高二數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧

　　近些年的高考試題中，圓錐曲線的出題方式一般以一個客觀題和一個分布在試卷靠后位置的主觀題項目為主。下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼母叨?shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧，希望對你有幫助。

　　數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧

　　下面這部分試題圍繞著圓錐曲線的基本知識，在與方程的待定系數(shù)法相結(jié)合的過程中，復(fù)合有其他平面幾何圖形的知識?；蚴钦f，題目的設(shè)計技巧體現(xiàn)在圓錐曲線信息的有效性取決于先行的其他平面幾何圖形的知識的有效性，例如三角形。

　　1.客觀題部分

　　例1 (新課標(biāo)2·2015)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為( )。

　　A。5 B。2 C。3 D。2

　　解析 該題的核心知識點(diǎn)有兩個：等腰三角形的性質(zhì);雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)。①將雙曲線方程設(shè)定為x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，如圖;②因為AB=BM，∠ABM=120°，過點(diǎn)M作MN垂直于X軸，垂足為N，在Rt△BMN中，求得BN=a，MN=3a，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2a，3a)，③根據(jù)雙曲線方程、c2=a2+b2以及離心率e=ca(e>1)，可以求的c2=2a2，e=2，因此本題選D。本題涉及的基本思想方法是待定系數(shù)法。

　　2.主觀題部分

　　首先，是數(shù)形結(jié)合的思想方法，這種思想方法特點(diǎn)在于將圓錐曲線從平面的角度視為一種運(yùn)動中的軌跡，在此背景下，題目的考核目標(biāo)往往是與軌跡相關(guān)的邊緣域問題、定值問題、最值問題等。

　　例2 (山東·2015)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x24a2+y24b2=1(a>b>0)的離心率為32，左、右焦點(diǎn)分別是F1和F2，以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上。

　　(Ⅰ)求橢圓C的方程。

　　(Ⅱ)設(shè)橢圓E;x24a2+y24b2=1，p為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y=kx+m交橢圓E于A和B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q。

　　(ⅰ)求OQOP的值。

　　(ⅱ)求△ABQ面積的最大值。

　　解析 本題的核心知識點(diǎn)有：橢圓的定義;韋達(dá)定理與最值問題;橢圓與直線的位置關(guān)系問題。①根據(jù)橢圓的定義2a是定值，以及e=32，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求的a=2，b=1，因此橢圓的方程為C：x24+y2=1。②根據(jù)題意，設(shè)OQOP=λ，P(x0，y0)，則Q(-λx0，-λy0)。又x24a2+y24b2=1，所以將P和Q帶入方程解得，λ=2，所以O(shè)QOP=2。③根據(jù)題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)。將y=kx+m帶入方程x216+y24=1得到(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0，根據(jù)韋達(dá)定理，由Δ>0，m2<4+16k2(Ⅰ);x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2，x1-x2=416k2+4-m21+4k2。因為直線y=kx+m與軸焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m)，所以△ABO的面積為S=12mx1-x2=24-m21+4k2m21+4k2，令m21+4k2=t，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2(Ⅱ)。由(Ⅰ)和(Ⅱ)可得，0　　與數(shù)形結(jié)合的思想方法相適應(yīng)的題目類型有：圓錐曲線通過構(gòu)造出的三角形關(guān)系，與直線、韋達(dá)定理、函數(shù)的最值問題等建立起邏輯關(guān)聯(lián)，依靠代數(shù)法或幾何法解題，其中涉及例如聯(lián)立方程法、整體消元法等解題技巧，強(qiáng)化計算能力，助力高考。

　　其次，是化歸、分類討論以及函數(shù)與方程的思想方法，將這幾種思想方法綜合起來看，它主要強(qiáng)調(diào)考生通過建立起圓錐曲線與方程之間的關(guān)聯(lián)，在簡化思想模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)行有效地推理與論證。建立在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上，分類鎖定知識背景中的相關(guān)考點(diǎn)，化歸簡化思想路徑，最終用代數(shù)轉(zhuǎn)方程來表達(dá)圓錐曲線與關(guān)聯(lián)對象之間的相互關(guān)系(例題略)。