高二下冊數(shù)學(xué)知識點筆記

　　1、向量的加法

　　向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

　　AB+BC=AC。

　　a+b=(x+x'，y+y')。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的運算律：

　　交換律：a+b=b+a;

　　結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　2、向量的減法

　　如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0

　　AB-AC=CB. 即“共同起點，指向被減”

　　a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

　　4、數(shù)乘向量

　　實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

　　當(dāng)λ>0時，λa與a同方向;

　　當(dāng)λ<0時，λa與a反方向;

　　當(dāng)λ=0時，λa=0，方向任意。

　　當(dāng)a=0時，對于任意實數(shù)λ，都有λa=0。

　　注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　實數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

　　當(dāng)∣λ∣>1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;

　　當(dāng)∣λ∣<1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。

　　數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律

　　結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

　　向量對于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

　　數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

　　數(shù)乘向量的消去律：① 如果實數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　3、向量的的數(shù)量積

　　定義：兩個非零向量的夾角記為〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

　　定義：兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點積)是一個數(shù)量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。

　　向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y'。

　　向量的數(shù)量積的運算率

　　a·b=b·a(交換率);

　　(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);

　　向量的數(shù)量積的性質(zhì)

　　a·a=|a|的平方。

　　a⊥b 〈=〉a·b=0。

　　|a·b|≤|a|·|b|。

　　向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點

　　1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

　　2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。

　　3、|a·b|≠|a|·|b|

　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

　　4、向量的向量積

　　定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

　　向量的向量積性質(zhì)：

　　∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

　　a×a=0。

　　a‖b〈=〉a×b=0。

　　向量的向量積運算律

　　a×b=-b×a;

　　(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

　　(a+b)×c=a×c+b×c.

　　注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

　　向量的三角形不等式

　　5、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

　?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時，左邊取等號;

　?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，右邊取等號。

　　6、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

　?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，左邊取等號;

　?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時，右邊取等號。

　　定比分點

　　定比分點公式(向量P1P=λ·向量PP2)

　　設(shè)P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數(shù) λ，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。

　　若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點向量公式)

　　x=(x1+λx2)/(1+λ),

　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點坐標(biāo)公式)

　　我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

　　三點共線定理

　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線

　　三角形重心判斷式

　　在△ABC中，若GA +GB +GC=0 ,則G為△ABC的重心

　　[編輯本段]向量共線的重要條件

　　若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數(shù)λ，使a=λb。

　　a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。

　　零向量0平行于任何向量。

　　[編輯本段]向量垂直的充要條件

　　a⊥b的充要條件是 a·b=0。

　　a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。

　　零向量0垂直于任何向量.

　　還有注意一點,不要把點寫成叉

　　圓錐曲線里的弦長公式

　　d=根號(1+k^2)|x1-x2|=根號(1+k^2)根號[(x1+x2)^2-4x1x2]=根號[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]

　　圓里相交直線所構(gòu)成的弦長m,與圓的半徑r,圓心到直線的距離d的關(guān)系為

　　(m/2)^2+d^2=r^2

　　直線

　　A1x+B1y+C1=0

　　A2x+B2y+C2=0

　　平行的充要條件是A1B2+A2B1=0且B1C2+B2C1不等于0

　　點到直線的距離公式

　　d=|Ax0+By0+C|/根號(A^2+B^2)

　　若平行

　　則d=|c2-c1|/根號(A^2+B^2)

　　A和B上下兩個式子必須相等
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