初二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析
試卷點(diǎn)評課可使學(xué)生對知識進(jìn)行重新組合,因此,要明確目的,突出重點(diǎn),保持連續(xù),顧及整體,靈活運(yùn)用。那么初二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析該怎么寫呢?下面是小編為大家整理的初二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析，希望對大家有幫助。
初二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析篇一
一、選擇題(1-10小題，每小題3分;11-16小題，每小題3分，共42分)
1.不等式x+1>3的解集是( )
A.x>1 B.x>﹣2 C.x>2 D.x<2
【分析】移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)即可求解.
【解答】解：移項(xiàng)，得x>3﹣1，
合并同類項(xiàng)，得x>2.
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學(xué)生往往在解題時不注意移項(xiàng)要改變符號這一點(diǎn)而出錯.
解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)：
(1)不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變;
(2)不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變;
(3)不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號的方向改變.
2.下列電視臺的臺標(biāo)，是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故A選項(xiàng)錯誤;
B、不是中心對稱圖形，故B選項(xiàng)錯誤;
C、不是中心對稱圖形，故C選項(xiàng)錯誤;
D、是中心對稱圖形，故D選項(xiàng)正確.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合是解題的關(guān)鍵.
3.不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A. B. C. D.
【分析】首先解不等式組的每個不等式，然后根據(jù)不等式的表示法即可判斷.
【解答】解： ，
解①得x≤1，
解②得x>﹣3.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了不等式的解集在數(shù)軸上的表示法：“>”空心圓點(diǎn)向右畫折線，“≥”實(shí)心圓點(diǎn)向右畫折線，“<”空心圓點(diǎn)向左畫折線，“≤”實(shí)心圓點(diǎn)向左畫折線.
4.如果一個多邊形的每一個內(nèi)角都是108°，那么這個多邊形是( )
A.四邊形 B.五邊形 C.六邊形 D.七邊形
【分析】一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于108°，根據(jù)內(nèi)角與相鄰的外角互補(bǔ)，因而每個外角是72度.根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出多邊形的邊數(shù).
【解答】解：180﹣108=72，
多邊形的邊數(shù)是：360÷72=5.
則這個多邊形是五邊形.
故選：B.
【點(diǎn)評】考查了多邊形內(nèi)角與外角，已知多邊形的內(nèi)角求邊數(shù)，可以根據(jù)多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系來解決.
5.下列等式從左到右的變形，是因式分解的是( )
A.a(x﹣y)=ax﹣ay B.x2﹣2x+3=x(x﹣2)+3
C.=x2+3x﹣4 D.x3﹣2x2+x=x(x﹣1)2
【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案.
【解答】解：A、是整式的乘法，故A錯誤;
B、沒把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故B錯誤;
C、是整式的乘法，故C錯誤;
D、把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故D正確;
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式.
6.如圖，在▱ABCD中，O是對角線AC，BD的交點(diǎn)，下列結(jié)論錯誤的是( )
A.AB∥CD B.AB=CD C.AC=BD D.OA=OC
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，
但是AC和BD不一定相等，
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記平行四邊形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：平行四邊形的對邊相等且平行，平行四邊形的對角線互相平分.
7.分式 可變形為( )
A. B.﹣ C. D.﹣
【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，分子分母都乘以﹣1，分式的值不變，可得答案.
【解答】解：分式 的分子分母都乘以﹣1，
得﹣ ，
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的分子分母都乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變.
8.若關(guān)于x的分式方程 的解為x=2，則m值為( )
A.2 B.0 C.6 D.4
【分析】根據(jù)分式方程 的解為x=2，將x=2代入方程可以得到m的值.
【解答】解：∵分式方程 的解為x=2，
∴ ，
解得m=6.
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是明確題意，用代入法求m的值.
9.如圖1，平行四邊形紙片ABCD的面積為120，AD=20，AB=18.今沿兩對角線將四邊形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四個三角形紙片.若將甲、丙合并(AD、CB重合)形成一線對稱圖形戊，如圖2所示，則圖形戊的兩對角線長度和( )
A.26 B.29 C.24 D.25
【分析】根據(jù)題意，知要求的兩條對角線的和即為AD與AD邊上的高的和.
【解答】解：∵AD=20，平行四邊形的面積是120，
∴AD邊上的高是6.
∴要求的兩對角線長度和是20+6=26.
故選A.
【點(diǎn)評】此題主要是能夠把線段之間的對應(yīng)關(guān)系弄清.
10.如圖，已知矩形ABCD中，R、P分別是DC、BC上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是( )
A.線段EF的長逐漸增大 B.線段EF的長逐漸減小
C.線段EF的長不改變 D.線段EF的長不能確定
【分析】因?yàn)镽不動，所以AR不變.根據(jù)中位線定理，EF不變.
