滬教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷
滬教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷
穿梭書海勤為舟,苦中有樂(lè)心亦歡。祝八年級(jí)數(shù)學(xué)期末考試順利。以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的滬教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷,希望你們喜歡。
滬教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試題
一、選擇題:(本大題共6題,每題3分,滿分18分)[每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng),在答題紙相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上用2B鉛筆正確填涂]
1.下列函數(shù)中,是一次函數(shù)的是( )
A. B.y=x+2 C.y=x2+2 D.y=kx+b
2.用換元法解分式方程 ,如果設(shè) ,那么原方程可以化為( )
A.y2+y﹣5=0 B.y2﹣5y+1=0 C.5y2+y+1=0 D.5y2+y﹣1=0
3.下列四個(gè)方程中,有一個(gè)根是x=2的方程是( )
A. B. C. D.
4.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.確定事件的概率是1
B.不可能事件的概率是0
C.必然事件的概率是1
D.隨機(jī)事件的概率是大于0且小于1的一個(gè)數(shù)
5.下列關(guān)于向量的等式中,正確的是( )
A. B. ﹣ = C. D.
6.如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相垂直,則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是( )
A.BA=BC B.AC、BD互相平分
C.AC=BD D.AB∥CD
二、填空題(本大題共12題,每小題2分,滿分24分)[在答題紙相應(yīng)題號(hào)后的空格內(nèi)直接填寫答案]
7.直線y=x﹣2的截距是 .
8.已知一次函數(shù)y=(m﹣1)x﹣2的函數(shù)值y隨著自變量x的值的增大而增大,那么m的取值范圍是 .
9.關(guān)于x的方程ax﹣4x﹣2=0(a≠4)的解是 .
10.方程2x3﹣16=0的根是 .
11.方程 的根是 .
12.一個(gè)二元二次方程的一個(gè)解是 ,寫出符合要求的方程 (只需寫一個(gè)即可).
13.已知▱ABCD,設(shè) , ,那么用向量 、 表示向量 = .
14.一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都是72°,那么這個(gè)多邊形是 邊形.
15.在▱ABCD中,如果∠A+∠C=200°,那么∠B的度數(shù)是 度.
16.矩形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,已知AC=12,∠ACB=30°,那么△DOC的周長(zhǎng)是 .
17.如果菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8,那么這個(gè)菱形一邊上的高是 .
18.在▱ABCD中,AB=5,BC=7,對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,如果將點(diǎn)A繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A恰好落在平行四邊形ABCD的邊AD上,那么AC的長(zhǎng)是 .
三、解答題(共8題,滿分58分)[將下列各題的解答過(guò)程做在答題紙的相應(yīng)位置上
19.解方程: = ﹣1.
20.解方程組: .
21.一個(gè)不透明的布袋中裝了分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的四個(gè)小球,這些小球除標(biāo)記數(shù)字不同外其余均相同.
(1)如果從中任意摸出兩個(gè)小球,用樹(shù)形圖法或列表法展現(xiàn)所有等可能的結(jié)果;
(2)如果從中任意摸出兩個(gè)小球,求摸到的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和是5的概率.
22.已知:如圖,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC=2,∠A=60°,對(duì)角線BD平分∠ABC.
(1)求對(duì)角線BD的長(zhǎng);
(2)求梯形ABCD的面積.
23.某項(xiàng)研究表明:人的眼睛疲勞系數(shù)y與睡眠時(shí)間t之間成函數(shù)關(guān)系,它們之間的關(guān)系如圖2所示.其中,當(dāng)睡眠時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)(0≤t≤4)時(shí),眼睛疲勞系數(shù)y是睡眠時(shí)間t的反比例函數(shù);當(dāng)睡眠時(shí)間不少于4小時(shí)(4≤t≤6)時(shí),眼睛疲勞系數(shù)y是睡眠時(shí)間t的一次函數(shù),且當(dāng)睡眠時(shí)間達(dá)到6小時(shí)后,眼睛疲勞系數(shù)為0.
