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初中八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第2章特殊三角形單元測(cè)試題

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初中八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第2章特殊三角形單元測(cè)試題

  做八年級(jí)數(shù)學(xué)單元測(cè)試題前要先審題,保持平常心,考出最高分;以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的初中八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第2章特殊三角形單元測(cè)試題,希望你們喜歡。

  初中八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第2章特殊三角形單元試題

  一、選擇題

  1.正三角形△ABC的邊長(zhǎng)為3,依次在邊AB、BC、CA上取點(diǎn)A1、B1、C1,使AA1=BB1=CC1=1,則△A1B1C1的面積是(  )

  A. B. C. D.

  2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以點(diǎn)C為圓心,CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D,則AC=(  )

  A.5 B. C. D.6

  3.將一副直角三角尺如圖放置,若∠AOD=20°,則∠BOC的大小為(  )

  A.140° B.160° C.170° D.150°

  4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,CD=3,則BC的長(zhǎng)為(  )

  A.6 B.6 C.9 D.3

  5.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜邊AC,交AB于D,E是垂足,連接CD.若BD=1,則AC的長(zhǎng)是(  )

  A.2 B.2 C.4 D.4

  6.如圖,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,垂足為D,CE平分∠ACB.若BE=2,則AE的長(zhǎng)為(  )

  A. B.1 C. D.2

  7.如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開.若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1.2km,則M,C兩點(diǎn)間的距離為(  )

  A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km

  8.如圖,一個(gè)矩形紙片,剪去部分后得到一個(gè)三角形,則圖中∠1+∠2的度數(shù)是(  )

  A.30° B.60° C.90° D.120°

  9.如圖,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足為D,CD=1,則AB的長(zhǎng)為(  )

  A.2 B. C. D.

  10.在一個(gè)直角三角形中,有一個(gè)銳角等于60°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是(  )

  A.120° B.90° C.60° D.30°

  11.將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接,用釘子釘成四邊形ABCD,轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形,使它形狀改變,當(dāng)∠B=90°時(shí),如圖1,測(cè)得AC=2,當(dāng)∠B=60°時(shí),如圖2,AC=(  )

  A. B.2 C. D.2

  12.將一個(gè)有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上.另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上,測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角,如圖,則三角板的最大邊的長(zhǎng)為(  )

  A.3cm B.6cm C. cm D. cm

  13.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30°,AE=6cm,那么CE等于(  )

  A. cm B.2cm C.3cm D.4cm

  14.如圖,已知∠AOB=60°,點(diǎn)P在邊OA上,OP=12,點(diǎn)M,N在邊OB上,PM=PN,若MN=2,則OM=(  )

  A.3 B.4 C.5 D.6

  15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D,E為AB上一點(diǎn),連接DE,則下列說法錯(cuò)誤的是(  )

  A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED

  二、填空題

  16.由于木質(zhì)衣架沒有柔性,在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作.小敏設(shè)計(jì)了一種衣架,在使用時(shí)能輕易收攏,然后套進(jìn)衣服后松開即可.如圖1,衣架桿OA=OB=18cm,若衣架收攏時(shí),∠AOB=60°,如圖2,則此時(shí)A,B兩點(diǎn)之間的距離是  cm.

  17.在△ABC中,∠B=30°,AB=12,AC=6,則BC=  .

  18.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于點(diǎn)D,若CD=1,則BD=  .

  19.如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在DC邊的延長(zhǎng)線上.若∠CAE=15°,則AE=  .

  20.在矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,若∠AOB=60°,AC=10,則AB=  .

  初中八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第2章特殊三角形單元測(cè)試題參考答案

  一、選擇題(共15小題)

  1.正三角形△ABC的邊長(zhǎng)為3,依次在邊AB、BC、CA上取點(diǎn)A1、B1、C1,使AA1=BB1=CC1=1,則△A1B1C1的面積是(  )

  A. B. C. D.

  【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì).

  【專題】壓軸題.

  【分析】依題意畫出圖形,過點(diǎn)A1作A1D∥BC,交AC于點(diǎn)D,構(gòu)造出邊長(zhǎng)為1的小正三角形△AA1D;由AC1=2,AD=1,得點(diǎn)D為AC1中點(diǎn),因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D= ;同理求出S△CC1B1=S△BB1A1= ;最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得結(jié)果.

  【解答】解:依題意畫出圖形,如下圖所示:

  過點(diǎn)A1作A1D∥BC,交AC于點(diǎn)D,易知△AA1D是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.

