初中八年級數(shù)學(xué)上冊第1章三角形的初步認(rèn)識題庫

時間：2017-01-21 09:43:03 妙純901由分享

　　做八年級數(shù)學(xué)單元試題要多練、多思;做題目應(yīng)知難而進(jìn)。這是學(xué)習(xí)啦小編整理的初中八年級數(shù)學(xué)上冊第1章三角形的初步認(rèn)識題庫，希望你能從中得到感悟!

　　初中八年級數(shù)學(xué)上冊第1章三角形的初步認(rèn)識試題

　　一、填空題(本題有10個小題，每小題4分，共40分)

　　1.三角形中，若一個角等于其他兩個角的差，則這個三角形是(　　)

　　A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形

　　2.已知三角形的三邊長分別為4，5，x，則x不可能是(　　)

　　A.3 B.5 C.7 D.9

　　3.如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是(　　)

　　A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°

　　4.如圖，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，則∠A的度數(shù)為(　　)

　　A.30° B.32.5° C.35° D.37.5°

　　5.如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E.則∠C等于(　　)

　　A.20° B.25° C.30° D.40°

　　6.到△ABC的三條邊距離相等的點是△ABC的(　　)

　　A.三條中線交點 B.三條角平分線交點

　　C.三條高的交點 D.三條邊的垂直平分線交點

　　7.如圖，△ABC中，∠A=90°，點D在AC邊上，DE∥BC，如果∠1=145°，那么∠B的度數(shù)為(　　)

　　A.35° B.25° C.45° D.55°

　　8.如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，則圖中全等三角形的對數(shù)為(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　9.如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是(　　)

　　A.45° B.54° C.40° D.50°

　　10.已知如圖，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE、AF交于點O.現(xiàn)有以下結(jié)論：

　?、貲E∥BC;②OD= BC;③AO=FO;④S△AOD= .

　　其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　二、認(rèn)真填一填(本題有8個小題，每小題4分，共32分)

　　11.若三角形的兩邊長分別為3、4，且周長為整數(shù)，這樣的三角形共有　　個.

　　12.如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)為　　.

　　13.在△ABC中，點D是AB邊的中點，點E是AC邊的中點，連接DE，若BC=4，則DE=　　.

　　14.如圖，為估計池塘岸邊A，B兩點間的距離，在池塘的一側(cè)選取點O，分別取OA，OB的中點M，N，測得MN=32m，則A，B兩點間的距離是　　m.

　　15.如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=　　.

　　16.如圖，將△ABC沿它的中位線MN折疊后，點A落在點A′處，若∠A=28°，∠B=130°，則∠A′NC=　　°.

　　17.如圖，△ABC中，∠1+∠2+∠3=　　度，∠4+∠5+∠6=　　度.

　　18.如圖，已知∠AOB=α，在射線OA、OB上分別取點OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1、B1B上分別取點A2、B2，使B1B2=B1A2，連接A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，則

　　(1)θ1=　　;

　　(2)θn=　　.

　　三、解答題(本題有8個小題，共78分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟.)

　　19.已知：如圖，點A，D，C在同一直線上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC.

　　求證：BC=DE.

　　20.三角形內(nèi)角和等于　　.

　　(2)請證明以上命題.

　　21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB.

　　(1)求∠CAD的度數(shù);

　　(2)延長AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE.

　　22.如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C.

　　(1)尺規(guī)作圖：作底角∠ABC的平分線BD，交AC于點D(作圖不寫作法，但保留作圖痕跡);

　　(2)猜想：“若∠A=36°，則△ABD和△BDC都是等腰三角形”.請你通過計算說明猜想是否成立.

　　23.已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD.

　　求證：(1)△BAD≌△CAE;(2)試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明.

　　24.在△ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點P.求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段.

　　25.問題：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB.

　　若∠A=80°，則∠BEC=　　;若∠A=n°，則∠BEC=　　.

　　探究：

　　(1)如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB.若∠A=n°，則∠BEC=　　;

　　(2)如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM.若∠A=n°，則∠BEC=　　;

　　(3)如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN.若∠A=n°，則∠BEC=　　.

　　26.【問題提出】

　　學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.

　　【初步思考】

　　我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.

　　【深入探究】

　　第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC≌△DEF.

　　(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)　　，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.

　　第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF.