根據(jù)圖象,回答下列問(wèn)題:
(1)求當(dāng)睡眠時(shí)間不少于4小時(shí)(4≤t≤6)時(shí),眼睛疲勞系數(shù)y關(guān)于睡眠時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果某人睡眠了t(1
24.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作AF∥BC,且交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)BF.
(1)求證:四邊形AFBD是平行四邊形;
(2)當(dāng)AB=AC時(shí),求證:四邊形AFBD是矩形.
25.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x﹣2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,且OC=2OB.
(1)求線段BC的長(zhǎng)度;
(2)如果點(diǎn)D在直線AB上,且以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).
26.已知:在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)P是射線AB上的一點(diǎn),聯(lián)結(jié)PC、PD,點(diǎn)E、F分別是AB和PC的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)EF交PD于點(diǎn)Q.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),△QPE的形狀是
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),設(shè)BP=x,EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上時(shí),求BP的長(zhǎng).
滬教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷參考答案
一、選擇題:(本大題共6題,每題3分,滿分18分)[每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng),在答題紙相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上用2B鉛筆正確填涂]
1.下列函數(shù)中,是一次函數(shù)的是( )
A. B.y=x+2 C.y=x2+2 D.y=kx+b
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的定義.
【分析】直接利用一次函數(shù)的定義分析得出答案.
【解答】解:A、y= +2,不符合一次函數(shù)的定義,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、y=x+2,是一次函數(shù),故此選項(xiàng)正確;
C、y=x2+2,是二次函數(shù),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、y=kx+b(k≠0),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:B.
2.用換元法解分式方程 ,如果設(shè) ,那么原方程可以化為( )
A.y2+y﹣5=0 B.y2﹣5y+1=0 C.5y2+y+1=0 D.5y2+y﹣1=0
【考點(diǎn)】換元法解分式方程.
【分析】直接把 化為y即可.
【解答】解:設(shè) ,則原方程化為5y﹣ +1=0,去分母得,5y2+y﹣1=0.
故選D.
3.下列四個(gè)方程中,有一個(gè)根是x=2的方程是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】無(wú)理方程;分式方程的解.
【分析】可以先將各個(gè)選項(xiàng)的方程解出來(lái),然后看看哪個(gè)方程的其中一個(gè)根是x=2,從而可以解答本題.
【解答】解:當(dāng)x=2時(shí),方程 中的分母x﹣2=0,故x=2不是方程 的根,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
,解得x=2,故 的根是x=2,不符合題意,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
=2,解得x=10,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
,解得x=2或x=3,故方程 ,有一根是x=2,故選項(xiàng)D正確;
故選D.
4.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.確定事件的概率是1
B.不可能事件的概率是0
C.必然事件的概率是1
D.隨機(jī)事件的概率是大于0且小于1的一個(gè)數(shù)
【考點(diǎn)】概率的意義.
【分析】確定事件包括必然事件和不可能事件,必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0.
不可能發(fā)生的事件就是一定不會(huì)發(fā)生的事件,因而概率為0.
必然發(fā)生的事件就是一定發(fā)生的事件,因而概率是1.
不確定事件就是隨機(jī)事件,即可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,發(fā)生的概率>0并且<1.
【解答】解:A、確定事件包括必然事件和不可能事件,必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,選項(xiàng)正確;
B、不可能發(fā)生的事件概率為0,選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、必然發(fā)生的事件發(fā)生的概率為1,選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、隨機(jī)事件發(fā)生的概率介于0和1之間,選項(xiàng)正確.
故選A.
5.下列關(guān)于向量的等式中,正確的是( )
A. B. ﹣ = C. D.
【考點(diǎn)】*平面向量.
【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則和三角形法則對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.
【解答】解:A、 + = ,而不是等于0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、 ﹣ = ,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、 + = ,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、∵ + = ,
∴ + + = ,故本選正確.
故選D.
6.如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相垂直,則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是( )
A.BA=BC B.AC、BD互相平分
C.AC=BD D.AB∥CD
【考點(diǎn)】菱形的判定.
