高二數(shù)學(xué)下冊(cè)等差數(shù)列單元訓(xùn)練題及答案
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高二數(shù)學(xué)下冊(cè)等差數(shù)列單元訓(xùn)練題及答案
一、選擇題(每小題6分，共42分)
1.等差數(shù)列{an}前四項(xiàng)和為40，末四項(xiàng)和為72，所有項(xiàng)和為140，則該數(shù)列共有( )
A.9項(xiàng) B.12項(xiàng) C.10項(xiàng) D.13項(xiàng)
【答案】C
【解析】∵a1+a2+a3+a4=40,
an+an-1+an-2+an-3=72.
∴a1+an= =28.
又 =140,
故n=10.
2.給出下列等式：(ⅰ)an+1-an=p(p為常數(shù));(ⅱ)2an+1=an+an+2(n∈N*);(ⅲ)an=kn+b(k,b為常數(shù))則無(wú)窮數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是( )
A.(ⅰ) B.(ⅰ)(ⅲ)
C.(ⅰ)(ⅱ) D.(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)
【答案】D
【解析】易知三個(gè)都是，另外還有一個(gè)常見(jiàn)的是{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn，(a,b為常數(shù)).
3.等差數(shù)列{an}中，若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27，則前9項(xiàng)的和S9等于( )
A.66 B.99 C.144 D.297
【答案】B
【解析】a1+a4+a7=39 a4=13,a3+a6+a9=27 a6=9，
S9= =99.
4.等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)的和為Sn,當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí),a2+a8+a11是一個(gè)定值,則下列各數(shù)中也為定值的是( )
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
【答案】C
【解析】因a2+a8+a11=3a7,故a7為定值.
又S13= =13a7,
∴選C.
5.已知數(shù)列{an}中,a3=2,a7=1,又?jǐn)?shù)列{ }是等差數(shù)列,則a11等于( )
A.0 B. C. D.-1
【答案】B
【解析】∵ +(7-3)d,
∴d= .
∴ +(11-3)d= ,
a11= .
6.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=26-2n,若要使此數(shù)列的前n項(xiàng)之和Sn最大,則n的值是( )
A.12 B.13 C.12或13 D.14
【答案】C
【解析】由 得12≤n≤13,
故n=12或13.
7.在等差數(shù)列{an}中, <-1,若它的前n項(xiàng)和Sn有最大值,則下列各數(shù)中是Sn的最小正數(shù)值的是( )
A.S1 B.S38 C.S39 D.S40
【答案】C
【解析】因Sn有最大值,故d<0,又 <0.
因a210,a20+a21<0.
∴S40=20(a1+a40)=20(a20+a21)<0.
S39=39a20>0,S39-S38=a39<0.
又S39-S1=a2+a3+…+a39=19(a2+a39)=19(a1+a40)<0,
故選C.
二、填空題(每小題5分，共15分)
8.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案:
則第n個(gè)圖案中有白色地面磚_____________塊.
【答案】4n+2
【解析】每增加一塊黑磚,則增加4塊白磚,故白磚數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為6,公差為4的等差數(shù)列,故an=6+4(n-1)=4n+2.
9.設(shè)f(x)= ,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和方法,求f( )+f( )+…+f( )的值為_(kāi)________________.
【答案】5
【解析】當(dāng)x1+x2=1時(shí),f(x1)+f(x2)
= =1.
設(shè)S=f( )+f( )+…+f( ),倒序相加有
2S=[f( )+f( )]+[f( )+f( )]+…+[f( )+f( )]=10.
即S=5.
10.數(shù)列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…,的一個(gè)通項(xiàng)公式an=__________________.
【答案】
【解析】前n項(xiàng)一共有1+2+3+…+n= 個(gè)自然數(shù),設(shè)Sn=1+2+3+…+n= ,則
an= .
三、解答題(11—13題每小題10分，14題13分，共43分)
11.{an}是等差數(shù)列，公差d>0，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，已知a2a3=40,S4=26.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令bn= ，求數(shù)列{bn}的所有項(xiàng)之和T.
【解析】(1)S4= (a1+a4)=2(a2+a3)=26.
又∵a2a3=40,d>0，
∴a2=5,a3=8,d=3.
∴an=a2+(n-2)d=3n-1.
(2)bn= =
Tn= .
12.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7,
(1)設(shè)f(x)的圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}，求證：{an}為等差數(shù)列;
(2)設(shè)f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成{bn},求{bn}的前n項(xiàng)和.
(1)證明：f(x)=[x-(n+1)2]+3n-8,
∴an=3n-8.∵an-1-an=3,
∴{an}為等差數(shù)列.
(2)【解析】bn=|3n-8|,
當(dāng)1≤n≤2時(shí)，bn=8-3n,b1=5.
Sn= ;
當(dāng)n≥3時(shí)，bn=3n-8.
Sn=5+2+1+4+…+(3n-8)
13.假設(shè)你在某公司打工，根據(jù)表現(xiàn)，老板給你兩個(gè)加薪的方案：
(Ⅰ)每年年末加1 000元;
(Ⅱ)每半年結(jié)束時(shí)加300元.請(qǐng)你選擇.
(1)如果在該公司干10年，問(wèn)兩種方案各加薪多少元?
(2)對(duì)于你而言，你會(huì)選擇其中的哪一種?
【解析】設(shè)方案一第n年年末加薪an,因?yàn)槊磕昴┘有? 000元，則an=1 000n;設(shè)方案二第n個(gè)半年加薪bn，因?yàn)槊堪肽昙有?00元，則bn=300n.
(1)在該公司干10年(20個(gè)半年)，方案(Ⅰ)共加薪S10=a1+a2+…+a10=55 000(元).
方案(Ⅱ)共加薪T20=b1+b2+…+b20=20×300+ ×300=63 000元.
(2)設(shè)在該公司干n年，兩種方案共加薪分別為：
Sn=a1+a2+…+an=1 000×n+ ×1 000=500n2+500n,
T2n=b1+b2+…+b20=2n×300+ ×300=600n2+300n;
令T2n≥Sn即600n2+300n>500n2+500n,解得，n≥2,當(dāng)n=2時(shí)等號(hào)成立.
∴如果干3年以上(包括3年)應(yīng)選擇第二方案;如果只干2年，隨便選;如果只干1年，當(dāng)然選擇第一方案.
14.設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)于所有的正整數(shù)n,有an=2 -2.
(1)寫(xiě)出數(shù)列{an}的三項(xiàng);
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并寫(xiě)出推證過(guò)程;
(3)令bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
【解析】(1)由題意，當(dāng)n=1時(shí)，有a1=2 -2,S1=a1，
∴a1=2 -2,解得a1=2.
當(dāng)n=2時(shí)，有a2=2 -2,S2=a1+a2,
將a1=2代入，整理得(a2-2)2=16,
由a2>0，解得a2=6.
當(dāng)n=3時(shí)，有a3=2 -2,S3=a1+a2+a3,
將a1=2,a2=6代入，整理得(a3-2)2=64,
由a3>0，解得a3=10.
所以該數(shù)列的前三項(xiàng)分別為2，6，10.
(2)由an=2 -2(n∈N*),整理得Sn= (an+2)2,
則Sn+1= (an+1+2)2,
∴an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+2)2-(an+2)2].
整理，得(an+1+an)(an+1-an-4)=0,
由題意知an+1+an≠0,∴an+1-an=4.
∴即數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)a1=2，公差d=4,
∴an=a1+(n-1)d=2+4(n-1).
即通項(xiàng)公式為an=4n-2(n∈N*).
(3)bn= ,
Tn=b1+b2+…+bn
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