  又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2,AD=1,

  ∴點(diǎn)D為AC1的中點(diǎn),

  ∴S△AA1C1=2S△AA1D=2× ×12= ;

  同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1= ,

  ∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1= ×32﹣3× = .

  故選B.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì),難度不大.本題入口較寬,解題方法多種多樣,同學(xué)們可以嘗試不同的解題方法.

  2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以點(diǎn)C為圓心,CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D,則AC=(  )

  A.5 B. C. D.6

  【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直角三角形;勾股定理.

  【專題】計(jì)算題;壓軸題.

  【分析】連結(jié)CD,直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CD=DA=DB,利用半徑相等得到CD=CB=DB,可判斷△CDB為等邊三角形,則∠B=60°,所以∠A=30°,然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系先計(jì)算出BC,再計(jì)算AC.

  【解答】解:連結(jié)CD,如圖,

  ∵∠C=90°,D為AB的中點(diǎn),

  ∴CD=DA=DB,

  而CD=CB,

  ∴CD=CB=DB,

  ∴△CDB為等邊三角形,

  ∴∠B=60°,

  ∴∠A=30°,

  ∴BC= AB= ×10=5,

  ∴AC= BC=5 .

  故選C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì):三邊都相等的三角形為等邊三角形;等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

  3.將一副直角三角尺如圖放置,若∠AOD=20°,則∠BOC的大小為(  )

  A.140° B.160° C.170° D.150°

  【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì).

  【分析】利用直角三角形的性質(zhì)以及互余的關(guān)系,進(jìn)而得出∠COA的度數(shù),即可得出答案.

  【解答】解:∵將一副直角三角尺如圖放置,∠AOD=20°,

  ∴∠COA=90°﹣20°=70°,

  ∴∠BOC=90°+70°=160°.

  故選:B.

  【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì),得出∠COA的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

  4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,CD=3,則BC的長(zhǎng)為(  )

  A.6 B.6 C.9 D.3

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;線段垂直平分線的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等可得AD=BD,可得∠DAE=30°,易得∠ADC=60°,∠CAD=30°,則AD為∠BAC的角平分線,由角平分線的性質(zhì)得DE=CD=3,再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得BD=2DE,得結(jié)果.

  【解答】解:∵DE是AB的垂直平分線,

  ∴AD=BD,

  ∴∠DAE=∠B=30°,

  ∴∠ADC=60°,

  ∴∠CAD=30°,

  ∴AD為∠BAC的角平分線,

  ∵∠C=90°,DE⊥AB,

  ∴DE=CD=3,

  ∵∠B=30°,

  ∴BD=2DE=6,

  ∴BC=9,

  故選C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì),角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

  5.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜邊AC,交AB于D,E是垂足,連接CD.若BD=1,則AC的長(zhǎng)是(  )

  A.2 B.2 C.4 D.4

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;線段垂直平分線的性質(zhì);勾股定理.

  【分析】求出∠ACB,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出AD=CD,推出∠ACD=∠A=30°,求出∠DCB,即可求出BD、BC,根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出AC即可.

  【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,

  ∴∠ACB=60°,

  ∵DE垂直平分斜邊AC,

  ∴AD=CD,

  ∴∠ACD=∠A=30°,

  ∴∠DCB=60°﹣30°=30°,

  在Rt△DBC中,∠B=90°,∠DCB=30°,BD=1,

  ∴CD=2BD=2,

  由勾股定理得:BC= = ,

  在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC= ,

  ∴AC=2BC=2 ,

  故選A.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是求出BC的長(zhǎng),注意:在直角三角形中,如果有一個(gè)角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

  6.如圖,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,垂足為D,CE平分∠ACB.若BE=2,則AE的長(zhǎng)為(  )

  A. B.1 C. D.2

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;角平分線的性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).

  【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE=2,故可得出∠B=∠DCE=30°,再由角平分線定義得出∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°,然后在Rt△CAE中根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出AE= CE=1.

  【解答】解:∵在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分線交AB于E,BE=2,

  ∴BE=CE=2,

  ∴∠B=∠DCE=30°,

  ∵CE平分∠ACB,

  ∴∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,

  ∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°.

  在Rt△CAE中,∵∠A=90°,∠ACE=30°,CE=2,

  ∴AE= CE=1.

  故選B.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),角平分線定義,三角形內(nèi)角和定理,求出∠A=90°是解答此題的關(guān)鍵.

