理科高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試題
我們從一分科開(kāi)始我們的數(shù)學(xué)就文科理科不一樣的了，今天小編就給大家來(lái)分享一下高二數(shù)學(xué)，就給大家來(lái)多多閱讀一下哦
高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理科
第Ⅰ卷(選擇題，共60分)
一、選擇題 (本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.極坐標(biāo)方程(ρ-1)•( )=0(ρ 0)表示的圖形是( )
(A)兩個(gè)圓 (B)兩條直線(C)一個(gè)圓和一條射線 (D)一條直線和一條射線
2.將曲線y=sin 2x按照伸縮變換x′=2xy′=3y后得到的曲線方程為( )
A.y=3sin x B.y=3sin 2x C.y=3sin12x D.y=13sin 2x
3. 若復(fù)數(shù) ( 為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) 的值為( )
A. B. C. D.
4.六把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為( )
A.144 B.120 C.72 D.24
5.盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取4只，那么 為( )
A.恰有1只壞的概率 B.恰有2只好的概率
C.4只全是好的概率 D.至多2只壞的概率
6. 某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過(guò)3次射擊，設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，則 等于( )
A. B. C. D.
7.設(shè) ，則 等于( )
A.1.6 B.3.2 C.6.4 D.12.8
8.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且 ，則 ( )
0 1 2 3
0.1 0.1
A.0.2 B.0.1 C. D.
9. 已知 、 取值如下表：
0 1 4 5 6
1.3
5.6 7.4
畫(huà)散點(diǎn)圖分析可知： 與 線性相關(guān)，且求得回歸方程為 ，則 的值(精確到0.1)為( ) A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8
10.如果隨機(jī)變量ξ～N(-1，σ2)，且P(-3≤ξ≤-1)=0.4，則P(ξ≥1)=( )
A.0.2 B .0.3 C.0.4 D.0.1
11. 用 數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n2n2+13時(shí)，從n=k到n=k+1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是( )
A.(k-1)2+2k2 B.(k+1)2+k2 C.(k+1)2 D.13(k+1)[2(k+1)2+1]
12.調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：
晚上 白天 合計(jì)
男嬰 24 31 55
女?huà)?8 26 34
合計(jì) 32 57 89
你認(rèn)為嬰兒的性別與出生時(shí)間有關(guān)系的把握為 ( )
A.80% B.90% C.95% D.99%
參考公式及數(shù)據(jù)：
P( )
0.25 0.15 0.1 0 0.05 0.025
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題：(把答案填在答題紙對(duì)應(yīng)的橫線上，每小題5分，共20分。)
13.已知x，y∈R，且x+y<2，則x，y中至多有一個(gè)大于1，在用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)為_(kāi)_______.
14.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，________，T16T12成等比數(shù)列.
15. 有4名優(yōu)秀學(xué)生 ， ， ， 全部被保送到甲，乙，丙3所學(xué)校，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案共有 種.
16.設(shè)(2x-1)6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0，則|a0|+|a1|+…+|a6|=________.
三、解答題：本大題6個(gè)題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明及演算步驟
17. (本小題滿分10分)
已知⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cos θ，ρ=-4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)求經(jīng)過(guò)⊙O1，⊙O2交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程.
18.(本題滿分12分)
拋擲一枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4，5，6)，
求：(1)連續(xù)拋擲2次，求向上的數(shù)不同的概率;
(2)連續(xù)拋擲2次，求向上的數(shù)之和為6的概率;
(3)連續(xù)拋擲5次，求恰好出現(xiàn)3次向上的數(shù)為奇數(shù)的概率.
19.(本題滿分12分)
某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：
?、賡in213°+cos217°-sin 13°cos 17°;
?、趕in215°+cos215°-sin 15°cos 15°;
?、踫in218°+cos212°-sin 18°cos 12°;
④sin2(-18°)+cos248°-si n(-18°)cos 48°;
?、輘in2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù);
(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.
20.(本題滿分12分)
設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n展開(kāi)式中x的系數(shù)是19(m，n∈N+).
