山西省太原市高二期末文理科數(shù)學(xué)試卷
山西省太原市高二期末文理科數(shù)學(xué)試卷
學(xué)生免不了要做大量的試卷,這樣比較容易讓學(xué)生適應(yīng)高考,下面學(xué)習(xí)啦的小編將為大家?guī)?lái)山西太原的高二的數(shù)學(xué)試卷的介紹,希望能夠幫助到大家。
山西省太原市高二期末理科數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題:本大題共12小題,每小題3分,共36分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有且只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.命題“若x2,則x1”的逆否命題是( )
A.若x2,則x1 B.若x2,則x1 C.若x1,則x2 D.若x1,則x2
2.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是( )
A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣2
3.已知空間向量=(0,1,1),=(﹣1,0,1),則與的夾角為( )
A. B. C. D.
4.焦點(diǎn)在x軸上,且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是( )
A.x2﹣=1 B.=1 C.=1 D.y2﹣=1
5.已知兩條直線a,b和平面α,若bα,則ab是aα的( )
A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
6.已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(0,2),則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.x2=1 B.y2=1 C.x2=1 D.y2=1
7.已知橢圓=1(0b<2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,直線l過F2且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,那么ABF1的周長(zhǎng)( )
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值,與直線l的傾斜角大小有關(guān)
D.不是定值,與b取值大小有關(guān)
8.如圖,在四面體ABCD中,=,點(diǎn)M在AB上,且AM=AB,點(diǎn)N是CD的中點(diǎn),則=( )
A. B. C. D.
9.對(duì)于雙曲線C1:=1和C2:=1,給出下列四個(gè)結(jié)論:
(1)離心率相等;(2)漸近線相同;(3)沒有公共點(diǎn);(4)焦距相等,其中正確的結(jié)論是( )
A.(1)(2)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(2)(4)
10.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)取得最小值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
11.與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切的圓的圓心在( )
A.一個(gè)橢圓上 B.雙曲線的一支上
C.一條拋物線上 D.一個(gè)圓上
12.已知p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,那么命題“pq”為真命題的充要條件是( )
A.a﹣2或a=1 B.a﹣2或1a≤2 C.a1 D.﹣2a≤1
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.
13.(4分)雙曲線x2﹣y2=1的離心率為 .
14.(4分)命題“若x|≠3,則x3”的真假為 .(填“真”或“假”)
15.(4分)橢圓的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在橢圓上,若PF1|=4,F(xiàn)1PF2的大小為 .
16.(4分)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影O為AC的中點(diǎn),A1O=2,ABBC,AB=BC=點(diǎn)P在線段A1B上,且cosPAO=,則直線AP與平面A1AC所成角的正弦值為 .
三、解答題:本大題共7小題,共48分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過程.
17.(8分)已知命題p:x∈R,x|+x≥0;q:關(guān)于x的方程x2mx+1=0有實(shí)數(shù)根.
(1)寫出命題p的否定,并判斷命題p的否定的真假;
(2)若命題“pq”為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
18.(10分)已知空間四點(diǎn)A(2,0,0),B(0,2,1),C(1,1,1),D(﹣1,m,n).
(1)若ABCD,求實(shí)數(shù)m,n的值;
(2)若mn=1,且直線AB和CD所成角的余弦值為,求實(shí)數(shù)m的值.
19.(10分)已知拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)M(1,y)到焦點(diǎn)F的距離為.
(1)求p的值;
(2)若圓(x﹣a)2y2=1與拋物線C有四個(gè)不同的公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
20.(10分)如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PC平面ABC,ACB=45°,BC=2,AB=2.
(1)求AC的長(zhǎng);
(2)若PC=,點(diǎn)M在側(cè)棱PB上,且,當(dāng)λ為何值時(shí),二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
21.如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PC平面ABC,PAC=30°,ACB=45°,BC=2,PAAB.
(1)求PC的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)M在側(cè)棱PB上,且,當(dāng)λ為何值時(shí),二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
22.(10分)已知橢圓E:=1(ab>0)的離心率為,右焦點(diǎn)為F,橢圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)B,且BF|=.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若斜率為1的直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,0),與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M,N,在橢圓E上是否存在點(diǎn)P,使得PMN的面積為,請(qǐng)說(shuō)明理由.
