人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊期末試卷
人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊期末試卷
相信自己，放好心態(tài)向前沖。預(yù)祝：八年級(jí)數(shù)學(xué)期末考試時(shí)能超水平發(fā)揮。以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊期末試卷，希望你們喜歡。
人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊期末試題
一、選擇題(本題共16小題，每小題3分，共48分.)
1.若分式 的值為0，則x的值為( )
A.x=0B.x=1C.x=﹣2D.x=﹣1
2.將分式 中分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)都化成整數(shù)，正確的是( )
A. B. C. D.
3.某種流感病毒的直徑是0.00000008m，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.8×10﹣6mB.8×10﹣5mC.8×10﹣8mD.8×10﹣4m
4.函數(shù)y=﹣ 中的自變量x的取值范圍是( )
A.x≥0B.x<0且x≠1C.x<0D.x≥0且x≠1
5.一次函數(shù)y=﹣2x﹣1的圖象不經(jīng)過( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
6.如圖，AD⊥BC，D是BC的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.△ABD≌△ACDB.∠B=∠C
C.△ABC是等腰三角形D.△ABC是等邊三角形
7.若點(diǎn)(﹣3，y1)，(﹣2，y2)，(﹣1，y3)在反比例函數(shù)y=﹣ 圖象上，則下列結(jié)論正確的是( )
A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1
8.如圖，某中學(xué)制作了300名學(xué)生選擇棋類、攝影、書法、短跑四門校內(nèi)課程情況的扇形統(tǒng)計(jì)圖，從圖中可以看出選擇短跑的學(xué)生人數(shù)為( )
A.33B.36C.39D.42
9.下列命題中，逆命題是假命題的是( )
A.全等三角形的對應(yīng)角相等B.直角三角形兩銳角互余
C.全等三角形的對應(yīng)邊相等D.兩直線平行，同位角相等
10.尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA，OB于C，D，再分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于 CD長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP.由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是( )
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
11.某校八年級(jí)1班一個(gè)學(xué)習(xí)小組的7名同學(xué)在半期考試中數(shù)學(xué)成績分別是85，93，62，99，56，93，89，這七個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.93、89B.93、93C.85、93D.89、93
12.將一張矩形紙對折再對折，然后沿著如圖中的虛線剪下，打開，這個(gè)圖形一定是一個(gè)(
A.三角形B.矩形C.菱形D.正方形
13.等腰梯形兩底的差是4，兩腰的長也是4，則這個(gè)等腰梯形的兩銳角都是( )
A.75°B.60°C.45°D.30°
14.如圖，矩形ABCD中，BE、CF分別平分∠ABC和∠DCB，點(diǎn)E、F都在AD上，下列結(jié)論不正確的是(
A.△ABE≌△DCF
B.△ABE和△DCF都是等腰直角三角形
C.四邊形BCFE是等腰梯形
D.E、F是AD的三等分點(diǎn)
15.一盤蚊香長100cm，點(diǎn)燃時(shí)每小時(shí)縮短10cm，小明在蚊香點(diǎn)燃5h后將它熄滅，過了2h，他再次點(diǎn)燃了蚊香.下列四個(gè)圖象中，大致能表示蚊香剩余長度y(cm)與所經(jīng)過時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系的是( )
A. B. C. D.
16.如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別是E和F，若PE=PF，下列說法不正確的是( )
A.點(diǎn)P一定在菱形ABCD的對角線AC上
B.可用H•L證明Rt△AEP≌Rt△AFP
C.AP平分∠BAD
D.點(diǎn)P一定是菱形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)
二、填空題
17.計(jì)算：(a﹣3)2(ab2)﹣3= (結(jié)果化為只含正整數(shù)指數(shù)冪的形式)
18.把命題“平行四邊形的兩組對邊分別相等”改寫成“如果…，那么…”的形式是 .
19.點(diǎn)P(﹣4，5)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是 .
20.到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形 的交點(diǎn).
21.四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形還需滿足的條件是 (橫線只需填一個(gè)你認(rèn)為合適的條件即可)
22.小青在八年級(jí)上學(xué)期的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤硭?
平時(shí)測驗(yàn) 期中考試 期末考試
成績 86 90 81
如果學(xué)期總評成績根據(jù)如圖所示的權(quán)重計(jì)算，小青該學(xué)期的總評成績是 分.
23.如果關(guān)于x的方程 = 無解，則m= .