(1)求f(x)展開(kāi)式中x2的系數(shù)的最小值;
(2)當(dāng)f(x)展開(kāi)式中x2的系數(shù)取最小值時(shí)，求f(x)展開(kāi)式中x7的系數(shù).
21.(本題滿分12分)
一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的， 3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
22.(本題滿分12分)
某種項(xiàng)目的射擊比賽，開(kāi)始時(shí)在距目標(biāo)100m處射擊，如果命中記3分，且停止射擊;若第一次射擊未命中，可以進(jìn)行第 二次射擊，但目標(biāo)已在150m處，這時(shí)命中記2分，且停止射擊;若第二次仍未命中，還可以進(jìn)行第三次射擊，此時(shí)目標(biāo)已在200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊;若三次都未命中，則記0分.已知射手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為 ，他的命中率與目標(biāo)的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨(dú)立的.
(1)求這位射手在三次射擊中命中目標(biāo)的概率;
(2)求這位射手在這次射擊比賽中得分的均值.
高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)試題
答案 1-12 CAADB ACCCD BB 13.x，y都大于1 14. T8T4 T12T8 15.36
16.解析 由(2x-1)6=C06(2x)6+C16(2x)5•(-1)+…+C66(-1)6，
可知x6，x5，…，x0的系數(shù)正、負(fù)相間，且|a0|+|a1|+…+|a6|
=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.令x=-1，有a6x6+a5x5+…+a1x+a0
=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-3)6=36.答案 36
17.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.
(1)由ρ=4cos θ，得ρ2=4ρcos θ，所以x2+y2=4x.
即x2+y2-4x=0為⊙O1的直角坐 標(biāo)方程，同理x2+y2+4y=0為⊙O2的直角坐標(biāo)方程.
(2)由x2+y2-4x=0，x2+y2+4y=0，解得x1=0，y1=0，x2=2，y2=-2.
即⊙O1，⊙O2交于點(diǎn)(0,0)和(2，-2)，故過(guò)交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為θ=1350 (ρ屬于R)
18.解：(1)設(shè)A表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)不同”，則P(A)=6×56×6=56.
(2)設(shè)B表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)之和為6”.
∵向上的數(shù)之和為6的結(jié)果有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)5種，∴P(B)=56×6=536.
(3)設(shè)C表示事件“拋擲5次，恰好出現(xiàn)3次向上的數(shù)為奇數(shù)”.∴P(C)=C35362363=516.
19. 法一 (1)選擇②式，計(jì)算如下：
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-12sin 30°=1-14=34.
(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(3 0°-α)=34.
證明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=sin2α+34cos2α+32sin αcos α+14sin2α-32sin αcos α-12sin2α=34sin2α+34cos2α=34.
法二 (1)同法一.
(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.
證明如下：sin2α+cos2( 30°-α)-sin αcos(30°-α)
=1-cos 2α2+1+cos60°-2α2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=12-12cos 2α+12+12(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-32sin αcos α-12sin2α
=12-12cos 2α+12+14cos 2α+34sin 2α-34sin 2α-14(1-cos 2α)=1-14cos 2α-14+14cos 2α=34.
20解：(1)由題設(shè)條件，得m+n=19.∴m=19-n，x2的系數(shù)為C2m+C2n=C219-n+C2n=19-n18-n2+nn-12=n2-19n+171=n-19 2 2+3234，∵n∈N+.[]∴當(dāng)n=9或n=10時(shí)，x2的系數(shù)取最小值1 2 2+3234=81.
(2)當(dāng)n=9，m=10或n=10，m=9時(shí)，x2的系數(shù)取最小值，此時(shí)x7的系數(shù)為C710+C79=C310+C29=156.
21解 ：由題意知舊球個(gè)數(shù)X的所有可能取值為3，4，5，6.
則P(X=3)=C33C312=1220 ，P(X=4)=C23•C19C312=27220，P(X=5)=C29•C13C312=108220=2755，
P(X=6)=C39C312=84220=2155.故X的分布列為
X 3 4 5 6
p 1220
27220
2755
2155
Ex=214
22.解：記第一、二、三次射擊命中目標(biāo)分別為事件 ，三次都未擊中目標(biāo)為事件D，依題意 ，設(shè)在 m處擊中目標(biāo)的概率為 ，則 ，且 ，
，即 ， ， ， .
