人教版八年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷
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人教版八年級數(shù)學(xué)上冊期末試題
一、選擇題(共10小題,每小題2分,滿分20分)
1.﹣8的立方根是( )
A.﹣2 B.±2 C.2 D.﹣2
2.分式 有意義的條件是( )
A.x≥2 B.x≠2 C.x=2 D.x<2
3.下列圖形中,是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
4.下面結(jié)論正確的是( )
A.無限小數(shù)是無理數(shù) B.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)
C.帶根號的數(shù)是無理數(shù) D.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)
5.如圖,△ABC≌△ADE,若∠BAE=130°,∠BAD=50°,則∠BAC的度數(shù)為( )
A.130° B.50° C.30° D.80°
6.如圖,已知△ABC中AB=6,AC=4,AD為角平分線,DE⊥AB,DE=2,則△ABC的面積為( )
A.6 B.8 C.10 D.9
7.已知直角三角形的兩條邊的長為3和4,則第三條邊的長為( )
A.5 B.4 C. D.5或
8.如圖,在△ABC中,OB,OC分別是∠ABC,∠ACB的平分線,OM∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)M,N.若MB=8,NC=6,則MN的長是( )
A.10 B.8 C.14 D.6
9.在如圖中,AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF交于點(diǎn)D,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.△ABE≌△ACF B.點(diǎn)D在∠BAC的平分線上
C.△BDF≌△CDE D.點(diǎn)D是BE的中點(diǎn)
10.觀察下面分母有理化的過程: ,從計(jì)算過程中體會方法,并利用這一方法計(jì)算( +…+ )•( +1)的值是( )
A. B. C.2014 D.
二、填空題(共10小題,每小題3分,滿分30分)
11. = .
12.化簡 的結(jié)果是 .
13.如圖,△ABC是等邊三角形,∠CBD=90°,BD=BC,則∠1的度數(shù)是 .
14.關(guān)于x的分式方程 如果有增根,則增根是 .
15.如圖,在△ABC和△DEF,若AB=DE,BE=CF,要使△ABC≌△DEF,還需添加一個條件(只要寫出一個就可以)是 .
16.小峰與小月進(jìn)行跳繩比賽,在相同的時間內(nèi),小峰跳了100個,小月跳了110個,如果小月比小峰每分鐘多跳20個,若小峰每分鐘跳繩x個,則x滿足的方程為 .
17.已知:如圖,在△ABC中,BD,CE分別是邊AC,AB上的高,點(diǎn)F在BC上,BF=CF,則圖中與EF相等的線段是 .
18.如圖,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方形A,B,C,D的面積之和為 cm2.
19.將一副三角板按如圖所示疊放,若設(shè)AB=1,則四邊形ABCD的面積為 .
20.鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點(diǎn))相距25km,C、D為兩村莊(視為兩個點(diǎn)),DA⊥AB于A,CB⊥AB于B(如圖),已知DA=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建設(shè)一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C、D兩村到E站的距離相等,則E站應(yīng)建在距A站 km處.
三、解答題(共6小題,滿分50分)
21.計(jì)算:( + ) .
22.解方程: .
23.已知線段AB和點(diǎn)O,畫出線段AB關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形,保留必要的作圖痕跡,并完成填空:
解:
(1)連結(jié)AO,BO,并延長AO到點(diǎn)C,延長BO到點(diǎn)D,使得OC= ,OD= .
(2)連結(jié) .
線段CD即為所求.
觀察作圖結(jié)果,你認(rèn)為線段AB與線段CD的位置關(guān)系是 .
理由如下:
依作圖過程可證△ABO≌ .
證明三角形全等所依據(jù)的判定定理簡稱為 .
由三角形全等可得∠A= .
從而根據(jù) 判定出線段AB與CD的位置關(guān)系.
24.對于題目:“化簡并求值: ,其中a= .”
甲、乙兩人的解答不同,甲的解答是:
= = ;
乙的答案是: = = = = .
誰的解答是錯誤的?誰的解答是正確的?為什么?
25.如圖,P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且PA=6,PB=8,PC=10,若將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后,得到△P′AB.
(1)△APP′的形狀是 ;
(2)求∠APB的度數(shù).
26.如圖,在△ABC中,AB=AC,DE是過點(diǎn)A的直線,BD⊥DE于D,CE⊥DE于點(diǎn)E;
(1)若B、C在DE的同側(cè)(如圖所示)且AD=CE.求證:AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的兩側(cè)(如圖所示),其他條件不變,AB與AC仍垂直嗎?若是請給出證明;若不是,請說明理由.