23.已知橢圓E:=1(ab>0)的離心率為,過焦點(diǎn)垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)斜率為k的直線l經(jīng)過原點(diǎn),與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M,N,判斷并說(shuō)明在橢圓E上是否存在點(diǎn)P,使得PMN的面積為.
2016-2017學(xué)年山西省太原市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)
參考答案與試題解析
一、選擇題:本大題共12小題,每小題3分,共36分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有且只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.命題“若x2,則x1”的逆否命題是( )
A.若x2,則x1 B.若x2,則x1 C.若x1,則x2 D.若x1,則x2
【分析】根據(jù)逆否命題的定義,結(jié)合已知中的原命題,可得答案.
【解答】解:命題“若x2,則x1”的逆否命題是“若x1,則x2”,
故選:C
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是四種命題,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.
2.(2017•和平區(qū)模擬)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是( )
A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣2
【分析】利用拋物線的準(zhǔn)線方程求解即可.
【解答】解:拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是x=﹣=﹣2,
故選:C
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,基本知識(shí)的考查.
3.已知空間向量=(0,1,1),=(﹣1,0,1),則與的夾角為( )
A. B. C. D.
【分析】由已知中向量,,求出兩個(gè)向量的模和數(shù)量積,代入夾角余弦公式,可得答案.
【解答】解:空間向量=(0,1,1),=(﹣1,0,1),
與的夾角θ滿足,
cosθ===,
θ=,
故選:A
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量的夾角,向量的模,難度中檔.
4.焦點(diǎn)在x軸上,且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是( )
A.x2﹣=1 B.=1 C.=1 D.y2﹣=1
【分析】利用焦點(diǎn)在x軸上,且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程,結(jié)合選項(xiàng),即可得出結(jié)論.
【解答】解:由題意,焦點(diǎn)在x軸上,且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是x2﹣=1,
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì),比較基礎(chǔ).
5.(2013•泉州二模)已知兩條直線a,b和平面α,若bα,則ab是aα的( )
A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
【分析】我們先判斷ab⇒a∥α與aα⇒a∥b的真假,然后利用充要條件的定義,我們易得到ab是aα的關(guān)系.
【解答】解:當(dāng)bα是
若ab時(shí),a與α的關(guān)系可能是aα,也可能是aα,即aα不一定成立,故ab⇒a∥α為假命題;
若aα時(shí),a與b的關(guān)系可能是ab,也可能是a與b異面,即ab不一定成立,故aα⇒a∥b也為假命題;
故ab是aα的既不充分又不必要條件
故選D
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件,直線與平面平行關(guān)系的判斷,先判斷ab⇒a∥α與aα⇒a∥b的真假,然后利用充要條件的定義得到結(jié)論是證明充要條件的常規(guī)方法,要求大家熟練掌握.
6.已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(0,2),則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.x2=1 B.y2=1 C.x2=1 D.y2=1
【分析】橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(0,2),則橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(ab>0).即可得出.
【解答】解:橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(0,2),
則橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(ab>0).
則a=2,b=1.
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
7.已知橢圓=1(0b<2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,直線l過F2且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,那么ABF1的周長(zhǎng)( )
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值,與直線l的傾斜角大小有關(guān)
D.不是定值,與b取值大小有關(guān)
【分析】由題意畫出圖形,可得ABF1的周長(zhǎng)為4a,則答案可求.
【解答】解:如圖,
橢圓=1(0b<2),
橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4,
ABF1的周長(zhǎng)=4a=8.
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是基礎(chǔ)題.
8.如圖,在四面體ABCD中,=,點(diǎn)M在AB上,且AM=AB,點(diǎn)N是CD的中點(diǎn),則=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知可得==++,進(jìn)而得到答案.
【解答】解:點(diǎn)M在AB上,且AM=AB,點(diǎn)N是CD的中點(diǎn),
=,=,
=+=++,
又=,
=,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用,向量的線性運(yùn)算,難度中檔.