(1) 由于各次射擊都是相互獨(dú)立的，
∴該射手在三次射擊中擊中目標(biāo)的概率
.
(2)依題意，設(shè)射手甲得分為X，則 ，
， ， ，
.
高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)答案
1-12 CAADB ACCCD BB 13.x，y都大于1 14. T4(T8) T8(T12) 15.36
16.解析 由(2x-1)6=C6(0)(2x)6+C6(1)(2x)5•(-1)+…+C6(6)(-1)6，
可知x6，x5，…，x0的系數(shù)正、負(fù)相間，且|a0|+|a1|+…+|a6|
=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.令x=-1，有a6x6+a5x5+…+a1x+a0
=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-3)6=36.答案 36
17.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.
(1)由ρ=4cos θ，得ρ2=4ρcos θ，所以x2+y2=4x.
即x2+y2-4x=0為⊙O1的直角坐標(biāo)方程，同理x2+y2+4y=0為⊙O2的直角坐標(biāo)方程.
(2)由x2+y2+4y=0，(x2+y2-4x=0，)解得y1=0，(x1=0，)y2=-2.(x2=2，)
即⊙O1，⊙O2交于點(diǎn)(0,0)和(2，-2)，故過(guò)交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為θ=1350 (ρ屬于 R)
18.解：(1)設(shè)A表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)不同”，則P(A)=6×6(6×5)=6(5).
(2)設(shè)B表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)之和為6”.
∵向上的數(shù)之和為6的結(jié)果有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)5種，∴P(B)=6×6(5)=36(5).
(3)設(shè)C表示事件“拋擲5次，恰好出現(xiàn)3次向上的數(shù)為奇數(shù)”.∴P(C)=C5(3)6(3)6(3)=16(5).
19. 法一 (1)選擇②式，計(jì)算如下：
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-2(1)sin 30°=1-4(1)=4(3).
(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=4(3).
證明如下：sin2α+cos2(30°-α)-si n αcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α )
=sin2α+4(3)cos2α+2(3)sin αcos α+4(1)sin2α-2(3)sin αcos α-2(1)sin2α=4(3)sin2α+4(3) cos2α=4(3) .
法二 (1)同法一.
(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=4(3).
證明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=2(1-cos 2α)+2(1+cos(60°-2α)-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=2(1)-2(1)cos 2α+2(1)+2(1)(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-2(3)sin αcos α-2(1)sin2α
=2(1)-2(1)cos 2α+2(1)+4(1)cos 2α+4(3)sin 2α-4(3)sin 2α-4(1)(1-cos 2α)=1-4(1)cos 2α-4(1)+4(1)cos 2α=4(3).
20解：(1)由題設(shè)條件，得m+n=19.∴m=19-n，x2的系數(shù)為Cm(2)+Cn(2)=C19-n(2)+Cn(2)=2((19-n(18-n)+2(n(n-1)=n2-19n+171= 2 (19 )2+4(323)，∵n∈N+.[]∴當(dāng)n=9或n=10時(shí)，x2的系數(shù)取最小值 2 (1 )2+4(323)=81.
(2)當(dāng)n=9，m=10或n=10，m=9時(shí)，x2的系數(shù)取最小值，此時(shí)x7的系數(shù)為C10(7)+C9(7)=C10(3)+C9(2)=156.
21解 ：由題意知舊球個(gè)數(shù)X的所有可能取值為3，4，5，6.
則P(X=3)=3(3)12(3)12(3)=220(1) ，P(X=4)=3(2)9(1)12(3)12(3)=220(27)，P(X=5)=9(2)3(1)12(3)12(3)=220(108)=55(27)，
P(X=6)=9(3)12(3)12(3)=220(84)=55(21).故X的分布列為
X 3 4 5 6
p 220(1)
220(27)
55(27)
55(21)
Ex=214
22.解：記第一、二、三次射擊命中目標(biāo)分別為事件 ，三次都未擊中目標(biāo)為事件D，依題意 ，設(shè)在 m處擊中目標(biāo)的概率為 ，則 ，且 ，
，即 ， ， ， .