【分析】已知四邊形的對(duì)角線互相垂直,可依據(jù)“對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形”的判定方法,來(lái)選擇條件.
【解答】解:四邊形ABCD中,AC、BD互相垂直,
若四邊形ABCD是菱形,需添加的條件是:
AC、BD互相平分;(對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形)
故選B.
二、填空題(本大題共12題,每小題2分,滿分24分)[在答題紙相應(yīng)題號(hào)后的空格內(nèi)直接填寫答案]
7.直線y=x﹣2的截距是 ﹣2 .
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】把x=0代入一次函數(shù)的解析式求出y即可.
【解答】解:把x=0代入y=x﹣2得:y=﹣2,
故答案為:﹣2.
8.已知一次函數(shù)y=(m﹣1)x﹣2的函數(shù)值y隨著自變量x的值的增大而增大,那么m的取值范圍是 m>1 .
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】由題意y=(m﹣1)x﹣2,y隨x的增大而增大,可得自變量系數(shù)大于0,進(jìn)而可得出m的范圍.
【解答】解:∵y=(m﹣1)x﹣2中,y隨x的增大而增大,
∴m﹣1>0,
∴m>1.
故答案為:m>1;
9.關(guān)于x的方程ax﹣4x﹣2=0(a≠4)的解是 .
【考點(diǎn)】一元一次方程的解.
【分析】根據(jù)解一元一次方程的方法可以求得方程ax﹣4x﹣2=0(a≠4)的解,本題得以解決.
【解答】解:ax﹣4x﹣2=0(a≠4)
移項(xiàng)及合并同類項(xiàng),得
(a﹣4)x=2,
系數(shù)化為1,得
x= ,
故答案為: .
10.方程2x3﹣16=0的根是 x=2 .
【考點(diǎn)】高次方程.
【分析】求出x3=8,兩邊開(kāi)立方根,即可求出x.
【解答】解:2x3﹣16=0,
2x3=16,
x3=8,
x=2,
故答案為:2.
11.方程 的根是 x=3 .
【考點(diǎn)】無(wú)理方程.
【分析】方程兩邊平方,轉(zhuǎn)化為一元二次方程,解一元二次方程并檢驗(yàn).
【解答】解:方程 兩邊平方,得
x2=2x+3,即x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=3,x2=﹣1,
代入原方程檢驗(yàn)可知x=3符合題意,x=﹣1舍去.
故答案為:x=3.
12.一個(gè)二元二次方程的一個(gè)解是 ,寫出符合要求的方程 xy=2 (只需寫一個(gè)即可).
【考點(diǎn)】高次方程.
【分析】分析:方程的解是 二元二次方程有很多,如:xy=2;x2+y=5等等.
【解答】解:xy=2等
13.已知▱ABCD,設(shè) , ,那么用向量 、 表示向量 = ﹣ .
【考點(diǎn)】*平面向量;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù) = + 即可解決問(wèn)題
【解答】解:如圖,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴ = = ,
∵ = + =﹣ + = ﹣ ,
故答案為 ﹣
14.一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都是72°,那么這個(gè)多邊形是 5 邊形.
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.
【分析】由一個(gè)多邊形的外角為360°和每一個(gè)外角都是72°,可求得其邊數(shù).
【解答】解:∵一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是72°,多邊形的外角和等于360°,
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為:360÷72=5,
故答案為:5.
15.在▱ABCD中,如果∠A+∠C=200°,那么∠B的度數(shù)是 80 度.
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).
【分析】由在▱ABCD中,如果∠A+∠C=200°,即可求得∠A的度數(shù),又由平行四邊形的鄰角互補(bǔ),求得答案.
【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠A=∠C,
∵∠A+∠C=200°,
∴∠A=100°,
∵AD∥BC,
∴∠B=180°﹣∠A=80°.
故答案為:80.
16.矩形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,已知AC=12,∠ACB=30°,那么△DOC的周長(zhǎng)是 18 .
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).
【分析】直接利用矩形的性質(zhì)得出∠OCD=60°,DO=CO=6,進(jìn)而得出△OCD是等邊三角形,即可得出答案.
