八年級數(shù)學上冊第13章單元試卷
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八年級數(shù)學上冊第13章單元試卷
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.(2015•福建泉州)已知△ABC中,AB=6,BC=4,那么邊AC的長可能是下列哪個值( )
A.11 B.5 C.2 D.1
2. 等腰三角形的兩邊長分別為5 cm和10 cm,則此三角形的周長是( )
A.15 cm B.20 cm C.25 cm D.20 cm或25 cm
3. 命題:① 鄰補角互補;② 對頂角相等;③ 同旁內(nèi)角互補;④ 兩點之間線段最短;
?、葜本€都相等.其中真命題有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
4.已知△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交于點O,則∠BOC一定( )
A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能確定
5.(2015•福建漳州中考)下列命題中,是假命題的是( )
A.對頂角相等
B.同旁內(nèi)角互補
C.兩點確定一條直線
D.角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
6. 對于命題“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能說明它是假命題的反例是( )
A.∠1=50°,∠2=40° B.∠1=50°,∠2=50°
C.∠1=∠2=45° D.∠1=40°,∠2=40°
7. 不一定在三角形內(nèi)部的線段是( )
A.三角形的角平分線 B.三角形的中線
C.三角形的高 D.以上皆不對
8. 如圖,A,B,C,D,E,F(xiàn)是平面上的6個點,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
的度數(shù)是( )
A. 180° B.360° C.540° D.720°
9. 下面關于基本事實和定理的聯(lián)系說法不正確的是( )
A.基本事實和定理都是真命題
B.基本事實就是定理,定理也是基本事實
C.基本事實和定理都可以作為推理論證的依據(jù)
D.基本事實的正確性不需證明,定理的正確性需證明
10.(2015•山東濱州)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,則∠C等于( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
二、填空題(每小題3分,共24分)
11.(2015•四川南充中考)如圖,點D在△ABC邊BC的延長線上, CE平分∠ACD,∠A=80°,∠B=40°,則∠ACE的大小是_____度.
第11題圖
12.如圖,一個直角三角形紙片,剪去直角后,得到一個四邊形,則∠1+∠2= 度.
13.“兩條直線被第三條直線所截,同位角相等”的條件是 ,
結(jié)論是 .
14.已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4,則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為 .
15.設 為△ABC的三邊長,則 .
16.如圖所示,AB=29,BC=19,AD=20,CD=16,若AC= ,則 的取值范圍為 .
17.如圖所示,在△ABC中,∠ABC = ∠ACB,∠A = 40°,P是△ABC內(nèi)一點,且∠1 = ∠2,則∠BPC=________.
18.“直角三角形有兩個角是銳角”這個命題的逆命題是 ,它是一個 命題.
三、解答題(共46分)
19.(6分) 下列句子是命題嗎?若是,把它改寫成“如果……那么……”的形式,并寫出它的逆命題,同時判斷原命題和逆命題的真假.
(1)一個角的補角比這個角的余角大多少度?
(2)垂線段最短,對嗎?
(3)等角的補角相等.
(4)兩條直線相交只有一個交點.
(5)同旁內(nèi)角互補.
(6)鄰補角的角平分線互相垂直.
20.(6分)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AC上的中線把三角形的周長分為24 cm和30 cm的兩個部分,求三角形各邊的長.
21.(6分)如圖,已知在△ABC中,∠B與∠C的平分線交于點P.
(1)當∠A=70°時,求∠BPC的度數(shù);
(2)當∠A=112°時,求∠BPC的度數(shù);
(3)當∠A= 時,求∠BPC的度數(shù).
22.(6分)已知一個三角形有兩邊長均為,第三邊長為 ,若該三角形的邊長都為整數(shù),試判斷此三角形的形狀.
23.(6分)如圖所示,武漢有三個車站A、B、C成三角形,一輛公共汽車從B站前往到C站.
(1)當汽車運動到點D時,剛好BD=CD,連接線段AD,AD這條線段是什么線段?這樣的線段在△ABC中有幾條呢?此時有面積相等的三角形嗎?