(1) 由于各次射擊都是相互獨(dú)立的，
∴該射手在三次射擊中擊中目標(biāo)的概率
.
(2)依題意，設(shè)射手甲得分為X，則 ，
， ， ，
高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(理)期中試卷
第Ⅰ卷 選擇題(共 60 分)
一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，
只有一個(gè)是符合題目要求的)
→ → → →
1.三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若CA=a，CB=b，CC1=c，則A1B等于( )
A.a+b-c B.a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
2.函數(shù) f ( x) sin x ex ，則 f '(0)
的值為( )
第 1 題圖
A.1 B.2 C.3 D.0
3. 已知 m，n 表示兩條不同直線，α表示平面.下列說(shuō)法正確的是( ) A.若 m∥α，n∥α，則 m∥n B.若 m⊥α，n⊂α，則 m⊥n C.若 m⊥α，m⊥n，則 n∥α D.若 m∥α，m⊥n，則 n⊥α
x
4.函數(shù) f ( x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
ln x
A. (0, e)
B. (e,)
C. (0,1), (1, e)
D. (, e)
5.在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCD A1 B1C1 D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分別是
CC1 、AD 的中點(diǎn)，那么異面直線 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于( )
A. 15 B. 10 C. 4 D. 2
5 5 5 3
-π，π
6.已知函數(shù) f(x)=x-sin x，若 x1，x2∈
2 2 ，且 f(x1)+f(x2)>0，則下列不等
式中正確的是( )
A.x1>x2 B.x1
C.x1+x2>0 D.x1+x2<0
7. 某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是 3， 則正視圖中的 x 的值是( )
A. 3 B. 9
2
C.3 D.2
2
第 7 題圖
8.若對(duì)任意的 x>0，恒有 lnx≤px-1(p>0)，則 p 的取值范圍是( )
A.(0,1] B.(1，+∞) C.(0,1) D.[1，+∞)
9.甲、乙兩人約定在下午 4:30 5:00 間在某地相見(jiàn)，且他們?cè)?4:30 5:00 之間 到達(dá)的時(shí)刻是等可能的，約好當(dāng)其中一人先到后一定要等另一人 20 分鐘，若另一人
仍不到則可以離去，則這兩人能相見(jiàn)的概率是( )
3 8
A. B.
4 9
7 11
C. D.
16 12
10.如圖在一個(gè) 60 的二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn) A，B，線段分別 AC、BD 在這個(gè)二面 角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱 AB，且 AB=AC= a ，BD= 2a ，則 CD 的長(zhǎng)為
( ) C
A. 2a B. 5a A B
C. a D. 3a D
11.已知函數(shù) f ( x) ax3 bx2 cx d 的圖象如圖所示，則
b 1 的取值范圍是( )
a 1
第 10 題圖
y
A. ( 3 , 1 )
B. ( 2 ,1) 1 2
2 2 5
-1 0 x
C. ( 1 , 3 )
D. ( 3 ,1)
2 2 2
第 11 題圖
x 2 y 2
12.已知 F1 ， F2 分別為雙曲線C ：
a 2 b 2
1 的左、右焦點(diǎn)， 若存在過(guò) F1 的直分別交
雙曲線C 的左、右支于 A ， B 兩點(diǎn)，使得 BAF2 BF2 F1 ，則雙曲線C 的離心率e 的 取值范圍是( )
A. 3,
B. 1,2 5
C. 3,2 5
D. 1,3
第Ⅱ卷 非選擇題(共 90 分)
二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分)
13. 1 x2dx = .
0
第 12 題圖
2 2
2 2
14.已知橢圓 C1 : 2 2
a b
1(a b 0) 與雙曲線 C2 : x y
4 有相同的右焦點(diǎn)
F2 ，點(diǎn) P 是 C1 和 C2 的一個(gè)公共點(diǎn)，若 PF2
2 ，則橢圓 C1 的離心率等于 .
