八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷附答案
八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷附答案
八年級(jí)數(shù)學(xué)期末考中沒有失敗,它帶給每個(gè)人的深刻思考、刻骨銘心的經(jīng)歷和感受都是不可多得的財(cái)富。我們?yōu)槔硐攵鴬^進(jìn)的過程,其意義遠(yuǎn)大于未知的結(jié)果。學(xué)習(xí)啦為大家整理了八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷,歡迎大家閱讀!
八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試題
一、選擇題(共16小題,每小題2分,滿分42分)
1.淶水的文化底蘊(yùn)深厚,淶水人民的生活健康向上.下面的四幅簡筆畫是從淶水的文化活動(dòng)中抽象出來的,其中是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540°,則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于( )
A.60° B.72° C.90° D.108°
3.若分式 的值為零,則x的值為( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.±1
4.把一塊直尺與一塊三角板如圖放置,若∠1=40°,則∠2的度數(shù)為( )
A.125° B.120° C.140° D.130°
5.若等腰三角形的兩邊長分別為4和8,則它的周長為( )
A.12 B.16 C.20 D.16或20
6.如圖,給出下列四組條件:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;
?、贏B=DE,∠B=∠E.BC=EF;
?、?ang;B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;
?、蹵B=DE,AC=DF,∠B=∠E.
其中,能使△ABC≌△DEF的條件共有( )
A.1組 B.2組 C.3組 D.4組
7.化簡 的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
8.下列二次三項(xiàng)式是完全平方式的是( )
A.x2﹣8x﹣16 B.x2+8x+16 C.x2﹣4x﹣16 D.x2+4x+16
9.如圖,銳角三角形ABC中,直線L為BC的中垂線,直線M為∠ABC的角平分線,L與M相交于P點(diǎn).若∠A=60°,∠ACP=24°,則∠ABP的度數(shù)為何?( )
A.24° B.30° C.32° D.36°
10.若a﹣b= ,且a2﹣b2= ,則a+b的值為( )
A.﹣ B. C.1 D.2
11.如圖,直線l1∥l2,以直線l1上的點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交直線l1、l2于點(diǎn)B、C,連接AC、BC.若∠ABC=67°,則∠1=( )
A.23° B.46° C.67° D.78°
12.如圖,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,DE是AC的垂直平分線,線段DE=1cm,則BD的長為( )
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
13.如圖所示的正方形網(wǎng)格中,網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A、B是兩格點(diǎn),如果C也是圖中的格點(diǎn),且使得△ABC為等腰直角三角形,則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
14.從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形紙板后,將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形(如圖甲),然后拼成一個(gè)平行四邊形(如圖乙).那么通過計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積,可以驗(yàn)證成立的公式為( )
A.a2﹣b2=(a﹣b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
15.已知A、C兩地相距40千米,B、C兩地相距50千米,甲乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)到C地.若乙車每小時(shí)比甲車多行駛12千米,則兩車同時(shí)到達(dá)C地.設(shè)乙車的速度為x千米/小時(shí),依題意列方程正確的是( )
A. B. C. D.
16.當(dāng)x分別取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…,、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 時(shí),計(jì)算分式 的值,再將所得結(jié)果相加,其和等于( )
A.﹣1 B.1 C.0 D.2014
二、填空題(共4小題,每小題3分,滿分12分)
17.分解因式:2x3﹣4x2+2x= .
18.若點(diǎn)A(m+2,3)與點(diǎn)B(﹣4,n+5)關(guān)于y軸對(duì)稱,則m+n= .
19.如圖,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,DE=2cm,AB=4cm,S△ABC=7cm2,則AC的長為 .
20.如圖,已知長方形OABC,動(dòng)點(diǎn)P從(0,3)出發(fā),沿所示的方向運(yùn)動(dòng),每當(dāng)碰到長方形的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角,第一次碰到長方形的邊時(shí)的位置為P1(3,0),當(dāng)點(diǎn)P第2016次碰到長方形的邊時(shí),點(diǎn)P2016的坐標(biāo)是 .
三、解答題(共7小題,滿分66分)
21.計(jì)算:
(1)a•a5﹣(2a3)2+(﹣2a2)3
(2)先化簡(a﹣ ) ,再求值,其中a=3,b=1
(3)分解因式:(m﹣n)(3m+n)2+(m+3n)2(n﹣m)
(4)解分式方程: .
