初二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析
試卷點(diǎn)評(píng)課可使學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行重新組合,因此,要明確目的,突出重點(diǎn),保持連續(xù),顧及整體,靈活運(yùn)用。那么初二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析該怎么寫呢?下面是小編為大家整理的初二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析,希望對(duì)大家有幫助。
初二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析篇一
一、選擇題(1-10小題,每小題3分;11-16小題,每小題3分,共42分)
1.不等式x+1>3的解集是( )
A.x>1 B.x>﹣2 C.x>2 D.x<2
【分析】移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)即可求解.
【解答】解:移項(xiàng),得x>3﹣1,
合并同類項(xiàng),得x>2.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解簡(jiǎn)單不等式的能力,解答這類題學(xué)生往往在解題時(shí)不注意移項(xiàng)要改變符號(hào)這一點(diǎn)而出錯(cuò).
解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì):
(1)不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式不等號(hào)的方向不變;
(2)不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號(hào)的方向不變;
(3)不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向改變.
2.下列電視臺(tái)的臺(tái)標(biāo),是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解:A、不是中心對(duì)稱圖形,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、不是中心對(duì)稱圖形,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、不是中心對(duì)稱圖形,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、是中心對(duì)稱圖形,故D選項(xiàng)正確.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形,掌握中心對(duì)稱圖形的概念:中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合是解題的關(guān)鍵.
3.不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A. B. C. D.
【分析】首先解不等式組的每個(gè)不等式,然后根據(jù)不等式的表示法即可判斷.
【解答】解: ,
解①得x≤1,
解②得x>﹣3.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解集在數(shù)軸上的表示法:“>”空心圓點(diǎn)向右畫折線,“≥”實(shí)心圓點(diǎn)向右畫折線,“<”空心圓點(diǎn)向左畫折線,“≤”實(shí)心圓點(diǎn)向左畫折線.
4.如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是108°,那么這個(gè)多邊形是( )
A.四邊形 B.五邊形 C.六邊形 D.七邊形
【分析】一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于108°,根據(jù)內(nèi)角與相鄰的外角互補(bǔ),因而每個(gè)外角是72度.根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度,利用360除以外角的度數(shù)就可以求出多邊形的邊數(shù).
【解答】解:180﹣108=72,
多邊形的邊數(shù)是:360÷72=5.
則這個(gè)多邊形是五邊形.
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】考查了多邊形內(nèi)角與外角,已知多邊形的內(nèi)角求邊數(shù),可以根據(jù)多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系來(lái)解決.
5.下列等式從左到右的變形,是因式分解的是( )
A.a(x﹣y)=ax﹣ay B.x2﹣2x+3=x(x﹣2)+3
C.=x2+3x﹣4 D.x3﹣2x2+x=x(x﹣1)2
【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式,可得答案.
【解答】解:A、是整式的乘法,故A錯(cuò)誤;
B、沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式,故B錯(cuò)誤;
C、是整式的乘法,故C錯(cuò)誤;
D、把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式,故D正確;
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的意義,因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式.
6.如圖,在▱ABCD中,O是對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.AB∥CD B.AB=CD C.AC=BD D.OA=OC
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可.
【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,AB=CD,OA=OC,
但是AC和BD不一定相等,
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用,能熟記平行四邊形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵,注意:平行四邊形的對(duì)邊相等且平行,平行四邊形的對(duì)角線互相平分.
7.分式 可變形為( )
A. B.﹣ C. D.﹣
【分析】根據(jù)分式的性質(zhì),分子分母都乘以﹣1,分式的值不變,可得答案.
【解答】解:分式 的分子分母都乘以﹣1,
得﹣ ,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的性質(zhì),分式的分子分母都乘以或除以同一個(gè)不為0的整式,分式的值不變.
8.若關(guān)于x的分式方程 的解為x=2,則m值為( )
A.2 B.0 C.6 D.4
【分析】根據(jù)分式方程 的解為x=2,將x=2代入方程可以得到m的值.
【解答】解:∵分式方程 的解為x=2,
∴ ,
解得m=6.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解,解題的關(guān)鍵是明確題意,用代入法求m的值.