【解答】解：連接AR.
因?yàn)镋、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，
則EF為△APR的中位線，
所以EF= AR，為定值.
所以線段EF的長不改變.
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的中位線定理，只要三角形的邊AR不變，則對應(yīng)的中位線的長度就不變.
11.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE= ，則AC=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算.
【解答】解：∵DE垂直平分AB
∴∠B=∠DAE，BE=AE
∵∠B=22.5°，∠C=90°
∴∠AEC=∠CAE=45°
∴AC=CE
∴2AC2=AE2∴AC=2.
故選B.
【點(diǎn)評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識.線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等.
12.計(jì)算：101×1022﹣101×982=( )
A.404 B.808 C.40400 D.80800
【分析】先提取公因式，再運(yùn)用平方差公式分解因式，然后計(jì)算即可.
【解答】解：101×1022﹣101×982=101(1022﹣982)=101(102+98)(102﹣98)=101×200×4=80800;
故選：D.
【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法和平方差公式的應(yīng)用，正確進(jìn)行因式分解是解題關(guān)鍵.
13.如圖，直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1，﹣2)和點(diǎn)B(﹣2，0)，直線y=2x過點(diǎn)A，則不等式2x
A.x<﹣2 B.﹣2
【分析】根據(jù)不等式2x
【解答】解：不等式2x
顯然，這些點(diǎn)在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間.
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)與不等式(組)的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解決此類問題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個關(guān)鍵點(diǎn)(交點(diǎn)、原點(diǎn)等)，做到數(shù)形結(jié)合.
14.如圖，已知∠AOB=60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP=10，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM的長為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】作PH⊥MN于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得MH=NH= MN=1，在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°，則根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得OH= OP=5，然后計(jì)算OH﹣MH即可.
【解答】解：作PH⊥MN于H，如圖，
∵PM=PN，
∴MH=NH= MN=1，
在Rt△POH中，∵∠POH=60°，
∴∠OPH=30°，
∴OH= OP= ×10=5，
∴OM=OH﹣MH=5﹣1=4.
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù).也考查了等腰三角形的性質(zhì).
15.某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺所需時間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時間相同.設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是( )
A. = B. = C. = D. =
【分析】設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，則實(shí)際平均每天生產(chǎn)(x+50)臺機(jī)器，根據(jù)題意可得，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺所需時間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時間相同，據(jù)此列方程即可.
【解答】解：設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，則實(shí)際平均每天生產(chǎn)(x+50)臺機(jī)器，
由題意得， = .
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程.
16.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF交AP于點(diǎn)G，給出以下五個結(jié)論：
?、?ang;B=∠C=45°;
?、贏E=CF，
?、跘P=EF，
?、堋鱁PF是等腰直角三角形，
?、菟倪呅蜛EPF的面積是△ABC面積的一半.
其中正確的結(jié)論是( )
A.只有① B.①②④ C.①②③④ D.①②④⑤
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：∠B=∠C=45°，AP⊥BC，AP= BC，AP平分∠BAC.所以可證∠C=∠EAP;∠FPC=∠EPA;AP=PC.即證得△APE與△CPF全等.根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確，根據(jù)全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半.
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴①∠B=∠C= ×(180°﹣90°)=45°，AP⊥BC，AP= BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA.
∴△APE≌△CPF(ASA)，
∴②AE=CF;④EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形;同理可證得△APF≌△BPE，
∴⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半，
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點(diǎn)，
∴AP= BC，
∵EF不是△ABC的中位線，
∴EF≠AP，故③錯誤;
④∵∠AGF=∠EGP=180°﹣∠APE﹣∠PEF=180°﹣∠APE﹣45°，
∠AEP=180°﹣∠APE﹣∠EAP=180°﹣∠APE﹣45°，
∴∠AEP=∠AGF.
故正確的有①、②、④、⑤，共四個.
因此選D.
【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，中位線的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定定理的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，解答時靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵.
二.填空題(每小題3分，共12分)
17.因式分解：2x3﹣8x2+8x= 2x(x﹣2)2 .
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
【解答】解：原式=2x(x2﹣4x+4)
=2x(x﹣2)2.
故答案為：2x(x﹣2)2.
【點(diǎn)評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
18.若x+ ，則 的值是 .
【分析】把原分式分子分母除以x，然后利用整體代入的方法計(jì)算.
【解答】解： = ，
當(dāng)x+ ，原式= = .
故答案為 .
【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值：解決本題的關(guān)鍵是利用整體代入的方法計(jì)算.
19.如圖，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，將△ABC沿射線BC的方向平移，得到△A′B′C′，再將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合，則平移的距離為 2 ，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為 60° .
【分析】根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形全等，進(jìn)而解答即可.
