初中八年級下冊數(shù)學期中試卷
數(shù)學起源于人類早期的生產(chǎn)活動，古巴比倫人從遠古時代開始已經(jīng)積累了一定的數(shù)學知識，并能應用實際問題，今天小編就給大家分享一下八年級數(shù)學，一起來參考吧
初中八年級下數(shù)學期中試卷
一、選擇題(本大題共8小題，每小題2分，共16分)
1.(2分)下列汽車的徽標中，是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.(2分)下列運算正確的是( )
A.a3•a2=a6 B.a12÷a3=a4 C.a2+b2=(a+b)2 D.(a2)3=a6
3.(2分)下列調(diào)查適合普查的是( )
A.了解一批燈泡的使用壽命
B.了解“長征三號丙運載火箭”零部件的狀況
C.了解“朗讀者”的收視率
D.了解公民保護環(huán)境的意識
4.(2分)下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是( )
A.AB=CD，AD=BC B.AB∥CD，∠B=∠D C.AB∥CD，AD=BC D.AB∥CD，AB=CD
5.(2分)一只不透明的袋子中裝有4個黑球和2個白球，每個球除顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸出三個球，下列事件是必然事件的是( )
A.摸出的三個球中至少有一個黑球
B.摸出的三個球中至少有一個白球
C.摸出的三個球中至少有兩個黑球
D.摸出的三個球中至少有兩個白球
6.(2分)如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD需要滿足的條件是( )
A.AB∥CD B.AC⊥BD C.AD=BC D.AC=BD
7.(2分)如圖，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)130°得到△AB′C，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為( )
A.95° B.100° C.105° D. 110°
8.(2分)我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點是坐標原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點D′處，則點C的對應點C′的坐標為( )
A.( ，1) B.(2，1) C.(1， ) D.(2， )
二、填空題(共8小題，每小題2分，滿分16分)
9.(2分)計算：20= ， = .
10.(2分)分解因式：a2b﹣b3= .
11.(2分)‘同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)之和是13’這一事件是 .(填‘必然事件’、‘不可能事件’、‘隨機事件’)
12.(2分)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE= 度.
13.(2分)菱形的邊長為2，一個內(nèi)角等于120°，則這個菱形的面積為 .
14.(2分)從一副撲克牌中拿出6張：3張“J”、2張“Q”、1張“K”，洗勻后將它們背面朝上.從中任取1張，恰好取出 的可能性最大(填“J”或“Q”或“K”).
15.(2分)如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、 F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.若AE=1，則FM的長為 .
16.(2分)如圖，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，對角線AC與BD交于點O，將直線l繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，分別交AD、BC于點E、F，則四邊形ABFE周長的最小值是 .
三、解答題(本大題共10小題，共68分)
17.(4分)計算：22+|﹣1|+
18.(5分)先化簡，再求值：2(3a2b﹣ab2)﹣(﹣ab2+2a2b)，其中a=2，b=﹣1.
19.(5分)解方程組
20.(6分)在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只.某學習小組做摸球?qū)嶒?，將球攪勻后從中隨機摸出一個球幾下顏 色，再把它放回袋中，不斷重復上述過程，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
摸球的次數(shù)n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次數(shù)m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的頻率 0.64 0.58 0.605 0.601
(1)請將表中的數(shù)據(jù)補充完整.
(2)請估計：當n很大時，摸到白球的概率約是 .(精確到0.01)
21.(8分)如圖，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于點E，F(xiàn)是BC上一點，且CF=AE，連接DF.
(1)求證DF∥BF;
(2)若∠ABC=70°，求∠CDF的度數(shù).
22.(6分)初中生進入到八年級學習階段，在數(shù)學學習上往往會出現(xiàn)比較明顯的兩級 分化現(xiàn)象.某區(qū)教委對部分學校的七年級學生對待學習的態(tài)度進行了一次抽樣調(diào)查(把學習態(tài)度分為三個層級，A級：對學習很感興趣;B級：對學習較感興趣;C級：對學習不感興趣)，并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖①和圖②的統(tǒng)計圖(不完整).
請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)此次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了 名學生;
(2)并將圖①補充完整;
(3)求出圖中C級所占的圓心角的度數(shù).
23.(8分)數(shù)學課上，老師要求同學們用直尺和圓規(guī)作出一個菱形.
(1)證明小麗作出的四邊形ABDC是菱形;
(2)請你按照老師的要求再用一種不同于小麗的方法作一個菱形.(保留作圖痕跡，不寫作法)
小麗的方法：
(1)作線段BC
(2)作BC的垂直平分線l，交BC于點O;
(3)在直線l上，且在點O的兩側(cè)分別取點A、點D，使OA=OD;
(4)順次連接A、B、C、D.則四邊形ABDC為所求作菱形.
24.(8分)如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF.
(1)求證：D是BC的中點;
(2)若AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論.
25.(8分)在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，現(xiàn)將紙片折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，連接DF.
(1)說明△BEF是等腰三角形;
(2)折痕EF的長為 .
26.(10分)數(shù)學概念
我們把對角線相等的四邊形稱為等對角線四邊形.
回憶舊知
(1)在我們學習過的四邊形中，找出一個等對角線四邊形，寫出它的名稱.
知識運用
(2)已知四邊形ABCD是等對角線四邊形，圖①中四邊形EFGH的四個頂點分別是四邊形ABCD四條邊的中點，圖②中四邊形KLMN的邊KL∥MN∥AC，邊ML∥NK∥BD，則
A.四邊形EFGH、KLMN都是等對角線四邊形
B.四邊形EFGH、KLMN都不是等對角線四邊形
C.四邊形EFGH是等對角線四邊形，四邊形KLMN不是等對角線四邊形
D.四邊形EFG H不是等對角線四邊形，四邊形KLMN是等對角線四邊形
概念證明
(3)規(guī)定：一組對邊平行且不相等，另一組對邊相等的四邊形為“等腰梯形”，請嘗試證明等腰梯形是等對角線四邊形.
已知：如圖③，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，AB=CD.
求證：等腰梯形ABCD是等對角線四邊形.
類比遷移
在七年級(下)學習三角形的時候，我們曾用來揭示三角形和一些特殊三角形之間的關系：
(4)請用類似的方法揭示四邊形、等對角線四邊形、平行四邊形、矩形、正方形、等腰梯形之間的關系.
2017-2018學年江蘇省南京市秦淮區(qū)八年級(下)期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共8小題，每小題2分，共16分)
1.(2分)下列汽車的徽標中，是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：根據(jù)中心對稱圖形的概念，知：
A是中心對稱圖形，符合題意;
B、C、D不是中心對稱圖形，不符合題意.
故選：A.
2.(2分)下列運算正確的是( )
A.a3•a2=a6 B.a12÷a3=a4 C.a2+b2=(a+b)2 D.(a2)3=a6
【解答】解：A、a3•a2=a5，故此選項錯誤;
B、a12÷a3=a9，故此選項錯誤;
C、a2+b2，無法計算，故此選項錯誤;
D、(a2)3=a6，故此選項正確;
故選：D.
3.(2分)下列調(diào)查適合普查的是( )
A.了解一批燈泡的使用壽命
B.了解“長征三號丙運載火箭”零部件的狀況
C.了解“朗讀者”的收視率
D.了解公民保護環(huán)境的意識
【解答】解：A、了解一批燈泡的使用壽命，適合抽樣調(diào)查，故此選項錯誤;
B、了解“長征三號丙運載火箭”零部件的狀況，適合全面調(diào)查，故此選項正確;
C、了解“朗讀者”的收視率，適合抽樣調(diào)查，故此選項錯誤;
D、了解公民保護環(huán)境的意識，適合抽樣調(diào)查，故此選項錯誤;
故選：B.
