山西省太原市高二期末文理科數(shù)學(xué)試卷
山西省太原市高二期末文理科數(shù)學(xué)試卷
學(xué)生免不了要做大量的試卷，這樣比較容易讓學(xué)生適應(yīng)高考，下面學(xué)習(xí)啦的小編將為大家?guī)砩轿魈母叨臄?shù)學(xué)試卷的介紹，希望能夠幫助到大家。
山西省太原市高二期末理科數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.命題“若x2，則x1”的逆否命題是( )
A.若x2，則x1 B.若x2，則x1 C.若x1，則x2 D.若x1，則x2
2.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是( )
A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣2
3.已知空間向量=(0，1，1)，=(﹣1，0，1)，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
4.焦點(diǎn)在x軸上，且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是( )
A.x2﹣=1 B.=1 C.=1 D.y2﹣=1
5.已知兩條直線a，b和平面α，若bα，則ab是aα的( )
A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
6.已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，(0，2)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.x2=1 B.y2=1 C.x2=1 D.y2=1
7.已知橢圓=1(0b<2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，那么ABF1的周長( )
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值，與直線l的傾斜角大小有關(guān)
D.不是定值，與b取值大小有關(guān)
8.如圖，在四面體ABCD中，=，點(diǎn)M在AB上，且AM=AB，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，則=( )
A. B. C. D.
9.對于雙曲線C1：=1和C2：=1，給出下列四個(gè)結(jié)論：
(1)離心率相等;(2)漸近線相同;(3)沒有公共點(diǎn);(4)焦距相等，其中正確的結(jié)論是( )
A.(1)(2)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(2)(4)
10.已知=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
11.與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切的圓的圓心在( )
A.一個(gè)橢圓上 B.雙曲線的一支上
C.一條拋物線上 D.一個(gè)圓上
12.已知p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，那么命題“pq”為真命題的充要條件是( )
A.a﹣2或a=1 B.a﹣2或1a≤2 C.a1 D.﹣2a≤1
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.
13.(4分)雙曲線x2﹣y2=1的離心率為 .
14.(4分)命題“若x|≠3，則x3”的真假為 .(填“真”或“假”)
15.(4分)橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若PF1|=4，F(xiàn)1PF2的大小為 .
16.(4分)如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影O為AC的中點(diǎn)，A1O=2，ABBC，AB=BC=點(diǎn)P在線段A1B上，且cosPAO=，則直線AP與平面A1AC所成角的正弦值為 .
三、解答題：本大題共7小題，共48分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗(yàn)算過程.
17.(8分)已知命題p：x∈R，x|+x≥0;q：關(guān)于x的方程x2mx+1=0有實(shí)數(shù)根.
(1)寫出命題p的否定，并判斷命題p的否定的真假;
(2)若命題“pq”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
18.(10分)已知空間四點(diǎn)A(2，0，0)，B(0，2，1)，C(1，1，1)，D(﹣1，m，n).
(1)若ABCD，求實(shí)數(shù)m，n的值;
(2)若mn=1，且直線AB和CD所成角的余弦值為，求實(shí)數(shù)m的值.
19.(10分)已知拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)M(1，y)到焦點(diǎn)F的距離為.
(1)求p的值;
(2)若圓(x﹣a)2y2=1與拋物線C有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
20.(10分)如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC平面ABC，ACB=45°，BC=2，AB=2.
(1)求AC的長;
(2)若PC=，點(diǎn)M在側(cè)棱PB上，且，當(dāng)λ為何值時(shí)，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
21.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC平面ABC，PAC=30°，ACB=45°，BC=2，PAAB.
(1)求PC的長;
(2)若點(diǎn)M在側(cè)棱PB上，且，當(dāng)λ為何值時(shí)，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
22.(10分)已知橢圓E：=1(ab>0)的離心率為，右焦點(diǎn)為F，橢圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，且BF|=.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若斜率為1的直線l經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N，在橢圓E上是否存在點(diǎn)P，使得PMN的面積為，請說明理由.