22.如圖,已知∠AOB以O(shè)為圓心,以任意長為半徑作弧,分別交OA、OB于F、E兩點(diǎn),再分別以E、F為圓心,大于 EF長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點(diǎn)P,作射線OP,過點(diǎn)F作FD∥OB交OP于點(diǎn)D.
(1)若∠OFD=116°,求∠DOB的度數(shù);
(2)若FM⊥OD,垂足為M,求證:△FMO≌△FMD.
23.“母親節(jié)”前夕,某商店根據(jù)市場調(diào)查,用3000元購進(jìn)第一批盒裝花,上市后很快售完,接著又用5000元購進(jìn)第二批這種盒裝花.已知第二批所購花的盒數(shù)是第一批所購花盒數(shù)的2倍,且每盒花的進(jìn)價(jià)比第一批的進(jìn)價(jià)少5元.求第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是多少元?
24.如圖,方格紙中每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形,我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”,如圖1中四邊形ABCD就是一個(gè)“格點(diǎn)四邊形”.
(1)求圖1中四邊形ABCD的面積;
(2)在圖2方格紙中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形EFG,使△EFG的面積等于四邊形ABCD的面積且為軸對(duì)稱圖形.
25.如圖(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.AF平分∠CAB,交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F
(1)求證:CE=CF.
(2)將圖(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使點(diǎn)E′落在BC邊上,其它條件不變,如圖(2)所示.試猜想:BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
26.學(xué)校新到一批理、化、生實(shí)驗(yàn)器材需要整理,若實(shí)驗(yàn)管理員李老師一人單獨(dú)整理需要40分鐘完成,現(xiàn)在李老師與工人王師傅共同整理20分鐘后,李老師因事外出,王師傅再單獨(dú)整理了20分鐘才完成任務(wù).
(1)王師傅單獨(dú)整理這批實(shí)驗(yàn)器材需要多少分鐘?
(2)學(xué)校要求王師傅的工作時(shí)間不能超過30分鐘,要完成整理這批器材,李老師至少要工作多少分鐘?
27.已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)A、B),連接CE,過點(diǎn)B作CE的垂線交直線CE于點(diǎn)F,交直線CD于點(diǎn)G(如圖①).
(1)求證:AE=CG;
(2)若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段BD上時(shí)(如圖②),試猜想AE、CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化,請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論;
(3)過點(diǎn)A作AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)H,并交CD的延長線于點(diǎn)M(如圖③),找出圖中與BE相等的線段,并證明.
八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷參考答案
一、選擇題(共16小題,每小題2分,滿分42分)
1.淶水的文化底蘊(yùn)深厚,淶水人民的生活健康向上.下面的四幅簡筆畫是從淶水的文化活動(dòng)中抽象出來的,其中是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解.
【解答】解:A、不是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、不是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)正確;
D、不是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念:軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸,圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合.
2.一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540°,則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于( )
A.60° B.72° C.90° D.108°
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.
【分析】首先設(shè)此多邊形為n邊形,根據(jù)題意得:180(n﹣2)=540,即可求得n=5,再由多邊形的外角和等于360°,即可求得答案.
【解答】解:設(shè)此多邊形為n邊形,
根據(jù)題意得:180(n﹣2)=540,
解得:n=5,
∴這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于: =72°.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識(shí).注意掌握多邊形內(nèi)角和定理:(n﹣2)•180°,外角和等于360°.
3.若分式 的值為零,則x的值為( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.±1
【考點(diǎn)】分式的值為零的條件.
【專題】計(jì)算題.
【分析】分式的值是0的條件是:分子為0,分母不為0,由此條件解出x.
【解答】解:由x2﹣1=0,
得x=±1.
①當(dāng)x=1時(shí),x﹣1=0,
∴x=1不合題意;
?、诋?dāng)x=﹣1時(shí),x﹣1=﹣2≠0,
∴x=﹣1時(shí)分式的值為0.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】分式是0的條件中特別需要注意的是分母不能是0,這是經(jīng)??疾榈闹R(shí)點(diǎn).
4.把一塊直尺與一塊三角板如圖放置,若∠1=40°,則∠2的度數(shù)為( )
A.125° B.120° C.140° D.130°
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì);直角三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出EF∥GH,推出∠FCD=∠2,代入∠FCD=∠1+∠A求出即可.