(2)汽車繼續(xù)向前運動,當運動到點E時,發(fā)現(xiàn)∠BAE=∠CAE,那么AE這條線段是什么線段呢?在△ABC中,這樣的線段又有幾條呢?
(3)汽車繼續(xù)向前運動,當運動到點F時,發(fā)現(xiàn)∠AFB=∠AFC=90°,則AF是什么線段?這樣的線段在△ABC中有幾條?
24.(8分)已知:如圖,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2,求證:CD⊥AB.
25.(8分)規(guī)定,滿足(1)各邊互不相等且均為整數(shù),(2)最短邊上的高與最長邊上的高的比值為整數(shù)k,這樣的三角形稱為比高三角形,其中k叫做比高系數(shù).根據(jù)規(guī)定解答下列問題:
(1)求周長為13的比高系數(shù)k的值;
(2)寫出一個只有4個比高系數(shù)的比高三角形的周長.
八年級數(shù)學上冊第13章單元試卷參考答案
1.B 解析:根據(jù)三角形的三邊關系,得64
所以邊AC的長可能是5.
2.C 解析:因為三角形中任何兩邊的和大于第三邊,所以腰長只能是10 cm,所以此三角形的周長是10+10+5=25(cm).故選C.
3.C 解析:①②④是真命題;對于③,只有兩條平行直線被第三條直線截得的同旁內(nèi)角才互補;對于⑤,直線不能測量長度,所以也不存在兩條直線相等的說法,故選C.
4.C 解析:因為在△ABC中,∠ABC+∠ACB<180°,所以所以
∠BOC>90°.故選C.
5.B 解析:選項B錯誤,應為兩直線平行,同旁內(nèi)角互補;其余選項都正確.
6.C 解析:當∠1=∠2=45°,∠1+∠2也等于90°.故選C.
7. C 解析:因為三角形的中線、角平分線都在三角形的內(nèi)部,而鈍角三角形的高有的在三角形的外部,所以答案選C.
8. B 解析:三角形的外角和為360°.
9. B 解析:根據(jù)基本事實和定理的定義,可知A,C,D是正確的,B是錯誤的.故選B.
10. C 解析:∵ ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,所以∠C=180°×=180° =75°.
即∠C等于75°.
11.60 解析:∵ 是△ABC的一個外角,∴ ,
∵ CE平分∠ACD, ∴ .
12.270 解析:根據(jù)題意可知∠1+∠2=180°+180°-90°=360°-90°=270°.
13.兩條直線被第三條直線所截 同位角相等
14.120°或20° 解析:設兩個角分別是 ,4 ,①當 是底角時,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,得 =180°,解得 =30°,4 =120°,即底角為30°,頂角為120°;
?、诋?是頂角時,則 =180°,解得 =20°,從而得到頂角為20°,底角為80°.
所以該三角形的頂角為120°或20°.
15. 解析:因為 為△ABC的三邊長,
所以 , ,
所以原式=
16.10< <36 解析:在△ABC中,AB-BC
在△ADC中,AD-DC
17.110° 解析:因為∠A=40°,∠ABC = ∠ACB,
所以∠ABC = ∠ACB=(180°-40°)=70°.
又因為∠1=∠2,∠1+∠PCB=70°,所以∠2+∠PCB=70°,
所以∠BPC=180°-70°=110°.
18.有兩個角是銳角的三角形是直角三角形 假 解析:“直角三角形有兩個角是銳角”這個命題的逆命題是“有兩個角是銳角的三角形是直角三角形”,假設三角形一個角是30°,一個角是45°,有兩個角是銳角,但這個三角形不是直角三角形.故是假命題.
19.分析:根據(jù)命題的定義先判斷出哪些是命題,再把命題的題設寫在“如果”后面,結(jié)論寫在“那么”后面.再將題設與結(jié)論互換寫出它的逆命題.
解:對一件事情做出判斷的句子是命題,因為(1)(2)是問句,所以(1)(2)不是命題,其余4個都是命題.
(3)如果兩個角相等,那么它們的補角相等,真命題;
逆命題:如果兩個角的補角相等,那么這兩個角相等,真命題.
