八年級(jí)湘教版下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試題
八年級(jí)湘教版下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試題
運(yùn)氣旺，金榜題名響當(dāng)當(dāng)!預(yù)祝：八年級(jí)數(shù)學(xué)期末考試時(shí)能超水平發(fā)揮。下面小編給大家分享一些八年級(jí)湘教版下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試題，大家快來跟小編一起看看吧。
八年級(jí)湘教版下數(shù)學(xué)期末試題
一、選擇題(共12小題，每小題2分，滿分24分)
1.( )﹣1的計(jì)算結(jié)果為( )
A. B.﹣2 C.2 D.﹣
2.下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.將0.00007用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.7×10﹣6 B.70×10﹣5 C.7×10﹣5 D.0.7×10﹣6
4.等式(a+1)0=1的條件是( )
A.a≠﹣1 B.a≠0 C.a≠1 D.a=﹣1
5.下列運(yùn)算正確的是( )
A.x6÷x2=x3 B.x2•x3=x5 C.x6﹣x2=x4 D.(x3)2=x5
6.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
7.若分式 的值為0，則x的值為( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.﹣1或2
8.化簡 結(jié)果正確的是( )
A.ab B.﹣ab C.a2﹣b2 D.b2﹣a2
9.如圖，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=30°，∠ADB=100°，則∠BAC的度數(shù)是( )
A.100° B.30° C.50° D.80°
10.若x2﹣kxy+9y2是一個(gè)完全平方式，則k的值為( )
A.3 B.±6 C.6 D.+3
11.若a+b=﹣3，ab=1，則a2+b2=( )
A.﹣11 B.11 C.﹣7 D.7
12.圖(1)是一個(gè)長為2a，寬為2b(a>b)的長方形，用剪刀沿圖中虛線(對(duì)稱軸)剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖(2)那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空的部分的面積是( )
A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
二、填空題(共8小題，每小題3分，滿分24分)
13.若分式 有意義，則a的取值范圍是__________.
14.分解因式：a3﹣4ab2=__________.
15. 和 的最簡公分母是__________.
16.若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個(gè)三角形中的最大的角度是__________.
17.計(jì)算：(6x2﹣xy)÷2x=__________.
18.若點(diǎn)M(a，3)和點(diǎn)N(2，a+b)關(guān)于x軸對(duì)稱，則b的值為__________.
19.若am=3，an=2，則am+n=__________.
20.如圖，AE是∠BAC的角平線，AE的中垂線PF交BC的延長線于點(diǎn)F，若∠CAF=50°，則∠B=__________.
三、解答題(共7小題，滿分52分)
21.計(jì)算：y(2x﹣y)+(x+y)2.
22.因式分解(x﹣2y)2+8xy.
23.解方程： .
24.先簡化，再求值：(1+ )÷ ，其中x=3.
25.如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC.
①求證：△ABE≌△CBD;
?、谌?ang;CAE=33°，求∠BDC的度數(shù).
26.某一工程，在工程招標(biāo)時(shí)，接到甲，乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書.施工一天，需付甲工程隊(duì)工程款1.2萬元，乙工程隊(duì)工程款0.5萬元.工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲，乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測算，有如下方案：
(1)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程剛好如期完成;
(2)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定日期多用6天;
(3)若甲，乙兩隊(duì)合做3天，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做也正好如期完成.
試問：在不耽誤工期的前提下，你覺得哪一種施工方案最節(jié)省工程款?請(qǐng)說明理由.
27.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF=∠CBG.求證：
(1)AF=CG;
(2)DG=CF;
(3)直接寫出CF與DE的數(shù)量關(guān)系.
八年級(jí)湘教版下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試題參考答案
一、選擇題(共12小題，每小題2分，滿分24分)
1.( )﹣1的計(jì)算結(jié)果為( )
A. B.﹣2 C.2 D.﹣
【考點(diǎn)】負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p= (a≠0，p為正整數(shù))可得答案.
【解答】解：原式=21=2.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，關(guān)鍵是掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)為正整數(shù)指數(shù)的倒數(shù).
2.下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.
【解答】解：A不是軸對(duì)稱圖形，只有B、C、D是軸對(duì)稱圖形，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形定義，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合.
3.將0.00007用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.7×10﹣6 B.70×10﹣5 C.7×10﹣5 D.0.7×10﹣6
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù).
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
【解答】解：0.00007=7×10﹣5.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
4.等式(a+1)0=1的條件是( )
A.a≠﹣1 B.a≠0 C.a≠1 D.a=﹣1
【考點(diǎn)】零指數(shù)冪.