9.對(duì)于雙曲線C1:=1和C2:=1,給出下列四個(gè)結(jié)論:
(1)離心率相等;(2)漸近線相同;(3)沒有公共點(diǎn);(4)焦距相等,其中正確的結(jié)論是( )
A.(1)(2)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(2)(4)
【分析】利用方程,分別計(jì)算離心率、漸近線、焦距,即可得出結(jié)論.
【解答】解:由題意,雙曲線C1:=1,C2:=1,
(1)離心率分別為,;(2)漸近線相同,為y=x;(3)沒有公共點(diǎn);(4)焦距相等,為10,
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ).
10.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)取得最小值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
【分析】可先設(shè)Q(x,y,z),由點(diǎn)Q在直線OP上可得Q(λ,λ,2λ),則由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得=2(3λ2﹣8λ5),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求,取得最小值時(shí)的λ,進(jìn)而可求Q
【解答】解:設(shè)Q(x,y,z)
由點(diǎn)Q在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得,則有Q(λ,λ,2λ)
,
當(dāng)=(1﹣λ)(2﹣λ)(2﹣λ)(1﹣λ)(3﹣2λ)(2﹣2λ)=2(3λ2﹣8λ5)
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí),取得最小值此時(shí)Q
故選:C
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的共線定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是由點(diǎn)Q在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得,進(jìn)而有Q(λ,λ,2λ),然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)求解最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用.
11.與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切的圓的圓心在( )
A.一個(gè)橢圓上 B.雙曲線的一支上
C.一條拋物線上 D.一個(gè)圓上
【分析】設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r,然后根據(jù)動(dòng)圓與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切得PF|=2+r、PO|=1+r,再兩式相減消去參數(shù)r,則滿足雙曲線的定義,問題解決.
【解答】解:設(shè)動(dòng)圓的圓心為P,半徑為r,而圓x2y2=1的圓心為O(0,0),半徑為1;圓x2y2﹣8x12=0的圓心為F(4,0),半徑為2.
依題意得PF|=2+r,PO|=1+r,則PF|﹣PO|=(2r)﹣(1r)=1FO|,所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系,考查雙曲線的定義,屬于基礎(chǔ)題.
12.已知p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,那么命題“pq”為真命題的充要條件是( )
A.a﹣2或a=1 B.a﹣2或1a≤2 C.a1 D.﹣2a≤1
【分析】p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,可得a(x2)min.q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,則0,解得a,即可得出命題“pq”為真命題的充要條件.
【解答】解:p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,a≤(x2)min,a≤1.
q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,則=4a2﹣4(2﹣a)0,解得a1,或a﹣2.
那么命題“pq”為真命題的充要條件是,解得a=1或a﹣2.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解法、充要條件的判定、函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.
13.(4分)雙曲線x2﹣y2=1的離心率為 .
【分析】根據(jù)題意,由雙曲線的方程分析可得a=1,b=1,結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)可得c的值,進(jìn)而由離心率計(jì)算公式計(jì)算可得答案.
【解答】解:根據(jù)題意,雙曲線的方程為x2﹣y2=1,變形可得﹣=1,
則a=1,b=1,
則有c==,
則其離心率e==,
故答案為:.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),要從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析得到a、b的值.
14.(4分)命題“若x|≠3,則x3”的真假為 真 .(填“真”或“假”)
【分析】若x|≠3,則x3且x﹣3,x≠3
【解答】解:若x|≠3,則x3且x﹣3,x≠3,
故答案為:真
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判定,屬于基礎(chǔ)題.
15.(4分)(2014•開封一模)橢圓的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在橢圓上,若PF1|=4,F(xiàn)1PF2的大小為 120° .
【分析】由PF1|+|PF2|=6,且PF1|=4,易得PF2|,再利用余弦定理,即可求得結(jié)論.
【解答】解:PF1|+|PF2|=2a=6,PF1|=4,
PF2|=6﹣PF1|=2.
在F1PF2中,cosF1PF2==﹣,
F1PF2=120°.
故答案為:120°
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓定義的應(yīng)用及焦點(diǎn)三角形問題,考查余弦定理的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
16.(4分)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影O為AC的中點(diǎn),A1O=2,ABBC,AB=BC=點(diǎn)P在線段A1B上,且cosPAO=,則直線AP與平面A1AC所成角的正弦值為 .