23.已知橢圓E：=1(ab>0)的離心率為，過焦點(diǎn)垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)斜率為k的直線l經(jīng)過原點(diǎn)，與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N，判斷并說明在橢圓E上是否存在點(diǎn)P，使得PMN的面積為.
2016-2017學(xué)年山西省太原市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.命題“若x2，則x1”的逆否命題是( )
A.若x2，則x1 B.若x2，則x1 C.若x1，則x2 D.若x1，則x2
【分析】根據(jù)逆否命題的定義，結(jié)合已知中的原命題，可得答案.
【解答】解：命題“若x2，則x1”的逆否命題是“若x1，則x2”，
故選：C
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是四種命題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.
2.(2017•和平區(qū)模擬)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是( )
A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣2
【分析】利用拋物線的準(zhǔn)線方程求解即可.
【解答】解：拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是x=﹣=﹣2，
故選：C
【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，基本知識的考查.
3.已知空間向量=(0，1，1)，=(﹣1，0，1)，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
【分析】由已知中向量，，求出兩個(gè)向量的模和數(shù)量積，代入夾角余弦公式，可得答案.
【解答】解：空間向量=(0，1，1)，=(﹣1，0，1)，
與的夾角θ滿足，
cosθ===，
θ=，
故選：A
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角，向量的模，難度中檔.
4.焦點(diǎn)在x軸上，且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是( )
A.x2﹣=1 B.=1 C.=1 D.y2﹣=1
【分析】利用焦點(diǎn)在x軸上，且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程，結(jié)合選項(xiàng)，即可得出結(jié)論.
【解答】解：由題意，焦點(diǎn)在x軸上，且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是x2﹣=1，
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，比較基礎(chǔ).
5.(2013•泉州二模)已知兩條直線a，b和平面α，若bα，則ab是aα的( )
A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
【分析】我們先判斷ab⇒a∥α與aα⇒a∥b的真假，然后利用充要條件的定義，我們易得到ab是aα的關(guān)系.
【解答】解：當(dāng)bα是
若ab時(shí)，a與α的關(guān)系可能是aα，也可能是aα，即aα不一定成立，故ab⇒a∥α為假命題;
若aα時(shí)，a與b的關(guān)系可能是ab，也可能是a與b異面，即ab不一定成立，故aα⇒a∥b也為假命題;
故ab是aα的既不充分又不必要條件
故選D
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是充要條件，直線與平面平行關(guān)系的判斷，先判斷ab⇒a∥α與aα⇒a∥b的真假，然后利用充要條件的定義得到結(jié)論是證明充要條件的常規(guī)方法，要求大家熟練掌握.
6.已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，(0，2)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.x2=1 B.y2=1 C.x2=1 D.y2=1
【分析】橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，(0，2)，則橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(ab>0).即可得出.
【解答】解：橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，(0，2)，
則橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(ab>0).
則a=2，b=1.
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
7.已知橢圓=1(0b<2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，那么ABF1的周長( )
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值，與直線l的傾斜角大小有關(guān)
D.不是定值，與b取值大小有關(guān)
【分析】由題意畫出圖形，可得ABF1的周長為4a，則答案可求.
【解答】解：如圖，
橢圓=1(0b<2)，
橢圓的長軸長為2a=4，
ABF1的周長=4a=8.
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的定義，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題.
8.如圖，在四面體ABCD中，=，點(diǎn)M在AB上，且AM=AB，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，則=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知可得==++，進(jìn)而得到答案.
【解答】解：點(diǎn)M在AB上，且AM=AB，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，
=，=，
=+=++，
又=，
=，
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，向量的線性運(yùn)算，難度中檔.
9.對于雙曲線C1：=1和C2：=1，給出下列四個(gè)結(jié)論：
(1)離心率相等;(2)漸近線相同;(3)沒有公共點(diǎn);(4)焦距相等，其中正確的結(jié)論是( )
A.(1)(2)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(2)(4)
【分析】利用方程，分別計(jì)算離心率、漸近線、焦距，即可得出結(jié)論.