24.如圖，雙曲線 與直線y=mx+n在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A(1，5)和B(5，1)，根據(jù)圖象，在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍是 .
三、解答題(第25題18分，其余每題8分，共50分)
25.(1)計(jì)算：(﹣2)3+(﹣ )﹣2•(1﹣ )0
(2)先化簡，再求值： ÷ ﹣ ，其中x=
(3)解方程： = +2.
26.2013年4月20，我省雅安市蘆山縣發(fā)生了里氏7.0級(jí)強(qiáng)烈地震.為支援災(zāi)區(qū)，某中學(xué)八年級(jí)師生發(fā)起了自愿捐款活動(dòng).已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數(shù)比第一天捐款人數(shù)多50人，且兩天人均捐款數(shù)相等，那么兩天共參加捐款的人數(shù)是多少?
27.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°.
(1)尺規(guī)作圖：作AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為F，連接AD;(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)求證：△ACD是等腰三角形.
28.如圖，直線y=kx+b與反比例函數(shù)y= (x<0)的圖象相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2，4)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣4.
(1)試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)求△AOC的面積.
29.經(jīng)市場調(diào)查，某種優(yōu)質(zhì)西瓜質(zhì)量為(5±0.25)kg的最為暢銷.為了控制西瓜的質(zhì)量，農(nóng)科所采用A、B兩種種植技術(shù)進(jìn)行試驗(yàn)，現(xiàn)從這兩種技術(shù)種植的西瓜中各隨機(jī)抽取10顆，記錄它們的質(zhì)量如下(單位：kg)：
A：5.5 4.8 5.0 5.2 4.9 5.2 4.5 4.8 5.1 5.0
B：4.7 5.0 4.5 4.9 5.1 5.3 4.6 4.9 5.1 4.9
(1)若質(zhì)量為(5±0.25)kg的為優(yōu)等品，根據(jù)以上信息完成如表：
種植技術(shù) 優(yōu)等品數(shù)量(顆) 平均數(shù)(kg) 方差
A 0.068
B 4.9
(2)請分別從優(yōu)質(zhì)品數(shù)量、平均數(shù)與方差三方面對A、B兩種技術(shù)作出評價(jià);從市場銷售的角度看，你認(rèn)為推廣哪種種植技術(shù)較好.
四、能力展示題
30.某超市準(zhǔn)備購進(jìn)A、B兩種品牌的飲料共100件，兩種飲料每件利潤分別是15元和13元.設(shè)購進(jìn)A種飲料x件，且所購進(jìn)的兩種飲料能全部賣出，獲得的總利潤為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)兩種飲料歷次銷量記載：A種飲料至少購進(jìn)30件，B種飲料購進(jìn)數(shù)量不少于A種飲料件數(shù)的2倍.問：A、B兩種飲料進(jìn)貨方案有幾種?哪一種方案能使超市所獲利潤最高?最高利潤是多少?
31.如圖，在△ABC中∠ACB=90°，D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l∥BC，將直線AC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α<∠ACB)，分別交直線l于點(diǎn)F與BC的延長線交于點(diǎn)E，連接AE、CF.
(1)求證：△CDE≌△ADF;
(2)求證：四邊形AFCE是平行四邊形;
(3)當(dāng)∠B=22.5°，AC=BC時(shí)，請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的α能使四邊形AFCE成為正方形?請說明理由;若能，求出這時(shí)的旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)和BC與CE的數(shù)量關(guān)系.
人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊期末試卷參考答案
一、選擇題(本題共16小題，每小題3分，共48分.)
1.若分式 的值為0，則x的值為( )
A.x=0B.x=1C.x=﹣2D.x=﹣1
【考點(diǎn)】分式的值為零的條件.
【專題】計(jì)算題.
【分析】分式的值是0的條件是：分子為0，分母不為0.
【解答】解：∵x﹣1=0且x+2≠0，
∴x=1.
故選B.
【點(diǎn)評】分式是0的條件中特別需要注意的是分母不能是0，這是經(jīng)?？疾榈闹R(shí)點(diǎn).
2.將分式 中分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)都化成整數(shù)，正確的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】分式的基本性質(zhì).
【分析】根據(jù)分式的分子分母都乘或除以同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變，可得答案.
【解答】解：分式 中分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)都化成整數(shù)，正確的是 ，
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，利用了分式的基本性質(zhì).
3.某種流感病毒的直徑是0.00000008m，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.8×10﹣6mB.8×10﹣5mC.8×10﹣8mD.8×10﹣4m
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù).