4.(2分)下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是( )
A.AB=CD，AD=BC B.AB∥CD，∠B=∠D C.A B∥CD，AD=BC D.AB∥CD，AB=CD
【解答】解：A、∵AB=CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故A可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形;
B、∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠C=180°，
∴AC∥BD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故B可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形;
C、∵AB∥CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD可能是平行四邊形，有可能是等腰梯形.
故C不可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形
D、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故D可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形;
故選：C.
5.(2分)一只不透明的袋子中裝有4個黑球和2個白球，每個球除顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸出三個球，下列事件是必然事件的是( )
A.摸出的三個球中至少有一個黑球
B.摸出的三個球中至少有一個白球
C.摸出的三個球中至少有兩個黑球
D.摸 出的三個球中至少有兩個白球
【解答】解：一只不透明的袋子中裝有4個黑球和2個白球，每個球除顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸3個球，至少有一個球是黑球的事件是必然事件.
故選：A.
6.(2分)如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD需要滿足的條件是( )
A.AB∥CD B.AC⊥BD C.AD=BC D.AC=BD
【解答】解：還應滿足AD=BC.
理由如下：∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點，
∴EF∥AD且EF= AD，
同理可得：GH∥AD且GH= AD，EH∥BC且EH= BC，
∴EF∥GH且EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AD=BC，
∴ AD= BC，
即EF=EH，
∴▱EFGH是菱形.
故選：C.
7.(2分)如圖，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)130°得到△AB′C，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為( )
A.95° B.100° C.105° D.110°
【解答】解：∵△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)130°得到△AB′C，
∴BA=B′A，∠BAB′=∠CAC′=130°，
∴∠AB′B=∠ABB′= (180°﹣130°)=25°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=25°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠CAB′=130°﹣25°=105°.
故選：C.
8.(2分)我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點是坐標原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點D′處，則點C的對應點C′的坐標為( )
A.( ，1) B.(2，1) C.(1， ) D.(2， )
【解答】解：∵AD′=AD=2，
AO= AB=1，
∴OD′= = ，
∵C′D′=2，C′D′∥AB，
∴C′(2， )，
故選：D.
二、填空題(共8小題，每小題2分，滿分16分)
9.(2分)計算：20= 1 ， = 2 .
【解答】解：20=1，
=2
故答案為：1，2
10.(2分)分解因式：a2b﹣b3= b(a+b)(a﹣b) .
【解答】解：原式=b(a2﹣b2)=b(a+b)(a﹣b)，
故答案為：b(a+b)(a﹣b)
11.(2分)‘同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)之和是13’這一事件是 不可能事件 .(填‘必然事件’、‘不可能事件’、‘隨機事件’)
【解答】解：同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)之和是13，是不可能事件.
故答案為：不可能.
12.(2分)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE= 22.5 度.
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB═OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA= =67.5°，
∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°.
故答案為22.5°.
13.(2分)菱形的邊長為2，一個內(nèi)角等于120°，則這個菱形的面積為 2 .
【解答】解：作AE⊥BC于E，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=2，
∴AE=AB•sinB=2×sin60°=2× = ，
∴菱形的面積S=BC•AE=2× =2 .
故答案為2 .
14.(2分)從一副撲克牌中拿出6張：3張“J”、2張“Q”、1張“K”，洗勻后將它們背面朝上.從中任取1張，恰好取出 J 的可能性最大(填“J”或“Q”或“K”).
【解答】解：∵從一副撲克牌中拿出6張：3張“J”、2張“Q”、1張“K”，洗勻后將它們背面朝上，
∴從中任取1張，得到“J”的概率為： = ，從中任取1張，得到“Q”的概率為： = ，
從中任取1張，得到“K”的概率為： ，
∴從中任取1張，恰好取出J的可能性最大.
故答案為：J.
15.(2分)如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.若AE=1，則FM的長為 .
【解答】解：∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三點共線，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF(SAS) ，
∴EF=MF，
設EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+(4﹣x)2=x2，
解得：x= ，
∴FM= .
故答案為： .
16.(2分)如圖，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，對角線AC與BD交于點O，將直線l繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，分別交AD、BC于點E、F，則四邊形ABFE周長的最小值是 5+ .
【解答】解：作AM⊥BC于M，如圖，
∵∠ABC=60°，
∴BM= AB=1，AM= BM= ，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OA=OC，AD∥CB，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四邊形ABFE周長=AB+BF+EF+AE=AB+BF+FC+EF=AB+BC+EF=5+EF，
當EF的值最小時，四邊形ABFE周長有最小值，此時EF⊥BC，即EF的最小值為 ，
∴四邊形ABFE周長的最小值是5+ .
故答案為5+ .
三、解答題(本大題共10小題，共68分)
17.(4分)計算：22+|﹣1|+
【解答】解：原式=4+1+3
=8.
18.(5分)先化簡，再求值：2(3a2b﹣ab2)﹣(﹣ab2+2a2b)，其中a=2，b=﹣1.
【解答】解：當a=2，b=﹣1時，
原式=6a2b﹣2ab2+ab2﹣2a2b
=4a2b﹣ab2
=4×4×(﹣1)﹣2×1
=﹣16﹣2
=﹣18
19.(5分)解方程組
【解答】解： ，
①×3，得：3x+9y=﹣3 ③，
?、郓仮?，得：11y=﹣11，
解得：y=﹣1，
將y=﹣1代入①，得：x﹣3=﹣1，
解得：x=2，
則方程組的解為 .
20.(6分)在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只.某學習小組做摸球?qū)嶒灒瑢⑶驍噭蚝髲闹须S機摸出一個球幾下顏色，再把它放回袋中，不斷重復上述過程，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
摸球的次數(shù)n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次數(shù)m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的頻率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)請將表中的數(shù)據(jù)補充完整.
(2)請估計：當n很大時，摸到白球的概率約是 0.60 .(精確到0.01)
【解答】解：(1)填表如下：
摸球的次數(shù)n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次數(shù)m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的頻率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
故答案為：0.58，0.59;
(2)當n很大時，摸到白球的概率約是0.60，
故答案為：0.60.
21.(8分)如圖，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于點E，F(xiàn)是BC上一點，且CF=AE，連接DF.
(1)求證DF∥BF;
(2)若∠ABC=70°，求∠CDF的度數(shù).
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵CF=AE，
∴DE=BF，∵DE∥BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴DF∥BE.
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF= ∠ABC=35°，
∵四邊形BEDF是平行四邊形，
∴∠EBF=∠EDF=35°，
∴∠CDF=∠ADC﹣∠ EDF=35°.
22.(6分)初中生進入到八年級學習階段，在數(shù)學學習上往往會出現(xiàn)比較明顯的兩級分化現(xiàn)象.某區(qū)教委對部分學校的七年級學生對待學習的態(tài)度進行了一次抽樣調(diào)查(把學習態(tài)度分為三個層級，A級：對學習很感興趣;B級：對學習較感興趣;C級：對學習不感興趣)，并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖①和圖②的統(tǒng)計圖(不完整).
請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)此次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了 200 名學生;
(2)并將圖①補充完整;
(3)求出圖中C級所占的圓心角的度數(shù).
【解答】解：(1)此次調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)為50÷25%=200人，
故答案為：200;
(2)∵C層級的百分比為1﹣25%﹣60%=15%，
∴C層級的人數(shù)為200×15%=30人，
補全條形圖如下：
(3)圖中C級所占的圓心角的度數(shù)為360°×15%=54°.
23.(8分)數(shù)學課上，老師要求同學們用直尺和圓規(guī)作出一個菱形.