人教版八年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷參考答案
一、選擇題(共10小題,每小題2分,滿分20分)
1.﹣8的立方根是( )
A.﹣2 B.±2 C.2 D.﹣2
【考點(diǎn)】立方根.
【分析】根據(jù)立方根的定義,即可解答.
【解答】解: =﹣2,故選:D.
【點(diǎn)評】本題看錯了立方根,解決本題的關(guān)鍵是熟記立方根的定義.
2.分式 有意義的條件是( )
A.x≥2 B.x≠2 C.x=2 D.x<2
【考點(diǎn)】分式有意義的條件.
【分析】分式有意義的條件是分母不等于零.
【解答】解:∵分式 有意義,
∴x﹣2≠0.
解得:x≠2.
故選:B.
【點(diǎn)評】本題主要考查的是分式有意義的條件,明確分式有意義時,分式的分母不等于零是解題的關(guān)鍵.
3.下列圖形中,是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】中心對稱圖形;軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.
【解答】解:A、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形.故正確;
B、是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.故錯誤;
C、是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.故錯誤;
D、不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形.故錯誤.
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念:軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.
4.下面結(jié)論正確的是( )
A.無限小數(shù)是無理數(shù) B.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)
C.帶根號的數(shù)是無理數(shù) D.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)
【考點(diǎn)】無理數(shù).
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可.
【解答】解:A、0.111…,(1循環(huán))是無限小數(shù),但不是無理數(shù),本選項(xiàng)錯誤;
B、無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),正確;
C、 帶根號,但不是無理數(shù),本選項(xiàng)錯誤;
D、開方開不盡的數(shù)是無理數(shù),本選項(xiàng)錯誤;
故選B.
【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)的定義,特別是無理數(shù)的定義.無理數(shù)有三個來源:(1)開方開不盡的數(shù);(2)與π有關(guān)的一些運(yùn)算;(3)有規(guī)律的無限不循環(huán)小數(shù).
5.如圖,△ABC≌△ADE,若∠BAE=130°,∠BAD=50°,則∠BAC的度數(shù)為( )
A.130° B.50° C.30° D.80°
【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意求出∠DAE的度數(shù),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.
【解答】解:∵∠BAE=130°,∠BAD=50°,
∴∠DAE=80°,
∵△ABC≌△ADE,
∴∠BAC=∠DAE=80°,
故選:D.
【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì),掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.
6.如圖,已知△ABC中AB=6,AC=4,AD為角平分線,DE⊥AB,DE=2,則△ABC的面積為( )
A.6 B.8 C.10 D.9
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AC于F,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF,然后根據(jù)三角形的S△ABC=S△ABD+S△ACD列式計(jì)算即可.
【解答】解:如圖,過點(diǎn)D作DF⊥AC于F,
∵AD為角平分線,DE⊥AB,
∴DE=DF,
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD
= ×6×2+ ×4×2
=6+4
=10.
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),三角形的面積,熟記性質(zhì)并作輔助線把△ABC分成兩部分是解題的關(guān)鍵.
7.已知直角三角形的兩條邊的長為3和4,則第三條邊的長為( )
A.5 B.4 C. D.5或
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】本題已知直角三角形的兩邊長,但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊,因此兩條邊中的較長邊4既可以是直角邊,也可以是斜邊,所以求第三邊的長必須分類討論,即4是斜邊或直角邊的兩種情況,然后利用勾股定理求解.
【解答】解:設(shè)第三邊為x
(1)若4是直角邊,則第三邊x是斜邊,由勾股定理,得
32+42=x2,所以x=5.
(2)若4是斜邊,則第三邊x為直角邊,由勾股定理,得
32+x2=42,所以x=
所以第三邊的長為5或 .故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力,當(dāng)已知條件中沒有明確哪是斜邊時,要注意討論,一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn),造成丟解.
8.如圖,在△ABC中,OB,OC分別是∠ABC,∠ACB的平分線,OM∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)M,N.若MB=8,NC=6,則MN的長是( )
A.10 B.8 C.14 D.6
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,∠MBO=∠OBC,∠OCN=∠OCB,利用兩直線平行,內(nèi)錯角相等,利用等量代換可∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠OCN,然后即可求得結(jié)論.
【解答】解:∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,
∴∠MBO=∠OBC,∠OCN=∠OCB,
∵M(jìn)N∥BC,
∴∠OBC=∠MOB,∠NOC=∠OCB,
∴∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠OCN,
∴BM=MO,ON=CN,
∴MN=MO+ON,
即MN=BM+CN.
∵M(jìn)B=8,NC=6,
∴MN=14,
故選:C.
