ﹣20 C. = + D. = +20
【考點】由實際問題抽象出分式方程.
【分析】表示出汽車的速度，然后根據(jù)汽車行駛的時間等于騎車行駛的時間減去時間差列方程即可.
【解答】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則汽車的速度為2xkm/h，
由題意得， = + .
故選C.
【點評】本題考查了實際問題抽象出分式方程，讀懂題目信息，理解兩種行駛方式的時間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
9.如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍，那么這個多邊形的邊數(shù)是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【考點】多邊形內(nèi)角與外角.
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(n﹣2)•180°與外角和定理列出方程，然后求解即可.
【解答】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，
根據(jù)題意得，(n﹣2)•180°=5×360°，
解得n=12.
故選C.
【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是360°.
10.一輛汽車從山南澤當(dāng)飯店出發(fā)開往拉薩布達(dá)拉宮.如果汽車每小時行使V1千米，則t小時可以到達(dá)，如果汽車每小時行使V2千米，那么可以提前到達(dá)布達(dá)拉宮的時間是( )小時.
A. B.
C. D.
【考點】列代數(shù)式(分式).
【專題】壓軸題.
【分析】每小時行駛v1km，t小時可以到達(dá)，則山南澤當(dāng)飯店與拉薩布達(dá)拉宮兩地之間的距離即可求出，每小時行駛v2km，則即可求得實際的速度，可以算出時間，進(jìn)而求得提前到達(dá)的小時數(shù).
【解答】解：甲乙兩地之間的距離是v1t，實際的速度是v2，
則時間是 ，
則提前到達(dá)的小時數(shù)為t﹣ = .
故選D.
【點評】本題考查了列代數(shù)式的知識，正確理解路程、速度、時間之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
11.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，則下列結(jié)論正確的是( )
A.2α+∠A=180° B.α+∠A=90° C.2α+∠A=90° D.α+∠A=180°
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】由AB=AC，根據(jù)等邊對等角，即可得∠B=∠C，又由BF=CD，BD=CE，可證得△BDF≌△CED(SAS)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得∠B=∠C=α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求得答案.
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BF=CD，BD=CE，
∴△BDF≌△CED(SAS)，
∴∠BFD=∠EDC，
∵α+∠BDF+∠EDC=180°，
∴α+∠BDF+∠BFD=180°，
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，
∴∠B=α，
∴∠C=∠B=α，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2α+∠A=180°.
故選：A.
【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
12.為了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，則2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1.仿照以上方法計算1+5+52+53+…+52012的值是( )
A.52013﹣1 B.52013+1 C. D.
【考點】同底數(shù)冪的乘法.
【專題】計算題;壓軸題.
【分析】根據(jù)題目所給計算方法，令S=1+5+52+53+…+52012，再兩邊同時乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，進(jìn)而求出S的值.
【解答】解：令S=1+5+52+53+…+52012，
則5S=5+52+53+…+52012+52013，
5S﹣S=﹣1+52013，
4S=52013﹣1，
則S= .
故選D.
【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，利用錯位相減法，消掉相關(guān)值，是解題的關(guān)鍵.
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把答案寫在題中橫線上.
13.分解因式：a4(x﹣y)+(y﹣x)= (x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1) .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】首先提取公因式(x﹣y)，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解：a4(x﹣y)+(y﹣x)
=(x﹣y)(a4﹣1)
=(x﹣y)(a2+1)(a2﹣1)
=(x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1).
故答案為：(x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1).
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵.
14.代數(shù)式4x2+3mx+9是完全平方式，則m= ±4 .
【考點】完全平方式.
【分析】本題考查完全平方公式的靈活應(yīng)用，這里首末兩項是2x和3的平方，那么中間項為加上或減去2x和3的乘積的2倍.
【解答】解：∵4x2+3mx+9是完全平方式，
∴3mx=±2×3•2x，
解得m=±4.
【點評】本題主要考查完全平方公式，根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)乘積二倍項求解.
15.若關(guān)于x的分式方程 ﹣1= 無解，則m的值 ﹣ 或﹣ .
【考點】分式方程的解.
【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，可求出分式方程的解，根據(jù)分式方程無解，可得m的值.
【解答】解：方程兩邊同乘x(x﹣3)，得x(2m+x)﹣(x﹣3)x=2(x﹣3)
(2m+1)x=﹣6
x=﹣ ，
當(dāng)2m+1=0，方程無解，解得m=﹣ .
x=3時，m=﹣ ，
x=0時，m無解.
故答案為：﹣ 或﹣ .
【點評】本題考查了分式方程的解，把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，求出答案.
16.如圖，四邊形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC、DC上的一點，當(dāng)△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為 100° .
【考點】軸對稱-最短路線問題.
【分析】根據(jù)要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°，進(jìn)而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″)，即可得出答案.
【解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，
則A′A″即為△AEF的周長最小值.作DA延長線AH，
∵∠C=40°，
∴∠DAB=140°，
∴∠HAA′=40°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=40°，
∴∠EAF=140°﹣40°=100°，
故答案為：100°.
【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵.