(4)如果兩條直線相交,那么它們只有一個交點,真命題;
逆命題:如果兩條直線只有一個交點,那么這兩條直線相交,真命題.
(5)如果兩個角是同旁內(nèi)角,那么它們互補,假命題;
逆命題:如果兩個角互補,那么這兩個角是同旁內(nèi)角,假命題.
(6)如果兩條射線是鄰補角的角平分線,那么它們互相垂直,真命題;
逆命題:如果兩條射線垂直,那么這兩條射線是鄰補角的角平分線,假命題.
20.分析:因為BD是中線,所以AD=DC,造成所分兩部分不等的原因就在于腰與底的不等,故應分情況討論.
解:設AB=AC=2 ,則AD=CD=.
(1)當AB+AD=30,BC+CD=24時,有2 =30,
∴ =10,2 =20,BC=24-10=14,
三邊分別為20 cm,20 cm,14 cm.
(2)當AB+AD=24,BC+CD=30時,有=24,
∴ =8, ,BC=30-8=22,
三邊分別為16 cm,16 cm,22 cm.
21.解:(1)∵ BP和CP分別是∠B與∠C的平分線,∴ ∠1=∠2,∠3=∠4.
∴ ∠2+∠4=(180°-∠A)=90°-∠A,∴ ∠BPC =90°+∠A.
∴ 當∠A=70°時,∠BPC =90°+35°=125°.
(2)當∠A=112°時,∠BPC=90°+56°=146°.
(3)當∠A= 時,∠BPC=90°+ .
22.分析:已知三角形的三邊長,根據(jù)三角形的三邊關系,列出不等式,再求解.
解:根據(jù)三角形的三邊關系,得
< <,
0< <6- ,
0< <.
因為3﹣ 是正整數(shù),所以 =1.
所以三角形的三邊長分別是2,2,2.
因此,該三角形是等邊三角形.
23. 分析:(1)由于BD=CD,則點D是BC的中點,AD是中線,三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形;
(2)由于∠BAE=∠CAE,所以AE是三角形的角平分線;
(3)由于∠AFB=∠AFC=90°,則AF是三角形的高線.
解:(1)AD是△ABC中BC邊上的中線,△ABC中有三條中線.此時△ABD與△ADC的面積相等.
(2)AE是△ABC中∠BAC的平分線,△ABC中角平分線有三條.
(3)AF是△ABC中BC邊上的高線,△ABC中有三條高線.
24.分析:靈活運用垂直的定義,注意由垂直可得90°角,由90°角可得垂直,結(jié)合平行線的判定和性質(zhì),只要證得∠ADC=90°,即可得CD⊥AB.
證明:∵ DG⊥BC,AC⊥BC(已知),
∴ ∠DGB=∠ACB=90°(垂直定義),
∴ DG∥AC(同位角相等,兩直線平行).
∴ ∠2=∠ACD(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).
∵ ∠1=∠2(已知),
∴ ∠1=∠ACD(等量代換),
∴ EF∥CD(同位角相等,兩直線平行).
∴ ∠AEF=∠ADC(兩直線平行,同位角相等).
∵ EF⊥AB(已知),∴ ∠AEF=90°(垂直定義),
∴ ∠ADC=90°(等量代換).
∴ CD⊥AB(垂直定義).
25.分析:(1)根據(jù)定義結(jié)合三角形的三邊關系“任意兩邊之和>第三邊,任意兩邊之差<第三邊”,進行分析;
(2)根據(jù)比高三角形的知識點結(jié)合三角形三邊關系的知識點,進行判斷只有四個比高系數(shù)的三角形的周長.
解:(1)根據(jù)定義和三角形的三邊關系,知此三角形的三邊是2,5,6或3,4,6,則k=3或2.
(2)如周長為37的三角形,只有四個比高系數(shù),當比高系數(shù)為2時,這個三角形三邊分別為9,10,18,當比高系數(shù)為3時,這個三角形三邊分別為6,13,18,當比高系數(shù)為6時,這個三角形三邊長分別為3,16,18,當比高系數(shù)為9時,這個三角形三邊分別為2,17,18.