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
【解答】解：0.000 000 08=8×10﹣8.
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù).一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
4.函數(shù)y=﹣ 中的自變量x的取值范圍是( )
A.x≥0B.x<0且x≠1C.x<0D.x≥0且x≠1
【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍;分式有意義的條件;二次根式有意義的條件.
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，就可以求解.
【解答】解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，可知：x≥0;
分母不等于0，可知：x﹣1≠0，即x≠1.
所以自變量x的取值范圍是x≥0且x≠1.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查的是函數(shù)自變量取值范圍的求法.函數(shù)自變量的范圍一般從三個(gè)方面考慮：
(1)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù);
(2)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0;
(3)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù).
5.一次函數(shù)y=﹣2x﹣1的圖象不經(jīng)過( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】因?yàn)閗=﹣2<0，b=﹣1<0，根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的性質(zhì)得到圖象經(jīng)過第二、四象限，圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，于是可判斷一次函數(shù)y=﹣2x﹣1的圖象不經(jīng)過第一象限.
【解答】解：對于一次函數(shù)y=﹣2x﹣1，
∵k=﹣2<0，
∴圖象經(jīng)過第二、四象限;
又∵b=﹣1<0，
∴一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即函數(shù)圖象還經(jīng)過第三象限，
∴一次函數(shù)y=﹣2x﹣1的圖象不經(jīng)過第一象限.
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的性質(zhì)：當(dāng)k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小;當(dāng)k>0，經(jīng)圖象第一、三象限，y隨x的增大而增大;當(dāng)b>0，一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸上方;當(dāng)b<0，一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方.
6.如圖，AD⊥BC，D是BC的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.△ABD≌△ACDB.∠B=∠C
C.△ABC是等腰三角形D.△ABC是等邊三角形
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定.
【分析】根據(jù)垂直的定義可得∠ADB=∠ADC=90°，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得BD=CD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠B=∠C，全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AC，然后選擇答案即可.
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴∠B=∠C，AB=AC，故A、B、C選項(xiàng)結(jié)論都正確，
只有AB=BC時(shí)，△ABC是等邊三角形，故D選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.
7.若點(diǎn)(﹣3，y1)，(﹣2，y2)，(﹣1，y3)在反比例函數(shù)y=﹣ 圖象上，則下列結(jié)論正確的是( )
A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到﹣3•y1=﹣1，﹣2•y2=﹣1，﹣1•y3=﹣1，然后分別計(jì)算出y1、y2、y3的值后比較大小即可.
【解答】解：根據(jù)題意得﹣3•y1=﹣1，﹣2•y2=﹣1，﹣1•y3=﹣1，
解得y1= ，y2= ，y3=1，
所以y1
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=xk(k為常數(shù)，k≠0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)(x，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k.
8.如圖，某中學(xué)制作了300名學(xué)生選擇棋類、攝影、書法、短跑四門校內(nèi)課程情況的扇形統(tǒng)計(jì)圖，從圖中可以看出選擇短跑的學(xué)生人數(shù)為( )
A.33B.36C.39D.42
【考點(diǎn)】扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】先求出選擇短跑的學(xué)生所占的百分比，再乘以總?cè)藬?shù)即可.
【解答】解：根據(jù)題意得：
300×(1﹣33%﹣26%﹣28%)=39(名).
答：選擇短跑的學(xué)生有39名.
故選C.
【點(diǎn)評】此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小，關(guān)鍵是求出選擇短跑的學(xué)生所占的百分比.
9.下列命題中，逆命題是假命題的是( )
A.全等三角形的對應(yīng)角相等B.直角三角形兩銳角互余
C.全等三角形的對應(yīng)邊相等D.兩直線平行，同位角相等
【考點(diǎn)】命題與定理.
【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再進(jìn)行判斷即可.
【解答】解：A、全等三角形的對應(yīng)角相等的逆命題是對應(yīng)角相等的三角形全等，是假命題;
B、直角三角形兩銳角互余的逆命題是兩銳角互余的三角形是直角三角形，是真命題;
C、全等三角形的對應(yīng)邊相等的逆命題是對應(yīng)邊相等的三角形全等，是真命題;
D、兩直線平行，同位角相等的逆命題是同位角相等，兩直線平行，是真命題;
故選A.
【點(diǎn)評】此題考查了命題與定理，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.
10.尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA，OB于C，D，再分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于 CD長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP.由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是( )
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
【考點(diǎn)】作圖—基本作圖;全等三角形的判定.