【解答】解:如圖所示:∵矩形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AC=12,∠ACB=30°,
∴∠OCD=60°,DO=CO=6,
∴△OCD是等邊三角形,
∴△DOC的周長(zhǎng)是:18.
故答案為:18.
17.如果菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8,那么這個(gè)菱形一邊上的高是 .
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)對(duì)角線的長(zhǎng)度即可計(jì)算菱形的面積,根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì),可以求得△AOB為直角三角形,根據(jù)AO,BO可以求得AB的值,根據(jù)菱形的面積和邊長(zhǎng)即可解題.
【解答】解:由題意知AC=6,BD=8,則菱形的面積S= ×6×8=24,
∵菱形對(duì)角線互相垂直平分,
∴△AOB為直角三角形,AO=3,BO=4,
∴AB= =5,
∴菱形的高h(yuǎn)= = .
故答案為: .
18.在▱ABCD中,AB=5,BC=7,對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,如果將點(diǎn)A繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A恰好落在平行四邊形ABCD的邊AD上,那么AC的長(zhǎng)是 或 .
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【分析】如圖,過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AD于E,過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AD于F,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AOA′是等腰直角三角形,△AA′C是等腰直角三角形,再根據(jù)勾股定理可求AA′,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解.
【解答】解:如圖,過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AD于E,過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AD于F,
∵將點(diǎn)A繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A恰好落在平行四邊形ABCD的邊AD上,
∴△AOA′是等腰直角三角形,
∴△AA′C是等腰直角三角形,
設(shè)AA′=x,則CF=x,DF=7﹣x,
在Rt△CDF中,x2+(7﹣x)2=52,
解得x1=4,x2=3,
在Rt△CFA中,AC= 或 .
故答案為: 或 .
三、解答題(共8題,滿分58分)[將下列各題的解答過(guò)程做在答題紙的相應(yīng)位置上
19.解方程: = ﹣1.
【考點(diǎn)】解分式方程.
【分析】觀察可得最簡(jiǎn)公分母是(x+2)(x﹣2),方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母,可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.
【解答】解:去分母,得4=(x+2)﹣(x+2)(x﹣2),
整理,得x2﹣x﹣2=0,
解得x1=﹣1,x2=2.
經(jīng)檢驗(yàn):x1=﹣1是原方程的根,x2=2是增根.
故原方程的根為x=﹣1.
20.解方程組: .
【考點(diǎn)】高次方程.
【分析】先由①得:(x﹣2y)(x﹣3y)=0,求出x=2y或x=3y,再分別代入②,求出x,y的值即可.
【解答】解: ,
由①得:(x﹣2y)(x﹣3y)=0,
則x=2y或x=3y,
將x=2y代入②得y= ,x= ,
將x=3y代入②得y= ,x= ,
則方程組的解是: , .
21.一個(gè)不透明的布袋中裝了分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的四個(gè)小球,這些小球除標(biāo)記數(shù)字不同外其余均相同.
(1)如果從中任意摸出兩個(gè)小球,用樹(shù)形圖法或列表法展現(xiàn)所有等可能的結(jié)果;
(2)如果從中任意摸出兩個(gè)小球,求摸到的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和是5的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】(1)畫樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的情況;
(2)找出摸到的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為5的結(jié)果數(shù),然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解:(1)畫樹(shù)狀圖:
共有12種等可能的情況;
(2)摸到的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為5的結(jié)果數(shù)為4,
所以摸到摸到的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為5的概率= = .
22.已知:如圖,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC=2,∠A=60°,對(duì)角線BD平分∠ABC.
(1)求對(duì)角線BD的長(zhǎng);
(2)求梯形ABCD的面積.
【考點(diǎn)】梯形.
【分析】(1)根據(jù)等腰梯形的同一底上的兩個(gè)底角相等,即可求得∠B的度數(shù),根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證明△ABD是直角三角形,利用直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解;
(2)過(guò)點(diǎn)D、C分別作DH⊥AB,CG⊥AB,垂足為點(diǎn)H、G,在直角△ADB中求得DH和AH的長(zhǎng),則AB即可求得,然后利用梯形的面積公式求解.
