8年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第11章三角形測(cè)試題及答案人教版
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8年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第11章三角形測(cè)試題
一、填空題
1.在△ABC中,∠A=40°,∠B=∠C,則∠C= °.
2.小華要從長(zhǎng)度分別為5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中選出三根擺成一個(gè)三角形,那么他選的三根木棒的長(zhǎng)度分別是: , , (單位:cm).
3.如果等腰三角形的一個(gè)底角是40°,它的頂角是 .
4.三角形的一邊為5cm,一邊為7cm,則第三邊的取值范圍是 .
5.△ABC中,若∠A=35°,∠B=65°,則∠C= ;若∠A=120°,∠B=2∠C,則∠C= .
6.三角形三個(gè)內(nèi)角中,最多有 個(gè)直角,最多有 個(gè)鈍角,最多有 個(gè)銳角,至少有 個(gè)銳角.
7.三角形按角的不同分類,可分為 三角形, 三角形和 三角形.
8.一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比是2:3:4,那么這個(gè)三角形是 三角形.
9.在△ABC中,∠A﹣∠B=36°,∠C=2∠B,則∠A= ,∠B= ,∠C= .
10.若△ABC中,∠A+∠B=∠C,則此三角形是 三角形.
11.已知等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2,則這個(gè)等腰三角形的頂角為 .
12.已知△ABC為等腰三角形,①當(dāng)它的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為8cm和3cm時(shí),它的周長(zhǎng)為 ;②如果它的一邊長(zhǎng)為4cm,一邊的長(zhǎng)為6cm,則周長(zhǎng)為 .
二、判斷題.
13.有一個(gè)角是鈍角的三角形就是鈍角三角形. (判斷對(duì)錯(cuò))
14.一個(gè)等腰三角形的頂角是80°,它的兩個(gè)底角都是60°. (判斷對(duì)錯(cuò))
15.兩個(gè)內(nèi)角和是90°的三角形是直角三角形. (判斷對(duì)錯(cuò))
16.一個(gè)三角形最多只能有一個(gè)鈍角或一個(gè)直角. (判斷對(duì)錯(cuò))
17.在銳角三角形中,任意的兩個(gè)銳角之和一定要大于90°. (判斷對(duì)錯(cuò))
18.一個(gè)三角形,已知兩個(gè)內(nèi)角分別是85°和25°,這個(gè)三角形一定是鈍角三角形. (判斷對(duì)錯(cuò))
三、選擇題
19.如果三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2:3:4,則它是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.鈍角或直角三角形
20.下列說法正確的是( )
A.三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)銳角
B.三角形的內(nèi)角中最多有兩個(gè)銳角
C.三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)直角
D.三角形的內(nèi)角都大于60°
21.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),則∠A的度數(shù)為( )
A.100° B.120° C.140° D.160°
22.已知三角形兩個(gè)內(nèi)角的差等于第三個(gè)內(nèi)角,則它是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形
23.等腰三角形的底邊BC=8cm,且|AC﹣BC|=2cm,則腰長(zhǎng)AC的長(zhǎng)為( )
A.10cm或6cm B.10cm C.6cm D.8cm或6cm
24.在下列長(zhǎng)度的四根木棒中,能與4cm、9cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是( )
A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm
25.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A,∠B,∠C滿足關(guān)系式∠B+∠C=3∠A,則此三角形( )
A.一定有一個(gè)內(nèi)角為45° B.一定有一個(gè)內(nèi)角為60°
C.一定是直角三角形 D.一定是鈍角三角形
26.在下列條件中:①∠A+∠B=∠C,②∠A:∠B:∠C=1:2:3,③∠A=90°﹣∠B,④∠A=∠B= ∠C中,能確定△ABC是直角三角形的條件有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
27.已知三角形的三邊分別為2,a,4,那么a的取值范圍是( )
28.在△ABC中,∠A= ∠B= ∠C,則此三角形是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形
四、解答題
29.如圖,△ABC中,點(diǎn)D在BC上,點(diǎn)E在AB上,BD=BE,要使△ADB≌△CEB,還需添加一個(gè)條件.