9.如圖1,平行四邊形紙片ABCD的面積為120,AD=20,AB=18.今沿兩對(duì)角線將四邊形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形紙片.若將甲、丙合并(AD、CB重合)形成一線對(duì)稱圖形戊,如圖2所示,則圖形戊的兩對(duì)角線長(zhǎng)度和( )
A.26 B.29 C.24 D.25
【分析】根據(jù)題意,知要求的兩條對(duì)角線的和即為AD與AD邊上的高的和.
【解答】解:∵AD=20,平行四邊形的面積是120,
∴AD邊上的高是6.
∴要求的兩對(duì)角線長(zhǎng)度和是20+6=26.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要是能夠把線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系弄清.
10.如圖,已知矩形ABCD中,R、P分別是DC、BC上的點(diǎn),E、F分別是AP、RP的中點(diǎn),當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí),那么下列結(jié)論成立的是( )
A.線段EF的長(zhǎng)逐漸增大 B.線段EF的長(zhǎng)逐漸減小
C.線段EF的長(zhǎng)不改變 D.線段EF的長(zhǎng)不能確定
【分析】因?yàn)镽不動(dòng),所以AR不變.根據(jù)中位線定理,EF不變.
【解答】解:連接AR.
因?yàn)镋、F分別是AP、RP的中點(diǎn),
則EF為△APR的中位線,
所以EF= AR,為定值.
所以線段EF的長(zhǎng)不改變.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理,只要三角形的邊AR不變,則對(duì)應(yīng)的中位線的長(zhǎng)度就不變.
11.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=22.5°,DE垂直平分AB交BC于E,若BE= ,則AC=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算.
【解答】解:∵DE垂直平分AB
∴∠B=∠DAE,BE=AE
∵∠B=22.5°,∠C=90°
∴∠AEC=∠CAE=45°
∴AC=CE
∴2AC2=AE2∴AC=2.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí).線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
12.計(jì)算:101×1022﹣101×982=( )
A.404 B.808 C.40400 D.80800
【分析】先提取公因式,再運(yùn)用平方差公式分解因式,然后計(jì)算即可.
【解答】解:101×1022﹣101×982=101(1022﹣982)=101(102+98)(102﹣98)=101×200×4=80800;
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法和平方差公式的應(yīng)用,正確進(jìn)行因式分解是解題關(guān)鍵.
13.如圖,直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,﹣2)和點(diǎn)B(﹣2,0),直線y=2x過(guò)點(diǎn)A,則不等式2x
A.x<﹣2 B.﹣2
【分析】根據(jù)不等式2x
【解答】解:不等式2x
顯然,這些點(diǎn)在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與不等式(組)的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形,注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(交點(diǎn)、原點(diǎn)等),做到數(shù)形結(jié)合.
14.如圖,已知∠AOB=60°,點(diǎn)P在邊OA上,OP=10,點(diǎn)M、N在邊OB上,PM=PN,若MN=2,則OM的長(zhǎng)為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】作PH⊥MN于H,如圖,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得MH=NH= MN=1,在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°,則根據(jù)在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得OH= OP=5,然后計(jì)算OH﹣MH即可.
【解答】解:作PH⊥MN于H,如圖,
∵PM=PN,
∴MH=NH= MN=1,
在Rt△POH中,∵∠POH=60°,
∴∠OPH=30°,
∴OH= OP= ×10=5,
∴OM=OH﹣MH=5﹣1=4.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì):在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出,體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì),它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù).也考查了等腰三角形的性質(zhì).
15.某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器,現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同.設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器,根據(jù)題意,下面所列方程正確的是( )
A. = B. = C. = D. =
【分析】設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器,則實(shí)際平均每天生產(chǎn)(x+50)臺(tái)機(jī)器,根據(jù)題意可得,現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同,據(jù)此列方程即可.
【解答】解:設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器,則實(shí)際平均每天生產(chǎn)(x+50)臺(tái)機(jī)器,
由題意得, = .
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程,解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意,設(shè)出未知數(shù),找出合適的等量關(guān)系,列方程.
16.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),兩邊PE,PF分別交AB,AC于點(diǎn)E,F(xiàn),連接EF交AP于點(diǎn)G,給出以下五個(gè)結(jié)論:
①∠B=∠C=45°;
?、贏E=CF,
?、跘P=EF,
?、堋鱁PF是等腰直角三角形,
⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半.
其中正確的結(jié)論是( )
A.只有① B.①②④ C.①②③④ D.①②④⑤
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得:∠B=∠C=45°,AP⊥BC,AP= BC,AP平分∠BAC.所以可證∠C=∠EAP;∠FPC=∠EPA;AP=PC.即證得△APE與△CPF全等.根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確,根據(jù)全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等,然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半.