【解答】解:
∵EF∥GH,
∴∠FCD=∠2,
∵∠FCD=∠1+∠A,∠1=40°,∠A=90°,
∴∠2=∠FCD=130°,
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線性質(zhì),矩形性質(zhì),三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用,關(guān)鍵是求出∠2=∠FCD和得出∠FCD=∠1+∠A.
5.若等腰三角形的兩邊長分別為4和8,則它的周長為( )
A.12 B.16 C.20 D.16或20
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【分析】由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰,則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析.
【解答】解:①當(dāng)4為腰時(shí),4+4=8,故此種情況不存在;
?、诋?dāng)8為腰時(shí),8﹣4<8<8+4,符合題意.
故此三角形的周長=8+8+4=20.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系,解答此題時(shí)注意分類討論,不要漏解.
6.如圖,給出下列四組條件:
?、貯B=DE,BC=EF,AC=DF;
?、贏B=DE,∠B=∠E.BC=EF;
?、?ang;B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;
④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.
其中,能使△ABC≌△DEF的條件共有( )
A.1組 B.2組 C.3組 D.4組
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】要使△ABC≌△DEF的條件必須滿足SSS、SAS、ASA、AAS,可據(jù)此進(jìn)行判斷.
【解答】解:第①組滿足SSS,能證明△ABC≌△DEF.
第②組滿足SAS,能證明△ABC≌△DEF.
第③組滿足ASA,能證明△ABC≌△DEF.
第④組只是SSA,不能證明△ABC≌△DEF.
所以有3組能證明△ABC≌△DEF.
故符合條件的有3組.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法;判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加時(shí)注意:AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等,不能添加,根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵.
7.化簡 的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】分式的乘除法.
【分析】直接利用分式乘除法運(yùn)算法則進(jìn)而化簡求出答案.
【解答】解:
= × ×
=
= .
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的乘除運(yùn)算,正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.
8.下列二次三項(xiàng)式是完全平方式的是( )
A.x2﹣8x﹣16 B.x2+8x+16 C.x2﹣4x﹣16 D.x2+4x+16
【考點(diǎn)】完全平方式.
【分析】根據(jù)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解:A、應(yīng)為x2﹣8x+16,故A錯(cuò)誤;
B、x2+8x+16,正確;
C、應(yīng)為x2﹣4x+4,故C錯(cuò)誤;
D、應(yīng)為x2+4x+4,故D錯(cuò)誤.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),需要熟練掌握并靈活運(yùn)用.
9.如圖,銳角三角形ABC中,直線L為BC的中垂線,直線M為∠ABC的角平分線,L與M相交于P點(diǎn).若∠A=60°,∠ACP=24°,則∠ABP的度數(shù)為何?( )
A.24° B.30° C.32° D.36°
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABP=∠CBP,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BP=CP,再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CBP=∠BCP,然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列出方程求解即可.
【解答】解:∵直線M為∠ABC的角平分線,
∴∠ABP=∠CBP.
∵直線L為BC的中垂線,
∴BP=CP,
∴∠CBP=∠BCP,
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,
在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,
即3∠ABP+60°+24°=180°,
解得∠ABP=32°.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),角平分線的定義,三角形的內(nèi)角和定理,熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于∠ABP的方程是解題的關(guān)鍵.
10.若a﹣b= ,且a2﹣b2= ,則a+b的值為( )
A.﹣ B. C.1 D.2
【考點(diǎn)】平方差公式.
【分析】已知第二個(gè)等式左邊利用平方差公式分解后,將第一個(gè)等式變形后代入計(jì)算即可求出a+b的值.
【解答】解:∵a﹣b= ,a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)= ,
∴a+b= ,
故選B
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式,熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.
11.如圖,直線l1∥l2,以直線l1上的點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交直線l1、l2于點(diǎn)B、C,連接AC、BC.若∠ABC=67°,則∠1=( )
A.23° B.46° C.67° D.78°
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【分析】首先由題意可得:AB=AC,根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì),即可求得∠ACB的度數(shù),又由直線l1∥l2,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,即可求得∠2的度數(shù),然后根據(jù)平角的定義,即可求得∠1的度數(shù).
【解答】解:根據(jù)題意得:AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=67°,
∵直線l1∥l2,
∴∠2=∠ABC=67°,
∵∠1+∠ACB+∠2=180°,
∴∠1=180°﹣∠2﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì).此題難度不大,解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等與等邊對(duì)等角定理的應(yīng)用.