  7.如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開.若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1.2km,則M,C兩點(diǎn)間的距離為(  )

  A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km

  【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.

  【專題】應(yīng)用題.

  【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可得MC=AM=1.2km.

  【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M為AB的中點(diǎn),

  ∴MC= AB=AM=1.2km.

  故選D.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì):在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半.理解題意,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵.

  8.如圖,一個(gè)矩形紙片,剪去部分后得到一個(gè)三角形,則圖中∠1+∠2的度數(shù)是(  )

  A.30° B.60° C.90° D.120°

  【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì).

  【專題】常規(guī)題型.

  【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余解答.

  【解答】解:由題意得,剩下的三角形是直角三角形,

  所以,∠1+∠2=90°.

  故選:C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

  9.如圖,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足為D,CD=1,則AB的長(zhǎng)為(  )

  A.2 B. C. D.

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;勾股定理;等腰直角三角形.

  【分析】在Rt△ACD中求出AD,在Rt△CDB中求出BD,繼而可得出AB.

  【解答】解:在Rt△ACD中,∠A=45°,CD=1,

  則AD=CD=1,

  在Rt△CDB中,∠B=30°,CD=1,

  則BD= ,

  故AB=AD+BD= +1.

  故選D.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性質(zhì),要求我們熟練掌握這兩種特殊直角三角形的性質(zhì).

  10.(2014•海南)在一個(gè)直角三角形中,有一個(gè)銳角等于60°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是(  )

  A.120° B.90° C.60° D.30°

  【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可得解.

  【解答】解:∵直角三角形中,一個(gè)銳角等于60°,

  ∴另一個(gè)銳角的度數(shù)=90°﹣60°=30°.

  故選:D.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

  11.將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接,用釘子釘成四邊形ABCD,轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形,使它形狀改變,當(dāng)∠B=90°時(shí),如圖1,測(cè)得AC=2,當(dāng)∠B=60°時(shí),如圖2,AC=(  )

  A. B.2 C. D.2

  【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì);勾股定理的應(yīng)用;正方形的性質(zhì).

  【分析】圖1中根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長(zhǎng),圖2根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可求得.

  【解答】解:如圖1,

  ∵AB=BC=CD=DA,∠B=90°,

  ∴四邊形ABCD是正方形,

  連接AC,則AB2+BC2=AC2,

  ∴AB=BC= = = ,

  如圖2,∠B=60°,連接AC,

  ∴△ABC為等邊三角形,

  ∴AC=AB=BC= .

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì),勾股定理以及等邊三角形的判定和性質(zhì),利用勾股定理得出正方形的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵.

  12.將一個(gè)有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上.另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上,測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角,如圖,則三角板的最大邊的長(zhǎng)為(  )

  A.3cm B.6cm C. cm D. cm

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.

  【分析】過另一個(gè)頂點(diǎn)C作垂線CD如圖,可得直角三角形,根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半,可求出有45°角的三角板的直角邊,再由等腰直角三角形求出最大邊.

  【解答】解:過點(diǎn)C作CD⊥AD,∴CD=3,

  在直角三角形ADC中,

  ∵∠CAD=30°,

  ∴AC=2CD=2×3=6,

  又∵三角板是有45°角的三角板,

  ∴AB=AC=6,

  ∴BC2=AB2+AC2=62+62=72,

  ∴BC=6 ,

  故選:D.

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形問題,關(guān)鍵是先求得直角邊,再由勾股定理求出最大邊.

  13.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30°,AE=6cm,那么CE等于(  )

  A. cm B.2cm C.3cm D.4cm

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形.

  【專題】常規(guī)題型.

  【分析】根據(jù)在直角三角形中,30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出AE=2ED,求出ED,再根據(jù)角平分線到兩邊的距離相等得出ED=CE,即可得出CE的值.

  【解答】解:∵ED⊥AB,∠A=30°,

  ∴AE=2ED,

  ∵AE=6cm,

  ∴ED=3cm,

  ∵∠ACB=90°,BE平分∠ABC,

  ∴ED=CE,

  ∴CE=3cm;

  故選:C.

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含30°角的直角三角形,用到的知識(shí)點(diǎn)是在直角三角形中,30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和角平分線的基本性質(zhì),關(guān)鍵是求出ED=CE.

  14.如圖,已知∠AOB=60°,點(diǎn)P在邊OA上,OP=12,點(diǎn)M,N在邊OB上,PM=PN,若MN=2,則OM=(  )

  A.3 B.4 C.5 D.6

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;等腰三角形的性質(zhì).