【分析】認(rèn)真閱讀作法，從角平分線的作法得出△OCP與△ODP的兩邊分別相等，加上公共邊相等，于是兩個(gè)三角形符合SSS判定方法要求的條件，答案可得.
【解答】解：∵以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA，OB于C，D，即OC=OD;
以點(diǎn)C，D為圓心，以大于 CD長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，即CP=DP;
在△OCP和△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP(SSS).
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角
11.某校八年級(jí)1班一個(gè)學(xué)習(xí)小組的7名同學(xué)在半期考試中數(shù)學(xué)成績分別是85，93，62，99，56，93，89，這七個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.93、89B.93、93C.85、93D.89、93
【考點(diǎn)】眾數(shù);中位數(shù).
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義即眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)和中位數(shù)的定義即中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)(最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))，即可得出答案.
【解答】解：∵85，93，62，99，56，93，89中，93出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴這七個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是93，
把85，93，62，99，56，93，89從小到大排列為：56，62，85，89，93，93，99，
最中的數(shù)是89，則中位數(shù)是89;
故選A.
【點(diǎn)評】此題考查了眾數(shù)與中位數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)(最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))，叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).
12.將一張矩形紙對折再對折，然后沿著如圖中的虛線剪下，打開，這個(gè)圖形一定是一個(gè)(
A.三角形B.矩形C.菱形D.正方形
【考點(diǎn)】剪紙問題.
【分析】根據(jù)折疊可得剪得的四邊形四條邊都相等，根據(jù)此特點(diǎn)可得這個(gè)圖形是菱形.
【解答】解：根據(jù)折疊方法可知：所得到圖形的4條邊都是所剪直角三角形的斜邊，并且相等，
根據(jù)四條邊相等的四邊形是菱形可得這個(gè)圖形是菱形，
故選：C.
【點(diǎn)評】本題主要考查學(xué)生的動(dòng)手能力及空間想象能力，關(guān)鍵是正確理解剪圖的方法.
13.等腰梯形兩底的差是4，兩腰的長也是4，則這個(gè)等腰梯形的兩銳角都是( )
A.75°B.60°C.45°D.30°
【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過點(diǎn)A作AE∥CD交BC于點(diǎn)E，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，易得四邊形AECD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得△ABE是等邊三角形，即可得∠B的值.
【解答】解：如圖所示：梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，
過點(diǎn)A作AE∥CD交BC于點(diǎn)E，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AE=CD，AD=EC，
∵BE=BC﹣CE=BC﹣AD=AB=CD=4，
∴∠B=60°.
∴這個(gè)等腰梯形的銳角為60°.
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行四邊形是解答此題的關(guān)鍵.
14.如圖，矩形ABCD中，BE、CF分別平分∠ABC和∠DCB，點(diǎn)E、F都在AD上，下列結(jié)論不正確的是(
A.△ABE≌△DCF
B.△ABE和△DCF都是等腰直角三角形
C.四邊形BCFE是等腰梯形
D.E、F是AD的三等分點(diǎn)
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).
【分析】A、由AAS證得△ABE≌△DCF;
B、根據(jù)矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)推知△ABE和△DCF都是等腰直角三角形;
C、由A中的全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF.結(jié)合矩形的對邊平行得到四邊形BCFE是等腰梯形;
D、根據(jù)A在全等三角形的性質(zhì)只能得到AE=DF，點(diǎn)E、F不一定是AD的三等分點(diǎn).
【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形ABCD，
∴∠A=∠D=∠DCB=∠ABC=90°.
又BE、CF分別平分∠ABC和∠DCB，
∴∠ABE=∠DCF=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，∠DFC=∠DCF=45°，
∴AB=AE，DF=DC，
∴△ABE和△DCF都是等腰直角三角形.
故B正確;
在△ABE與△DCF中， .則△ABE≌△DCF(AAS)，故A正確;
∵△ABE≌△DCF，
∴BE=CF.
又BE與FC不平行，且EF∥BC，EF≠BC，
∴四邊形BCFE是等腰梯形.
故C正確;
∵△ABE≌△DCF，
∴AE=DF.
但是不能確定AE=EF=FD成立.即點(diǎn)E、F不一定是AD的三等分點(diǎn).
故D錯(cuò)誤.
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.