(1)證明小麗作出的四邊形ABDC是菱形;
(2)請你按照老師的要求再用一種不同于小麗的方法作一個菱形.(保留作圖痕跡，不寫作法)
小麗的方法：
(1)作線段BC
(2)作BC的垂直平分線l，交BC于點O;
(3)在直線l上，且在點O的兩側(cè)分別取點A、點D，使OA=OD;
(4)順次連接A、B、C、D.則四邊形ABDC為所求作菱形.
【解答】(1)證明：∵BO=OC，AO=OD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∵AD⊥BC，
∴四邊形ABDC是菱形;
(2)菱形ABDC如圖所示：
24.(8分 )如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF.
(1)求證：D是BC的中點;
(2)若AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論.
【解答】(1)證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵點E為AD的中點，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD，
∴D是BC的中點;
(2)解：若AB=AC，則四邊形AFBD是矩形.理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD;
∵AF∥BD，AF= BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四邊形AFBD是矩形.
25.(8分)在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，現(xiàn)將紙片折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，連接DF.
(1)說明△BEF是等腰三角形;
(2)折痕EF的長為 .
【解答】解：(1)∵現(xiàn)將紙片折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，
∴∠DEF=∠BEF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
即△BEF是等腰三角形;
(2)過E作EM⊥BC于M，則四邊形ABME是矩形，
所以EM=AB=6，AE=BM，
∵現(xiàn)將紙片折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，
∴DE=BE，DO=BO，BD⊥EF，
∵四邊形ABCD是矩形，BC=8，
∴AD=BC=8，∠BAD=90°，
在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，
即(8﹣BE)2+62=BE2，
解得：BE= =DE=BF，
AE=8﹣DE=8﹣ = =BM，
∴FM= ﹣ = ，
在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF= = ，
故答案為： .
26.(10分)數(shù)學概念
我們把對角線相等的四邊形稱為等對角線四邊形.
回憶舊知
(1)在我們學習過的四邊形中，找出一個等對角線四邊形，寫出它的名稱.
知識運用
(2)已知四邊形ABCD是等對角線四邊形，圖①中四邊形EFGH的四個頂點分別是四邊形ABCD四條邊的中點，圖②中四邊形KLMN的邊KL∥MN∥AC，邊ML∥NK∥BD，則 B
A.四邊形EFGH、KLMN都是等對角線四邊形
B.四邊形EFGH、KLMN都不是等對角線四邊形
C.四邊形EFGH是等對角線四邊形，四邊形KLMN不是等對角線四邊形
D.四邊形EFGH不是等對角線四邊形，四邊形 KLMN是等對角線四邊形
概念證明
(3)規(guī)定：一組對邊平行且不相等，另一組對邊相等的四邊形為“等腰梯形”，請嘗試證明等腰梯形是等對角線四邊形.
已知：如圖③，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，AB=CD.
求證：等腰梯形ABCD是等對角線四邊形.
類比遷移
在七年級(下)學習三角形的時候，我們曾用來揭示三角形和一些特殊三角形之間的關系：
(4)請用類似的方法揭示四邊形、等對角線四邊形、平行四邊形、矩形、正方形、等腰梯形之間的關系.
【解答】解：(1)在我們學習過的四邊形中，矩形屬于等對角線四邊形.
(2)∵四邊形ABCD是等對角線四邊形，
∴AC=BD，
又∵圖①中四邊形EFGH的四個頂點分別是四邊形ABCD四條邊的中點，圖②中四邊形KLMN的邊KL∥MN∥AC，邊ML∥NK∥BD，
∴四邊形EFGH是菱形，四邊形KLMN是菱形，
∴四邊形EFGH、KLMN都不是等對角線四邊形，
故選：B;
(3)證明：過點D作DE∥AB，交BC于點E.
∴∠ABE=∠DEC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AB=DE，
又∵AB=DC，
∴DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴AC=BD.
方法二：
證明：分別過點A、D作AE⊥BC于點E、DF⊥BC于點F.
∴∠AEF=∠DFC=90°，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AE=DF，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
∴∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴AC=BD.
(4)四邊形、等對角線四邊形、平行四邊形、矩形、正方形、等腰梯形之間的關系，如圖所示.
八年級數(shù)學下期中考試題參考
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
1.(3分)方程x(x﹣2)=3x的解為( )
A.x=5 B.x1=0，x2=5 C.x1=2，x2=0 D.x1=0，x2=﹣5
2.(3分)在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的15名運動員的成績?nèi)缦卤硭荆?/p>
成績/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人數(shù) 2 3 2 3 4 1
則這些運動員成績的中位數(shù)、眾數(shù)分別為( )
A.1.65、1.70 B.1.65、1.75 C.1.70、1.75 D.1.70、1.70
3.(3分)不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是( )
A.AB∥CD，AD=BC B.AB∥CD，∠A=∠C C.AD∥BC，AD=BC D.∠A=∠C，∠B=∠D
4.(3分)實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡|a|+ 的結(jié)果是( )
A.﹣2a+b B.2a﹣b C.﹣b D.b
5.(3分)如圖，在平行四邊形ABCD中，都不一定成立的是( )
?、貯O=CO;②AC⊥BD;③AD∥BC;④∠CAB=∠CAD.
A.①和④ B.②和③ C.③和④ D.②和④
6.(3分)若關于x的方程mx2﹣mx+2=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為( )
A.0 B.8 C.4或8 D.0或8
7.(3分)利用反證法證明“直角三角形至少有一個銳角不小于45°”，應先假設( )
A.直角三角形的每個銳角都小于45°
B.直角三角形有一個銳角大于45°
C.直角三角形的每個銳角都大于45°
D.直角三角形有一個銳角小于45°
8.(3分)如圖，EF過▱ABCD對角線的交點O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周長為18，OE=1.5，則四邊形EFCD的周長為( )
A.14 B.13 C.12 D.10
9.(3分)摩拜共享單車計劃2017年10、11、12月連續(xù)3月對深圳投放新型摩拜單車，計劃10月投放深圳3000臺，12月投放6000臺，每月按相同的增長率投放，設增長率為x，則可列方程( )
A.3000(1+x)2=6000
B.3000(1+x)+3000(1+x)2=6000
C.3000(1﹣x)2=6000
D.3000+3000(1+x)+3000(1+x)2=6000
10.(3分)如圖，△ABC中，D是AB的中點，E在AC上，且∠AED=90°+ ∠C，則BC+2AE等于( )
A.AB B.AC C. AB D. AC
二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
11.(3分)計算：( + )× = .
12.(3分)已知一組數(shù)據(jù)：3，3，4，5，5，則它的方差為 .
13.(3分)已知x2+6x=﹣1可以配成(x+p)2=q的形式，則q= .
14.(3分)某公司前年繳稅200萬元，今年繳稅338萬元，則該公司這兩年繳稅的年均增長率為 .
15.(3分)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分別為AC、AB的中點，連接DE，則△ADE的面積是 .
16.(3分)如圖，在▱ABCD中，∠D=100°，∠DAB的平分線AE交DC于點E，連接BE.若AE=AB，則∠EBC的度數(shù)為 .
17.(3分)如圖，四邊形ABCD中，點M、N分別在AB、BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠D的度數(shù)為 °.
18.(3分)如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，點D、E分別是BC、AD的中點，AF∥BC交CE的延長線于F.則四邊形AFBD的面積為 .
三、解答題(本大題共7小題，19-23每題6分，24-25每題8分，共46分)
19.(6分)計算：
(1)3 ﹣ ﹣
(2) (2 +4 ﹣3 )
20.(6分)解方程：
(1)3(x﹣1)2=x(x﹣1)
(2)x2+1=3x.