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪：a0=1(a≠0)求解即可.
【解答】解：(a+1)0=1的條件為：a≠﹣1.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零指數(shù)冪的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握零指數(shù)冪：a0=1(a≠0).
5.下列運(yùn)算正確的是( )
A.x6÷x2=x3 B.x2•x3=x5 C.x6﹣x2=x4 D.(x3)2=x5
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法;合并同類項(xiàng);同底數(shù)冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，可判斷A、C;根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，可判斷B;根據(jù)冪的乘方，可判斷D.
【解答】解：A、同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，故A錯(cuò)誤;
B、同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，故B正確;
C、不是同底數(shù)冪的除法指數(shù)不能相減，故C錯(cuò)誤;
D、冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，故D錯(cuò)誤;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘.
6.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.
【專題】計(jì)算題.
【分析】本題根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和多邊形的內(nèi)角和等于900°，列出方程，解出即可.
【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，
則有(n﹣2)180°=900°，
解得：n=7，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為7.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等量關(guān)系列出方程從而解決問題.
7.若分式 的值為0，則x的值為( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.﹣1或2
【考點(diǎn)】分式的值為零的條件.
【分析】根據(jù)分式的分子為0;分母不為0，分式的值為零，可得答案.
【解答】解：由分式 的值為0，得
，解得x=﹣1，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式值為零的條件，若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：(1)分子為0;(2)分母不為0.這兩個(gè)條件缺一不可.
8.化簡 結(jié)果正確的是( )
A.ab B.﹣ab C.a2﹣b2 D.b2﹣a2
【考點(diǎn)】約分.
【專題】計(jì)算題.
【分析】首先將分式的分子因式分解，進(jìn)而約分求出即可.
【解答】解： = =﹣ab.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了約分，正確分解因式是解題關(guān)鍵.
9.如圖，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=30°，∠ADB=100°，則∠BAC的度數(shù)是( )
A.100° B.30° C.50° D.80°
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).
【分析】由翻折的特點(diǎn)可知，∠ACB=∠ADB=100°，進(jìn)一步利用三角形的內(nèi)角和求得∠BAC的度數(shù)即可.
【解答】解：∵△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，
∴∠ACB=∠ADB=100°，
∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC
=180°﹣100°﹣30°
=50°.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查翻折的特點(diǎn)：翻折前后兩個(gè)圖形全等;以及三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用.
10.若x2﹣kxy+9y2是一個(gè)完全平方式，則k的值為( )
A.3 B.±6 C.6 D.+3
【考點(diǎn)】完全平方式.
【分析】根據(jù)首末兩項(xiàng)是x和3y的平方，那么中間項(xiàng)為加上或減去x和3y的乘積的2倍，進(jìn)而得出答案.
【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是完全平方式，
∴﹣kxy=±2×3y•x，
解得k=±6.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式，根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)乘積二倍項(xiàng)求解是解題關(guān)鍵.
11.若a+b=﹣3，ab=1，則a2+b2=( )
A.﹣11 B.11 C.﹣7 D.7
【考點(diǎn)】完全平方公式.
【分析】根據(jù)a2+b2=(a+b)2﹣2ab，直接代入求值即可.
【解答】解：當(dāng)a+b=﹣3，ab=1時(shí)，
a2+b2=(a+b)2﹣2ab=9﹣2=7.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題要熟記有關(guān)完全平方的幾個(gè)變形公式，本題考查對(duì)完全平方公式的變形應(yīng)用能力.
12.圖(1)是一個(gè)長為2a，寬為2b(a>b)的長方形，用剪刀沿圖中虛線(對(duì)稱軸)剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖(2)那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空的部分的面積是( )
A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景.
【分析】中間部分的四邊形是正方形，表示出邊長，則面積可以求得.
【解答】解：中間部分的四邊形是正方形，邊長是a+b﹣2b=a﹣b，
則面積是(a﹣b)2.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列代數(shù)式，正確表示出小正方形的邊長是關(guān)鍵.
二、填空題(共8小題，每小題3分，滿分24分)
13.若分式 有意義，則a的取值范圍是a≠﹣1.
【考點(diǎn)】分式有意義的條件.
【分析】先根據(jù)分式有意義的條件列出關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍即可.
【解答】解：∵分式 有意義，
∴a+1≠0，解得a≠﹣1.
故答案為：a≠﹣1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解答此題的關(guān)鍵.