三、解答題：本大題共6小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(1)解分式方程： ;
(2)先化簡再求值： ，其中x=2，y=5.
【考點】分式的化簡求值;解分式方程.
【分析】(1)利用解分式方程的步驟與方法求得方程的解即可;
(2)按照先算除法，再算加法的運算順序化簡分式，進(jìn)一步代入求得數(shù)值即可.
【解答】解：(1)方程兩邊同乘(x+2)(x﹣2)，
得：x(x+2)﹣(x2﹣4)=8，
解得：x=2，
檢驗：當(dāng)x=2時，(x+2)(x﹣2)=0，
∴x=2不是原方程的解，
∴原分式方程無解.
(2)原式= + •
= ﹣
=
= ，
當(dāng)x=2，y=5時，原式= = .
【點評】此題考查解分式方程與分式的化簡求值，掌握解方程與分式的化簡的步驟與方法是解決問題的關(guān)鍵.
18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個△ABC，點A(﹣1，3)，B(2，0)，C(﹣3，﹣1).
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱軸圖形△A1B1C1(不寫畫法);
(2)若網(wǎng)格上的每個小正方形的邊長為2，則△ABC的面積是多少?寫出解答過程.
【考點】作圖-軸對稱變換.
【分析】(1)作出各點關(guān)于y軸的對稱點，再順次連接即可;
(2)利用矩形的面積減去各頂點上三角形的面積即可.
【解答】解：(1)如圖;
(2)∵網(wǎng)格上的每個小正方形的邊長為2，
∴S△ABC=8×10﹣ ×4×8﹣ ×6×6﹣ ×2×10
=80﹣16﹣18﹣10=36.
答：△ABC的面積是36.
【點評】本題考查的是作圖﹣軸對稱變換，熟知關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特點是解答此題的關(guān)鍵.
19.已知：△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC，點F在CE的延長線上，CF=AB，求證：AF⊥AQ.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】首先證明出∠ABD=∠ACE，再有條件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，進(jìn)而得到∠F=∠BAQ，然后再根據(jù)∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，進(jìn)而證出AF⊥AQ.
【解答】證明：∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高，
∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABQ和△ACF中 ，
∴△ABQ≌△ACF(SAS)，
∴∠F=∠BAQ，
∵∠F+∠FAE=90°，
∴∠BAQ+∠FAE═90°，
∴AF⊥AQ.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性質(zhì)定理.
20.由甲、乙兩個工程隊承包某校校園綠化工程，甲、乙兩隊單獨完成這項工程所需時間比是3：2，兩隊共同施工6天可以完成.
(1)求兩隊單獨完成此項工程各需多少天?
(2)此項工程由甲、乙兩隊共同施工6天完成任務(wù)后，學(xué)校付給他們3000元報酬，若按各自完成的工程量分配這筆錢，問甲、乙兩隊各得到多少元?
【考點】分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)首先表示出兩工程隊完成需要的時間，進(jìn)而利用總工作量為1得出等式求出答案;
(2)根據(jù)(1)中所求，進(jìn)而利用兩隊完成的工作量求出答案.
【解答】解：(1)設(shè)甲隊單獨完成此項工程需x天，則乙隊單獨完成此項工程需 x天，由題意得：
+ =1
解得：x=15，
經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解，
答：甲隊單獨完成此項工程需15天，乙隊單獨完成此項工程需15× =10(天).
(2)甲隊所得報酬：3000× ×6=1200(元)，
乙隊所得報酬：3000× ×6=1800(元)
答：甲隊得到1200元，乙隊得到1800元.
【點評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意利用總共量為1得出等式是解題關(guān)鍵.
21.如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點，E是BC延長線上一點，CE=DA，連接DE交AC于F，過D點作DG⊥AC于G點.證明下列結(jié)論：
(1)AG= AD;
(2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直角三角形.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)由等邊△ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根據(jù)直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可證得AG= AD;
(2)首先過點D作DH∥BC交AC于點H，易證得△ADH是等邊三角形，又由CE=DA，可利用AAS證得△DHF≌△ECF，繼而可得DF=EF;
(3)由△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得S△ADG=S△HDG，又由△DHF≌△ECF，即可證得S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【解答】證明：(1)∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG= AD;
(2)過點D作DH∥BC交AC于點H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴DH=AD，
∵AD=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF(AAS)，
∴DF=EF;
(3)∵△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，
∴AG=GH，
∴S△ADG=S△HDG，
∵△DHF≌△ECF，
∴S△DHF=S△ECF，
∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF.
【點評】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°直角三角形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
22.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.
求證：①ME⊥BC;②DE=DN.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);等腰直角三角形.
【專題】證明題;幾何綜合題.
【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可;
(2)①過點E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可;
?、谇蟪?ang;CAE=∠CEA=67.5°，根據(jù)等角對等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，從而求出∠DAE=∠ECM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可.
【解答】證明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF;
(2)①如圖，過點E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC;
?、谟深}意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
， ，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°，
又∵∠DAE= ×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD= BC，
在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN(ASA)，
∴DE=DN.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于最后一問根據(jù)角的度數(shù)得到相等的角.
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