(1)給出下列四個(gè)條件:
?、貯D=CE②AE=CD③∠BAC=∠BCA④∠ADB=∠CEB
請(qǐng)你從中選出一個(gè)能使△ADB≌△CEB的條件,并給出證明;
你選出的條件是 .
證明:
30.如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E、F,BE=CF.
(1)圖中有幾對(duì)全等的三角形請(qǐng)一一列出;
(2)選擇一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形進(jìn)行證明.
31.如圖所示,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,求證:△ABC≌△ADE.
32.如圖,BF⊥AC,CE⊥AB,BE=CF,BF、CE交于點(diǎn)D,求證:AD平分∠BAC.
33.如圖,已知∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于點(diǎn)E.求證:CE=CB.
34.如圖,∠BDA=∠CEA,AE=AD.求證:AB=AC.
8年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第11章三角形測(cè)試題人教版參考答案
一、填空題
1.在△ABC中,∠A=40°,∠B=∠C,則∠C= 70 °.
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】由三角形的內(nèi)角和定理直接列式計(jì)算,即可解決問題.
【解答】解:∵∠A+∠B+∠C=180°,且∠A=40°,∠B=∠C,
∴∠C=(180°﹣40°)÷2=70°,
故答案為70.
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理及其應(yīng)用問題;靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.
2.小華要從長(zhǎng)度分別為5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中選出三根擺成一個(gè)三角形,那么他選的三根木棒的長(zhǎng)度分別是: 6 , 11 , 16 (單位:cm).
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系.
【分析】首先得到每三根組合的情況,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷.
【解答】解:每三根組合,有5,6,11;5,6,16;11,16,5;11,6,16四種情況.
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,得其中只有11,6,16能組成三角形.
【點(diǎn)評(píng)】此題要特別注意看是否符合三角形的三邊關(guān)系.
3.如果等腰三角形的一個(gè)底角是40°,它的頂角是 100° .
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】等腰三角形的兩個(gè)底角相等,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可解決問題.
【解答】解:180°﹣40°×2=100°,
答:頂角是100°.
故答案為:100°
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的應(yīng)用,解答此題的關(guān)鍵:根據(jù)三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的兩底角和頂角三個(gè)量之間的關(guān)系進(jìn)行解答即可.
4.三角形的一邊為5cm,一邊為7cm,則第三邊的取值范圍是 2cm
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系.
【分析】設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm,再由三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.
【解答】解:設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm,
∵三角形的一邊為5cm,一邊為7cm,
∴7﹣5
故答案為:2cm
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系,熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵.
5.△ABC中,若∠A=35°,∠B=65°,則∠C= 80° ;若∠A=120°,∠B=2∠C,則∠C= 20° .
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,求得∠C的度數(shù)和∠B+∠C=60°,進(jìn)而得出∠C的度數(shù).
【解答】解:∵△ABC中,∠A=35°,∠B=65°,
∴∠C=180°﹣35°﹣65°=80°;
∵∠A=120°,
∴∠B+∠C=60°,
又∵∠B=2∠C,
∴∠C=20°.
故答案為:80°,20°.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用,解題時(shí)注意:三角形內(nèi)角和是180°.
6.三角形三個(gè)內(nèi)角中,最多有 1 個(gè)直角,最多有 1 個(gè)鈍角,最多有 3 個(gè)銳角,至少有 2 個(gè)銳角.
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】依據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度,假設(shè)一個(gè)三角形中可以有多于1個(gè)的鈍角或直角,則會(huì)得出違背三角形內(nèi)角和是180度的結(jié)論,假設(shè)不成立,從而可以得出一個(gè)三角形中最多有1個(gè)鈍角或直角,如果一個(gè)三角形中只有1個(gè)銳角,也就是出現(xiàn)2個(gè)或3個(gè)直角,再加上第三個(gè)角,那么三角形的內(nèi)角和就大于180°,也不符合三角形內(nèi)角和是180°.
【解答】解:因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和等于180°,
所以在三角形內(nèi)角中,最多有1個(gè)直角;最多有1個(gè)鈍角,最多有3個(gè)銳角,至少有2個(gè)銳角.
故答案為:1,1,3,2
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理,屬于基礎(chǔ)題,關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180度.
7.三角形按角的不同分類,可分為 銳角 三角形, 直角 三角形和 鈍角 三角形.