　　(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.

　　第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等.

　　(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)

　　(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若　　，則△ABC≌△DEF.

　　初中八年級數(shù)學(xué)上冊第1章三角形的初步認(rèn)識參考答案

　　一、填空題(本題有10個小題，每小題4分，共40分)

　　1.三角形中，若一個角等于其他兩個角的差，則這個三角形是(　　)

　　A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形

　　【考點】三角形內(nèi)角和定理.

　　【分析】三角形三個內(nèi)角之和是180°，三角形的一個角等于其它兩個角的差，列出兩個方程，即可求出答案.

　　【解答】解：設(shè)三角形的三個角分別為：a°、b°、c°，

　　則由題意得：，

　　解得：a=90，

　　故這個三角形是直角三角形.故選：B.

　　【點評】本題主要考查了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，可利用方程進(jìn)行求解.關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180°.

　　2.已知三角形的三邊長分別為4，5，x，則x不可能是(　　)

　　A.3 B.5 C.7 D.9

　　【考點】三角形三邊關(guān)系;解一元一次不等式組.

　　【分析】已知兩邊時，第三邊的范圍是大于兩邊的差，小于兩邊的和.這樣就可以確定x的范圍，也就可以求出x的不可能取得的值.

　　【解答】解：5﹣4

　　【點評】已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和.

　　3.如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是(　　)

　　A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°

　　【考點】全等三角形的判定.

　　【分析】本題要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對應(yīng)相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后則不能.

　　【解答】解：A、添加CB=CD，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A選項不符合題意;

　　B、添加∠BAC=∠DAC，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B選項不符合題意;

　　C、添加∠BCA=∠DCA時，不能判定△ABC≌△ADC，故C選項符合題意;

　　D、添加∠B=∠D=90°，根據(jù)HL，能判定△ABC≌△ADC，故D選項不符合題意;

　　故選：C.

　　【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

　　注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

　　4.如圖，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，則∠A的度數(shù)為(　　)

　　A.30° B.32.5° C.35° D.37.5°

　　【考點】平行線的性質(zhì).

　　【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EOB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可.

　　【解答】解：設(shè)AB、CE交于點O.

　　∵AB∥CD，∠C=65°，

　　∴∠EOB=∠C=65°，

　　∵∠E=30°，

　　∴∠A=∠EOB﹣∠E=35°，

　　故選：C.

　　【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠EOB的度數(shù)和得出∠A=∠EOB﹣∠E.

　　5.如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E.則∠C等于(　　)

　　A.20° B.25° C.30° D.40°

　　【考點】三角形的外角性質(zhì);平行線的性質(zhì).

　　【專題】計算題.

　　【分析】因為AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC.又因為∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C.

　　【解答】解：∵AB∥CD，∠A=50°，

　　∴∠A=∠AOC(內(nèi)錯角相等)，

　　又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，

　　∴∠C=50°÷2=25°.

　　故選B.

　　【點評】本題比較簡單，考查的是平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系.

　　6.到△ABC的三條邊距離相等的點是△ABC的(　　)

　　A.三條中線交點 B.三條角平分線交點

　　C.三條高的交點 D.三條邊的垂直平分線交點

　　【考點】角平分線的性質(zhì).

　　【分析】由于角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，而已知一點到△ABC的三條邊距離相等，那么這樣的點在這個三角形的三條角平分線上，由此即可作出選擇.

　　【解答】解：∵到△ABC的三條邊距離相等，

　　∴這點在這個三角形三條角平分線上，

　　即這點是三條角平分線的交點.

　　故選B.

　　【點評】此題主要考查了三角形的角平分線的性質(zhì)：三條角平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.

　　7.如圖，△ABC中，∠A=90°，點D在AC邊上，DE∥BC，如果∠1=145°，那么∠B的度數(shù)為(　　)

　　A.35° B.25° C.45° D.55°

　　【考點】平行線的性質(zhì);直角三角形的性質(zhì).

　　【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠EDC的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠C的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠B的度數(shù).

　　【解答】解：∵∠1=145°，

　　∴∠EDC=180°﹣145°=35°，

　　∵DE∥BC，

　　∴∠C=∠EDC=35°，

　　∵△ABC中，∠A=90°，∠C=35°，

　　∴∠B=180°﹣90°﹣35°=55°.