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線性質(zhì)、平行線性質(zhì)、以及等角對等邊的性質(zhì)等.進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵.
9.在如圖中,AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF交于點(diǎn)D,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.△ABE≌△ACF B.點(diǎn)D在∠BAC的平分線上
C.△BDF≌△CDE D.點(diǎn)D是BE的中點(diǎn)
【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定.
【分析】根據(jù)全等三角形的判定對各個選項(xiàng)進(jìn)行分析,從而得到答案.做題時,要結(jié)合已知條件與三角形全等的判定方法逐個驗(yàn)證.
【解答】解:A、∵AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠A=∠A∴△ABE≌△ACF(AAS),正確;
B、∵△ABE≌△ACF,AB=AC∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,正確;
C、∵△ABE≌△ACF,AB=AC∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE(AAS),正確;
D、無法判定,錯誤;
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法,判定兩個三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL.
注意:AAA、SSA不能判定兩個三角形全等,判定兩個三角形全等時,必須有邊的參與,若有兩邊一角對應(yīng)相等時,角必須是兩邊的夾角.
10.觀察下面分母有理化的過程: ,從計(jì)算過程中體會方法,并利用這一方法計(jì)算( +…+ )•( +1)的值是( )
A. B. C.2014 D.
【考點(diǎn)】分母有理化.
【分析】首先利用已知化簡二次根式,進(jìn)而結(jié)合平方差公式計(jì)算得出答案.
【解答】解:( +…+ )•( +1)
=( ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )( +1)
=( +1)( ﹣1)
=2015﹣1
=2014.
故選;C.
【點(diǎn)評】此題主要考查了分母有理化,正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.
二、填空題(共10小題,每小題3分,滿分30分)
11. = 5 .
【考點(diǎn)】算術(shù)平方根.
【分析】根據(jù)開方運(yùn)算,可得一個正數(shù)的算術(shù)平方根.
【解答】解: =5,
故答案為:5.
【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平方根,注意一個正數(shù)只有一個算術(shù)平方根.
12.化簡 的結(jié)果是 a+b .
【考點(diǎn)】分式的加減法.
【分析】本題屬于同分母通分,再將分子因式分解,約分.
【解答】解:原式=
=
=a+b.
故答案為:a+b.
【點(diǎn)評】本題考查了分式的加減運(yùn)算.關(guān)鍵是直接通分,將分子因式分解,約分.
13.如圖,△ABC是等邊三角形,∠CBD=90°,BD=BC,則∠1的度數(shù)是 75° .
【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC,∠ABC=60°,然后證得△ABD是等腰三角形,求得∠BDA=15°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BCD=∠BDC=45°,即可得出∠ADC=45°﹣15°=30°,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得即可.
【解答】解:∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC,∠ABC=60°,
∵BD=BC,
∴AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵∠CBD=90°,
∴∠ABD=90°+60°=150°,
∴∠BDA=15°,
∵∠CBD=90°,BD=BC,
∴∠BCD=∠BDC=45°,
∴∠ADC=45°﹣15°=30°,
∴∠1=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°.
故答案為75°.
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
14.關(guān)于x的分式方程 如果有增根,則增根是 x=5 .
【考點(diǎn)】分式方程的增根.
【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根,確定增根的值.
【解答】解:方程兩邊都乘x﹣5,
x﹣5=0,
解得x=5.
故答案為x=5.
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的增根,增根問題可按如下步驟進(jìn)行:
①讓最簡公分母為0確定增根;
?、诨质椒匠虨檎椒匠?
?、郯言龈胝椒匠碳纯汕蟮孟嚓P(guān)字母的值.
15.如圖,在△ABC和△DEF,若AB=DE,BE=CF,要使△ABC≌△DEF,還需添加一個條件(只要寫出一個就可以)是 ∠B=∠DEF .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】求出BC=EF,根據(jù)SAS推出全等即可,此題是一道開放型的題目,答案不唯一.
【解答】解:∠B=∠DEF,
理由是:∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
∴BC=EF,
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS),
故答案為:∠B=∠DEF.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用,能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.
16.小峰與小月進(jìn)行跳繩比賽,在相同的時間內(nèi),小峰跳了100個,小月跳了110個,如果小月比小峰每分鐘多跳20個,若小峰每分鐘跳繩x個,則x滿足的方程為 .
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程.
【分析】首先設(shè)小峰每分鐘跳繩x個,則小月每分鐘跳繩(x+20)個,根據(jù)題意可得等量關(guān)系:小峰跳了100個的時間=小月跳了110個的時間,根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可.