15.一盤蚊香長100cm，點(diǎn)燃時(shí)每小時(shí)縮短10cm，小明在蚊香點(diǎn)燃5h后將它熄滅，過了2h，他再次點(diǎn)燃了蚊香.下列四個(gè)圖象中，大致能表示蚊香剩余長度y(cm)與所經(jīng)過時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象.
【專題】壓軸題.
【分析】因?yàn)樵摫P蚊香長100cm，點(diǎn)燃時(shí)每小時(shí)縮短10cm，小明在蚊香點(diǎn)燃5h后將它熄滅，過了2h，他再次點(diǎn)燃了蚊香，所以蚊香剩余長度y隨所經(jīng)過時(shí)間x的增加而減少，又中間熄滅了2h，由此即可求出答案.
【解答】解：因?yàn)槲孟闶Ｓ嚅L度y隨所經(jīng)過時(shí)間x的增加而減少，又中間熄滅了2h.
故選C.
【點(diǎn)評】解決此類識(shí)圖題，同學(xué)們要注意分析其中的“關(guān)鍵點(diǎn)”，還要善于分析各圖象的變化趨勢.
16.如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別是E和F，若PE=PF，下列說法不正確的是( )
A.點(diǎn)P一定在菱形ABCD的對角線AC上
B.可用H•L證明Rt△AEP≌Rt△AFP
C.AP平分∠BAD
D.點(diǎn)P一定是菱形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì);全等三角形的判定;角平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出AP平分∠BAD，根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得AC平分∠BAD，然后對各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解.
【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AD，PE=PF，
∴AP平分∠BAD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴對角線AC平分∠BAD，故A、C選項(xiàng)結(jié)論正確;
可以利用“HL”證明Rt△AEP≌Rt△AFP，故B選項(xiàng)正確;
點(diǎn)P在AC上，但不一定在BD上，
所以，點(diǎn)P一定是菱形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)不一定正確.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
二、填空題
17.計(jì)算：(a﹣3)2(ab2)﹣3= \frac{1}{{a}^{9}^{6}} (結(jié)果化為只含正整數(shù)指數(shù)冪的形式)
【考點(diǎn)】負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則分別進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案.
【解答】解：(a﹣3)2(ab2)﹣3=( )2( = • = ;
故答案為： .
【點(diǎn)評】此題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的法則：任何不等于零的數(shù)的﹣n(n為正整數(shù))次冪，等于這個(gè)數(shù)的n次冪的倒數(shù)是本題的關(guān)鍵.
18.把命題“平行四邊形的兩組對邊分別相等”改寫成“如果…，那么…”的形式是 如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么它兩組對邊分別相等 .
【考點(diǎn)】命題與定理.
【分析】如果后面應(yīng)是命題中的條件，那么后面是由條件得到的結(jié)論.
【解答】解：原命題的條件是：四邊形是平行四邊形，結(jié)論是兩組對邊分別相等;
改寫成“如果…，那么…”的形式是：如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么它兩組對邊分別相等，
故答案為：如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么它兩組對邊分別相等.
【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到所給命題的條件和結(jié)論.
19.點(diǎn)P(﹣4，5)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是 (﹣4，﹣5) .
【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案.
【解答】解：點(diǎn)P(﹣4，5)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是(﹣4，﹣5)，
故答案為：(﹣4，﹣5).
【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律.
20.到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形 三條邊的垂直平分線 的交點(diǎn).
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)知道到三角形的一邊的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)應(yīng)該在這邊的垂直平分線上，首先滿足到兩個(gè)頂點(diǎn)即到一條線段(邊)，再滿足到另一個(gè)頂點(diǎn)即可，所以到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)應(yīng)該在三邊的垂直平分線上，由此可以得到結(jié)論.
【解答】解：∵到三角形的一邊的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)應(yīng)該在這邊的垂直平分線，
到三角形的另一邊的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)應(yīng)該在這邊的垂直平分線，
二垂直平分線有一個(gè)交點(diǎn)，由等量代換可知到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn).
故填空答案：三條邊的垂直平分線.
【點(diǎn)評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí).分別滿足所要求的條件是正確解答本題的關(guān)鍵.
21.四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形還需滿足的條件是 AD=BC(或AD∥BC) (橫線只需填一個(gè)你認(rèn)為合適的條件即可)
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定.
【專題】開放型.
【分析】在已知一組對邊平行的基礎(chǔ)上，要判定是平行四邊形，則需要增加另一組對邊平行，或平行的這組對邊相等，或一組對角相等均可.
【解答】解：根據(jù)平行四邊形的判定方法，知
需要增加的條件是AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D.