【解答】解:(1)∵DC∥AB,AD=BC,
∴∠A=∠ABC.
∵BD平分∠ABC,∠A=60°,
∴∠ABD= ∠ABC=30°.
∴∠ADB=90°.
∵AD=2,
∴AB=2AD=4.
∴BD= .
(2)過(guò)點(diǎn)D、C分別作DH⊥AB,CG⊥AB,垂足為點(diǎn)H、G.
∵DC∥AB,BD平分∠ABC,
∴∠CDB=∠ABD=∠CBD.
∵BC=2,
∴DC=BC=2.
在RT△ADH和RT△BCG中, ,
∴RT△ADH≌RT△BCG.
∴AH=BG.
∵∠A=60°,
∴∠ADH=30°.
∴AH= AD=1,DH= .
∵DC=HG=2,
∴AB=4.
∴ .
23.某項(xiàng)研究表明:人的眼睛疲勞系數(shù)y與睡眠時(shí)間t之間成函數(shù)關(guān)系,它們之間的關(guān)系如圖2所示.其中,當(dāng)睡眠時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)(0≤t≤4)時(shí),眼睛疲勞系數(shù)y是睡眠時(shí)間t的反比例函數(shù);當(dāng)睡眠時(shí)間不少于4小時(shí)(4≤t≤6)時(shí),眼睛疲勞系數(shù)y是睡眠時(shí)間t的一次函數(shù),且當(dāng)睡眠時(shí)間達(dá)到6小時(shí)后,眼睛疲勞系數(shù)為0.
根據(jù)圖象,回答下列問(wèn)題:
(1)求當(dāng)睡眠時(shí)間不少于4小時(shí)(4≤t≤6)時(shí),眼睛疲勞系數(shù)y關(guān)于睡眠時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果某人睡眠了t(1
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)圖象經(jīng)過(guò)的兩點(diǎn)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式即可;
(2)首先利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式,根據(jù)“某人睡眠了t(1
【解答】解:(1)根據(jù)題意,設(shè)當(dāng)4≤t≤6時(shí),眼睛疲勞系數(shù)y關(guān)于睡眠時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為:y=kt+b(k≠0).
∵它經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)和(6,0),
∴ ,解得: .…(2分)
∴當(dāng)睡眠時(shí)間不少于4小時(shí),眼疲勞系數(shù)y關(guān)于睡眠時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式是y=﹣t+6.當(dāng)睡眠時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)(0≤t≤4)時(shí),眼睛疲勞系數(shù)y是睡眠時(shí)間t的反比例函數(shù),
設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)為: ,
∵它經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2),
∴ ,
∵某人睡眠了t(1
∴ ,
整理得:t2﹣6t+8=0.
解得:t1=2,t2=4,
經(jīng)檢驗(yàn):t1=2,t2=4是原方程的解,t2=4不符合題意舍去,
∴t的值是2.
24.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作AF∥BC,且交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)BF.
(1)求證:四邊形AFBD是平行四邊形;
(2)當(dāng)AB=AC時(shí),求證:四邊形AFBD是矩形.
【考點(diǎn)】矩形的判定;平行四邊形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)首先證明△AEF≌△DEC(AAS),得出AF=DC,進(jìn)而利用AF BD得出答案;
(2)利用等腰三角形的性質(zhì),結(jié)合矩形的判定方法得出答案.
【解答】證明:(1)∵AF∥BC,
∴∠AFC=∠FCD.
在△AFE和△DCE中
,
∴△AEF≌△DEC(AAS).
∴AF=DC,
∵BD=DC,
∴AF=BD,
∴四邊形AFBD是平行四邊形;
(2)∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC.
∴∠ADB=90°.
∵四邊形AFBD是平行四邊形,
∴四邊形AFBD是矩形.
25.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x﹣2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,且OC=2OB.
(1)求線段BC的長(zhǎng)度;
(2)如果點(diǎn)D在直線AB上,且以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;菱形的性質(zhì).