【解答】解：∵將△ABC沿射線BC的方向平移，得到△A′B′C′，再將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'=A'C，
∴△A'B'C是等邊三角形，
∴∠A'CB'=60°，B'C=AB=4，
∴BB'=6﹣4=2，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°，
故答案為：2，60°;
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等;對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.
20.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱，如此作下去，則△B2nA2n+1B2n+1(n是正整數(shù))的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是 (4n+1， ) .
【分析】首先根據(jù)△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，可得A1的坐標(biāo)為(1， )，B1的坐標(biāo)為(2，0);然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，分別求出點(diǎn)A2、A3、A4的坐標(biāo)各是多少;最后總結(jié)出An的坐標(biāo)的規(guī)律，求出A2n+1的坐標(biāo)是多少即可.
【解答】解：∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，
∴A1的坐標(biāo)為(1， )，B1的坐標(biāo)為(2，0)，
∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對稱，
∴點(diǎn)A2與點(diǎn)A1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對稱，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣ =﹣ ，
∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)是(3，﹣ )，
∵△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱，
∴點(diǎn)A3與點(diǎn)A2關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣(﹣ )= ，
∴點(diǎn)A3的坐標(biāo)是(5， )，
∵△B3A4B4與△B3A3B2關(guān)于點(diǎn)B3成中心對稱，
∴點(diǎn)A4與點(diǎn)A3關(guān)于點(diǎn)B3成中心對稱，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣ =﹣ ，
∴點(diǎn)A4的坐標(biāo)是(7，﹣ )，
…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的橫坐標(biāo)是2n﹣1，A2n+1的橫坐標(biāo)是2(2n+1)﹣1=4n+1，
∵當(dāng)n為奇數(shù)時，An的縱坐標(biāo)是 ，當(dāng)n為偶數(shù)時，An的縱坐標(biāo)是﹣ ，
∴頂點(diǎn)A2n+1的縱坐標(biāo)是 ，
∴△B2nA2n+1B2n+1(n是正整數(shù))的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是(4n+1， ).
故答案為：(4n+1， ).
【點(diǎn)評】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是分別判斷出An的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)各是多少.
初二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析篇二
三、解答題
21.(1)解方程： = +1
(2)先化簡，再求值：(1+ )÷ ，其中x=3.
【分析】(1)先去分母，求出x的值，代入公分母進(jìn)行檢驗(yàn)即可;
(2)先算括號里面的，再算除法，最后把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：(1)方程兩邊同時乘以x﹣2得，1﹣x=﹣1+x﹣2，
解得x=2.
檢驗(yàn)：將x=2代入原方程，分母x﹣2=0，
所以，x=2是增根，原方程無解.
(2)原式=
=
= ，
當(dāng)x=3時，原式= = .
【點(diǎn)評】本題考查的是分式的化簡求值，分式中的一些特殊求值題并非是一味的化簡，代入，求值.許多問題還需運(yùn)用到常見的數(shù)學(xué)思想，如化歸思想(即轉(zhuǎn)化)、整體思想等，了解這些數(shù)學(xué)解題思想對于解題技巧的豐富與提高有一定幫助.
22.已知關(guān)于x，y的方程組 滿足x﹣y≤0，求k的最大整數(shù)值.
【分析】方程組兩方程相加表示出x﹣y，代入已知不等式求出k的范圍，即可確定出k的最大整數(shù)解.
【解答】解： ，
?、?②得：3x﹣3y=2k﹣1，即x﹣y= ≤0，
解得：k≤ .
則k的最大整數(shù)解為0.
【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
23.如圖，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣1，1)，B(﹣4，2)，C(﹣3，4).
(1)請畫出△ABC向右平移5個單位長度后得到△A1B1C1;
(2)請畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的△A2B2C2;
(3)在x軸上求作一點(diǎn)P，使△PAB的周長最小，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【分析】(1)直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案;
(2)直接利用關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案;
(3)利用軸對稱求最短路線的方法得出P點(diǎn)位置.
【解答】解：(1)如圖所示：△A1B1C1，即為所求;
(2)如圖所示：△A2B2C2，即為所求;
(3)如圖所示，此時△PAB的周長最小，P點(diǎn)坐標(biāo)為：(﹣2，0).
【點(diǎn)評】此題主要考查了平移變換以及旋轉(zhuǎn)變換和軸對稱求最短路線，正確得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.
24.如圖，在▱ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長與DC的延長線交于F.
(1)求證：CF=CD;
(2)若AF平分∠BAD，連接DE，試判斷DE與AF的位置關(guān)系，并說明理由.