14.分解因式：a3﹣4ab2=a(a+2b)(a﹣2b).
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【專題】因式分解.
【分析】觀察原式a3﹣4ab2，找到公因式a，提出公因式后發(fā)現(xiàn)a2﹣4b2符合平方差公式的形式，再利用平方差公式繼續(xù)分解因式.
【解答】解：a3﹣4ab2
=a(a2﹣4b2)
=a(a+2b)(a﹣2b).
故答案為：a(a+2b)(a﹣2b).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各個(gè)因式不能再分解為止.
15. 和 的最簡公分母是15x2y3.
【考點(diǎn)】最簡公分母.
【分析】確定最簡公分母的方法是：
(1)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);
(2)凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個(gè)因式;
(3)同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母.
【解答】解： 和 分母分別是3x2y、5xy3，故最簡公分母是15x2y3;
故答案為15x2y3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡公分母，通分的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出各個(gè)分式中分母的最簡公分母，確定最簡公分母的方法一定要掌握.
16.若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個(gè)三角形中的最大的角度是90°.
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比，可以設(shè)一份為k，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，從而確定三角形的最大角的度數(shù).
【解答】解：設(shè)三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為k，2k，3k.
則k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
則2k=60°，3k=90°，
這個(gè)三角形最大的角等于90°.
故答案為：90°.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了內(nèi)角和定理.解答此類題利用三角形內(nèi)角和定理列方程求解可簡化計(jì)算.
17.計(jì)算：(6x2﹣xy)÷2x= .
【考點(diǎn)】整式的除法.
【分析】我們應(yīng)該利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加即可.
【解答】解：(6x2﹣xy)÷2x= .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，我們根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)，在把所得的商相加即可，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則.
18.若點(diǎn)M(a，3)和點(diǎn)N(2，a+b)關(guān)于x軸對(duì)稱，則b的值為﹣5.
【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).即點(diǎn)P(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是(x，﹣y)，進(jìn)而得出答案.
【解答】解：∵點(diǎn)M(a，3)和點(diǎn)N(2，a+b)關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴a=2，a+b=﹣3，
解得：b=﹣5，
故答案為為：﹣5.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確把握橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵.
19.若am=3，an=2，則am+n=6.
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法.
【分析】先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則把代數(shù)式化為已知的形式，再把已知代入求解即可.
【解答】解：∵am•an=am+n，
∴am+n=am•an=3×2=6.
【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是熟知同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am•an=am+n.
20.如圖，AE是∠BAC的角平線，AE的中垂線PF交BC的延長線于點(diǎn)F，若∠CAF=50°，則∠B=500.
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)線段垂直平分線得出AF=EF，推出∠FAE=∠FEA，根據(jù)角平分線得出∠BAE=∠CAE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)推出即可.
【解答】解：∵AE是中垂線PF交BC的延長線于點(diǎn)F，
∴AF=EF，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠FAE=∠FAC+∠CAE，∠FEA=∠B+∠BAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠FAC=∠B=50°.
故答案為：50°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線定義，線段垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，關(guān)鍵是推出∠FAD=∠FDA，培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.
三、解答題(共7小題，滿分52分)
21.計(jì)算：y(2x﹣y)+(x+y)2.
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算.
【專題】計(jì)算題.
【分析】將式子展開然后合并同類項(xiàng)即可解答本題.
【解答】解：y(2x﹣y)+(x+y)2
=2xy﹣y2+x2+2xy+y2
=x2+4xy.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確怎樣合并同類項(xiàng).
22.因式分解(x﹣2y)2+8xy.
【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法.
【分析】先根據(jù)完全平方公式把(x﹣2y)2展開，合并同類項(xiàng)后再利用完全平方公式分解因式即可.公式a2±2ab+b2=(a±b)2.
【解答】解：(x﹣2y)2+8xy，
=x2﹣4xy+4y2+8xy，
=x2+4xy+4y2，
=(x+2y)2.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用完全平方公式分解因式，先整理成公式的結(jié)構(gòu)形式是解題的關(guān)鍵.
23.解方程： .
【考點(diǎn)】解分式方程.
【專題】計(jì)算題.
【分析】本題的最簡公分母是x(x﹣1).方程兩邊都乘最簡公分母，可把分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程求解.結(jié)果需檢驗(yàn).