15.四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn) A 為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都
相等，且兩兩夾角為 60°.則線段 AC1 與平面 ABC 所成角的正弦值為 .
mex
16.已知函數(shù) f x 1
x2 x 1
，若存在唯一的正整數(shù) x0 ，使得 f x0 0 ，則
實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 .
三、解答題(本大題共 6 小題，第 17 題滿分 10 分，18-22 每題滿分 12 分，共 70 分; 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC ，點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn)，求證：
(Ⅰ) AC BC1 ;
(Ⅱ) AC1 // 平面 B1CD .
18.某校舉行漢字聽(tīng)寫(xiě)比賽，為了了解本次比賽成績(jī)情況，從得分不低于 50 分的試
卷中隨機(jī)抽取 100 名學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿分 100 分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)根據(jù)頻率 分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：
組號(hào) 分組 頻數(shù) 頻率
第 1 組 [50，60) 5 0.05
第 2 組 [60，70) a 0.35
第 3 組 [70，80) 30 b
第 4 組 [80，90) 20 0.20
第 5 組 [90，100] 10 0.10
合計(jì) 100 1.00
(Ⅰ)求 a、b 的值;
(Ⅱ)若從成績(jī)較好的第 3、4、5 組中按分層抽樣的方法抽取 6 人參加市漢字聽(tīng) 寫(xiě)比賽，并從中選出 2 人做種子選手，求 2 人中至少有 1 人是第 4 組的概率.
19.已知函數(shù) f(x)=x2+2aln x.
(Ⅰ)若函數(shù) f(x)的圖象在(2，f(2))處的切線斜率為 1，求實(shí)數(shù) a 的值;
(Ⅱ)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間;
2
(Ⅲ)若函數(shù) g(x)=
+f(x)在[1,2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.
x
20.在四棱錐 P -
ABCD 中，△ PAB 為正三角形，四邊形 ABCD 為矩形，平面
PAB 平面 ABCD ， AB =
2 AD ， M ,N 分別為 PB,PC 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證： MN //平面 PAD ;
(Ⅱ)求二面角 B—AM—C 的大小;
(Ⅲ)在 BC 上是否存在點(diǎn) E ，使得 EN ⊥平面 AMN ?
BE
若存在，求
BC
的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
21.已知橢圓 C : x y
1 a b 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(1, 3 ) ，離心率 e 3
a b
(Ⅰ)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
2 2 .
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn) E 0 , 2 的直線l 與C 相交于 P, Q 兩點(diǎn)，求 OPQ 面積的最大值.
22.已知 f ( x) 1 x2 ， g ( x) a ln x(a 0) .
2
(Ⅰ)求函數(shù) F ( x)
(Ⅱ)若函數(shù) G( x)
取值范圍;
f ( x) g ( x) 的極值;
f ( x) g ( x) (a 1) x 在區(qū)間 (1 , e) 內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的
e
(Ⅲ)函數(shù) h( x) g x x 1 ，設(shè) x (0,1) ， x (1, ) ，若 h( x ) h( x )
x 1 2 2 1
存在最大值，記為 M (a) ，則當(dāng) a e 1 時(shí)，M (a) 是否存在最大值?若存在，求出
e
其最大值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評(píng)分建議
一、 選擇題：(每小題5分，共60分)
1.D; 2.B; 3.B; 4.C; 5.A; 6.C;
7.A; 8.D; 9.B; 10.A; 11.D; 12.C;
二、 填空題(每小題5分，共20分)
13. ; 14. ; 15 . ; 16 . ;
三、 解答題(共70分)
17.證明：(1)在直三棱柱 中， 平面 ，
所以， ，
又 ， ，
所以， 平面 ，
所以， . ………..………(5分)
(2)設(shè) 與 的交點(diǎn)為 ，連結(jié) ，
為平行四邊形，所以 為 中點(diǎn)，又 是 的中點(diǎn)，
所以 是三角形 的中位線， ，
又因?yàn)?平面 ， 平面 ，所以 平面 .………(10分)
18.(1)a=100-5-30-20-10=35，b=1-0.05-0.35-0.20-0.10=0.30. ………(4分)
(2)因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為，第3組：660×30=3人，第4組：660×20=2人，第5組：660×10=1人，所以第3、4、5組應(yīng)分別抽取3人、2人、1人.……..………(6分)
設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1、A2、A3，第4組的2位同學(xué)為B1、B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從6位同學(xué)中抽2位同學(xué)有15種可能，如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1).其中第4組被入選的有9種，所以其中第4組的2位同學(xué)至少有1位同學(xué)入選的概率為915=35.……………(12分)
19. (1)f′(x)=2x+2ax=2x2+2ax，
由已知f′(2)=1，解得a=-3. ……… 4分
(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞). ……… 5分
?、佼?dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，
f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞); ……… 6分
②當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)=2(x+-a)x--ax.