【考點(diǎn)】三角形.
【分析】根據(jù)三角形的分類方法進(jìn)行填空即可.
【解答】解:三角形按角的不同分類,可分為銳角三角形,直角三角形和鈍角三角形.
故答案為:銳角;直角;鈍角.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形,關(guān)鍵是掌握三角形分類一種是按邊分類,一種是按角分類.
8.一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比是2:3:4,那么這個(gè)三角形是 銳角 三角形.
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【專題】計(jì)算題.
【分析】已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比,可以設(shè)一份為k°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求三個(gè)內(nèi)角的度數(shù),從而確定三角形的形狀.
【解答】解:設(shè)一份為k°,則三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為2k°,3k°,4k°.
則2k°+3k°+4k°=180°,
解得k°=20°,
∴2k°=40°,3k°=60°,4k°=80°,
所以這個(gè)三角形是銳角三角形.
故答案是:銳角.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了內(nèi)角和定理.解答此類題利用三角形內(nèi)角和定理列方程求解可簡(jiǎn)化計(jì)算.
9.在△ABC中,∠A﹣∠B=36°,∠C=2∠B,則∠A= 72° ,∠B= 36° ,∠C= 72° .
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得出∠A+∠B+∠C=180°,再與∠A﹣∠B=36°,∠C=2∠B,聯(lián)立列出方程組,即可求得答案.
【解答】解:由題意得 ,
解得 ,
故答案為72°,36°,72°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理和已知條件列方程組求解計(jì)算.
10.若△ABC中,∠A+∠B=∠C,則此三角形是 直角 三角形.
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】由三角形內(nèi)角和定理和直角三角形的判定可知.
【解答】解:∠A+∠B+∠C=2∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴此三角形是直角三角形.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理.三角形的內(nèi)角和是180°.
11.已知等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2,則這個(gè)等腰三角形的頂角為 36°或90° .
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【分析】先可求出兩角,然后分兩種情況:頂角與底角的度數(shù)比是1:2或底角與頂角的度數(shù)比是1:2.根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可求解.
【解答】解:當(dāng)頂角與底角的度數(shù)比是1:2時(shí),則等腰三角形的頂角是180°× =36°;
當(dāng)?shù)捉桥c頂角的度數(shù)比是1:2時(shí),則等腰三角形的頂角是180°× =90°.
即該等腰三角形的頂角為36°或90°.
故填36°或90°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理;若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù),做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論,這是十分重要的,也是解答問題的關(guān)鍵.
12.已知△ABC為等腰三角形,①當(dāng)它的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為8cm和3cm時(shí),它的周長(zhǎng)為 19cm ;②如果它的一邊長(zhǎng)為4cm,一邊的長(zhǎng)為6cm,則周長(zhǎng)為 14cm或16cm .
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng),而沒有明確腰、底分別是多少,所以要進(jìn)行討論,還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.
【解答】解:①當(dāng)腰長(zhǎng)為8cm時(shí),三邊是8cm,8cm,3cm,符合三角形的三邊關(guān)系,此時(shí)周長(zhǎng)是19cm;
當(dāng)腰長(zhǎng)為3cm時(shí),三角形的三邊是8cm,3cm,3cm,因?yàn)?+3<8,應(yīng)舍去.
②當(dāng)腰長(zhǎng)為4cm時(shí),三角形的三邊是4cm,4cm,6cm,符合三角形的三邊關(guān)系,此時(shí)周長(zhǎng)是14cm;
當(dāng)腰長(zhǎng)為6cm時(shí),三角形的三邊是6cm,6cm,4cm,符合三角形的三邊關(guān)系,此時(shí)周長(zhǎng)是16cm.
故答案為:19cm,14cm或16cm.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系;已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,分類進(jìn)行討論,還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答,這點(diǎn)非常重要,也是解題的關(guān)鍵.
二、判斷題.
13.有一個(gè)角是鈍角的三角形就是鈍角三角形. √ (判斷對(duì)錯(cuò))
【考點(diǎn)】三角形.
【分析】根據(jù)三角形的分類:有一個(gè)角是鈍角的三角形,叫鈍角三角形;進(jìn)行解答即可.
【解答】解:根據(jù)鈍角三角形的定義可知:有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形;
所以“有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形”的說法是正確的.