12.如圖,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,DE是AC的垂直平分線,線段DE=1cm,則BD的長為( )
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì);含30度角的直角三角形;三角形中位線定理.
【專題】計(jì)算題.
【分析】過A作AF∥DE交BD于F,則DE是△CAF的中位線,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),即可解答.
【解答】解:過A作AF∥DE交BD于F,則DE是△CAF的中位線,
∴AF=2DE=2,又∵DE⊥AC,∠C=30°,∴FD=CD=2DE=2,
在△AFB中,∠1=∠B=30°,
∴BF=AF=2,∴BD=4.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí).線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
13.如圖所示的正方形網(wǎng)格中,網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A、B是兩格點(diǎn),如果C也是圖中的格點(diǎn),且使得△ABC為等腰直角三角形,則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【考點(diǎn)】等腰直角三角形;勾股定理.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)題意,結(jié)合圖形,分兩種情況討論:①AB為等腰△ABC底邊;②AB為等腰△ABC其中的一條腰.
【解答】解:如上圖:分情況討論
①AB為等腰直角△ABC底邊時(shí),符合條件的C點(diǎn)有2個(gè);
②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí),符合條件的C點(diǎn)有4個(gè).
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定;解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意,畫出符合實(shí)際條件的圖形,再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來求解.數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.
14.從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形紙板后,將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形(如圖甲),然后拼成一個(gè)平行四邊形(如圖乙).那么通過計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積,可以驗(yàn)證成立的公式為( )
A.a2﹣b2=(a﹣b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì);平方差公式的幾何背景;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】分別根據(jù)正方形及平行四邊形的面積公式求得甲、乙中陰影部分的面積,從而得到可以驗(yàn)證成立的公式.
【解答】解:陰影部分的面積相等,即甲的面積=a2﹣b2,乙的面積=(a+b)(a﹣b).
即:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
所以驗(yàn)證成立的公式為:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方差公式,運(yùn)用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵.本題主要利用面積公式求證明a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
15.已知A、C兩地相距40千米,B、C兩地相距50千米,甲乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)到C地.若乙車每小時(shí)比甲車多行駛12千米,則兩車同時(shí)到達(dá)C地.設(shè)乙車的速度為x千米/小時(shí),依題意列方程正確的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程.
【專題】行程問題.
【分析】設(shè)乙車的速度為x千米/小時(shí),則甲車的速度為(x﹣12)千米/小時(shí),根據(jù)用相同的時(shí)間甲走40千米,乙走50千米,列出方程.
【解答】解:設(shè)乙車的速度為x千米/小時(shí),則甲車的速度為(x﹣12)千米/小時(shí),
由題意得, = .
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程,解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意,設(shè)出未知數(shù),找出合適的等量關(guān)系,列出方程.
16.當(dāng)x分別取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…,、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 時(shí),計(jì)算分式 的值,再將所得結(jié)果相加,其和等于( )
A.﹣1 B.1 C.0 D.2014
【考點(diǎn)】分式的加減法.
【分析】設(shè)a為負(fù)整數(shù),將x=a代入得: ,將x=﹣ 代入得: = = ,故此可知當(dāng)x互為負(fù)倒數(shù)時(shí),兩分式的和為0,然后求得當(dāng)x=0時(shí),分式的值即可.
【解答】解:設(shè)a為負(fù)整數(shù).
∵當(dāng)x=a時(shí),分式的值= ,當(dāng)x= 時(shí),分式的值= = ,
∴當(dāng)x=a時(shí)與當(dāng)x= 時(shí)兩分式的和= + =0.
∴當(dāng)x的值互為負(fù)倒數(shù)時(shí),兩分式的和為0.
∴所得結(jié)果的和= =﹣1.
故選;A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是分式的加減,發(fā)現(xiàn)當(dāng)x的值互為負(fù)倒數(shù)時(shí),兩分式的和為0是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(共4小題,每小題3分,滿分12分)
17.分解因式:2x3﹣4x2+2x= 2x(x﹣1)2 .
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】先提取公因式2x,再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解.
【解答】解:2x3﹣4x2+2x,
=2x(x2﹣2x+1),
=2x(x﹣1)2.
故答案為:2x(x﹣1)2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解,一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法進(jìn)行因式分解,同時(shí)因式分解要徹底,直到不能分解為止.