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下：
x (0，-a)
-a
(-a，+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) ?
極小值 ?
由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，-a);
單調(diào)遞增區(qū)間是(-a，+∞). ……… 8分
(3)由g(x)=2x+x2+2aln x，
得g′(x)=-2x2+2x+2ax，
由已知函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調(diào)減函數(shù)，
則g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即-2x2+2x+2ax≤0在[1,2]上恒成立.
即a≤1x-x2在[1,2]上恒成立. ………10分
令h(x)=1x-x2，
在[1,2]上h′(x)=-1x2-2x=-(1x2+2x)<0，
所以h(x)在[1,2]上為減函數(shù)，
h(x)min=h(2)=-72，所以a≤-72.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤-72}. ……… 12分
20. (Ⅰ)證明：∵M(jìn)，N分別是PB，PC中點(diǎn)
∴MN是△ABC的中位線
∴MN∥BC∥AD
又∵AD⊂平面PAD，MN 平面PAD
所以MN∥平面PAD. ……………….4分
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)P作PO垂直于AB，交AB于點(diǎn)O，
因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AB=2，則A(-1,0，0)，C(1,1，0),M( ,0， ),
B(1,0，0)，N( , ， )，則 ，
設(shè)平面CAM法向量為 ，由 可得
，令 ，則 ，即
平面 法向量
所以，二面角 的余弦值
因?yàn)槎娼?是銳二面角，
所以二面角 等于 ……………….8分
(Ⅲ)存在……………….9分
設(shè) ，則 ，由 可得 ，
所以在 存在點(diǎn) ，使得 平面 ，
此時(shí) .……………….12分
21.
(Ⅰ)由點(diǎn) 在橢圓上得， ①
?、?/p>
由①②得 ，
故橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ……………….5分
......................9分
22.：(1)解：
∴ ………1分
由 得 ，
由 ，得
∴ 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
∴ ， 無(wú)極大值. ………3分
(2)解：
∴
又 ，易得 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
要使函數(shù) 在 內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
需 ，即 ，………5分
∴ ，
∴ ，即的取值范圍是 . ………7分
(3)若 ，∵ 在 上滿足 ，
∴ 在 上單調(diào)遞減，∴ .
∴ 不存在最大值. ………8分
則 .
∴方程 有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，令其為 ，且不妨設(shè)
則 .
在 上單調(diào)遞減，在 上調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
對(duì) ，有 ;對(duì) ，有 ，
∴ .
∴
.
將 ， 代入上式，消去 得
∵ ，∴ ， .
據(jù) 在 上單調(diào)遞增，得 .
設(shè) ， .
， .
∴ ，即 在 上單調(diào)遞增.
∴
∴ 存在最大值為 .………12分
高二數(shù)學(xué)下冊(cè)期中調(diào)研測(cè)試題參考
一、選擇題(共12小題，每小題5分，共計(jì)60分)
1.已知復(fù)數(shù)z滿足 ，那么 的虛部為( )
A.1 B. -i C. D.i
2.定積分 的值為( )
A. B. C. D.
3.觀察下列各式： ， ， ，….若 ，則 =( )
A.43 B. 73 C.57 D.91
4.按ABO血型系統(tǒng)學(xué)說(shuō)，每個(gè)人的血型為A，B，O，AB型四種之一，依血型遺傳學(xué)，當(dāng)且僅當(dāng)父母中至少有一人的血型是AB型時(shí)，子女的血型一定不是O型，若某人的血型的O型，則父母血型的所有可能情況有( )
A.12種 B.6種 C.9種 D.10種
5.曲線 與坐標(biāo)軸所圍成圖形面積是( )
A.4 B.2 C. D.3
6. 的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是( )
A. 160 B.-20 C.20 D.-160
7.用數(shù)學(xué)歸納法證明“ ，從 “ 到 ”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是 ( )