故答案為:√.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根據(jù)角對(duì)三角形分類的方法:三個(gè)角都是銳角,這個(gè)三角形是銳角三角形;有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形;有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.
14.一個(gè)等腰三角形的頂角是80°,它的兩個(gè)底角都是60°. × (判斷對(duì)錯(cuò))
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】三角形的內(nèi)角和是180°,等腰三角形的兩個(gè)底角相等,先用“180°﹣80°”求出兩個(gè)底角的度數(shù)和,然后除以2進(jìn)行解答即可.
【解答】解:(180°﹣80°)÷2,
=100°÷2,
=50°;
它的一個(gè)底角度數(shù)是50°;
故錯(cuò),
故答案為:×
【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵:根據(jù)三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的兩底角和頂角三個(gè)量之間的關(guān)系進(jìn)行解答即可.
15.兩個(gè)內(nèi)角和是90°的三角形是直角三角形. 對(duì) (判斷對(duì)錯(cuò))
【考點(diǎn)】三角形.
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得兩個(gè)內(nèi)角和是90°的三角形,第三個(gè)角是90°,是直角三角形.
【解答】解:兩個(gè)內(nèi)角和是90°的三角形是直角三角形,說法正確;
故答案為:對(duì).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形,關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180°.
16.一個(gè)三角形最多只能有一個(gè)鈍角或一個(gè)直角. 正確 (判斷對(duì)錯(cuò))
【考點(diǎn)】三角形.
【分析】這個(gè)結(jié)論正確,可以利用反證法證明.
【解答】解:一個(gè)三角形最多只能有一個(gè)鈍角或一個(gè)直角.
理由:假如一個(gè)三角形有兩個(gè)鈍角或兩個(gè)直角,那么這個(gè)三角形的內(nèi)角和大于180°,
這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾,
所以假設(shè)不成立,
所以一個(gè)三角形最多只能有一個(gè)鈍角或一個(gè)直角.
故答案為正確.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形,三角形的內(nèi)角和、反證法等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理,屬于中考常考題型.
17.在銳角三角形中,任意的兩個(gè)銳角之和一定要大于90°. 正確 (判斷對(duì)錯(cuò))
【考點(diǎn)】三角形.
【分析】這個(gè)結(jié)論是正確的,可以用反證法證明.
【解答】解:這個(gè)結(jié)論是正確的.
假如兩個(gè)銳角之和小于等于90,那么第三個(gè)角是90°或鈍角,這個(gè)三角形是鈍角三角形,與已知條件矛盾,
所以假設(shè)不成立,故在銳角三角形中,任意的兩個(gè)銳角之和一定要大于90°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理,反證法等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用反證法證明,屬于中考常考題型.
18.一個(gè)三角形,已知兩個(gè)內(nèi)角分別是85°和25°,這個(gè)三角形一定是鈍角三角形. 錯(cuò) (判斷對(duì)錯(cuò))
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,求得第三個(gè)內(nèi)角,進(jìn)而判定三角形的形狀.
【解答】解:∵一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是85°和25°,
∴第三個(gè)內(nèi)角為70°,
∴這個(gè)三角形一定是銳角三角形.
故答案為:錯(cuò)
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用,解決問題的關(guān)鍵是掌握:三角形內(nèi)角和是180°.
三、選擇題
19.如果三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2:3:4,則它是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.鈍角或直角三角形
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】利用“設(shè)k法”求出最大角的度數(shù),然后作出判斷即可.
【解答】解:設(shè)三個(gè)內(nèi)角分別為2k、3k、4k,
則2k+3k+4k=180°,
解得k=20°,
所以,最大的角為4×20°=80°,
所以,三角形是銳角三角形.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,利用“設(shè)k法”表示出三個(gè)內(nèi)角求解更加簡(jiǎn)便.
20.下列說法正確的是( )
A.三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)銳角
B.三角形的內(nèi)角中最多有兩個(gè)銳角
C.三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)直角
D.三角形的內(nèi)角都大于60°
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【專題】探究型.
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.