　　故選：D.

　　【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

　　8.如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，則圖中全等三角形的對數(shù)為(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【考點】全等三角形的判定.

　　【分析】因為AB=AC，AF⊥BC，所以F為BC的中點，BF=F，又因為BD=EC，所以有BE=DC，DF=FE，然后根據(jù)SSS或HL可得.

　　【解答】解：因為AB=AC，AF⊥BC，所以F為BC的中點，BF=FC，又因為BD=EC，所以有BE=DC，DF=FE，

　　因為AB=AC，AF⊥BC，AF=AF，根據(jù)HL，可得△ABF≌△AFC;

　　AF=AF，DF=EF，AF⊥DE，根據(jù)HL，可得△ADF≌△AEF，AD=AE;

　　AD=AE，BD=EC，AB=AC，根據(jù)SSS可得△ABD≌△ACE;

　　AF=AF，DF=EF，AF⊥BC，根據(jù)HL可得△ADF≌△AEF;

　　AB=AC，AD=AE，BE=CD，根據(jù)SSS可得△ABE≌△ACD;所以有4對全等三角形.

　　故選D.

　　【點評】本題考查了全等三角形的判定;要注意的問題是：不要忽視△ABE≌△ACD.做題時要從已知條件開始思考，結(jié)合圖形，利用全等三角形的判定方法由易到難逐個尋找，做到不重不漏.

　　9.如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是(　　)

　　A.45° B.54° C.40° D.50°

　　【考點】平行線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.

　　【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ADE=∠BAD.

　　【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，

　　∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，

　　∵AD平分∠BAC，

　　∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°，

　　∵DE∥AB，

　　∴∠ADE=∠BAD=40°.

　　故選：C.

　　【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵.

　　10.已知如圖，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE、AF交于點O.現(xiàn)有以下結(jié)論：

　?、貲E∥BC;②OD= BC;③AO=FO;④S△AOD= .

　　其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【考點】三角形中位線定理;相似三角形的判定與性質(zhì).

　　【分析】①根據(jù)三角形中位線定理進(jìn)行判斷;

　?、谟上嗨迫切巍鰽DO∽△ABF的對應(yīng)邊成比例、三角形中線的定義進(jìn)行判斷;

　?、塾上嗨迫切巍鰽DO∽△ABF的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行判斷;

　?、苡上嗨迫切巍鰽DO∽△ABF的面積之比等于相似比的平方進(jìn)行判斷.

　　【解答】解：①如圖，∵DE是△ABC的中位線，

　　∴DE∥BC.

　　故①正確;

　　②如圖，∵由①知，DE∥BC，

　　∴△ADO∽△ABF，

　　∴ = = ，

　　則OD= BF.

　　又AF是BC邊上的中線，

　　∴BF=CF= BC，

　　∴OD= BC.

　　故②正確;

　?、邸哂散谥鰽DO∽△ABF，

　　∴ = = ，

　　∴AO= AF，

　　∴AO=FO.

　　故③正確;

　?、堋哂散谥?，△ADO∽△ABF，

　　∴ =( )2=( )2= ，

　　∴S△AOD= S△ABF.

　　又∵AF是BC邊上的中線，

　　∴S△ABF= S△ABC，

　　∴S△AOD= S△ABC.

　　故④錯誤.

　　綜上所述，正確的結(jié)論是①②③，共3個.

　　故選：C.

　　【點評】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì).此題利用了“相似三角形的對應(yīng)邊成比例、相似三角形的面積之比等于相似比的平方”的性質(zhì).

　　二、認(rèn)真填一填(本題有8個小題，每小題4分，共32分)

　　11.若三角形的兩邊長分別為3、4，且周長為整數(shù)，這樣的三角形共有　5　個.

　　【考點】三角形三邊關(guān)系;一元一次不等式組的整數(shù)解.

　　【分析】設(shè)第三邊的長為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系的定理可以確定x的取值范圍，進(jìn)而得到答案.

　　【解答】解：設(shè)第三邊的長為x，則

　　4﹣3

　　所以1

　　∵x為整數(shù)，

　　∴x可取2，3，4，5，6.

　　故答案為5.

　　【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.三角形的兩邊差小于第三邊.

　　12.如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)為　130°　.

　　【考點】全等三角形的性質(zhì).