【解答】解:設(shè)小峰每分鐘跳繩x個,由題意得:
,
故答案為:
【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用,關(guān)鍵是正確理解題意,找出題目中的等量關(guān)系,列出方程.
17.已知:如圖,在△ABC中,BD,CE分別是邊AC,AB上的高,點(diǎn)F在BC上,BF=CF,則圖中與EF相等的線段是 BF、CF、DF .
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據(jù)BD,CE分別是邊AC,AB上的高,可得∠BEC=∠CDB=90°,再根據(jù)BF=CF可得F為BC中點(diǎn),再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF= BC,DF= BC,進(jìn)而可得答案.
【解答】解:∵BD,CE分別是邊AC,AB上的高,
∴∠BEC=∠CDB=90°,
∵BF=CF,
∴F為中點(diǎn),
∴EF= BC,DF= BC,
∴EF=DF,
∴EF=DF=BF=FC,
故答案為:BF、CF、DF.
【點(diǎn)評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
18.如圖,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方形A,B,C,D的面積之和為 49 cm2.
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】根據(jù)正方形的面積公式,連續(xù)運(yùn)用勾股定理,發(fā)現(xiàn):四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積.
【解答】解:由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積,
故正方形A,B,C,D的面積之和=49cm2.
故答案為:49cm2.
【點(diǎn)評】熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)換.
19.將一副三角板按如圖所示疊放,若設(shè)AB=1,則四邊形ABCD的面積為 .
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD=AB=1,解直角三角形得到BC= AB= ,根據(jù)梯形的面積公式即可的結(jié)論.
【解答】解:∵△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=AB=1,
∵∠ABC=90°,∠ACB=30°,
∴BC= AB= ,
∴四邊形ABCD的面積= (AD+BC)•AB= (1+ )×1= ,
故答案為: .
【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì),含30°角的直角三角形的性質(zhì),熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.
20.鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點(diǎn))相距25km,C、D為兩村莊(視為兩個點(diǎn)),DA⊥AB于A,CB⊥AB于B(如圖),已知DA=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建設(shè)一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C、D兩村到E站的距離相等,則E站應(yīng)建在距A站 10 km處.
【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用;線段垂直平分線的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求,即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中,DE2=AD2+AE2,CE2=BE2+BC2,∴AD2+AE2=BE2+BC2,設(shè)AE為x,則BE=25﹣x,將BC=10代入關(guān)系式即可求得.
【解答】解:∵C、D兩村到E站距離相等,∴CE=DE,
在Rt△DAE和Rt△CBE中,DE2=AD2+AE2,CE2=BE2+BC2,
∴AD2+AE2=BE2+BC2.
設(shè)AE為x,則BE=25﹣x,
將BC=10,DA=15代入關(guān)系式為x2+152=(25﹣x)2+102,
整理得,50x=500,
解得x=10,
∴E站應(yīng)建在距A站10km處.
【點(diǎn)評】此題考查勾股定理的應(yīng)用,是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.
三、解答題(共6小題,滿分50分)
21.計(jì)算:( + ) .
【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.
【分析】先化簡二次根式,再進(jìn)行二次根式的除法即可.
【解答】解:原式=(3 +2 )÷
=5 ÷
=5.
【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算,在進(jìn)行此類運(yùn)算時,一般先把二次根式化為最簡二次根式的形式后再運(yùn)算.
22.解方程: .
【考點(diǎn)】解分式方程.
【專題】計(jì)算題.
【分析】本題的最簡公分母是(x+1)(x﹣1),方程兩邊都乘最簡公分母,可把分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程求解.
【解答】解:方程兩邊都乘(x+1)(x﹣1),
得:(x﹣1)+2(x+1)=4.
解得:x=1.
經(jīng)檢驗(yàn):x=1是增根.
∴原方程無解.
【點(diǎn)評】本題考查的是解分式方程,
(1)解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”,方程兩邊都乘最簡公分母,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要代入最簡公分母驗(yàn)根.
23.已知線段AB和點(diǎn)O,畫出線段AB關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形,保留必要的作圖痕跡,并完成填空:
解:
(1)連結(jié)AO,BO,并延長AO到點(diǎn)C,延長BO到點(diǎn)D,使得OC= OA ,OD= OB .
(2)連結(jié) CD .
線段CD即為所求.
觀察作圖結(jié)果,你認(rèn)為線段AB與線段CD的位置關(guān)系是 AB∥CD .
理由如下:
依作圖過程可證△ABO≌ △CDO .
證明三角形全等所依據(jù)的判定定理簡稱為 SAS .
由三角形全等可得∠A= ∠C .