【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),
∴①∠B=∠C= ×(180°﹣90°)=45°,AP⊥BC,AP= BC=PC,∠BAP=∠CAP=45°=∠C,
∵∠APF+∠FPC=90°,∠APF+∠APE=90°,
∴∠FPC=∠EPA.
∴△APE≌△CPF(ASA),
∴②AE=CF;④EP=PF,即△EPF是等腰直角三角形;同理可證得△APF≌△BPE,
∴⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半,
∵△ABC是等腰直角三角形,P是BC的中點(diǎn),
∴AP= BC,
∵EF不是△ABC的中位線,
∴EF≠AP,故③錯(cuò)誤;
?、堋?ang;AGF=∠EGP=180°﹣∠APE﹣∠PEF=180°﹣∠APE﹣45°,
∠AEP=180°﹣∠APE﹣∠EAP=180°﹣∠APE﹣45°,
∴∠AEP=∠AGF.
故正確的有①、②、④、⑤,共四個(gè).
因此選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,中位線的性質(zhì)的運(yùn)用,等腰直角三角形的判定定理的運(yùn)用,三角形面積公式的運(yùn)用,解答時(shí)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵.
二.填空題(每小題3分,共12分)
17.因式分解:2x3﹣8x2+8x= 2x(x﹣2)2 .
【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:原式=2x(x2﹣4x+4)
=2x(x﹣2)2.
故答案為:2x(x﹣2)2.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用,熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
18.若x+ ,則 的值是 .
【分析】把原分式分子分母除以x,然后利用整體代入的方法計(jì)算.
【解答】解: = ,
當(dāng)x+ ,原式= = .
故答案為 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值:解決本題的關(guān)鍵是利用整體代入的方法計(jì)算.
19.如圖,△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,將△ABC沿射線BC的方向平移,得到△A′B′C′,再將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后,點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合,則平移的距離為 2 ,旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為 60° .
【分析】根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形全等,進(jìn)而解答即可.
【解答】解:∵將△ABC沿射線BC的方向平移,得到△A′B′C′,再將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后,點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合,
∴△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B'=A'C,
∴△A'B'C是等邊三角形,
∴∠A'CB'=60°,B'C=AB=4,
∴BB'=6﹣4=2,旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°,
故答案為:2,60°;
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.
20.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱,再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱,如此作下去,則△B2nA2n+1B2n+1(n是正整數(shù))的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是 (4n+1, ) .
【分析】首先根據(jù)△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,可得A1的坐標(biāo)為(1, ),B1的坐標(biāo)為(2,0);然后根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì),分別求出點(diǎn)A2、A3、A4的坐標(biāo)各是多少;最后總結(jié)出An的坐標(biāo)的規(guī)律,求出A2n+1的坐標(biāo)是多少即可.
【解答】解:∵△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
∴A1的坐標(biāo)為(1, ),B1的坐標(biāo)為(2,0),
∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱,
∴點(diǎn)A2與點(diǎn)A1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱,
∵2×2﹣1=3,2×0﹣ =﹣ ,
∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)是(3,﹣ ),
∵△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱,
∴點(diǎn)A3與點(diǎn)A2關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱,
∵2×4﹣3=5,2×0﹣(﹣ )= ,
∴點(diǎn)A3的坐標(biāo)是(5, ),
∵△B3A4B4與△B3A3B2關(guān)于點(diǎn)B3成中心對(duì)稱,
∴點(diǎn)A4與點(diǎn)A3關(guān)于點(diǎn)B3成中心對(duì)稱,
∵2×6﹣5=7,2×0﹣ =﹣ ,
∴點(diǎn)A4的坐標(biāo)是(7,﹣ ),
…,
∵1=2×1﹣1,3=2×2﹣1,5=2×3﹣1,7=2×3﹣1,…,
∴An的橫坐標(biāo)是2n﹣1,A2n+1的橫坐標(biāo)是2(2n+1)﹣1=4n+1,
∵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),An的縱坐標(biāo)是 ,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),An的縱坐標(biāo)是﹣ ,
∴頂點(diǎn)A2n+1的縱坐標(biāo)是 ,
∴△B2nA2n+1B2n+1(n是正整數(shù))的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是(4n+1, ).