故答案為AD=BC(或AB∥CD).
【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的判定，為開放性試題，答案不唯一，要掌握平行四邊形的判定方法.
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
22.小青在八年級(jí)上學(xué)期的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤硭?
平時(shí)測驗(yàn) 期中考試 期末考試
成績 86 90 81
如果學(xué)期總評成績根據(jù)如圖所示的權(quán)重計(jì)算，小青該學(xué)期的總評成績是 84.2 分.
【考點(diǎn)】加權(quán)平均數(shù);扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】根據(jù)總成績中由三次成績組成而且所占比例不同，運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式求出即可.
【解答】解：總評成績?yōu)椋?6×10%+90×30%+81×60%=84.2(分).
故答案為84.2.
【點(diǎn)評】此題主要考查了加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用，注意學(xué)期的總評成績是根據(jù)平時(shí)成績，期中成績，期末成績的權(quán)重計(jì)算得出，注意加權(quán)平均樹算法的正確運(yùn)用，在考試中是易錯(cuò)點(diǎn).
23.如果關(guān)于x的方程 = 無解，則m= ﹣5 .
【考點(diǎn)】分式方程的解.
【分析】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0.
【解答】解：去分母得：x﹣3=m，
解得：x=m+3，
∵原方程無解，
∴最簡公分母：x+2=0，
解得：x=﹣2，
即可得：m=﹣5.
故答案為﹣5.
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的解，分式方程無解分兩種情況：整式方程本身無解;分式方程產(chǎn)生增根.
24.如圖，雙曲線 與直線y=mx+n在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A(1，5)和B(5，1)，根據(jù)圖象，在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍是 0
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.
【分析】根據(jù)圖象觀察，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時(shí)，即反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值.
【解答】解：從圖象可知反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時(shí)，
即反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，
所以x的取值范圍是0
故答案為：0
【點(diǎn)評】此題考查了由圖象確定兩函數(shù)的大小問題，直接由圖象入手較為簡單.
三、解答題(第25題18分，其余每題8分，共50分)
25.(1)計(jì)算：(﹣2)3+(﹣ )﹣2•(1﹣ )0
(2)先化簡，再求值： ÷ ﹣ ，其中x=
(3)解方程： = +2.
【考點(diǎn)】分式的化簡求值;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;解分式方程.
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)原式第一項(xiàng)利用乘方的意義化簡，第二項(xiàng)利用負(fù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果;
(2)原式第一項(xiàng)利用除法法則變形，約分后利用同分母分式的減法法則計(jì)算得到最簡結(jié)果，將x的值代入計(jì)算即可求出值;
(3)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.
【解答】解：(1)原式=﹣8+9×1=﹣8+9=1;
(2)原式= • ﹣ = ﹣ = ，
當(dāng)x= 時(shí)，原式= =﹣3;
(3)去分母得：2x(x+1)=1+2x2﹣2，
去括號(hào)得：2x2+2x=2x2﹣1，
解得：x=﹣ ，
經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣ 是分式方程的解.
【點(diǎn)評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
26.2013年4月20，我省雅安市蘆山縣發(fā)生了里氏7.0級(jí)強(qiáng)烈地震.為支援災(zāi)區(qū)，某中學(xué)八年級(jí)師生發(fā)起了自愿捐款活動(dòng).已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數(shù)比第一天捐款人數(shù)多50人，且兩天人均捐款數(shù)相等，那么兩天共參加捐款的人數(shù)是多少?
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)第一天捐款的人數(shù)為x人，第二天捐款的人數(shù)為(x+50)人，根據(jù)兩天人均捐款數(shù)相等，列方程求解.
【解答】解：設(shè)第一天捐款的人數(shù)為x人，第二天捐款的人數(shù)為(x+50)人，
由題意得， = ，
解得：x=200，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=200是原分式方程的解，且符合題意.
則兩天共參加的捐款人數(shù)為：2×200+50=450(人).
答：兩天共參加捐款的人數(shù)是450人.
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗(yàn).
27.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°.
(1)尺規(guī)作圖：作AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為F，連接AD;(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)求證：△ACD是等腰三角形.
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖;線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的判定.
【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的作法作出AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為F，再連接AD即可求解;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得到∠1=∠C=∠B=36°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)得到∠DAC=∠ADC，再根據(jù)等腰三角形的判定即可求解.
【解答】解：(1)如圖所示：DF是AB的垂直平分線.