　　【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠C=∠A，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解.

　　【解答】解：∵△ABD≌△CBD，

　　∴∠C=∠A=80°，

　　∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°.

　　故答案為：130°.

　　【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，根據(jù)對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上確定出∠C=∠A是解題的關(guān)鍵.

　　13.在△ABC中，點D是AB邊的中點，點E是AC邊的中點，連接DE，若BC=4，則DE=　2　.

　　【考點】三角形中位線定理.

　　【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE= BC.

　　【解答】解：∵點D是AB邊的中點，點E是AC邊的中點，

　　∴DE是△ABC的中位線，

　　∴DE= BC= ×4=2.

　　故答案為：2.

　　【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵.

　　14.如圖，為估計池塘岸邊A，B兩點間的距離，在池塘的一側(cè)選取點O，分別取OA，OB的中點M，N，測得MN=32m，則A，B兩點間的距離是　64　m.

　　【考點】三角形中位線定理.

　　【專題】應(yīng)用題.

　　【分析】根據(jù)M、N是OA、OB的中點，即MN是△OAB的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可求解.

　　【解答】解：∵M(jìn)、N是OA、OB的中點，即MN是△OAB的中位線，

　　∴MN= AB，

　　∴AB=2MN=2×32=64(m).

　　故答案為：64.

　　【點評】本題考查了三角形的中位線定理應(yīng)用，正確理解定理是解題的關(guān)鍵.

　　15.如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=　6　.

　　【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

　　【專題】幾何圖形問題.

　　【分析】根據(jù)題中條件由SAS可得△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=DF=6.

　　【解答】證明：∵AB∥DE，

　　∴∠B=∠DEF

　　∵BE=CF，

　　∴BC=EF，

　　在△ABC和△DEF中，

　　，

　　∴△ABC≌△DEF(SAS)，

　　∴AC=DF=6.

　　故答案是：6.

　　【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，應(yīng)熟練掌握.全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

　　16.如圖，將△ABC沿它的中位線MN折疊后，點A落在點A′處，若∠A=28°，∠B=130°，則∠A′NC=　136　°.

　　【考點】翻折變換(折疊問題);三角形中位線定理.

　　【分析】先利用內(nèi)角和定理求∠C，根據(jù)三角形的中位線定理可知MN∥BC，由平行線的性質(zhì)可求∠A′NM、∠CNM，再利用角的和差關(guān)系求∠A′NC.

　　【解答】解：∵∠A=28°，∠B=120°，

　　∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣28°﹣130°=22°，

　　∵M(jìn)N是三角形的中位線，

　　∴MN∥BC，

　　∴∠A′NM=∠C=22°，∠CNM=180°﹣∠C=180°﹣22°=158°，

　　∴∠A′NC=∠CNM﹣∠A′NM=158°﹣22°=136°.

　　故答案為：136.

　　【點評】本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

　　17.如圖，△ABC中，∠1+∠2+∠3=　180　度，∠4+∠5+∠6=　360　度.

　　【考點】三角形內(nèi)角和定理;三角形的外角性質(zhì).

　　【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角和定理解答.

　　【解答】解：∠1+∠2+∠3=180°，

　　∠4+∠5+∠6=360°.

　　故答案為：180，360.

　　【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，外角和定理，熟記定理并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

　　(1)θ1=　　;

　　(2)θn=　　.

　　【考點】等腰三角形的性質(zhì).

　　【專題】壓軸題;規(guī)律型.

　　【分析】設(shè)∠A1B1O=x，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得α+2x=180°，x=180°﹣θ1，即可求得θ1= ;同理求得θ2= ;即可發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，按照此規(guī)律即可求得答案.

　　【解答】解：(1)設(shè)∠A1B1O=x，

　　則α+2x=180°，x=180°﹣θ1，

　　∴θ1= ;

　　(2)設(shè)∠A2B2B1=y，

　　則θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②，

　?、?times;2﹣②得：2θ2﹣θ1=180°，

　　∴θ2= ;

　　…

　　θn= .

　　故答案為：(1) ;(2)θn= .

　　【點評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是總結(jié)歸納出規(guī)律.

　　三、解答題(本題有8個小題，共78分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟.)

　　19.已知：如圖，點A，D，C在同一直線上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC.

　　求證：BC=DE.

　　【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

　　【專題】證明題.

