江蘇省揚(yáng)州中學(xué)期中考試文理科數(shù)學(xué)試卷(2)
江蘇省揚(yáng)州中學(xué)期中考試文理科數(shù)學(xué)試卷
江蘇省揚(yáng)州中學(xué)期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷
一.填空題(每題5分，合計70分)
1. 設(shè)全集，集合，，則 .
2. 已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為 .
3.已知函數(shù),且,則必過定點(diǎn) .
4. 從推廣到第個等式為
5.設(shè)是三棱錐的底面重心，用空間的一組基向量表示向量
6. 若內(nèi)切圓半徑為，三邊長為，則的面積將這個結(jié)論類比到空間：若四面體內(nèi)切球半徑為，四個面的面積為，則四面體的體積= .
7.已知，則的最大值為
8.若f(x)=在上為增函數(shù)，則a的取值范圍是 .
9.用0到9這十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的三位數(shù)的個數(shù)為
10.若函數(shù)定義在上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則不等式的解集為
11.設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是
12.設(shè)為實常數(shù),是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,,若對一切成立,則的取值范圍為在上有最大值，則實數(shù)的取值范圍是
14. 已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，關(guān)于的方程最多有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是
二.解答題$
15.已知集合，
(1)當(dāng)時，求;(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
，，為虛數(shù)單位.
(1)若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實數(shù)的取值范圍;
(2)若，求的共軛復(fù)數(shù).
17. .已知是數(shù)列{}的前項和，是否存在關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)，使得對于大于1的正整數(shù)都成立?證明你的結(jié)論.
18.已知是正方形，直線平面，
且.
(Ⅰ)求異面直線所成的角;
(Ⅱ)求二面角的大小;
19.某制藥廠生產(chǎn)某種顆粒狀粉劑，由醫(yī)藥代表負(fù)責(zé)推銷，若每包藥品的生產(chǎn)成本為元，推銷費(fèi)用為元，預(yù)計當(dāng)每包藥品銷售價為元時，一年的市場銷售量為萬包，若從民生考慮，每包藥品的售價不得高于生產(chǎn)成本的，但為了鼓勵藥品研發(fā)，每包藥品的售價又不得低于生產(chǎn)成本的
(1) 寫出該藥品一年的利潤 (萬元)與每包售價的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域;
(2) 當(dāng)每包藥品售價為多少元時，年利潤最大，最大值為多少?
20.已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)，使得對任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方?若存在，請求出最大整數(shù)的值;若不存在，請說理由.
(參考數(shù)據(jù)：，).
江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2016——2017年度高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(理)期中試卷
參考答案
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ;
6. ; 7. ; 8. ; 9. 392;
10. 或-; 11. ;
12. ; 13. ; 14.
15. 解：(1)∴. (2)實數(shù)的取值范圍是由題意得解得
(2)
17.解：設(shè)這樣的存在，=2時，有1=，
=3時，有=，
猜測：=，使得成立.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
?、?2,3時，上面已證，猜測正確.
?、诩僭O(shè)=()時，，使得即成立，則
當(dāng)時，，
由
.
即=時，猜測也正確.
綜上所述，存在=，使得對于大于1的正整數(shù)都成立.
18.解(Ⅰ) 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AD為x軸，AE為y軸、AB為z軸建立坐標(biāo)系，則，從而，于是
, 因此異面直線AC與DE所成角為.
(Ⅱ)，設(shè)平面ACE的法向量為，則
令，得，同理可得平面CDE的法向量為，因此其法向量的夾角為，即二面角的大小為.
19.解: (1)由題意，
(2)
?、?當(dāng)時，，在上恒成立，即為減函數(shù)，所以，萬元
?、诋?dāng)時，，當(dāng)時，
當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)，在
上為減函數(shù)，所以，萬元
20.解：(1)因為，所以，則所求切線的斜率為， ……………2分
又，故所求切線的方程為. ................4分
(2)因為，則由題意知方程在上有兩個不同的根.
由，得， ……………6分
令，則，由，解得.
當(dāng)時，，單調(diào)遞減;當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值為. ……………8分
又，(圖象如右圖所示)，
所以，解得. ……………10分
(3)假設(shè)存在實數(shù)滿足題意，則不等式對恒成立.
即對恒成立.
令，則， ……12分
令，則，
因為在上單調(diào)遞增，，，且的圖象在上不間斷，所以存在，使得，即，則，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞減;當(dāng)時，單調(diào)遞增，
則取到最小值，…14分
所以，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
所以，
所以存在實數(shù)滿足題意，且最大整數(shù)的值為. ……………16分
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