【分析】取AA1的中點(diǎn)H,連結(jié)PO,PH,AN.則PH面AA1C,APO為直角三角形,且cosPAO=,得AP
PAH為直線AP與平面A1AC所成角,sinPAH=.
【解答】解:AB⊥BC,AB=BC=,AC=2,AO=1.
點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影O為AC的中點(diǎn),A1O=2,ABBC,
AO,BO,A1O互相垂直,即面ABC,面AA1C,面A1OB互相垂直,
取AA1的中點(diǎn)H,連結(jié)PO,PH,AN.則PH面AA1C
APO為直角三角形,且cosPAO=,AP=,
PAH為直線AP與平面A1AC所成角,sinPAH=.
故答案為:
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間角的求解,屬于中檔題.
三、解答題:本大題共7小題,共48分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過程.
17.(8分)已知命題p:x∈R,x|+x≥0;q:關(guān)于x的方程x2mx+1=0有實(shí)數(shù)根.
(1)寫出命題p的否定,并判斷命題p的否定的真假;
(2)若命題“pq”為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【分析】(1)命題p的否定:存在x0R,x0|+x0<0.容易判斷真假.
(2)命題p:x∈R,x|+x≥0是真命題;命題“pq”為假命題,可得q為假命題.因此關(guān)于x的方程x2mx+1=0沒有實(shí)數(shù)根.因此0,解得m范圍.
【解答】解:(1)命題p的否定:存在x0R,x0|+x0<0.是一個(gè)假命題.
(2)命題p:x∈R,x|+x≥0是真命題;命題“pq”為假命題,q為假命題.
因此關(guān)于x的方程x2mx+1=0沒有實(shí)數(shù)根.=m2﹣40,解得﹣2m<2.
實(shí)數(shù)m的取值范圍是(﹣2,2).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法、充要條件的判定、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
18.(10分)已知空間四點(diǎn)A(2,0,0),B(0,2,1),C(1,1,1),D(﹣1,m,n).
(1)若ABCD,求實(shí)數(shù)m,n的值;
(2)若mn=1,且直線AB和CD所成角的余弦值為,求實(shí)數(shù)m的值.
【分析】(1)=(﹣2,2,1),=(﹣2,m﹣1,n﹣1),利用ABCD,即可求實(shí)數(shù)m,n的值;
(2)若mn=1,且直線AB和CD所成角的余弦值為,即=,即可求實(shí)數(shù)m的值.
【解答】解:(1)=(﹣2,2,1),=(﹣2,m﹣1,n﹣1),
AB∥CD,
m﹣1=2,n﹣1=1,
m=3,n=2;
(2)由題意,=,mn=1,
m=3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間角的計(jì)算,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
19.(10分)已知拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)M(1,y)到焦點(diǎn)F的距離為.
(1)求p的值;
(2)若圓(x﹣a)2y2=1與拋物線C有四個(gè)不同的公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【分析】(1)根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求出;
(2)聯(lián)立方程組,根據(jù)題意可得,解得即可.
【解答】解:(1)拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)M(1,y)到焦點(diǎn)F的距離為.
則1=,
解得p=,
(2)由(1)以及已知得,
即4x2(1﹣8a)x4a2﹣4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
則,
解得1a<,
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力,考查計(jì)算能力,正確合理轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.
20.(10分)如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PC平面ABC,ACB=45°,BC=2,AB=2.
(1)求AC的長(zhǎng);
(2)若PC=,點(diǎn)M在側(cè)棱PB上,且,當(dāng)λ為何值時(shí),二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【分析】(1)由已知條件利用余弦定理,利能求出AC.
(2)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,過A作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ACM的一個(gè)法向量和平面ABC的一個(gè)法向量,利用向量法能求出當(dāng)λ=1時(shí),二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【解答】解::(1)在ABC中,
由余弦定理得AB2=BC2AC2﹣2BCAC×cos∠ACB,
得4=8AC2+﹣4AC,解得AC=2.