【解答】解：由題意，雙曲線C1：=1，C2：=1，
(1)離心率分別為，;(2)漸近線相同，為y=x;(3)沒有公共點(diǎn);(4)焦距相等，為10，
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).
10.已知=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
【分析】可先設(shè)Q(x，y，z)，由點(diǎn)Q在直線OP上可得Q(λ，λ，2λ)，則由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得=2(3λ2﹣8λ5)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求，取得最小值時(shí)的λ，進(jìn)而可求Q
【解答】解：設(shè)Q(x，y，z)
由點(diǎn)Q在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得，則有Q(λ，λ，2λ)
，
當(dāng)=(1﹣λ)(2﹣λ)(2﹣λ)(1﹣λ)(3﹣2λ)(2﹣2λ)=2(3λ2﹣8λ5)
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值此時(shí)Q
故選：C
【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量的共線定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由點(diǎn)Q在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得，進(jìn)而有Q(λ，λ，2λ)，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識求解最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用.
11.與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切的圓的圓心在( )
A.一個(gè)橢圓上 B.雙曲線的一支上
C.一條拋物線上 D.一個(gè)圓上
【分析】設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，然后根據(jù)動(dòng)圓與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切得PF|=2+r、PO|=1+r，再兩式相減消去參數(shù)r，則滿足雙曲線的定義，問題解決.
【解答】解：設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r，而圓x2y2=1的圓心為O(0，0)，半徑為1;圓x2y2﹣8x12=0的圓心為F(4，0)，半徑為2.
依題意得PF|=2+r，PO|=1+r，則PF|﹣PO|=(2r)﹣(1r)=1FO|，所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支.
故選B.
【點(diǎn)評】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題.
12.已知p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，那么命題“pq”為真命題的充要條件是( )
A.a﹣2或a=1 B.a﹣2或1a≤2 C.a1 D.﹣2a≤1
【分析】p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，可得a(x2)min.q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，則0，解得a，即可得出命題“pq”為真命題的充要條件.
【解答】解：p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，a≤(x2)min，a≤1.
q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，則=4a2﹣4(2﹣a)0，解得a1，或a﹣2.
那么命題“pq”為真命題的充要條件是，解得a=1或a﹣2.
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查了不等式的解法、充要條件的判定、函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.
13.(4分)雙曲線x2﹣y2=1的離心率為 .
【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程分析可得a=1，b=1，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)可得c的值，進(jìn)而由離心率計(jì)算公式計(jì)算可得答案.
【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為x2﹣y2=1，變形可得﹣=1，
則a=1，b=1，
則有c==，
則其離心率e==，
故答案為：.
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，要從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析得到a、b的值.
14.(4分)命題“若x|≠3，則x3”的真假為 真 .(填“真”或“假”)
【分析】若x|≠3，則x3且x﹣3，x≠3
【解答】解：若x|≠3，則x3且x﹣3，x≠3，
故答案為：真
【點(diǎn)評】本題考查了命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題.
15.(4分)(2014•開封一模)橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若PF1|=4，F(xiàn)1PF2的大小為 120° .
【分析】由PF1|+|PF2|=6，且PF1|=4，易得PF2|，再利用余弦定理，即可求得結(jié)論.
【解答】解：PF1|+|PF2|=2a=6，PF1|=4，
PF2|=6﹣PF1|=2.
在F1PF2中，cosF1PF2==﹣，
F1PF2=120°.
故答案為：120°
【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓定義的應(yīng)用及焦點(diǎn)三角形問題，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
16.(4分)如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影O為AC的中點(diǎn)，A1O=2，ABBC，AB=BC=點(diǎn)P在線段A1B上，且cosPAO=，則直線AP與平面A1AC所成角的正弦值為 .
【分析】取AA1的中點(diǎn)H，連結(jié)PO，PH，AN.則PH面AA1C，APO為直角三角形，且cosPAO=，得AP
PAH為直線AP與平面A1AC所成角，sinPAH=.
【解答】解：AB⊥BC，AB=BC=，AC=2，AO=1.
