高中數(shù)學關于充要條件的概念
高二數(shù)學中學到的充要條件是證明題的一種??碱愋停旅鎸W習啦的小編將為大家?guī)砀咧袛?shù)學關于充要條件的概念的介紹,希望能夠幫助到大家。
高中數(shù)學關于充要條件的概念介紹
(1)先看“充分條件和必要條件”
當命題“若p則q”為真時,可表示為p => q,則我們稱p為q的充分條件,q是p的必要條件。這里由p => q,得出p為q的充分條件是容易理解的。
但為什么說q是p的必要條件呢?
事實上,與“p => q”等價的逆否命題是“非q => 非p”。它的意思是:若q不成立,則p一定不成立。這就是說,q對于p是必不可少的,因而是必要的。
(2)再看“充要條件”
若有p =>q,同時q => p,則p既是q的充分條件,又是必要條件。簡稱為p是q的充要條件。記作p<=>q
回憶一下初中學過的“等價于”這一概念;如果從命題A成立可以推出命題B成立,反過來,從命題B成立也可以推出命題A成立,那么稱A等價于B,記作A<=>B。“充要條件”的含義,實際上與“等價于”的含義完全相同。也就是說,如果命題A等價于命題B,那么我們說命題A成立的充要條件是命題B成立;同時有命題B成立的充要條件是命題A成立。
(3)定義與充要條件
數(shù)學中,只有A是B的充要條件時,才用A去定義B,因此每個定義中都包含一個充要條件。如“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這一定義就是說,一個四邊形為平行四邊形的充要條件是它的兩組對邊分別平行。
顯然,一個定理如果有逆定理,那么定理、逆定理合在一起,可以用一個含有充要條件的語句來表示。
“充要條件”有時還可以改用“當且僅當”來表示,其中“當”表示“充分”。“僅當”表示“必要”。
(4)一般地,定義中的條件都是充要條件,判定定理中的條件都是充分條件,性質定理中的“結論”都可作為必要條件。
高中數(shù)學數(shù)列的概念知識點
1.數(shù)列的定義
按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做數(shù)列的項.
(1)從數(shù)列定義可以看出,數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的,如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就不是同一數(shù)列,例如數(shù)列1,2,3,4,5與數(shù)列5,4,3,2,1是不同的數(shù)列.
(2)在數(shù)列的定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此,在同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個相同的數(shù)字,如:-1的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,…構成數(shù)列:-1,1,-1,1,….
(4)數(shù)列的項與它的項數(shù)是不同的,數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù),是一個函數(shù)值,也就是相當于f(n),而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號,它是自變量的值,相當于f(n)中的n.
(5)次序對于數(shù)列來講是十分重要的,有幾個相同的數(shù),由于它們的排列次序不同,構成的數(shù)列就不是一個相同的數(shù)列,顯然數(shù)列與數(shù)集有本質的區(qū)別.如:2,3,4,5,6這5個數(shù)按不同的次序排列時,就會得到不同的數(shù)列,而{2,3,4,5,6}中元素不論按怎樣的次序排列都是同一個集合.
2.數(shù)列的分類
(1)根據(jù)數(shù)列的項數(shù)多少可以對數(shù)列進行分類,分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列.在寫數(shù)列時,對于有窮數(shù)列,要把末項寫出,例如數(shù)列1,3,5,7,9,…,2n-1表示有窮數(shù)列,如果把數(shù)列寫成1,3,5,7,9,…或1,3,5,7,9,…,2n-1,…,它就表示無窮數(shù)列.
(2)按照項與項之間的大小關系或數(shù)列的增減性可以分為以下幾類:遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列、常數(shù)列.
3.數(shù)列的通項公式
數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù),其內涵的本質屬性是確定這一列數(shù)的規(guī)律,這個規(guī)律通常是用式子f(n)來表示的,
這兩個通項公式形式上雖然不同,但表示同一個數(shù)列,正像每個函數(shù)關系不都能用解析式表達出來一樣,也不是每個數(shù)列都能寫出它的通項公式;有的數(shù)列雖然有通項公式,但在形式上,又不一定是唯一的,僅僅知道一個數(shù)列前面的有限項,無其他說明,數(shù)列是不能確定的,通項公式更非唯一.如:數(shù)列1,2,3,4,…,
由公式寫出的后續(xù)項就不一樣了,因此,通項公式的歸納不僅要看它的前幾項,更要依據(jù)數(shù)列的構成規(guī)律,多觀察分析,真正找到數(shù)列的內在規(guī)律,由數(shù)列前幾項寫出其通項公式,沒有通用的方法可循.
再強調對于數(shù)列通項公式的理解注意以下幾點:
(1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,…,n}為定義域的函數(shù)的表達式.
(2)如果知道了數(shù)列的通項公式,那么依次用1,2,3,…去替代公式中的n就可以求出這個數(shù)列的各項;同時,用數(shù)列的通項公式也可判斷某數(shù)是否是某數(shù)列中的一項,如果是的話,是第幾項.
(3)如所有的函數(shù)關系不一定都有解析式一樣,并不是所有的數(shù)列都有通項公式.
如2的不足近似值,精確到1,0.1,0.01,0.001,0.000 1,…所構成的數(shù)列1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,…就沒有通項公式.
(4)有的數(shù)列的通項公式,形式上不一定是唯一的,正如舉例中的:
(5)有些數(shù)列,只給出它的前幾項,并沒有給出它的構成規(guī)律,那么僅由前面幾項歸納出的數(shù)列通項公式并不唯一.
4.數(shù)列的圖象
對于數(shù)列4,5,6,7,8,9,10每一項的序號與這一項有下面的對應關系:
序號:1 2 3 4 5 6 7
項: 4 5 6 7 8 9 10
這就是說,上面可以看成是一個序號集合到另一個數(shù)的集合的映射.因此,從映射、函數(shù)的觀點看,數(shù)列可以看作是一個定義域為正整集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù),當自變量從小到大依次取值時,對應的一列函數(shù)值.這里的函數(shù)是一種特殊的函數(shù),它的自變量只能取正整數(shù).
由于數(shù)列的項是函數(shù)值,序號是自變量,數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)和解析式.
數(shù)列是一種特殊的函數(shù),數(shù)列是可以用圖象直觀地表示的.
數(shù)列用圖象來表示,可以以序號為橫坐標,相應的項為縱坐標,描點畫圖來表示一個數(shù)列,在畫圖時,為方便起見,在平面直角坐標系兩條坐標軸上取的單位長度可以不同,從數(shù)列的圖象表示可以直觀地看出數(shù)列的變化情況,但不精確.
把數(shù)列與函數(shù)比較,數(shù)列是特殊的函數(shù),特殊在定義域是正整數(shù)集或由以1為首的有限連續(xù)正整數(shù)組成的集合,其圖象是無限個或有限個孤立的點.
5.遞推數(shù)列
一堆鋼管,共堆放了七層,自上而下各層的鋼管數(shù)構成一個數(shù)列:4,5,6,7,8,9,10.①
數(shù)列①還可以用如下方法給出:自上而下第一層的鋼管數(shù)是4,以下每一層的鋼管數(shù)都比上層的鋼管數(shù)多1,
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