21.(6分)為了從甲、乙兩人中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對他們的射擊成績進行了測試，5次打靶命中的環(huán)數(shù)如下：
甲：8，7，9，8，8;乙：9，6，10，8，7;
(1)將下表填寫完整：
平均數(shù) 中位數(shù) 方差
甲 8
乙 8 2
(2)根據(jù)以上信息，若你是教練，你會選擇誰參加射擊比賽，理由是什么?
(3)若乙再射擊一次，命中8環(huán)，則乙這六次射擊成績的方差會 .(填“變大”或“變小”或“不變”)
22.(6分)某化肥廠去年四月份生產(chǎn)化肥500噸，因管理不善，五月份的產(chǎn)量減少了10%，從六月起強化管理，該廠產(chǎn)量逐月上升，七月份產(chǎn)量達到648噸.
(1)該廠五月份的產(chǎn)量為 噸;(直接填結(jié)果)
(2)求六、七兩月產(chǎn)量的平均增長率.
23.(6分)如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB=DF，AC=DE，BE=FC.
(1)求證：△ABC≌△DFE;
(2)連接AF、BD，求證：四邊形ABDF是平行四邊形.
24.(8分)△ABC的中線BD，CE相交于O，F(xiàn)，G分別是BO，CO的中點，求證：EF∥DG，且EF=DG.
25.(8分)如圖是一個多邊形，你能否用一直線去截這個多邊形，使得到的新多邊形分別滿足下列條件：(畫出圖形，把截去的部分打上陰影)
?、傩露噙呅蝺?nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和增加了180°.
?、谛露噙呅蔚膬?nèi)角和與原多邊形的內(nèi)角和相等.
③新多邊形的內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和減少了180°.
(2)將多邊形只截去一個角，截后形成的多邊形的內(nèi)角和為2520°，求原多邊形的邊數(shù).
四、附加題(本題有2小題，每題10分，共20分)
26.(10分)如圖所示中的幾個圖形是五角星和它的變形.
(1)圖甲中是一個五角星形狀，求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;
(2)圖甲中的點A向下移到BE上時(如圖乙)五個角的和(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有無變化?試說明理由
(3)把圖乙中的點C向上移動到BD上時(如圖丙所示)，五個角的和(即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有無變化?試說明理由.
27.(10分)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD上的一點，連接EB并延長，使BF=BE，連接EC并延長，使CG=CE，連接FG.H為FG的中點，連接DH.
(1)求證：四邊形AFHD為平行四邊形;
(2)若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度數(shù).
2017-2018學年浙江省衢州市八年級(下)期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
1.(3分)方程x(x﹣2)=3x的解為( )
A.x=5 B.x1=0，x2=5 C.x1=2，x2=0 D.x1=0，x2=﹣5
【解答】解：x(x﹣2)=3x，
x(x﹣2)﹣3x=0，
x(x﹣2 ﹣3)=0，
x=0，x﹣2﹣3=0，
x1=0，x2=5，
故選：B.
2.(3分)在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的15名運動員的成績?nèi)缦卤硭荆?/p>
成績/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人數(shù) 2 3 2 3 4 1
則這些運動員成績的中位數(shù)、眾數(shù)分別為( )
A.1.65、1.70 B.1.65、1.75 C.1.70、1.75 D.1.70、1.70
【解答】解：共15名學生，中位數(shù)落在第8名學生處，第8名學生的跳高成績?yōu)?.70m，故中位數(shù)為1.70;
跳高成績?yōu)?.75m的人數(shù)最多，故跳高成績的眾數(shù)為1.75;
故選：C.
3.(3分)不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是( )
A.AB∥CD，AD=BC B.AB∥CD，∠A=∠C C.AD∥BC，AD=BC D.∠A=∠C，∠B=∠D
【解答】解：A、“AB∥CD，AD=BC”是四邊形ABCD的一組對邊平行，另一組對邊相等，該四邊形可以是等腰梯形，不可以判定四邊形ABCD是平行四邊形.故本選項符合題意;
B、根據(jù)“AB∥CD，∠A=∠C”可以判定AD∥BC，由“兩組對邊相互平行的四邊形為平行四邊形”可以判定四邊形ABCD為平行四邊形.故本選項不符合題意;
C、“AD∥BC，AD=BC”是四邊形ABCD的一組對邊平行且相等，可以判定四邊形ABCD是平行四邊形.故本選項不符合題意;
D、“∠A=∠C，∠B=∠D”是四邊形ABCD的兩組對角相等，可以判定四邊形ABCD是平行四邊形;故本選項不合題意;
故選：A.
4.(3分)實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡|a|+ 的結(jié)果是( )
A.﹣2a+b B.2a﹣b C.﹣b D.b
【解答】解：由圖可知：a<0，a﹣b<0，
則|a|+
=﹣a﹣(a﹣b)
=﹣2a+b.
故選：A.
5.(3分)如圖，在平行四邊形ABCD中，都不一定成立的是( )
?、貯O=CO;②AC⊥BD;③AD∥BC;④∠CAB=∠CAD.
A.①和④ B.②和③ C.③和④ D.②和④
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，故①成立;
AD∥BC，故③成立;
利用排除法可得②與④不一定成立，
∵當四邊形是菱形時，②和④成立.
故選：D.
6.(3分)若關于x的方程mx2﹣m x+2=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為( )
A.0 B.8 C.4或8 D.0或8
【解答】解：根據(jù)題意得△=(﹣m)2﹣4•m•2=0，解得m1=0，m2=8，
而m≠0，
所以m的值為8.
故選：B.
7.(3分)利用反證法證明“直角三角形至少有一個銳角不小于45°”，應先假設( )
A.直角三角形的每個銳角都小于45°
B.直角三角形有一個銳角大于45°
C.直角三角形的每個銳角都大于45°
D.直角三角形有一個銳角小于45°
【解答】解：用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不小于45°”時，應先假設直角三角形的每個銳角都小于45°.
故選：A.
8.(3分)如圖，EF過▱ABCD對角線的交點O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周長為18，OE=1.5，則四邊形EFCD的周長為( )
A.14 B.13 C.12 D.10
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，周長為18，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD∥BC，
∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF，
在△AEO和△CFO中， ，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴OE=OF=1.5，AE=CF，
則EFCD的周長=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.
故選：C.
9.(3分)摩拜共享單車計劃2017年10、11、12月連續(xù)3月對深圳 投放新型摩拜單車，計劃10 月投放深圳3000臺，12月投放6000臺，每月按相同的增長率投放，設增長率為x，則可列方程( )
A.3000(1+x)2=6000
B.3000(1+x)+3000(1+x)2=6000
C.3000(1﹣x)2=6000
D.3000+3000(1+x)+3000(1+x)2=6000
【解答】解：設增長率為x，由題意得
3000(1+x)2=6000.
故選：A.
10.(3分)如圖，△ABC中，D是AB的中點，E在AC上，且∠AED=90°+ ∠C，則BC+2AE等于( )
A.AB B.AC C. AB D. AC
【解答】解：如圖，過點B作BF∥DE交AC于點F.則∠BFC=∠DEF.
又∵點D是AB的中點，
∴EF=AE.
∵∠DEF=∠BFC=180°﹣∠AED=180°﹣(90°+ ∠C)=90°﹣ ∠C，
∴∠FBC=∠BFC，
∴BC=FC，
∴BC+2AE=AC.
故選：B.
二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
11.(3分)計算：( + )× = 13 .
【解答】解：原式=(2 + )×
= ×
=13.
故答案為13.
12.(3分)已知一組數(shù)據(jù)：3，3，4，5，5，則它的方差為 .
【解答】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：(3+3+4+5+5)÷5=4，
則這組數(shù)據(jù)的方差為： [(3﹣4)2+(3﹣4)2+(4﹣4)2+(5﹣4)2+(5﹣4)2]= .
故答案為：
13.(3分)已知x2+6x=﹣1可以配成(x+p)2=q的形式，則q= 8 .