點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影O為AC的中點(diǎn)，A1O=2，ABBC，
AO，BO，A1O互相垂直，即面ABC，面AA1C，面A1OB互相垂直，
取AA1的中點(diǎn)H，連結(jié)PO，PH，AN.則PH面AA1C
APO為直角三角形，且cosPAO=，AP=，
PAH為直線AP與平面A1AC所成角，sinPAH=.
故答案為：
【點(diǎn)評】本題考查了空間角的求解，屬于中檔題.
三、解答題：本大題共7小題，共48分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗(yàn)算過程.
17.(8分)已知命題p：x∈R，x|+x≥0;q：關(guān)于x的方程x2mx+1=0有實(shí)數(shù)根.
(1)寫出命題p的否定，并判斷命題p的否定的真假;
(2)若命題“pq”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【分析】(1)命題p的否定：存在x0R，x0|+x0<0.容易判斷真假.
(2)命題p：x∈R，x|+x≥0是真命題;命題“pq”為假命題，可得q為假命題.因此關(guān)于x的方程x2mx+1=0沒有實(shí)數(shù)根.因此0，解得m范圍.
【解答】解：(1)命題p的否定：存在x0R，x0|+x0<0.是一個(gè)假命題.
(2)命題p：x∈R，x|+x≥0是真命題;命題“pq”為假命題，q為假命題.
因此關(guān)于x的方程x2mx+1=0沒有實(shí)數(shù)根.=m2﹣40，解得﹣2m<2.
實(shí)數(shù)m的取值范圍是(﹣2，2).
【點(diǎn)評】本題考查了絕對值不等式的解法、充要條件的判定、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
18.(10分)已知空間四點(diǎn)A(2，0，0)，B(0，2，1)，C(1，1，1)，D(﹣1，m，n).
(1)若ABCD，求實(shí)數(shù)m，n的值;
(2)若mn=1，且直線AB和CD所成角的余弦值為，求實(shí)數(shù)m的值.
【分析】(1)=(﹣2，2，1)，=(﹣2，m﹣1，n﹣1)，利用ABCD，即可求實(shí)數(shù)m，n的值;
(2)若mn=1，且直線AB和CD所成角的余弦值為，即=，即可求實(shí)數(shù)m的值.
【解答】解：(1)=(﹣2，2，1)，=(﹣2，m﹣1，n﹣1)，
AB∥CD，
m﹣1=2，n﹣1=1，
m=3，n=2;
(2)由題意，=，mn=1，
m=3.
【點(diǎn)評】本題考查空間角的計(jì)算，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.
19.(10分)已知拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)M(1，y)到焦點(diǎn)F的距離為.
(1)求p的值;
(2)若圓(x﹣a)2y2=1與拋物線C有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【分析】(1)根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求出;
(2)聯(lián)立方程組，根據(jù)題意可得，解得即可.
【解答】解：(1)拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)M(1，y)到焦點(diǎn)F的距離為.
則1=，
解得p=，
(2)由(1)以及已知得，
即4x2(1﹣8a)x4a2﹣4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則，
解得1a<，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，)
【點(diǎn)評】本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，考查計(jì)算能力，正確合理轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.
20.(10分)如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC平面ABC，ACB=45°，BC=2，AB=2.
(1)求AC的長;
(2)若PC=，點(diǎn)M在側(cè)棱PB上，且，當(dāng)λ為何值時(shí)，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【分析】(1)由已知條件利用余弦定理，利能求出AC.
(2)以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACM的一個(gè)法向量和平面ABC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出當(dāng)λ=1時(shí)，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【解答】解：：(1)在ABC中，
由余弦定理得AB2=BC2AC2﹣2BCAC×cos∠ACB，
得4=8AC2+﹣4AC，解得AC=2.
(2)PC⊥平面ABC，PAAB，AB⊥AC，
以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，2，)，
點(diǎn)M在側(cè)棱PB上，且=，
M(，，)，
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為=(x，y，z)，
則，取z=1，得=(﹣，0，1)，
平面ABC的一個(gè)法向量=(0，0，1)，
二面角B﹣AC﹣M的大小為30°，
cos30°===，
解得λ=1或λ=﹣1(舍)，
當(dāng)λ=1時(shí)，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【點(diǎn)評】本題考查線段長的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.