(2)PC⊥平面ABC,PAAB,AB⊥AC,
以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,過A作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,2,),
點(diǎn)M在側(cè)棱PB上,且=,
M(,,),
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為=(x,y,z),
則,取z=1,得=(﹣,0,1),
平面ABC的一個(gè)法向量=(0,0,1),
二面角B﹣AC﹣M的大小為30°,
cos30°===,
解得λ=1或λ=﹣1(舍),
當(dāng)λ=1時(shí),二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段長(zhǎng)的求法,考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
21.如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PC平面ABC,PAC=30°,ACB=45°,BC=2,PAAB.
(1)求PC的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)M在側(cè)棱PB上,且,當(dāng)λ為何值時(shí),二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【分析】(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,過A作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出PC.
(2)求出平面ACM的一個(gè)法向量和平面ABC的一個(gè)法向量,利用向量法能求出當(dāng)λ=1時(shí),二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【解答】解:(1)PC⊥平面ABC,PAAB,AB⊥AC,
以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,過A作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
PA⊥AB,=0,
()•()==0,
PC⊥平面ABC,•=0,=0,
﹣|•||cos∠ACB+||2=0,
即﹣,
解得AC=2,
在Rt中,PC=ACsin30°=.
(2)B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,2,),
點(diǎn)M在側(cè)棱PB上,且,
M(,,),
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為=(x,y,z),
則,取z=1,得=(﹣),
平面ABC的一個(gè)法向量=(0,0,1),
二面角B﹣AC﹣M的大小為30°,
cos30°==,
解得λ=1或λ=﹣1(舍),
當(dāng)λ=1時(shí),二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段長(zhǎng)的求法,考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
22.(10分)已知橢圓E:=1(ab>0)的離心率為,右焦點(diǎn)為F,橢圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)B,且BF|=.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若斜率為1的直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,0),與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M,N,在橢圓E上是否存在點(diǎn)P,使得PMN的面積為,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【分析】(1)由題意求得a,c的值,結(jié)合隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)及直線l的方程,由PMN的面積為求得點(diǎn)P到直線l的距離為1,再設(shè)出過點(diǎn)P與直線l平行的直線l1:y=xm.與橢圓方程聯(lián)立,由判別式等于0求得m值,再結(jié)合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離,與1比較得答案.
【解答】解:(1)由題意,,得c=1,b2=a2﹣c2=1.
則橢圓E的方程為:;
(2)存在.
設(shè)點(diǎn)P(x,y),直線l的方程為y=x﹣1.
由,得M(0,﹣1),N(),
則MN|=.
則點(diǎn)P到直線l的距離為.
設(shè)過點(diǎn)P與直線l平行的直線l1:y=xm.
聯(lián)立,得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12(2m2﹣2)=0,解得m=.
當(dāng)m=時(shí),l與l1之間的距離為1;
當(dāng)m=﹣時(shí),l與l1之間的距離為1.
則在橢圓E上存在點(diǎn)P,使得PMN的面積為.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,屬中檔題.
23.已知橢圓E:=1(ab>0)的離心率為,過焦點(diǎn)垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)斜率為k的直線l經(jīng)過原點(diǎn),與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M,N,判斷并說(shuō)明在橢圓E上是否存在點(diǎn)P,使得PMN的面積為.
【分析】(1)由題意求得a,c的值,結(jié)合隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)及直線l的方程,由PMN的面積為求得點(diǎn)P到直線l的距離為1,再設(shè)出過點(diǎn)P與直線l平行的直線l1:y=xm.與橢圓方程聯(lián)立,由判別式等于0求得m值,再結(jié)合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離,與1比較得答案.
【解答】解:(1)由題意,,得c=1,b2=a2﹣c2=1.
則橢圓E的方程為:;
(2)存在.
設(shè)點(diǎn)P(x,y),直線l的方程為y=x﹣1.
由,得M(0,﹣1),N(),
則MN|=.
則點(diǎn)P到直線l的距離為.
設(shè)過點(diǎn)P與直線l平行的直線l1:y=xm.
聯(lián)立,得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12(2m2﹣2)=0,解得m=.
當(dāng)m=時(shí),l與l1之間的距離為1;
當(dāng)m=﹣時(shí),l與l1之間的距離為1.
則在橢圓E上存在點(diǎn)P,使得PMN的面積為.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,屬中檔題.
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