　　【分析】根據(jù)由兩個角和其中一角的對邊相等的兩個三角形全等證明△ABC≌△CDE，由全等三角形的性質(zhì)即可得到BC=DE.

　　【解答】證明：∵AB∥EC，

　　∴∠A=∠DCE，

　　在△ABC和△CDE中，，

　　∴△ABC≌△CDE，

　　∴BC=DE.

　　【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

　　20.(1)三角形內(nèi)角和等于　180°　.

　　(2)請證明以上命題.

　　【考點】三角形內(nèi)角和定理;平行線的性質(zhì).

　　【專題】證明題.

　　【分析】(1)直接根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論即可;

　　(2)畫出△ABC，過點C作CF∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通過等量代換即可得出結(jié)論.

　　【解答】解：(1)三角形內(nèi)角和等于180°.

　　故答案為：180°;

　　(2)已知：如圖所示的△ABC，

　　求證：∠A+∠B+∠C=180°.

　　證明：過點C作CF∥AB，

　　∵CF∥AB，

　　∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，

　　∵∠1+∠2=∠BCF，

　　∴∠B+∠1+∠2=180°，

　　∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形內(nèi)角和等于180°.

　　【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵.

　　21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB.

　　(1)求∠CAD的度數(shù);

　　(2)延長AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE.

　　【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

　　【專題】證明題.

　　【分析】(1)利用“直角三角形的兩個銳角互余”的性質(zhì)和角平分的性質(zhì)進(jìn)行解答;

　　(2)通過證△ACD≌△ECD來推知DA=DE.

　　【解答】(1)解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，

　　∴∠B=30°，

　　∴∠CAB=60°.

　　又∵AD平分∠CAB，

　　∴∠CAD= ∠CAB=30°，即∠CAD=30°;

　　(2)證明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，

　　∴∠ECD=90°，

　　∴∠ACD=∠ECD.

　　在△ACD與△ECD中，

　　，

　　∴△ACD≌△ECD(SAS)，

　　∴DA=DE.

　　【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

　　22.(2013秋•云浮期末)如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C.

　　(1)尺規(guī)作圖：作底角∠ABC的平分線BD，交AC于點D(作圖不寫作法，但保留作圖痕跡);

　　(2)猜想：“若∠A=36°，則△ABD和△BDC都是等腰三角形”.請你通過計算說明猜想是否成立.

　　【考點】作圖—基本作圖;等腰三角形的判定.

　　【分析】(1)利用尺規(guī)作圖平分已知角即可;

　　(2)利用等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)分別得到AD=DB，BD=BC即可得到等腰三角形.

　　【解答】解：(1)如圖所示：BD即為所求;

　　(2)∵∠A=36°，

　　∴∠ABC=∠C=(180°﹣36°)÷2=72°，

　　∵BD平分∠ABC，

　　∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，

　　∴∠CDB=180°﹣36°﹣72°=72°，

　　∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，

　　∴AD=DB，BD=BC，

　　∴△ABD和△BDC都是等腰三角形.

　　【點評】本題考查了基本作圖中的平分已知角及等腰三角形的判定的知識，屬于基礎(chǔ)題，難度不大.

　　23.(2015•黃岡模擬)已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD.

　　求證：(1)△BAD≌△CAE;(2)試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明.

　　【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

　　【專題】證明題;探究型.

　　【分析】要證(1)△BAD≌△CAE，現(xiàn)有AB=AC，AD=AE，需它們的夾角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易證得.(2)BD、CE有何特殊位置關(guān)系，從圖形上可看出是垂直關(guān)系，可向這方面努力.要證BD⊥CE，需證∠BDE=90°，需證∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供.

　　【解答】(1)證明：∵∠BAC=∠DAE=90°

　　∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD

　　即∠BAD=∠CAE，

　　又∵AB=AC，AD=AE，

　　∴△BAD≌△CAE(SAS).

　　(2)BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE.

　　證明如下：由(1)知△BAD≌△CAE，

　　∴∠ADB=∠E.

　　∵∠DAE=90°，

　　∴∠E+∠ADE=90°.

　　∴∠ADB+∠ADE=90°.

　　即∠BDE=90°.

　　∴BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE.

　　【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì);全等問題要注意找條件，有些條件需在圖形是仔細(xì)觀察，認(rèn)真推敲方可.做題時，有時需要先猜后證.