【解答】解:A、直角三角形中有兩個(gè)銳角,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、等邊三角形的三個(gè)角都是銳角,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)直角,故本選項(xiàng)正確;
D、若三角形的內(nèi)角都大于60°,則三個(gè)內(nèi)角的和大于180°,這樣的三角形不存在,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理,即三角形內(nèi)角和是180°.
21.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),則∠A的度數(shù)為( )
A.100° B.120° C.140° D.160°
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和已知條件即可得到∠A的方程,從而求解.
【解答】解:∵∠A=2(∠B+∠C),∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+ ∠A=180°,
∠A=120°.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理.
22.已知三角形兩個(gè)內(nèi)角的差等于第三個(gè)內(nèi)角,則它是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角分別為∠A、∠B、∠C,且∠A﹣∠B=∠C,則∠B+∠C=∠A,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°,于是可計(jì)算出∠A=90°,由此可判斷三角形為直角三角形.
【解答】解:設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角分別為∠A、∠B、∠C,且∠A﹣∠B=∠C,則∠B+∠C=∠A,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+∠A=180°,
∴∠A=90°,
∴這個(gè)三角形為直角三角形.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理:三角形內(nèi)角和是180°.利用三角形內(nèi)角和可直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角或依據(jù)三角形中角的關(guān)系,用代數(shù)方法求三個(gè)角,也可在直角三角形中,已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.
23.等腰三角形的底邊BC=8cm,且|AC﹣BC|=2cm,則腰長(zhǎng)AC的長(zhǎng)為( )
A.10cm或6cm B.10cm C.6cm D.8cm或6cm
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出AC的長(zhǎng)即可.
【解答】解:∵|AC﹣BC|=2cm,
∴AC﹣BC=2cm或﹣AC+BC=2cm,
∵BC=8cm,
∴AC=(2+8)cm或AC=(8﹣2)cm,即10cm或6cm.
故選A
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì),熟知“等腰三角形的兩腰相等”是解答此題的關(guān)鍵.
24.在下列長(zhǎng)度的四根木棒中,能與4cm、9cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是( )
A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系.
【分析】易得第三邊的取值范圍,看選項(xiàng)中哪個(gè)在范圍內(nèi)即可.
【解答】解:設(shè)第三邊為c,則9+4>c>9﹣4,即13>c>5.只有9符合要求.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】已知三角形的兩邊,則第三邊的范圍是:大于已知的兩邊的差,而小于兩邊的和.
25.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A,∠B,∠C滿足關(guān)系式∠B+∠C=3∠A,則此三角形( )
A.一定有一個(gè)內(nèi)角為45° B.一定有一個(gè)內(nèi)角為60°
C.一定是直角三角形 D.一定是鈍角三角形
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】由三角形內(nèi)角和定理知.
【解答】解:∵∠B+∠C+∠A=180°,∠B+∠C=3∠A,
∴∠B+∠C+∠A=4∠A=180°,
∴∠A=45°.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了三角形內(nèi)角和為180°求解.
26.在下列條件中:①∠A+∠B=∠C,②∠A:∠B:∠C=1:2:3,③∠A=90°﹣∠B,④∠A=∠B= ∠C中,能確定△ABC是直角三角形的條件有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°,再根據(jù)已知的條件逐個(gè)求出∠C的度數(shù),即可得出答案.
【解答】解:①∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴2∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,∴①正確;
②∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C= ×180°=90°,
∴△ABC是直角三角形,∴②正確;
③∵∠A=90°﹣∠B,
∴∠A+∠B=90°,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,∴③正確;
④∵∠A=∠B= ∠C,
∴∠C=2∠A=2∠B,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+∠A+2∠A=180°,
∴∠A=45°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,∴④正確;
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用,能求出每種情況的∠C的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵,題目比較好,難度適中.
27.已知三角形的三邊分別為2,a,4,那么a的取值范圍是( )
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊,即可求解.
【解答】解:由于在三角形中任意兩邊之和大于第三邊,
∴a<2+4=6,
任意兩邊之差小于第三邊,
∴a>4﹣2=2,
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了構(gòu)成三角形形成的條件:任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊,難度適中.
28.在△ABC中,∠A= ∠B= ∠C,則此三角形是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】用∠A表示出∠B、∠C,然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求解即可.