故答案為:(4n+1, ).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)問(wèn)題,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是分別判斷出An的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)各是多少.
初二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析篇二
三、解答題
21.(1)解方程: = +1
(2)先化簡(jiǎn),再求值:(1+ )÷ ,其中x=3.
【分析】(1)先去分母,求出x的值,代入公分母進(jìn)行檢驗(yàn)即可;
(2)先算括號(hào)里面的,再算除法,最后把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解:(1)方程兩邊同時(shí)乘以x﹣2得,1﹣x=﹣1+x﹣2,
解得x=2.
檢驗(yàn):將x=2代入原方程,分母x﹣2=0,
所以,x=2是增根,原方程無(wú)解.
(2)原式=
=
= ,
當(dāng)x=3時(shí),原式= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值,分式中的一些特殊求值題并非是一味的化簡(jiǎn),代入,求值.許多問(wèn)題還需運(yùn)用到常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想,如化歸思想(即轉(zhuǎn)化)、整體思想等,了解這些數(shù)學(xué)解題思想對(duì)于解題技巧的豐富與提高有一定幫助.
22.已知關(guān)于x,y的方程組 滿足x﹣y≤0,求k的最大整數(shù)值.
【分析】方程組兩方程相加表示出x﹣y,代入已知不等式求出k的范圍,即可確定出k的最大整數(shù)解.
【解答】解: ,
?、?②得:3x﹣3y=2k﹣1,即x﹣y= ≤0,
解得:k≤ .
則k的最大整數(shù)解為0.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解,以及解一元一次不等式,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
23.如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣1,1),B(﹣4,2),C(﹣3,4).
(1)請(qǐng)畫出△ABC向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到△A1B1C1;
(2)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A2B2C2;
(3)在x軸上求作一點(diǎn)P,使△PAB的周長(zhǎng)最小,并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【分析】(1)直接利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案;
(2)直接利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案;
(3)利用軸對(duì)稱求最短路線的方法得出P點(diǎn)位置.
【解答】解:(1)如圖所示:△A1B1C1,即為所求;
(2)如圖所示:△A2B2C2,即為所求;
(3)如圖所示,此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小,P點(diǎn)坐標(biāo)為:(﹣2,0).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平移變換以及旋轉(zhuǎn)變換和軸對(duì)稱求最短路線,正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.
24.如圖,在▱ABCD中,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)與DC的延長(zhǎng)線交于F.
(1)求證:CF=CD;
(2)若AF平分∠BAD,連接DE,試判斷DE與AF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到AB∥CD,從而可得到AB∥DF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組角相等,已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),從而可根據(jù)初二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析S來(lái)判定△BAE≌△CFE,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可證得AB=CF,進(jìn)而得出CF=CD;
(2)利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AE=EF,再利用角平分線的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊求出DA=DF,利用等腰三角形的性質(zhì)求出即可.
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
∵點(diǎn)F為DC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),
∴AB∥DF,
∴∠BAE=∠CFE,∠ECF=∠EBA,
∵E為BC中點(diǎn),
∴BE=CE,
則在△BAE和△CFE中,
,
∴△BAE≌△CFE(初二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析S),
∴AB=CF,
∴CF=CD;
(2)解:DE⊥AF,
理由:∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵∠BAF=∠F,
∴∠DAF=∠F,
∴DA=DF,
又由(1)知△BAE≌△CFE,
∴AE=EF,
∴DE⊥AF.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),證明線段相等的常用方法是證明三角形全等.
25.某體育用品專賣店今年3月初用4000元購(gòu)進(jìn)了一批“中考體能測(cè)試專用繩”,上市后很快售完.該店于3月中旬又購(gòu)進(jìn)了和第一批數(shù)量相同的專用繩,由于第二批專用繩的進(jìn)價(jià)每根比第一批提高了10元,結(jié)果進(jìn)第二批專用繩共用了5000元.
(1)第一批專用繩每根的進(jìn)貨價(jià)是多少元?
(2)若第一批專用繩的售價(jià)是每根60元,為保證第二批專用繩的利潤(rùn)率不低于第一批的利潤(rùn)率,那么第二批專用繩每根售價(jià)至少是多少元?