18.若點(diǎn)A(m+2,3)與點(diǎn)B(﹣4,n+5)關(guān)于y軸對(duì)稱,則m+n= 0 .
【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”列出方程求解即可.
【解答】解:∵點(diǎn)A(m+2,3)與點(diǎn)B(﹣4,n+5)關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴m+2=4,3=n+5,
解得:m=2,n=﹣2,
∴m+n=0,
故答案為:0.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo),解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律:
(1)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);
(2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù);
(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).
19.如圖,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,DE=2cm,AB=4cm,S△ABC=7cm2,則AC的長為 3cm .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DE,根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可.
【解答】解:∵AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,
∴DE=DF=2cm,
∴ ×AB×DE+ AC×DF=S△ABC=7,
解得,AC=3,
故答案為:3cm.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì),掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.
20.如圖,已知長方形OABC,動(dòng)點(diǎn)P從(0,3)出發(fā),沿所示的方向運(yùn)動(dòng),每當(dāng)碰到長方形的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角,第一次碰到長方形的邊時(shí)的位置為P1(3,0),當(dāng)點(diǎn)P第2016次碰到長方形的邊時(shí),點(diǎn)P2016的坐標(biāo)是 (0,3) .
【考點(diǎn)】規(guī)律型:點(diǎn)的坐標(biāo).
【專題】規(guī)律型.
【分析】按照光線反射規(guī)律,畫出圖形,可以發(fā)現(xiàn)每六次反射一個(gè)循環(huán),最后回到起始點(diǎn)(0,3),然后計(jì)算2016有幾個(gè)6即可求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).
【解答】解:按照光線反射規(guī)律,畫出圖形,如下圖:
P(0,3),
P1(3,0),
P2(7,4),
P3(8,3),
P4(5,0),
P5(1,4),
P6(0,3),
通過以上變化規(guī)律,可以發(fā)現(xiàn)每六次反射一個(gè)循環(huán),
∵2016÷6=371,
∴P2016=P6,
∴點(diǎn)P2016的坐標(biāo)是(0,3).
故答案為:(0,3).
【點(diǎn)評(píng)】題目考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律性變化,解決此類問題的關(guān)鍵是找到待求量與序號(hào)之間的關(guān)系,題目整體難易程度適中,適合學(xué)生課后訓(xùn)練.
三、解答題(共7小題,滿分66分)
21.計(jì)算:
(1)a•a5﹣(2a3)2+(﹣2a2)3
(2)先化簡(a﹣ ) ,再求值,其中a=3,b=1
(3)分解因式:(m﹣n)(3m+n)2+(m+3n)2(n﹣m)
(4)解分式方程: .
【考點(diǎn)】分式的化簡求值;整式的混合運(yùn)算;提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用;解分式方程.
【分析】(1)先算積的乘方、同底數(shù)冪的乘法,再進(jìn)一步合并即可;
(2)先通分算減法,再算乘法,最后代入求得數(shù)值即可;
(3)先利用提取公因式法,再利用平方差公式因式分解即可;
(4)利用解分式方程的步驟與方法求得方程的解即可.
【解答】解:(1)原式=a6﹣4a6﹣8a6
=﹣11a6;
(2)原式= •
=a﹣b
當(dāng)a=3,b=1時(shí),
原式=3﹣1=2;
(3)原式=(m﹣n)[(3m+n)2﹣(m+3n)2]
=(m﹣n)(2m﹣2n)(4m+4n)
=8(m﹣n)2(m+n);
(4)
方程兩邊同乘3(x+1)得,
3x=2x+3x+3
解得:x=﹣
當(dāng)x=﹣ 時(shí),3(x+1)≠0,
所以x=﹣ 是原分式方程的解.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查整式的混合運(yùn)算,分式的化簡求值,因式分解,解分式方程,掌握解答的步驟與方法是解決問題的關(guān)鍵.
22.如圖,已知∠AOB以O(shè)為圓心,以任意長為半徑作弧,分別交OA、OB于F、E兩點(diǎn),再分別以E、F為圓心,大于 EF長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點(diǎn)P,作射線OP,過點(diǎn)F作FD∥OB交OP于點(diǎn)D.
(1)若∠OFD=116°,求∠DOB的度數(shù);
(2)若FM⊥OD,垂足為M,求證:△FMO≌△FMD.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定;作圖—復(fù)雜作圖.