(2)∵AB=AC，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=108°，
∵DF是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠1=∠B=36°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠1=108°﹣36°=72°，
∴∠ADC=∠B+∠1=36°+36°=72°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形.
【點(diǎn)評】考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：垂直平分線的作法，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)得，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的判定等.
28.如圖，直線y=kx+b與反比例函數(shù)y= (x<0)的圖象相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2，4)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣4.
(1)試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)求△AOC的面積.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.
【專題】數(shù)形結(jié)合;待定系數(shù)法.
【分析】根據(jù)A的坐標(biāo)為(﹣2，4)，先求出k′=﹣8，再根據(jù)反比例函數(shù)求出B點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式為y=x+6，求出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)后，即可求出S△AOC= CO•yA= ×6×4=12.
【解答】解：(1)∵點(diǎn)A(﹣2，4)在反比例函數(shù)圖象上
∴4=
∴k′=﹣8，(1分)
∴反比例函數(shù)解析式為y= ;(2分)
(2)∵B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣4，
∴y=﹣ ，
∴y=2，
∴B(﹣4，2)(3分)
∵點(diǎn)A(﹣2，4)、點(diǎn)B(﹣4，2)在直線y=kx+b上
∴4=﹣2k+b
2=﹣4k+b
解得k=1
b=6
∴直線AB為y=x+6(4分)
與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)C(﹣6，0)
∴S△AOC= CO•yA= ×6×4=12.(6分)
【點(diǎn)評】主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和反比例函數(shù) 中k的幾何意義，這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義.圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S= |k|.
29.經(jīng)市場調(diào)查，某種優(yōu)質(zhì)西瓜質(zhì)量為(5±0.25)kg的最為暢銷.為了控制西瓜的質(zhì)量，農(nóng)科所采用A、B兩種種植技術(shù)進(jìn)行試驗(yàn)，現(xiàn)從這兩種技術(shù)種植的西瓜中各隨機(jī)抽取10顆，記錄它們的質(zhì)量如下(單位：kg)：
A：5.5 4.8 5.0 5.2 4.9 5.2 4.5 4.8 5.1 5.0
B：4.7 5.0 4.5 4.9 5.1 5.3 4.6 4.9 5.1 4.9
(1)若質(zhì)量為(5±0.25)kg的為優(yōu)等品，根據(jù)以上信息完成如表：
種植技術(shù) 優(yōu)等品數(shù)量(顆) 平均數(shù)(kg) 方差
A 8 5 0.068
B 6 4.9 0.054
(2)請分別從優(yōu)質(zhì)品數(shù)量、平均數(shù)與方差三方面對A、B兩種技術(shù)作出評價(jià);從市場銷售的角度看，你認(rèn)為推廣哪種種植技術(shù)較好.
【考點(diǎn)】方差;加權(quán)平均數(shù).
【分析】(1)根據(jù)優(yōu)等品的范圍和平均數(shù)的計(jì)算公式以及方差公式分別進(jìn)行解答即可;
(2)根據(jù)從優(yōu)等品數(shù)量的角度得出A技術(shù)較好;從平均數(shù)的角度看，得出A技術(shù)較好;從方差的角度看得出B技術(shù)種植的西瓜質(zhì)量更為穩(wěn)定;從市場銷售角度看，因優(yōu)等品更暢銷，A技術(shù)種植的西瓜優(yōu)等品數(shù)量更多，且平均質(zhì)量更接近5kg，因而更適合推廣A種技術(shù).
【解答】解：(1)∵質(zhì)量為(5±0.25)kg的為優(yōu)等品，
∴質(zhì)量為優(yōu)等品的范圍是：4.75～5.25之間，
∴種植技術(shù)為A的有8顆，種植技術(shù)為B的有6顆;
種植技術(shù)為A的平均數(shù)是：(5.5+4.8+5.0+5.2+4.9+5.2+4.5+4.8+5.1+5.0)÷10=5(kg);
種植技術(shù)為B的方差為：
[(4.7﹣4.9)2+(5.0﹣4.9)2+(4.5﹣4.9)2+3(4.9﹣4.9)2+(5.1﹣4.9)2+(5.3﹣4.9)2+(4.6﹣4.9)2+(5.1﹣4.9)2]=0.054;
(2)從優(yōu)等品數(shù)量的角度看，因A技術(shù)種植的西瓜優(yōu)等品數(shù)量較多，所以A技術(shù)較好;
從平均數(shù)的角度看，因A技術(shù)種植的西瓜質(zhì)量的平均數(shù)更接近5kg，所以A技術(shù)較好;
從方差的角度看，因B技術(shù)種植的西瓜質(zhì)量的方差更小，所以B技術(shù)種植的西瓜質(zhì)量更為穩(wěn)定;
從市場銷售角度看，因優(yōu)等品更暢銷，A技術(shù)種植的西瓜優(yōu)等品數(shù)量更多，且平均質(zhì)量更接近5kg，因而更適合推廣A種技術(shù).