  【專題】計(jì)算題.

  【分析】過P作PD⊥OB,交OB于點(diǎn)D,在直角三角形POD中,利用銳角三角函數(shù)定義求出OD的長(zhǎng),再由PM=PN,利用三線合一得到D為MN中點(diǎn),根據(jù)MN求出MD的長(zhǎng),由OD﹣MD即可求出OM的長(zhǎng).

  【解答】解:過P作PD⊥OB,交OB于點(diǎn)D,

  在Rt△OPD中,cos60°= = ,OP=12,

  ∴OD=6,

  ∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,

  ∴MD=ND= MN=1,

  ∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5.

  故選:C.

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含30度直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

  15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D,E為AB上一點(diǎn),連接DE,則下列說法錯(cuò)誤的是(  )

  A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;角平分線的性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì).

  【專題】幾何圖形問題.

  【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB,求出∠CAD=∠BAD=∠B,推出AD=BD,AD=2CD即可.

  【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,

  ∴∠CAB=60°,

  ∵AD平分∠CAB,

  ∴∠CAD=∠BAD=30°,

  ∴∠CAD=∠BAD=∠B,

  ∴AD=BD,AD=2CD,

  ∴BD=2CD,

  根據(jù)已知不能推出CD=DE,

  即只有D錯(cuò)誤,選項(xiàng)A、B、C的答案都正確;

  故選:D.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,等腰三角形的判定,含30度角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用,注意:在直角三角形中,如果有一個(gè)角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

  二、填空題

  16.由于木質(zhì)衣架沒有柔性,在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作.小敏設(shè)計(jì)了一種衣架,在使用時(shí)能輕易收攏,然后套進(jìn)衣服后松開即可.如圖1,衣架桿OA=OB=18cm,若衣架收攏時(shí),∠AOB=60°,如圖2,則此時(shí)A,B兩點(diǎn)之間的距離是 18 cm.

  【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì).

  【專題】應(yīng)用題.

  【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形的等邊三角形進(jìn)行解答即可.

  【解答】解:∵OA=OB,∠AOB=60°,

  ∴△AOB是等邊三角形,

  ∴AB=OA=OB=18cm,

  故答案為:18

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形問題,關(guān)鍵是根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形的等邊三角形進(jìn)行分析.

  17.在△ABC中,∠B=30°,AB=12,AC=6,則BC= 6  .

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;勾股定理.

  【分析】由∠B=30°,AB=12,AC=6,利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半易得△ABC是直角三角形,利用勾股定理求出BC的長(zhǎng).

  【解答】解:∵∠B=30°,AB=12,AC=6,

  ∴△ABC是直角三角形,

  ∴BC= = =6 ,

  故答案為:6 .°

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含30°直角三角形的性質(zhì),以及勾股定理,熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.

  18.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于點(diǎn)D,若CD=1,則BD= 2 .

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;角平分線的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù),根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AD即可得BD.

  【解答】解:∵∠C=90°,∠B=30°,

  ∴∠CAB=60°,

  AD平分∠CAB,

  ∴∠BAD=30°,

  ∴BD=AD=2CD=2,

  故答案為2.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)含30度角的直角三角形的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)的應(yīng)用,求出AD的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵.

  19.如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在DC邊的延長(zhǎng)線上.若∠CAE=15°,則AE= 8 .

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;正方形的性質(zhì).

  【分析】先由正方形的性質(zhì)可得∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,由∠CAE=15°,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°.然后在Rt△ADE中,根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得到AE=2AD=8.

  【解答】解:∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,

  ∴∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,

  ∵∠CAE=15°,

  ∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°.

  ∵在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠E=30°,

  ∴AE=2AD=8.

  故答案為8.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì):在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.也考查了正方形的性質(zhì),平行線的性質(zhì).求出∠E=30°是解題的關(guān)鍵.

  20.在矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,若∠AOB=60°,AC=10,則AB= 5 .

  【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;矩形的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì),可以得到△AOB是等邊三角形,則可以求得OA的長(zhǎng),進(jìn)而求得AB的長(zhǎng).

  【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形,

  ∴OA=OB

  又∵∠AOB=60°

  ∴△AOB是等邊三角形.

  ∴AB=OA= AC=5,

  故答案是:5.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì),正確理解△AOB是等邊三角形是關(guān)鍵.

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