【解答】解：x2+6x+9=8，
(x+3)2=8.
所以q=8.
故答案為8.
14.(3分)某公司前年繳稅200萬元，今年繳稅338萬元，則該公司這兩年繳稅的年均增長率為 30% .
【解答】解：設該公司這兩年繳稅的年均增長率為x，
依題意得：200(1+x)2=338，
解得x=0.3=30%.
故答案是：30%.
15.(3分 )如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分別為AC、AB的中點，連接DE，則△A DE的面積是 6 .
【解答】解：∵D、E分別為AC、AB的中點，
∴AD= AC=4，DE= BC=3，DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=90°，
∴△ADE的面積= ×AD×DE=6，
故答案為：6.
16.(3分)如圖，在▱ABCD中，∠D=100°，∠DAB的平分線AE交DC于點E，連接BE.若AE=AB，則∠EBC的度數(shù)為 30° .
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠D=100°，AB∥CD，
∴∠BAD=180°﹣∠D=80°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=80°÷2=40°，
∵AE=AB，
∴∠ABE=(180°﹣40°)÷2=70°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=30°;
故答案為：30°.
17.(3分)如圖，四邊形ABCD中，點M、N分別在AB、BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠D的度數(shù)為 95 °.
【解答】解：∵MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，∠A=100°，∠C=70°，
∴∠BMF=100°，∠FNB=70°，
∵將△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，
∴∠F=∠B=180°﹣50°﹣35°=95°，
∴∠D=360°﹣100°﹣70°﹣95°=95°.
故答案為：95.
18.(3分)如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，點D、E分別是BC、AD的中點，AF∥BC交CE的延長線于F.則四邊形AFBD的面積為 12 .
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF與△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS).
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∴S四邊形AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S四邊形AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC= AB•AC= ×4×6=12，
∴S四邊形AFBD=12.
故答案為：12
三、解答題(本大題共7小題，19-23每題6分，24-25每題8分，共46分)
19.(6分)計算：
(1)3 ﹣ ﹣
(2) (2 +4 ﹣3 )
【解答】解：(1)原式=6 ﹣3 ﹣
= ;
(2)原式= (4 + ﹣12 )
= ( ﹣8 )
=2﹣8 .
20.(6分)解方程：
(1)3(x﹣1)2=x(x﹣1)
(2 )x2+1=3x.
【解答】解：(1)方程整理，得
3(x﹣1)2﹣x(x﹣1)=0
因式分解，得
(x﹣1)[3(x﹣1)﹣x]=0
于是，得
x﹣1=0或2x﹣3=0，
解得x1=1，x2= ;
(2)方程整理，得
x2﹣3x+1=0
∵a=1，b=﹣3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×1=5>0，
∴x= = ，
即x1= ，x2= .
21.(6分)為了從甲、乙兩人中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對他們的射擊成績進行了測試，5次打靶命中的環(huán)數(shù)如下：
甲：8，7，9，8，8;乙：9，6，10，8，7;
(1)將下表填寫完整：
平均數(shù) 中位數(shù) 方差
甲 8 8 0.4
乙 8 8 2
(2)根據(jù)以上信息，若你是教練，你會選擇誰參加射擊比賽，理由是什么?
(3)若乙再射擊一次，命中8環(huán)，則乙這六次射擊成績的方差會 變小 .(填“變大”或“變小”或“不變”)
【解答】解：(1)甲平均數(shù)為(8+7+9+8+8)÷5=8，
甲的方差為： [(8﹣8)2+(7﹣8)2+(9﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2]=0.4，
乙的環(huán)數(shù)排序后為：6，7，8，9，10，故中位數(shù)為8;
故答案為：8，0.4，8;
(2)選擇甲.理由是甲的成績較穩(wěn)定.
(3)若乙 再射擊一次，命中8環(huán)，則乙這六次射擊成績的方差為：
[(9﹣8)2+(6﹣8)2+(10﹣8)2+(8﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2]= <2，
∴方差會變小.
故答案為：變小.
22.(6分)某化肥廠去年四月份生產(chǎn)化肥500噸，因管理不善，五月份的產(chǎn)量減少了10%，從六月起強化管理，該廠產(chǎn)量逐月上升，七月份產(chǎn)量達到648噸.
(1)該廠五月份的產(chǎn)量為 450 噸;(直接填結(jié)果)
(2)求六、七兩月產(chǎn)量的平均增長率.
【解答】解 ：(1)500(1﹣10%)=450(噸)，
故答案為：450;
(2)設六、七兩個月的產(chǎn)量平均增長率為x，依題意得：
450(1+x)2=648，
(1+x)2=1.44，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2=﹣220%(不合題意舍去)，
答：六、七兩月產(chǎn)量的平均增長率為20%.
23.(6分)如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB=DF，AC=DE，BE=FC.
(1)求證：△ABC≌△DFE;
(2)連接AF、BD，求證：四邊形ABDF是平行四邊形.
【解答】證明：(1)∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中， ，
∴△ABC≌△DFE(SSS);
(2)解：如圖所示：
由(1)知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形.
24.(8分)△ABC的中線BD，CE相交于O，F(xiàn)，G分別是BO，CO的中點，求證：EF∥DG，且EF=DG.
【解答】證明：連接DE，F(xiàn)G，
∵BD，CE是△ABC的中位線，
∴D，E是AB，AC的中點，
∴DE∥BC，DE= BC，
同理：FG∥BC，F(xiàn)G= BC，
∴DE∥FG，DE=FG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∴EF∥DG，EF=DG.
25.(8分)如圖是一個多邊形，你能否用一直線去截這個多邊形，使得到的新多邊形分別滿足下列條件：(畫出圖形，把截去的部分打上陰影)
?、傩露噙呅蝺?nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和增加了1 80°.
②新多邊形的內(nèi)角和與原多邊形的內(nèi)角和相等.
?、坌露噙呅蔚膬?nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和減少了180°.
(2)將多邊形只截去一個角，截后形成的多邊形的內(nèi)角和為2520°，求原多邊形的邊數(shù).
【解答】解：(1)如圖所示：
(2)設新多邊形的邊數(shù)為n，
則(n﹣2)•180°=2520°，
解得n=16，
①若截去一個 角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為15，
?、谌艚厝ヒ粋€角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為16，
③若截去一個角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為17，
故原多邊形的邊數(shù)可以為15，16或17.
四、附加題(本題有2小題，每題10分，共20分)
26.(10分)如圖所示中的幾個圖形是五角星和它的變形.
(1)圖甲中是一個五角星形狀，求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;
(2)圖甲中的點A向下移到BE上時(如圖乙)五個角的和(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有無變化?試說明理由
(3)把圖乙中的點C向上移動到BD上時(如圖丙所示)，五個角的和(即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有無變化?試說明理由.
【解答】解：(1)如圖：
由三角形外角的性質(zhì)，得
∠C+∠E=∠1，∠B+∠D=∠2.
由三角形的內(nèi)角和定理，得∠A+∠1+∠2=180°，
等量代換，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180゜;
(2)如圖：
由三角形外角的性質(zhì)，得∠C+∠E=∠1，∠A+∠D=∠2，
由三角形的內(nèi)角和定理，得∠B+∠1+∠2=180°，
等量代換，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180゜;
(3)∵∠ECD是△BCE的一個外角，
∴∠ECD=∠B+∠E(三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)，
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠CAD+∠ACE+∠D+∠ECD=∠CAD+∠ACD+∠D=180°，
故∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E等于180°，沒有變化.
27.(10分)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD上的一點，連接EB并延長，使BF=BE，連接EC并延長，使CG=CE，連接FG.H為FG的中點，連接DH.