【解答】解:∵∠A= ∠B= ∠C,
∴∠B=2∠A,∠C=3∠A,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+2∠A+3∠A=180°,
解得∠A=30°,
所以,∠B=2×30°=60°,
∠C=3×30°=90°,
所以,此三角形是直角三角形.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,熟記定理并用∠A列出方程是解題的關(guān)鍵.
四、解答題
29.如圖,△ABC中,點(diǎn)D在BC上,點(diǎn)E在AB上,BD=BE,要使△ADB≌△CEB,還需添加一個(gè)條件.
(1)給出下列四個(gè)條件:
①AD=CE②AE=CD③∠BAC=∠BCA④∠ADB=∠CEB
請(qǐng)你從中選出一個(gè)能使△ADB≌△CEB的條件,并給出證明;
你選出的條件是 ② .
證明:
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】要證明△ADB≌△CEB,兩三角形中已知的條件有BD=BE,有一個(gè)公共角,那么根據(jù)三角形的判定公理和推論,我們可看出①不符合條件,沒有SSA的判定條件,因此不正確.②AE=CD,可得出AB=BC,這樣就構(gòu)成了SAS,因此可得出全等的結(jié)論.③構(gòu)成了全等三角形判定中的AAS,因此可得出三角形全等的結(jié)論.④構(gòu)成了全等三角形判定中的ASA,因此可得出三角形全等的結(jié)論.
【解答】解:選擇②,
證明:∵AE=CD,BE=BD,
∴AB=CB,
又∵∠ABD=∠CBE,BE=BD
∴△ADB≌△CEB(SAS).
故答案為:②
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定公理及推論.注意SSA和AAA是不能得出三角形全等的結(jié)論的.
30.如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E、F,BE=CF.
(1)圖中有幾對(duì)全等的三角形請(qǐng)一一列出;
(2)選擇一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形進(jìn)行證明.
【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定.
【專題】證明題;開放型.
【分析】本題考查三角形的全等知識(shí).第(1)小題是根據(jù)對(duì)圖形的直觀判斷和一定的推理可得結(jié)果,要求考慮問題要全面.第(2)個(gè)問題具有一定的開放性,選擇證明不同的結(jié)論,判定方法會(huì)有不同,這里根據(jù)HL(斜邊直角邊定理)來判斷兩個(gè)直角三角形全等.
【解答】解:(1)3對(duì).分別是:
△ABD≌△ACD;△ADE≌△ADF;△BDE≌△CDF.
(2)△BDE≌△CDF.
證明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
又D是BC的中點(diǎn),
∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中, ,
∴△BDE≌△CDF(HL).
【點(diǎn)評(píng)】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn),一般以考查三角形全等的方法為主,判定兩個(gè)三角形全等,先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形,然后再根據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件.做題時(shí)要結(jié)合已知條件與全等的判定方法逐一驗(yàn)證.
31.如圖所示,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,求證:△ABC≌△ADE.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】已知∠1=∠2,∠DAC是公共角,從而可推出∠DAE=∠BAC,已知AB=AD,AC=AE,從而可以利用SAS來判定△ABC≌△ADE.
【解答】證明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查全等三角形的判定方法,常用的判定方法有:SSS,SAS,AAS,HL等,做題時(shí)注意靈活運(yùn)用.
32.如圖,BF⊥AC,CE⊥AB,BE=CF,BF、CE交于點(diǎn)D,求證:AD平分∠BAC.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】先由條件可以得出△BED≌△CFD就有DE=DF,就可以得出結(jié)論.
【解答】證明:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中,
,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF.
∵DF⊥AC,DE⊥AB,
∴AD平分∠BAC.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,角平分線的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.
33.如圖,已知∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于點(diǎn)E.求證:CE=CB.
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠A=∠CEB,則∠CEB=∠B,根據(jù)等角對(duì)等邊即可證得.
【解答】證明:∵CE∥DA,
∴∠A=∠CEB,
∵∠A=∠B,
∴∠CEB=∠B,
∴CE=CB.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定定理,理解定理是關(guān)鍵.
34.如圖,∠BDA=∠CEA,AE=AD.求證:AB=AC.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】由已知條件加上公共角相等,利用ASA得到三角形ABD與三角形ACE全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證.
【解答】證明:在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(ASA),
∴AB=AC.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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