【分析】(1)可先求得B點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合OC=2OB,可求得BC的長(zhǎng)度;
(2)分BC為邊和對(duì)角線,①當(dāng)BC為邊時(shí)有兩種情況,BD為邊或BD為對(duì)角線,當(dāng)BD為邊時(shí),則BD=BC,可先求得D點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)DE∥BC且DE=BC可求得E點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)BD為對(duì)稱線時(shí),則四邊形為正方形,可求得E點(diǎn)坐標(biāo);②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí),則DE為BC的垂直平分線,可先求得D點(diǎn)坐標(biāo),利用對(duì)稱性可求得E點(diǎn)坐標(biāo)
【解答】解:
(1)∵直線y=x﹣2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,
∴點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(0,﹣2),
∴OB=2,
∵OC=2OB,
∴OC=4,點(diǎn)C(0,4),
∴BC的長(zhǎng)度是6;
(2)①當(dāng)BC為邊時(shí),有兩種情況,BD為邊或BD為對(duì)稱線,
當(dāng)BD為邊時(shí),則有BD=BC=6,
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x﹣2),則 =6,解得x=3 或x=﹣3 ,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(3 ,3 ﹣2)或(﹣3 ,﹣3 ﹣2),
∵DE=BC=6,且DE∥BC,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為( ,3 +4)或( ,﹣3 +4);
當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí),則∠CBD=∠EBD=45°,如圖1,
則∠EBC=90°,
∴四邊形BCDE為正方形,
∴BE=BC=6,且BE∥x軸,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(6,﹣2);
?、诋?dāng)BC為對(duì)角線時(shí),則有DE⊥BC,如圖2,
設(shè)BC與DE交于點(diǎn)F,則F為BC的中點(diǎn),
∴F(0,1),
∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為1,代入直線AB解析式可得1=x﹣2,解得x=3,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1),
又D、E關(guān)于BC對(duì)稱,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3,1);
綜上可知點(diǎn)E的坐標(biāo)可以為( ,3 +4)或( ,﹣3 +4)或(6,﹣2)或(﹣3,1).
26.已知:在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)P是射線AB上的一點(diǎn),聯(lián)結(jié)PC、PD,點(diǎn)E、F分別是AB和PC的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)EF交PD于點(diǎn)Q.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),△QPE的形狀是 等腰直角三角形
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),設(shè)BP=x,EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上時(shí),求BP的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】相似形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC,∠ABC=90°,根據(jù)等式的性質(zhì)得到PE=PF,即可得到結(jié)論;
(2)延長(zhǎng)BA到點(diǎn)M,使得AM=BP,連接CM,根據(jù)已知條件得到EM=EP,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EF= MC,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠MBC=90°,AB=BC,由已知條件得到BM=2+x.根據(jù)勾股定理得到MC= = ,于是得到結(jié)論;
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上時(shí),根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠M=∠QEB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠M=∠APD,推出QE=QP,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】解:(1)△QPE的形狀是等腰直角三角形,
理由:在正方形ABCD中,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∵點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,
∴AP=PC,∠APC=90°,
∵點(diǎn)E、F分別是AB和PC的中點(diǎn),
∴PE= AP,PF= PC,
∴PE=PF,
∴△QPE是等腰直角三角形;
故答案為:等腰直角三角形;
(2)延長(zhǎng)BA到點(diǎn)M,使得AM=BP,連接CM,
∵AE=BE,
∴AE+AM=BE+BP,
即EM=EP,
∵PF=CF,
∴EF= MC,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠MBC=90°,AB=BC,
∵AB=2,BP=AM=x,
∴BM=2+x.
∴MC= = ,
∴EF= ,
∴y= (x>0);
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上時(shí),由(2)可知EF∥MC,
∴∠M=∠QEB,
∵在△ADP和△BCM中, ,
∴△ADP≌△BCM,
∴∠M=∠APD,
∴∠QEB=∠APD,
∴QE=QP,
∵QB⊥PE,
∴BP=BE= AB=1.
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