(1)求證：四邊形AFHD為平行四邊形;
(2)若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度數(shù).
【解答】(1)證明：∵BF=BE，CG=CE，
∴BC為△FEG的中位線，
∴BC∥FG，BC= FG，
又∵H是FG的中點，
∴FH= FG，
∴BC=FH.
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥FH，AD=FH，
∴四邊形AFHD是平行四邊形;
(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAB=∠DCB，
∵CE=CB，
∴∠BEC=∠EBC=75°，
∴∠BCE=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°，
∴∠DAB=40°.
八年級數(shù)學下學期期中試卷
一、選擇題：(本大題共8小題，每小題2分，共16分.)
1.(2分)下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.(2分)若分式 的值為零，則( )
A.x=3 B.x=﹣3 C.x=2 D.x=﹣2
3.(2分)若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(﹣2，3)，則該反比例函數(shù)圖象一定經(jīng)過點( )
A.(2，﹣3) B.(﹣2，﹣3) C.(2，3) D.(﹣1，﹣6)
4.(2分)一個不透明的盒子中裝有3個紅球，2個黃球，這些球除了顏色外其余都相同，從中隨機摸出3個小球，則事件“所摸3個球中必含有紅球”是( )
A.確定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.隨機事件
5.(2分)如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，以點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)后得到△A′B′C，且點A在邊A′B′上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為( )
A.65° B.60° C.50° D.40°
6.(2分)如圖，在平行四邊形ABCD中，BM是∠ABC的平分線，交CD于點M，且DM=2，平行四邊形ABCD的周長是14，則BC的長等于( )
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
7.(2分)如圖，P為邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上任一點，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF.給出以下4個結(jié)論：①AP=EF;②AP⊥EF;③EF最短長度為 ;④若∠BAP=30°時，則EF的長度為2.其中結(jié)論正確的有( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
8.(2分)如圖，在以O為原點的直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y= (x>0)與AB相交于點D，與BC相交于點E，若BD=3AD，且△ODE的面積是9，則k= ( )
A. B. C. D.12
二、填空題：(本大題共10小題，每小題2分，共20分.)
9.(2分)分式 有意義的x的取值范圍為 .
10.(2分)分式 、 的最簡公分母是 .
11.(2分)在一個不透明的口袋里，裝有僅顏色不同的黑球、白球若干只.某小組做摸球?qū)嶒灒簩⑶驍噭蚝髲闹须S機摸出一個，記下顏色，再放回袋中，不斷重復.下表是活動中的一組數(shù)據(jù)，則摸到白球的概率約是 .
摸球的次數(shù)n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次數(shù)m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的頻率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
12.(2分)關于x的方程 +1= 有增根，則a的值為 .
13.(2分)若點A(a，b)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，則代數(shù)式ab﹣4的值為 .
14.(2分)▱ABCD的周長是30，AC、BD相交于點O，△OAB的周長比△OBC的周長大3，則AB= .
15.(2分)已知一個菱形的邊長為5，其中一條對角線長為8，則這個菱形的面積為 .
16.(2分)如圖，菱形ABCD中，P為AB中點，∠A=60°，折疊菱形ABCD，使點C落在DP所在的直線上，得到經(jīng) 過點D的折痕DE，則∠DEC的大小為 °.
17.(2分)函數(shù)yl=x(x≥0)， (x>0)的圖象如圖所示，則結(jié)論：
?、賰珊瘮?shù)圖象的交點A的坐標為(3，3);
?、诋攛>3時，y2>y1;
③當x=1時，BC=8;
?、墚攛逐漸增大時，yl隨著x的增大而增大，y2隨著x的增大而減小.
其中正確結(jié)論的序號是 .
18.(2分)如圖，矩形△ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD中點，P為AB邊上一動點(含端點)，F(xiàn)為CP中點，則△CEF的周長最小值為 .
三、解答題：(本大題共10小題，共64分)
19.(6分)化簡
(1) ﹣ ;
(2)1﹣ .
20.(4分)解方程： ﹣ =1;
21.(5分)先化簡，再求值： ÷(1﹣ )[其中，x= ]
22.(5分)2015年3月30日是全國中小學生安全教育日，某學校為加強學生的安全意識，組織了全校1500名學生參加安全知識競賽，從中抽取了部分學生成績(得分取正整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計.請根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問題：
頻率分布表
分數(shù)段 頻數(shù) 頻率
50.5～60.5 16 0.08
60.5～70.5 40 0.2
70.5～80.5 50 0.25
80.5～90.5 m 0.35
90.5～100.5 24 n
(1)這次抽取了 名學生的競賽成績進行統(tǒng)計，其中：m= ，n= ;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若成績在70分以下(含70分)的學生為安全意識不強，有待進一步加強安全教育，則該校安全意識不強的學生約有多少人?
23.(6分)如圖，在▱ABCD中，E為BC邊上一點，且AB=AE.
(1)求證：△ABC≌△EAD;
(2)若∠B=65°，∠EAC=25°，求∠AED的度數(shù).
24.(6分)已知，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y= (x>0)的圖象與一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象的交點為A(m，2).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)設一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象與y軸交于點B，若P是x軸上一點，且滿足△PAB的面積是6，求點P的坐標.
25.(7分)如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥BC且DE= AC，連接CE、OE，連接AE交OD于點F.
(1)求證：OE=CD;
(2)若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°.求AE的長.
26.(7分)某商場出售一批進價為2元的賀卡，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的日銷售單價x(元)與日銷售量y(個)之間有如下關系：
日銷售單價x(元) 3 4 5 6
日銷售量y(個) 20 15 12 10
(1)猜測并確定y與x之間的函數(shù)關系式，并畫出圖象;
(2)設經(jīng)營此賀卡的銷售利潤為W元，求出W與x之間的函數(shù)關系式，
(3)若物價局規(guī)定此賀卡的售價最高不能超過10元/個，請你求出當日銷售單價x定為多少時，才能獲得最大日銷售利潤?最大利潤是多少元?
27.(9分)如圖，正方形AOCB的邊長為4，反比例函數(shù)的圖象過點E(3，4).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點D，直線 過點D，與線段AB相交于點F，求點F的坐標;
(3)連接OF，OE，探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關系，并證明.
28.(9分)在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3 .分別以OA、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系.
(1)求點B的坐標;
(2)已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD=5，OE=2EB，直線DE交x軸于點F，過點E作EG⊥x軸于G，且EG：OG=2.求直線DE的解析式;
(3)點M是(2)中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一點N，使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形?若存在，請求出點N的坐標;若不存在，請說明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題：(本大題共8小題，每小題2分，共16分.)
1.(2分)下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱的圖形，故本選項不符合題意;
B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱的圖形，故本選項不符合題意;
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱的圖形，故本選項不符合題意;
D、是軸對稱圖形，也是中心對稱的圖形，故本選項符合題意.
故選：D.
2.(2分)若分式 的值為零，則( )
A.x=3 B.x=﹣3 C.x=2 D.x=﹣2
【解答】解：由題意得：x+2=0，且x﹣3≠0，
解得：x=﹣2，
故選：D.
3.(2分)若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(﹣2，3)，則該反比例函數(shù)圖象一定經(jīng)過點( )
A.(2，﹣3) B.(﹣2，﹣3) C. (2，3) D.(﹣1，﹣6)
【解答】解：設反比例函數(shù)的解析式為：y= ，
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(﹣2，3)，
∴k=﹣6，即解析式為y=﹣ ，
A、滿足;B、不滿足;C、不滿足;D、不滿足，
故選：A.
4.(2分)一個不透明的盒子中裝有3個紅球，2個黃球，這些球除了顏色外其余都相同，從中隨機摸出3個小球，則 事件“所摸3個球中必含有紅球”是( )
A.確定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.隨機事件
【解答】解：∵盒子中裝有3個紅球，2個黃球，
∴從中隨機摸出3個小球，則事件“所摸3個球中必含紅球”是必然事件，
故選：B.