21.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC平面ABC，PAC=30°，ACB=45°，BC=2，PAAB.
(1)求PC的長;
(2)若點(diǎn)M在側(cè)棱PB上，且，當(dāng)λ為何值時(shí)，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【分析】(1)以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PC.
(2)求出平面ACM的一個(gè)法向量和平面ABC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出當(dāng)λ=1時(shí)，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【解答】解：(1)PC⊥平面ABC，PAAB，AB⊥AC，
以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
PA⊥AB，=0，
()•()==0，
PC⊥平面ABC，•=0，=0，
﹣|•||cos∠ACB+||2=0，
即﹣，
解得AC=2，
在Rt中，PC=ACsin30°=.
(2)B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，2，)，
點(diǎn)M在側(cè)棱PB上，且，
M(，，)，
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為=(x，y，z)，
則，取z=1，得=(﹣)，
平面ABC的一個(gè)法向量=(0，0，1)，
二面角B﹣AC﹣M的大小為30°，
cos30°==，
解得λ=1或λ=﹣1(舍)，
當(dāng)λ=1時(shí)，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【點(diǎn)評】本題考查線段長的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.
22.(10分)已知橢圓E：=1(ab>0)的離心率為，右焦點(diǎn)為F，橢圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，且BF|=.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若斜率為1的直線l經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N，在橢圓E上是否存在點(diǎn)P，使得PMN的面積為，請說明理由.
【分析】(1)由題意求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求;
(2)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)及直線l的方程，由PMN的面積為求得點(diǎn)P到直線l的距離為1，再設(shè)出過點(diǎn)P與直線l平行的直線l1：y=xm.與橢圓方程聯(lián)立，由判別式等于0求得m值，再結(jié)合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離，與1比較得答案.
【解答】解：(1)由題意，，得c=1，b2=a2﹣c2=1.
則橢圓E的方程為：;
(2)存在.
設(shè)點(diǎn)P(x，y)，直線l的方程為y=x﹣1.
由，得M(0，﹣1)，N()，
則MN|=.
則點(diǎn)P到直線l的距離為.
設(shè)過點(diǎn)P與直線l平行的直線l1：y=xm.
聯(lián)立，得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12(2m2﹣2)=0，解得m=.
當(dāng)m=時(shí)，l與l1之間的距離為1;
當(dāng)m=﹣時(shí)，l與l1之間的距離為1.
則在橢圓E上存在點(diǎn)P，使得PMN的面積為.
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題.
23.已知橢圓E：=1(ab>0)的離心率為，過焦點(diǎn)垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)斜率為k的直線l經(jīng)過原點(diǎn)，與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N，判斷并說明在橢圓E上是否存在點(diǎn)P，使得PMN的面積為.
【分析】(1)由題意求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求;
(2)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)及直線l的方程，由PMN的面積為求得點(diǎn)P到直線l的距離為1，再設(shè)出過點(diǎn)P與直線l平行的直線l1：y=xm.與橢圓方程聯(lián)立，由判別式等于0求得m值，再結(jié)合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離，與1比較得答案.
【解答】解：(1)由題意，，得c=1，b2=a2﹣c2=1.
則橢圓E的方程為：;
(2)存在.
設(shè)點(diǎn)P(x，y)，直線l的方程為y=x﹣1.
由，得M(0，﹣1)，N()，
則MN|=.
則點(diǎn)P到直線l的距離為.
設(shè)過點(diǎn)P與直線l平行的直線l1：y=xm.
聯(lián)立，得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12(2m2﹣2)=0，解得m=.
當(dāng)m=時(shí)，l與l1之間的距離為1;
當(dāng)m=﹣時(shí)，l與l1之間的距離為1.
則在橢圓E上存在點(diǎn)P，使得PMN的面積為.
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題.
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