【解答】解：兩邊同時(shí)乘以x(x﹣1)，得
x2﹣2(x﹣1)=x(x﹣1)，
去括號(hào)，得x2﹣2x+2=x2﹣x，
移項(xiàng)，得x2﹣x2﹣2x+x=﹣2，
合并，得﹣x=﹣2，
系數(shù)化為1，得x=2.
檢驗(yàn)：把x=2代入x(x﹣1)中，得
x(x﹣1)=2(2﹣1)=2≠0.
∴x=2是原方程的解.
【點(diǎn)評(píng)】(1)解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，方程兩邊都乘最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要代入最簡公分母驗(yàn)根.
24.先簡化，再求值：(1+ )÷ ，其中x=3.
【考點(diǎn)】分式的化簡求值.
【專題】計(jì)算題.
【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，將x的值代入計(jì)算即可求出值.
【解答】解：原式= •
= •
= ，
當(dāng)x=3時(shí)，原式= = .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
25.如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC.
?、偾笞C：△ABE≌△CBD;
?、谌?ang;CAE=33°，求∠BDC的度數(shù).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)由條件AB=CB，∠ABC=∠CBD=90°，根據(jù)SAS就可以得出結(jié)論;
(2)由條件可以求出∠AEB的度數(shù)，由全等三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.
【解答】解：(1)∵∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，
∴∠ABE=∠CBD=90°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD(SAS);
(2)∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∵∠CAE=33°，
∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=12°.
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=12°，
∴∠BDC=78°
答：∠BDC的度數(shù)為78°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全是關(guān)鍵.
26.某一工程，在工程招標(biāo)時(shí)，接到甲，乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書.施工一天，需付甲工程隊(duì)工程款1.2萬元，乙工程隊(duì)工程款0.5萬元.工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲，乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測算，有如下方案：
(1)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程剛好如期完成;
(2)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定日期多用6天;
(3)若甲，乙兩隊(duì)合做3天，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做也正好如期完成.
試問：在不耽誤工期的前提下，你覺得哪一種施工方案最節(jié)省工程款?請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【專題】方案型.
【分析】關(guān)鍵描述語為：“甲，乙兩隊(duì)合做3天，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做也正好如期完成”;說明甲隊(duì)實(shí)際工作了3天，乙隊(duì)工作了x天完成任務(wù)，工作量=工作時(shí)間×工作效率等量關(guān)系為：甲3天的工作量+乙規(guī)定日期的工作量=1列方程.
再看費(fèi)用情況：方案(1)、(3)不耽誤工期，符合要求，可以求費(fèi)用，方案(2)顯然不符合要求.
【解答】解：設(shè)規(guī)定日期為x天.由題意得
+ + =1，
.
3(x+6)+x2=x(x+6)，
3x=18，
解之得：x=6.
經(jīng)檢驗(yàn)：x=6是原方程的根.
方案(1)：1.2×6=7.2(萬元);
方案(2)比規(guī)定日期多用6天，顯然不符合要求;
方案(3)：1.2×3+0.5×6=6.6(萬元).
∵7.2>6.6，
∴在不耽誤工期的前提下，選第三種施工方案最節(jié)省工程款.
【點(diǎn)評(píng)】找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.在既有工程任務(wù)，又有工程費(fèi)用的情況下.先考慮完成工程任務(wù)，再考慮工程費(fèi)用.
27.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF=∠CBG.求證：
(1)AF=CG;
(2)DG=CF;
(3)直接寫出CF與DE的數(shù)量關(guān)系.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)要證AF=CG，只需證明△AFC≌△CBG即可;
(2)連接AG，證明△ACG≌△BCG，得出AG=BG，再證出∠D=∠GAD，得出AG=DG，從而證出DG=CF;
(3)延長CG交AB于H，則CH⊥AB，H平分AB，繼而證得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE與△CGE全等，從而證得CF=2DE.
【解答】證明：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG=∠CAF=45°
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC
∴△BCG≌△CAF，
∴BG=CF;
(2)連接AG，如圖1所示：
在△ACG與△BCG中， ，
∴△ACG≌△BCG，
∴AG=BG，
∴∠GBA=∠GAB，
∵AD⊥AB
∴∠D=90°﹣∠GBA=90°﹣∠GAB=∠GAD，
∴AG=DG.
∵由(1)BG=CF，
∴DG=CF;
(3)如圖2，延長CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE與△CGE中，
，
∴△ADE≌△CGE(AAS)，
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=BG，
∵△AFC≌△CBG，
∴CF=BG，
∴CF=2DE.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，三角形全等是解本題的關(guān)鍵.
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