【分析】(1)首先根據(jù)OB∥FD,可得∠0FD+∠A0B=18O°,進(jìn)而得到∠AOB的度數(shù),再根據(jù)作圖可知OP平分∠AOB,進(jìn)而算出∠DOB的度數(shù)即可;
(2)首先證明∴∠A0D=∠ODF,再由FM⊥0D可得∠OMF=∠DMF,再加上公共邊FM=FM可利用AAS證明△FMO≌△FMD.
【解答】(1)解:∵OB∥FD,
∴∠0FD+∠A0B=18O°,
又∵∠0FD=116°,
∴∠A0B=180°﹣∠0FD=180°﹣116°=64°,
由作法知,0P是∠A0B的平分線,
∴∠D0B= ∠A0B=32°;
(2)證明:∵0P平分∠A0B,
∴∠A0D=∠D0B,
∵0B∥FD,
∴∠D0B=∠ODF,
∴∠A0D=∠ODF,
又∵FM⊥0D,
∴∠OMF=∠DMF,
在△MFO和△MFD中 ,
∴△MFO≌△MFD(AAS).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定,以及角的計(jì)算,關(guān)鍵是正確理解題意,掌握角平分線的作法,以及全等三角形的判定定理.
23.“母親節(jié)”前夕,某商店根據(jù)市場調(diào)查,用3000元購進(jìn)第一批盒裝花,上市后很快售完,接著又用5000元購進(jìn)第二批這種盒裝花.已知第二批所購花的盒數(shù)是第一批所購花盒數(shù)的2倍,且每盒花的進(jìn)價(jià)比第一批的進(jìn)價(jià)少5元.求第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是多少元?
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】設(shè)第一批盒裝花的進(jìn)價(jià)是x元/盒,則第一批進(jìn)的數(shù)量是: ,第二批進(jìn)的數(shù)量是: ,再根據(jù)等量關(guān)系:第二批進(jìn)的數(shù)量=第一批進(jìn)的數(shù)量×2可得方程.
【解答】解:設(shè)第一批盒裝花的進(jìn)價(jià)是x元/盒,則
2× = ,
解得 x=30
經(jīng)檢驗(yàn),x=30是原方程的根.
答:第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是30元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用.注意,分式方程需要驗(yàn)根,這是易錯(cuò)的地方.
24.如圖,方格紙中每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形,我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”,如圖1中四邊形ABCD就是一個(gè)“格點(diǎn)四邊形”.
(1)求圖1中四邊形ABCD的面積;
(2)在圖2方格紙中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形EFG,使△EFG的面積等于四邊形ABCD的面積且為軸對(duì)稱圖形.
【考點(diǎn)】作圖-軸對(duì)稱變換.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】(1)用矩形面積減去周圍三角形面積即可;
(2)畫一個(gè)面積為12的等腰三角形,即底和高相乘為24即可.
【解答】解:(1)根據(jù)面積公式得:方法一:S= ×6×4=12;
方法二:S=4×6﹣ ×2×1﹣ ×4×1﹣ ×3×4﹣ ×2×3=12;
(2)(只要畫出一種即可)
【點(diǎn)評(píng)】解答此題要明確:如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折,直線兩側(cè)的圖形能夠完全重合,這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形;
對(duì)稱軸:折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸.
25.如圖(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.AF平分∠CAB,交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F
(1)求證:CE=CF.
(2)將圖(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使點(diǎn)E′落在BC邊上,其它條件不變,如圖(2)所示.試猜想:BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì);平移的性質(zhì).
【專題】幾何綜合題;壓軸題.
【分析】(1)根據(jù)平分線的定義可知∠CAF=∠EAD,再根據(jù)已知條件以及等量代換即可證明CE=CF,
(2)根據(jù)題意作輔助線過點(diǎn)E作EG⊥AC于G,根據(jù)平移的性質(zhì)得出D′E′=DE,再根據(jù)已知條件判斷出△CEG≌△BE′D′,可知CE=BE′,再根據(jù)等量代換可知BE′=CF.
【解答】(1)證明:∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠EAD,
∵∠ACB=90°,
∴∠CAF+∠CFA=90°,
∵CD⊥AB于D,
∴∠EAD+∠AED=90°,
∴∠CFA=∠AED,又∠AED=∠CEF,
∴∠CFA=∠CEF,
∴CE=CF;
(2)猜想:BE′=CF.