從而根據(jù) 內(nèi)錯角相等兩直線平行 判定出線段AB與CD的位置關(guān)系.
【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換.
【專題】推理填空題.
【分析】按照作圖的步驟可以得出(1)(2)結(jié)論,找兩線段關(guān)系時,明顯用到了三角形的全等,從而得出兩線段平行.
【解答】解:作圖步驟如下:
(1)連結(jié)AO,BO,并延長AO到點(diǎn)C,延長BO到點(diǎn)D,使得OC=OA,OD=OB.
(2)連結(jié)CD.
線段CD即為所求.
故得出結(jié)論:(1)OC=OA,OD=DB.(2)CD.
推斷線段AB與線段CD是平行的.
在△AOB和△COD中,OA=OC,OB=OD,且∠AOB=∠COD(對頂角相等),
∴△ABO≌△CDO(SAS),∠A=∠C,
∴AB∥CD.
故得出結(jié)論:
觀察作圖結(jié)果,你認(rèn)為線段AB與線段CD的位置關(guān)系是AB∥CD.
理由如下:
依作圖過程可證△ABO≌△CDO.
證明三角形全等所依據(jù)的判定定理簡稱為SAS.
由三角形全等可得∠A=∠C.
從而根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行判定出線段AB與CD的位置關(guān)系.
【點(diǎn)評】本題在考查學(xué)生對全等三角形的理解與應(yīng)用的同時還考查了兩直線平行的判定定理,讓學(xué)生們意識到不同知識點(diǎn)的穿插運(yùn)用,為以后的綜合運(yùn)用題打好基礎(chǔ).
24.對于題目:“化簡并求值: ,其中a= .”
甲、乙兩人的解答不同,甲的解答是:
= = ;
乙的答案是: = = = = .
誰的解答是錯誤的?誰的解答是正確的?為什么?
【考點(diǎn)】二次根式的化簡求值.
【分析】首先得出當(dāng)a= 時, =5,即可得出a﹣ <0,再利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案.
【解答】解:甲的解答錯誤,
當(dāng)a= 時, =5,a﹣ <0,
∴ =|a﹣ |= ﹣a,
故乙的解答正確.
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的化簡與求值,正確利用二次根式的性質(zhì)化簡是解題關(guān)鍵.
25.如圖,P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且PA=6,PB=8,PC=10,若將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后,得到△P′AB.
(1)△APP′的形狀是 等邊三角形 ;
(2)求∠APB的度數(shù).
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PAP′=∠BAC=60°,AP=AP′,則可判斷△APP′為等邊三角形;
(2)由△APP′為等邊三角形得到PP′=AP=6,∠APP′=60°,再由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得P′B=PC=10,則可根據(jù)勾股定理的逆定理證明△BPP′為直角三角形,∠BPP′=90°,所以∠APB=∠APP′+∠BPP′=150°.
【解答】解:(1)∵將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后,得到△P′AB,
∴∠PAP′=∠BAC=60°,AP=AP′,
∴△APP′為等邊三角形;
故答案為等邊三角形;
(2)∵△APP′為等邊三角形,
∴PP′=AP=6,∠APP′=60°,
∵將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后,得到△P′AB,
∴P′B=PC=10,
在△PBP′中,BP′=10,BP=8,PP′=6,
∵62+82=102,
∴PP′2+BP2=BP′2,
∴△BPP′為直角三角形,∠BPP′=90°,
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°.
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判斷與性質(zhì)和勾股定理的逆定理.
26.如圖,在△ABC中,AB=AC,DE是過點(diǎn)A的直線,BD⊥DE于D,CE⊥DE于點(diǎn)E;
(1)若B、C在DE的同側(cè)(如圖所示)且AD=CE.求證:AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的兩側(cè)(如圖所示),其他條件不變,AB與AC仍垂直嗎?若是請給出證明;若不是,請說明理由.
【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定;全等三角形的性質(zhì).
【專題】證明題;探究型.
【分析】(1)由已知條件,證明ABD≌△ACE,再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE=90°,即可證明AB⊥AC;
(2)同(1),先證ABD≌△ACE,再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE=90°,即可證明AB⊥AC.
【解答】(1)證明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ACE中,
∵ ,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠ACE.
∵∠DAB+∠DBA=90°,∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∠BAC=180°﹣(∠BAD+∠CAE)=90°.
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.理由如下:
同(1)一樣可證得Rt△ABD≌Rt△ACE.
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC,
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.
【點(diǎn)評】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn),一般以考查三角形全等的方法為主,借助全等三角形的性質(zhì)得到相等的角,然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法,注意掌握、應(yīng)用
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