【點(diǎn)評】此題考查了平均數(shù)和方差，一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為 ，則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立.
四、能力展示題
30.某超市準(zhǔn)備購進(jìn)A、B兩種品牌的飲料共100件，兩種飲料每件利潤分別是15元和13元.設(shè)購進(jìn)A種飲料x件，且所購進(jìn)的兩種飲料能全部賣出，獲得的總利潤為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)兩種飲料歷次銷量記載：A種飲料至少購進(jìn)30件，B種飲料購進(jìn)數(shù)量不少于A種飲料件數(shù)的2倍.問：A、B兩種飲料進(jìn)貨方案有幾種?哪一種方案能使超市所獲利潤最高?最高利潤是多少?
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用;一元一次不等式組的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)購進(jìn)A種飲料x件，則購進(jìn)B種飲料(100﹣x)件，根據(jù)利潤等于每件的利潤×件數(shù)就可以得出結(jié)論;
(2)根據(jù)題意可以表示出：A種飲料至少購進(jìn)30件，為x≥30，B種飲料購進(jìn)數(shù)量不少于A種飲料件數(shù)的2倍為100﹣2x≥2x，由這兩個(gè)不等式構(gòu)成不等式組求出其解，根據(jù)依次函數(shù)的性質(zhì)得出答案即可.
【解答】解：(1)y與x函數(shù)關(guān)系式是：
y=15x+13(100﹣x)
=2x+1300，
即y=2x+1300.
(2)由題意，得 ，
解得30≤x≤33 ，
它的整數(shù)解為x=30，31，32，33.
∴A、B兩種飲料進(jìn)貨方案有4種，
∵y隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)x=33時(shí)，y取得最大值y=2×33+1300=1366
即分別購進(jìn)a種飲料33件，B種飲料67件，超市所獲利潤最高，最高利潤是1366元.
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，根據(jù)利潤=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)來確定一次函數(shù)的解析式，列一元一次不等式組解實(shí)際問題，在解答時(shí)求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.
31.如圖，在△ABC中∠ACB=90°，D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l∥BC，將直線AC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α<∠ACB)，分別交直線l于點(diǎn)F與BC的延長線交于點(diǎn)E，連接AE、CF.
(1)求證：△CDE≌△ADF;
(2)求證：四邊形AFCE是平行四邊形;
(3)當(dāng)∠B=22.5°，AC=BC時(shí)，請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的α能使四邊形AFCE成為正方形?請說明理由;若能，求出這時(shí)的旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)和BC與CE的數(shù)量關(guān)系.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，然后利用AAS證得兩三角形全等即可;
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=DF，然后利用兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形判定即可;
(3)根據(jù)菱形的判定定理得到當(dāng)α=90°時(shí)平行四邊形AFCE是菱形，然后證得鄰邊AC=EF從而判定菱形AFCE是正方形，利用勾股定理得到勾股定理：BC= .
【解答】(1)證明：∵AF∥BC，
∴∠1=∠2，
在△AFD和△CED中 ，
∴△AFD≌CED(AAS);
(2)證明：∵△AFD≌CED，
∴DE=DF，
∵AD=CD，
∴四邊形AFCE是平行四邊形;
(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=90°時(shí)，四邊形AFCE是正方形，這時(shí)BC= CE，理由如下：
∵由(2)知，四邊形AFCE是平行四邊形，
∴當(dāng)α=90°時(shí)，平行四邊形AFCE是菱形，
又∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B=22.5°，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=22.5°+22.5°=45°，
∴△CED是等腰直角三角形，則CD=ED，
∵四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AC=2CD，EF=2ED，
∴AC=EF，
∴菱形AFCE是正方形，
∴AE=CE，
在Rt△ACE中由勾股定理：AC= = ，
∵AC=BC，
∴BC= .
【點(diǎn)評】本題考查了四邊形的綜合知識(shí)，了解特殊的平行四邊形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵，難度中等偏上.
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