(提示:利潤(rùn)=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià),利潤(rùn)率= )
【分析】(1)設(shè)第一批繩進(jìn)貨時(shí)的價(jià)格為每根x元,根據(jù)第一批和第二批的數(shù)量相同,可得出方程,解出后可得出答案;
(2)設(shè)第二批專用繩每根的售價(jià)為y元,根據(jù)第二批專用繩的利潤(rùn)率不低于第一批的利潤(rùn)率,可得出不等式,解出后可得出答案.
【解答】解:(1)設(shè)第一批繩進(jìn)貨時(shí)的價(jià)格為每根x元,
由題意得: ,
解得:x=40,
經(jīng)檢驗(yàn),x=40是所列方程的根,且符合題意.
答:第一批專用繩的進(jìn)貨價(jià)格是每根40元.
(2)設(shè)第二批專用繩每根的售價(jià)為y元,
由題意得: ,
解得:y≥75.
答:第二批專用繩每根的售價(jià)至少為75元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用,對(duì)于此類應(yīng)用類題目,關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系或不等關(guān)系,如果這樣的關(guān)系不好尋找,建議同學(xué)們多讀幾遍題目,尋找信息點(diǎn).
26.如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D在直線BC上,連接AD,作∠ADN=60°,直線DN交射線AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交直線DN于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,∠NDB為銳角時(shí),如圖①,
?、倥袛?ang;1與∠2的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由;
②過(guò)點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M,求證:CF+BE=CD;
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,∠NDB為銳角時(shí),如圖②;
當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上,∠NDB為鈍角時(shí),如圖③;
請(qǐng)分別寫出線段CF,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明;
(3)在(2)的條件下,若∠ADC=30°,S△ABC=4 ,直接寫出BE和CD的長(zhǎng)度.
【分析】(1)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)∠ABC=∠ACB=60°,根據(jù)已知條件得到∠1+∠ADC=120°,∠ADC+∠2=120°,根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論;②通過(guò)△MEF≌△CDA即可求得ME=CD,因?yàn)橥ㄟ^(guò)證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF,從而證得CF+BE=CD;
(2)作FM∥BC,得出四邊形BCFM是平行四邊形,然后通過(guò)證得△MEF≌△CDA即可求得,
(3)根據(jù)△ABC的面積可求得AB=BC=AC=4,同時(shí)代的BD=2AB=8,求得 BE=8,即可得到結(jié)論.
【解答】解:(1)①∠1=∠2,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠ADN=60°,
∴∠1+∠ADC=120°,∠ADC+∠2=120°,
∴∠1=∠2;
?、谧C明:如圖①,過(guò)點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M,
∵CF∥AB,
∴四邊形BMFC是平行四邊形,
∴BC=MF,CF=BM,
∴∠ABC=∠EMF,∠BDE=∠MFE,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,BC=AC,
∴∠EMF=∠ACB,AC=MF,
∵∠ADN=60°,
∴∠BDE+∠ADC=120°,∠ADC+∠DAC=120°,
∴∠BDE=∠DAC,
∴∠MFE=∠DAC,
在△MEF與△CDA中,
,
∴△MEF≌△CDA(初二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析S),
∴CD=ME=EB+BM,
∴CD=BE+CF;
(2)如圖②,由(1)證得四邊形BMFC是平行四邊形,
∴BC=MF,CF=BM,
由(1)證得△MEF≌△CDA(初二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案解析S),
∴CD=ME=EB﹣BM,
∴CF+CD=BE,
如圖③,同理CF﹣CD=BE;
(3)∵△ABC是等邊三角形,S△ABC=4 ,
∴易得AB=BC=AC=4,
如圖②,
∵∠ADC=30°,∠ACB=60°,
∴CD=AC=4,
∵∠ADN=60°,
∴∠CDF=30°,
又∵CF∥AB,
∴∠BCF=∠ABC=60°,
∴∠CFD=∠CDF=30°,
∴CD=CF,
由(2)知BE=CF+CD,
∴BE=4+4=8.
如圖③,
∵∠ADC=30°,∠ABC=60°,
∴∠BAD=∠ADC=30°,
∴BD=BA=4,
∴CD=BD+BC=4+4=8,
∵∠ADN=60°,∠ADC=30°,
∴∠BDE=90°,
又∵∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠DEB=30°,
在Rt△BDE中,∠DEB=30°,BD=4,
∴BE=2BD=8,
綜上,BE=8,CD=4或8.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),三角形全等的判定和性質(zhì),30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.
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