證明:如圖,過點(diǎn)E作EG⊥AC于G,連接EE′,
又∵AF平分∠CAB,ED⊥AB,EG⊥AC,
∴ED=EG,
由平移的性質(zhì)可知:D′E′=DE,
∴D′E′=GE,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB于D,
∴∠B+∠DCB=90°,
∴∠ACD=∠B,
在△CEG與△BE′D′中,
,
∴△CEG≌△BE′D′(AAS),
∴CE=BE′,
由(1)可知CE=CF,
∴BE′=CF.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平分線的定義,平移的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),難度適中.
26.學(xué)校新到一批理、化、生實(shí)驗(yàn)器材需要整理,若實(shí)驗(yàn)管理員李老師一人單獨(dú)整理需要40分鐘完成,現(xiàn)在李老師與工人王師傅共同整理20分鐘后,李老師因事外出,王師傅再單獨(dú)整理了20分鐘才完成任務(wù).
(1)王師傅單獨(dú)整理這批實(shí)驗(yàn)器材需要多少分鐘?
(2)學(xué)校要求王師傅的工作時(shí)間不能超過30分鐘,要完成整理這批器材,李老師至少要工作多少分鐘?
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】(1)設(shè)王師傅單獨(dú)整理這批實(shí)驗(yàn)器材需要x分鐘,則王師傅的工作效率為 ,根據(jù)李老師與工人王師傅共同整理20分鐘的工作量+王師傅再單獨(dú)整理了20分鐘的工作量=1,可得方程,解出即可;
(2)根據(jù)王師傅的工作時(shí)間不能超過30分鐘,列出不等式求解.
【解答】解:(1)設(shè)王師傅單獨(dú)整理這批實(shí)驗(yàn)器材需要x分鐘,則王師傅的工作效率為 ,
由題意,得:20( + )+20× =1,
解得:x=80,
經(jīng)檢驗(yàn)得:x=80是原方程的根.
答:王師傅單獨(dú)整理這批實(shí)驗(yàn)器材需要80分鐘.
(2)設(shè)李老師要工作y分鐘,
由題意,得:(1﹣ )÷ ≤30,
解得:y≥25.
答:李老師至少要工作25分鐘.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題,找到不等關(guān)系及等量關(guān)系.
27.已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)A、B),連接CE,過點(diǎn)B作CE的垂線交直線CE于點(diǎn)F,交直線CD于點(diǎn)G(如圖①).
(1)求證:AE=CG;
(2)若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段BD上時(shí)(如圖②),試猜想AE、CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化,請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論;
(3)過點(diǎn)A作AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)H,并交CD的延長線于點(diǎn)M(如圖③),找出圖中與BE相等的線段,并證明.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【分析】(1)如圖①,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°,根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF=∠ACE,由ASA就可以得出△BCG≌△CAE,就可以得出結(jié)論;
(2)如圖②,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°,根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF=∠ACE,由ASA就可以得出△BCG≌△CAE,就可以得出結(jié)論;
(3)如圖③,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°,根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠BCE=∠CAM,由ASA就可以得出△BCE≌△CAM,就可以得出結(jié)論;
【解答】解:(1)∵AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠A=45°,∠ACE+∠BCE=90°.
∵BF⊥CE,
∴∠BFC=90°,
∴∠CBF+∠BCE=90°,
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中,CD⊥AB,AC=BC,
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD.
在△BCG和△ACE中
,
∴△BCG≌△ACE(ASA),
∴AE=CG;
(2)不變.AE=CG.
理由:∵AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠A=45°,∠ACE+∠BCE=90°.
∵BF⊥CE,
∴∠BFC=90°,
∴∠CBF+∠BCE=90°,
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中,CD⊥AB,AC=BC,
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD.
在△BCG和△ACE中
,
∴△BCG≌△ACE(ASA),
∴AE=CG;
(3)BE=CM,
:∵AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠A=45°,∠ACE+∠BCE=90°.
∵AH⊥CE,
∴∠AHC=90°,
∴∠HAC+∠ACE=90°,
∴∠BCE=∠HAC.
∵在RT△ABC中,CD⊥AB,AC=BC,
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠ACD=∠ABC.
在△BCE和△CAM中
,
∴△BCE≌△CAM(ASA),
∴BE=CM.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,等式的性質(zhì)的運(yùn)用,線段垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.
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