5.(2分)如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，以點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)后得到△A′B′C，且點A在邊A′B′上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為( )
A.65° B.60° C.50° D.40°
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=25°，
∴∠BAC=65°，
∵以點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)后得到△A′B′C，且點A在邊A′B′上，
∴CA=CA′，∠A′=∠BAC=65°，∠ACA′等于旋轉(zhuǎn)角，
∴∠CAA′=∠A′=65°，
∴∠ACA′=180°﹣65°﹣65°=50°，
即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°.
故選：C.
6.(2分)如圖，在平行四邊形ABCD中，BM是∠ABC的平分線，交CD于點M，且DM=2，平行四邊形ABCD的周長是14，則BC的長等于( )
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
【解答】解：∵BM是∠ABC的平分線，
∴∠ABM=∠CBM，
∵AB∥CD，
∴∠ABM=∠BMC，
∴∠BMC=∠CBM，
∴BC=MC，
∵▱ABCD的周長是14，
∴BC+CD=7，
∴BC+BC+DM=7，
∵DM=2，
∴BC=2.5，
故選：B.
7.(2分)如圖，P為邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上任一點，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF.給出以下4個結(jié)論：①AP=EF;②AP⊥EF;③EF最短長度為 ;④若∠BAP=30°時，則EF的長度為2.其中結(jié)論正確的有( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
【解答】解：
?、偃鐖D，連接PC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴AP=PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE=90°，
∴四邊形PECF為矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF，故①正確;
?、谘娱LAP交BC于點G，
由①可得∠PCE=∠PFE=∠BAP，
∵PE∥AB，
∴∠EPG=∠BAP，
∴∠EPG=∠PFE，
∵∠EPF=90°，
∴∠EPG+∠PEF=∠PEG+∠PFE=90°，
∴AP⊥EF，故②正確;
?、郛擜P⊥BD時，AP有最小值 ，此時P為BD的中點，
由①可知EF=AP，
∴EF的最短長度為 ，故③正確;
?、墚旤cP在點B或點D位置時，AP=AB=2，
∴EF=AP≤2，
∴當∠BAP=30°時，AP<2，
即EF的長度不可能為2，故④不正確;
綜上可知正確的結(jié)論為①②③，
故選：A.
8.(2分)如圖，在以O為原點的直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y= (x>0)與AB相交于點D，與BC相交于點E，若BD=3AD，且△ODE的面積是9，則k=( )
A. B. C. D.12
【解答】解：∵四邊形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
設B點的坐標為(a，b)，
∵BD=3AD，
∴D( ，b)，
∵點D，E在反比例函數(shù)的圖象上，
∴ =k，∴E(a， )，
∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣ ﹣ k﹣ •(b﹣ )=9，
∴k= ，
故選：C.
二、填空題：(本大題共10小題，每小題2分，共20分.)
9.(2分)分式 有意義的x的取值范圍為 x≠1 .
【解答】解：當分母x﹣1≠0，即x≠1時，分式 有意義.
故答案是：x≠1.
10.(2分)分式 、 的最簡公分母是 6x3y2 .
【解答】解：分式 、 的最簡公分母是6x3y2，
故答案為6x3y2.
11.(2分)在一個不透明的口袋里，裝有僅顏色不同的黑球、白球若干只.某小組做摸球?qū)嶒灒簩⑶驍噭蚝髲闹须S機摸出一個，記下顏色，再放回袋中 ，不斷重復.下表是活動中的一組數(shù)據(jù)，則摸到白球的概率約是 0.6 .
摸球的次數(shù)n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次數(shù)m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的頻率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
【解答】解：觀察表格得：通過多次摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)其中摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，
則P白球=0.6.
故答案為0.6.
12.(2分)關于x的方程 +1= 有增根，則a的值為 2 .
【解答】解：方程兩邊都乘(x﹣2)，得
x+x﹣2=a，即a=2x﹣2.
分式方程的增根是x=2，
∵原方程增根為x=2，
∴把x=2代入整式方程，得a=2，
故答案為：2.
13.(2分)若點A(a，b)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，則代數(shù)式ab﹣4的值為 ﹣2 .
【解答】解：∵點A(a，b)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴b= ，即ab=2，
∴ab﹣4=2﹣4=﹣2.
故答案為：﹣2.
14.(2分)▱ABCD的周長是30，AC、BD相交于點O，△OAB的周長比△OBC的周長大3，則AB= 9 .
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD;
又∵△OAB的周長比△OBC的周長大3，
∴AB+OA+OB﹣(BC+OB+OC)=3
∴AB﹣BC=3，
又∵▱ABCD的周長是30，
∴AB+BC=15，
∴AB=9.
故答案為9.
15.(2分)已知一個菱形的邊長為5，其中一條對角線長為8，則這個菱形的面積為 24 .
【解答】解：如圖，∵菱形ABCD中，BD=8，AB=5，
∴AC⊥BD，OB= BD=4，
∴OA= =3，
∴AC=2OA=6，
∴這個菱形的面積為： AC•BD= ×6×8=24.
故答案為：24.
16.(2分)如圖，菱形ABCD中，P為 AB中點，∠A=60°，折疊菱形ABCD，使點C落在DP所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE，則∠DEC的大小為 75 °.
【解答】解：連接BD，
∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，
∴△ABD為等邊三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P為AB的中點，
∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP=∠BDP=30° ，
∴∠PDC=90°，
∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，
在 △DEC中，∠DEC=180°﹣(∠CDE+∠C)=75°.
故答案為：75.
17.(2分)函數(shù)yl=x(x≥0)， (x>0)的圖象如圖所示，則結(jié)論：
?、賰珊瘮?shù)圖象的交點A的坐標為(3，3);
②當x>3時，y2>y1;
③當x=1時，BC=8;
④當x逐漸增大時，yl隨著x的增大而增大，y2隨著x的增大而減小.
其中正確結(jié)論的序號是?、佗邰堋?
【解答】解：①根據(jù)題意列解方程組 ，
解得 ， ;
∴這兩個函數(shù)在第一象限內(nèi)的交點A的坐標為(3，3)，故①正確;
②當x>3時，y1在y2的上方，故y1>y2，故②錯誤;
?、郛攛=1時，y1=1，y2= =9，即點C的坐標為(1，1)，點B的坐標為(1，9)，所以BC=9﹣1=8，故③正確;
?、苡捎趛1=x(x≥0)的圖象自左向右呈上升趨勢，故y1隨x的增大而增大，
y2= (x>0)的圖象自左向右呈下降趨勢，故y2隨x的增大而減小，故④正確.
因此①③④正確，②錯誤.
故答案為 ：①③④.
18.(2分)如圖，矩形△ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD中點，P為AB邊上一動點(含端點)，F(xiàn)為CP中點，則△CEF的周長最小值為 +1 .
【解答】解：∵E為CD中點，F(xiàn)為CP中點，
∴EF= PD，
∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+ (CP+PD)= (CD+PC+PD)= C△CDP，
∴當△CDP的周長最小時，△CEF的周長最小;
即PC+PD的值最小時，△CEF的周長最小;
如圖，作D關于AB的對稱點D′，連接CD′交AB于P，
∵AD=AD′=BC，AD′∥BC，
∴四邊形AD′BC是平行四邊形，
∴AP=PB=1，PD′=PC，
∴CP=PD= ，
∴C△CEF= C△CDP= +1，
故答案為： +1.
三、解答題：(本大題共10小題，共64分)
19.(6分)化簡
(1) ﹣ ;
(2)1﹣ .