【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到AB∥CD，從而可得到AB∥DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組角相等，已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，從而可根據(jù)初二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析S來判定△BAE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可證得AB=CF，進(jìn)而得出CF=CD;
(2)利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AE=EF，再利用角平分線的性質(zhì)以及等角對等邊求出DA=DF，利用等腰三角形的性質(zhì)求出即可.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵點(diǎn)F為DC的延長線上的一點(diǎn)，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴BE=CE，
則在△BAE和△CFE中，
，
∴△BAE≌△CFE(初二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析S)，
∴AB=CF，
∴CF=CD;
(2)解：DE⊥AF，
理由：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵∠BAF=∠F，
∴∠DAF=∠F，
∴DA=DF，
又由(1)知△BAE≌△CFE，
∴AE=EF，
∴DE⊥AF.
【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，證明線段相等的常用方法是證明三角形全等.
25.某體育用品專賣店今年3月初用4000元購進(jìn)了一批“中考體能測試專用繩”，上市后很快售完.該店于3月中旬又購進(jìn)了和第一批數(shù)量相同的專用繩，由于第二批專用繩的進(jìn)價每根比第一批提高了10元，結(jié)果進(jìn)第二批專用繩共用了5000元.
(1)第一批專用繩每根的進(jìn)貨價是多少元?
(2)若第一批專用繩的售價是每根60元，為保證第二批專用繩的利潤率不低于第一批的利潤率，那么第二批專用繩每根售價至少是多少元?
(提示：利潤=售價﹣進(jìn)價，利潤率= )
【分析】(1)設(shè)第一批繩進(jìn)貨時的價格為每根x元，根據(jù)第一批和第二批的數(shù)量相同，可得出方程，解出后可得出答案;
(2)設(shè)第二批專用繩每根的售價為y元，根據(jù)第二批專用繩的利潤率不低于第一批的利潤率，可得出不等式，解出后可得出答案.
【解答】解：(1)設(shè)第一批繩進(jìn)貨時的價格為每根x元，
由題意得： ，
解得：x=40，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是所列方程的根，且符合題意.
答：第一批專用繩的進(jìn)貨價格是每根40元.
(2)設(shè)第二批專用繩每根的售價為y元，
由題意得： ，
解得：y≥75.
答：第二批專用繩每根的售價至少為75元.
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，對于此類應(yīng)用類題目，關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系或不等關(guān)系，如果這樣的關(guān)系不好尋找，建議同學(xué)們多讀幾遍題目，尋找信息點(diǎn).
26.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AB交直線DN于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，∠NDB為銳角時，如圖①，
?、倥袛?ang;1與∠2的大小關(guān)系，并說明理由;
?、谶^點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M，求證：CF+BE=CD;
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時，如圖②;
當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角時，如圖③;
請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明;
(3)在(2)的條件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4 ，直接寫出BE和CD的長度.
【分析】(1)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)∠ABC=∠ACB=60°，根據(jù)已知條件得到∠1+∠ADC=120°，∠ADC+∠2=120°，根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論;②通過△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，因?yàn)橥ㄟ^證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF，從而證得CF+BE=CD;
(2)作FM∥BC，得出四邊形BCFM是平行四邊形，然后通過證得△MEF≌△CDA即可求得，
(3)根據(jù)△ABC的面積可求得AB=BC=AC=4，同時代的BD=2AB=8，求得 BE=8，即可得到結(jié)論.
【解答】解：(1)①∠1=∠2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠ADN=60°，
∴∠1+∠ADC=120°，∠ADC+∠2=120°，
∴∠1=∠2;
?、谧C明：如圖①，過點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M，
∵CF∥AB，
∴四邊形BMFC是平行四邊形，
∴BC=MF，CF=BM，
∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，
∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，
∵∠ADN=60°，
∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠BDE=∠DAC，
∴∠MFE=∠DAC，
在△MEF與△CDA中，
，
∴△MEF≌△CDA(初二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析S)，
∴CD=ME=EB+BM，
∴CD=BE+CF;
(2)如圖②，由(1)證得四邊形BMFC是平行四邊形，
∴BC=MF，CF=BM，
由(1)證得△MEF≌△CDA(初二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析S)，
∴CD=ME=EB﹣BM，
∴CF+CD=BE，
如圖③，同理CF﹣CD=BE;
(3)∵△ABC是等邊三角形，S△ABC=4 ，
∴易得AB=BC=AC=4，
如圖②，
∵∠ADC=30°，∠ACB=60°，
∴CD=AC=4，
∵∠ADN=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CF∥AB，
∴∠BCF=∠ABC=60°，
∴∠CFD=∠CDF=30°，
∴CD=CF，
由(2)知BE=CF+CD，
∴BE=4+4=8.
如圖③，
∵∠ADC=30°，∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠ADC=30°，
∴BD=BA=4，
∴CD=BD+BC=4+4=8，
∵∠ADN=60°，∠ADC=30°，
∴∠BDE=90°，
又∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°，
在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4，
∴BE=2BD=8，
綜上，BE=8，CD=4或8.
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.
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