　　24.(2014•杭州)在△ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點P.求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段.

　　【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).

　　【專題】幾何圖形問題.

　　【分析】可證明△ABF≌△ACE，則BF=CE，再證明△BEP≌△CFP，則PB=PC，從而可得出PE=PF，BE=CF.

　　【解答】解：在△ABF和△ACE中，

　　，

　　∴△ABF≌△ACE(SAS)，

　　∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的對應(yīng)角相等)，

　　∴BF=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)，

　　∵AB=AC，AE=AF，

　　∴BE=CF，

　　在△BEP和△CFP中，

　　，

　　∴△BEP≌△CFP(AAS)，

　　∴PB=PC，

　　∵BF=CE，

　　∴PE=PF，

　　∴圖中相等的線段為PE=PF，BE=CF，BF=CE.

　　【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，難度不大.

　　25.問題：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB.

　　若∠A=80°，則∠BEC=　130°　;若∠A=n°，則∠BEC=　90°+ n°　.

　　探究：

　　(1)如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB.若∠A=n°，則∠BEC=　60°+ n°　;

　　(2)如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM.若∠A=n°，則∠BEC=　 n°　;

　　(3)如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN.若∠A=n°，則∠BEC=　90°﹣ n°　.

　　【考點】三角形內(nèi)角和定理;三角形的外角性質(zhì).

　　【分析】試題分析：問題：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可.

　　探究：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三等分角的意義求解即可.

　　(2)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC與∠E的關(guān)系.

　　(3)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.

　　【解答】解：問題：如圖1，∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，

　　∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB(角平分線的定義)，

　　∴∠BEC=180°﹣(∠EBC+∠ECB)

　　=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)

　　=180°﹣ (180°﹣∠A)

　　=90°+ ∠A;

　　若∠A=80°，則∠BEC=130°;若∠A=n°，則∠BEC=90°+ n°.

　　探究：(1)如圖2，

　　∵線段BD、BE把∠ABC三等分，

　　∴∠EBC= ∠ABC;

　　又∵線段CD、CE把∠ACB三等分，

　　∴∠ECB= ∠ACB;

　　∴∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠ACB)= (180°﹣∠A)，

　　∴∠BEC=180°﹣ (180°﹣∠A)=60°+∠A，

　　若∠A=n°，則∠BEC=60°+ n°;

　　(2)如圖3，

　　∵BE和CE分別是∠ABC和∠ACM的角平分線，

　　∴∠EBC= ∠ABC，∠ACE= ∠ACM，

　　又∵∠ACM是△ABC的一外角，

　　∴∠ACM=∠A+∠ABC，

　　∴∠ACE= (∠A+∠ABC)= ∠A+∠EBC，

　　∵∠ACM是△BEC的一外角，

　　∴∠BEC=∠ACE﹣∠EBC= ∠A+∠EBC﹣∠EBC= ∠A;

　　若∠A=n°，則∠BEC= n°;

　　(3)如圖4，

　　∵∠EBC= (∠A+∠ACB)，∠ECB= (∠A+∠ABC)，

　　∴∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠ECB，=180°﹣ (∠A+∠ACB)﹣ (∠A+∠ABC)

　　=180°﹣ ∠A﹣ (∠A+∠ABC+∠ACB)=90°﹣∠A=90°﹣ n°.

　　故答案為問題：130°;90°+ n°;探究：(1) ;(2) n°;(3)90°﹣ n°.

　　【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

　　26.(2014•南京)【問題提出】

　　【初步思考】

　　【深入探究】

　　第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC≌△DEF.

　　(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)　HL　，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.

　　第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF.

　　(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.

　　第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等.

　　(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)

　　(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若　∠B≥∠A　，則△ABC≌△DEF.

　　【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖.

　　【專題】壓軸題;探究型.

　　【分析】(1)根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明;

　　(2)過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等;

　　(3)以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等;

　　(4)根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可.

　　【解答】(1)解：HL;

　　(2)證明：如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，

　　∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，

　　∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，

　　即∠CBG=∠FEH，

　　在△CBG和△FEH中，

　　，

　　∴△CBG≌△FEH(AAS)，

　　∴CG=FH，

　　在Rt△ACG和Rt△DFH中，