【解答】解：(1)原式=
=
=a﹣1;
(2)原式=1﹣ •
=1﹣
= ﹣
=﹣ .
20.(4分)解方程： ﹣ =1;
【解答】解：去分母得：x2+4x+4﹣4=x2﹣4，
解得：x=﹣1，
經(jīng)檢驗x=﹣1是分式方程的解.
21.(5分)先化簡，再求值： ÷(1﹣ )[其中，x= ]
【解答】解：原式= ÷ = • = ，
當x= 時，原式= = .
22.(5分)2015年3月30日是全國中小學生安全教育日，某學校為加強學生的安全意識，組織了全校1500名學生參加安全知識競賽，從中抽取了部分學生成績(得分取正整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計.請根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問題：
頻率分布表
分數(shù)段 頻數(shù) 頻率
50.5～60.5 16 0.08
60.5～70.5 40 0.2
70.5～80.5 50 0.25
80.5～90.5 m 0.35
90.5～100.5 24 n
(1)這次抽取了 200 名學生的競賽成績進行統(tǒng)計，其中：m= 70 ，n= 0.12 ;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若成績在70分以下(含70分)的學生為安全意識不強，有待進一步加強安全教育，則該校安全意識不強的學生約有多少人?
【解答】解：(1)16÷0.08=200，
m=200×0.35=70，n=24÷200=0.12;
故答案為200，70;0.12;
(2)如圖，
(3)1500×(0.08+0.2)=420，
所以該校安全意識不強的學生約有420人.
23.(6分)如圖，在▱ABCD中，E為BC邊上一點，且AB=AE.
(1)求證：△ABC≌△EAD;
(2)若∠B=65°，∠EAC=25°，求∠AED的度數(shù).
【解答】(1)證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD(SAS).
(2)解：∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠BAE=50°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=50°+25°=75°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED=∠BAC=75°.
24.(6分)已知，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y= (x>0)的圖象與一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象的交點為A(m，2).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)設一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象與y軸交于點B，若P是x軸上一點，且滿足△PAB的面積是6，求點P的坐標.
【解答】解：(1)根據(jù)題意，將點A(m，2)代入y= ，
得：2= ，
解得：m=2，
即點A(2，2)，
將點A(2，2)代入y=kx﹣k，得：2=2k﹣k，
解得：k=2，
∴一次函數(shù)的解析式為y=2x﹣2;
(2)如圖，
∵一次函數(shù)y=2x﹣2與x軸的交點為C(1，0)，與y軸的交點為B(0，﹣2)，
S△ABP=S△ACP+S△BPC，
∴ ×2CP+ ×2CP=6，
解得CP=3，
則P點坐標為(4，0)，(﹣2，0).
25.(7分)如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥BC且DE= AC，連接CE、OE，連接AE交OD于點F.
(1)求證：OE=CD;
(2)若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°.求AE的長.
【解答】(1)證明：在菱形ABCD中，OC= AC.
∴DE=OC.
∵DE∥AC，
∴四邊形OCED是平行四邊形.
∵AC⊥BD，
∴平行四邊形OCED是矩形.
∴OE=CD.
(2)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2.
∴在矩形OCED中，
CE=OD= .
在Rt△ACE中，
AE= .
26.(7分)某商場出售一批進價為2元的賀卡，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的日銷售單價x(元)與日銷售量y(個)之間有如下關系：
日銷售單價x(元) 3 4 5 6
日銷售量y(個) 20 15 12 10
(1)猜測并確定y與x之間的函數(shù)關系式，并畫出圖象;
(2)設經(jīng)營此賀卡的銷售利潤為W元，求出W與x之間的函數(shù)關系式，
(3)若物價局規(guī)定此賀卡的售價最高不能超過10元/個，請你求出當日銷售單價x定為多少時，才能獲得最大日銷售利潤?最大利潤是多少元?
【解答】解：(1)由表可知，xy=60，
∴y= (x>0)，
函數(shù)圖象如下：
(2)根據(jù)題意，得：
W=(x﹣2)•y
=(x﹣2)•
=60﹣ ;
(3)∵x≥10，
∴﹣ ≤﹣12，
則60﹣ ≤48，
即當x=10時，W取得最大值，最 大值為48元，
答：當日銷售單價x定 為10元/個時，才能獲得最大日銷售利潤，最大利潤是48元.
27.(9分)如圖，正方形AOCB的邊長為4，反比例函數(shù)的圖象過點E(3，4).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點D， 直線 過點D，與線段AB相交于點F，求點F的坐標;
(3)連接OF，OE，探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關系，并證明.
【解答】解：(1)設反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)= ，
∵反比例函數(shù)的圖象過點E(3，4)，
∴4= ，即k=12.
∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)= ;
(2)∵正方形AOCB的邊長為4，
∴點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4.
∵點D在反比例函數(shù)的圖象上，
∴點D的縱坐標為3，即D(4，3).
∵點D在直線y=﹣ x+b上，
∴3=﹣ ×4+b，解得b=5.
∴直線DF為y=﹣ x+5，
將y=4代入y=﹣ x+5，得4=﹣ x+5，解得x=2.
∴點F的坐標為(2，4).
(3)∠AOF= ∠EOC.
證明：在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H.
∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG(SAS).
∴∠AOF=∠COG.
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC(ASA).
∴EG=HG.
設直線EG：y=mx+n，
∵E(3，4)，G(4，2)，
∴ ，解得， .
∴直線EG：y=﹣2x+10.
令y=﹣2x+10=0，得x=5.
∴H(5，0)，OH=5.
在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根據(jù)勾股定理得OE=5 .
∴OH=OE.
∴OG是等腰三角形底邊EH上的中線.
∴OG是等腰三角形頂角的平分線.
∴∠EOG=∠GOH.
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF= ∠EOC.
28.(9分)在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3 .分別以OA、OC邊所在直線為x軸 、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系.
(1)求點B的坐標;
(2)已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD=5，OE=2EB，直線DE交x軸于點F，過點E作EG⊥x軸于G，且EG：OG=2.求直線DE的解析式;
(3)點M是(2)中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一點N，使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形?若存在，請求出點N的坐標;若不存在，請說明理由.
【解答】解：(1)如圖過點B作BB′⊥x軸，垂足為點B′，如圖1所示.
∵CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，
∴OB′=CB=3，AB′=3.
在Rt△ABB′中，∠AB′B=90°，AB′=3，BA=3 ，
∴BB′= =6，
∴點B的坐標為(3，6).
(2)如圖2所示，∵OC=6，BC=3，
∴OB= =3 ，
∵OE=2EB，
∴OE= OB=2 .
又∵EG=2OG，OE2=EG2+OG2，
∴OG=2，EG=4，
∴點E的坐標為(2，4).
∵OD=5，
∴點D的坐標為(0，5).
設直線DE的解析式為y=kx+b(k≠0)，
將點D(0，5)、E(2，4)代入y=kx+b，得：
，解得： ，
∴直線DE的解析式為y=﹣ x+5.
(3)分兩種情況考慮(如圖3所示)：
①當OD為邊時，過點D作DF⊥MN，垂足為F.
∵直線DE的解析式為y=﹣ x+5，
∴DF=2MF，
又∵DM=OD=5，
∴DF=2 ，MF= ，
∴點M的坐標為(﹣2 ，5+ ).
∵四邊形OCMN為菱形，
∴點N的坐標為(﹣2 ， );
?、诋擮D為對角線時，
同理：可求出點M的坐標為(2 ，5﹣ ).
∵四邊形OMDN為菱形，
∴點N的坐標為(﹣2 ，5﹣ ).
綜上所述：在x軸上方的平面內(nèi)存在另一點N，使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形，點N的坐標為(﹣2 ， )或(﹣2 ，5﹣ ).
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