A. B.
C. D.
8.某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品.若該商品零售價(jià)定為P元，銷售量為Q件，且銷量Q與零售價(jià)P有如下關(guān)系：Q=8300-170P-P2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)=銷售收入-進(jìn)貨支出)( )
A.3 0元 B.60元
C.23000元 D.28000元
9.若 ，則 等于( )
A.-2 B. 4 C.2 D.-4
10.用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是( )
A.12 B.24 C.36 D.30
11.若不等式2xln x≥-x2+ax-3對(duì)x∈(0，+∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C. (-∞，4] D.[4，+∞)
12. 是定義在 上的函數(shù), 若存在區(qū)間 ， 使函數(shù) 在 上的值域恰為 ，則稱函數(shù) 是 型函數(shù).給出下列說(shuō)法：
?、?不可能是 型函數(shù);
?、谌艉瘮?shù) 是 型函數(shù), 則 ， ;
?、墼O(shè)函數(shù) 是 型函數(shù), 則 的最小值為 ;
?、苋艉瘮?shù) 是 型函數(shù), 則 的最大值為 .
下列選項(xiàng)正確的是( )
A.②④ B.②③ C.①③ D.①④
二、填空題(共4小題，每小題5分，共計(jì)20分)
13、已知函數(shù) 在 處有極大值，在 處極小值，
則 ，
14. 設(shè) 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) 的值為 .
15. 在平面直角坐標(biāo)系 中，若曲線 在 (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線與直線 垂直，則實(shí)數(shù)a的值為 .
16. 已知集合 ，以下命題正確的序號(hào)是 .
?、偃绻瘮?shù) ，其中 ，那么 的最大值為 。
?、跀?shù)列 滿足首項(xiàng) , ，當(dāng) 且 最大時(shí)，數(shù)列 有2048個(gè)。
③數(shù)列 滿足 ， ， ，如果數(shù)列 中的每一項(xiàng)都是集合M的元素，則符合這些條件的不同數(shù)列 一共有33個(gè)。
?、芤阎本€ ，其中 ，而且 ，則一共可以得到不同的直線196條。
三、解答題(共6小題，17題10分，18至22題每題12分，共計(jì)70分)
17. 已知復(fù)數(shù)
(1)m取什么值時(shí)，z是實(shí)數(shù)?
(2)m 取什么值時(shí)，z是純虛數(shù)?
18.(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求
(1)a1+a2+a3+a4.
(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.
1 9. 6個(gè)人坐在一排10個(gè)座位上,問(wèn)
(1)空位不相鄰的坐法有多少種?
(2)4個(gè)空位只有3個(gè)相鄰的坐法有多少種?
(3)4個(gè)空位至多有2個(gè)相鄰的坐法有多少種?
20. 用長(zhǎng)為90cm，寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成(如圖)，問(wèn)該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大?最大容積是多少?
21. 設(shè) ，其中 為正整數(shù).
(1)求 的值;
(2)猜想滿足不等式 的正整數(shù) 的范圍，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想
22. 已知函數(shù) ，其中 為常數(shù).
(1)若 ，求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;
(2)若 ，求證： 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);
(3)若 為整數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， 恒成立，求 的最大值.
答案部分
一、選擇題(共12小題，每小題5分，共計(jì)60分)
ABBCD DCCDD CA
二、填空題(共4小題，每小題5分，共計(jì)20分)
13. -3， -9 14. 15. 16. ②③④
三、解答題(共6小題，17題10分，18至22題每題12分，共計(jì)70分)
17.(本小題滿分10分)
(1)解
當(dāng) 時(shí)，z為實(shí)數(shù) 5分
(2)解：
當(dāng) 時(shí)，z為純虛數(shù) 10分
18. (本小題滿分12分)
解：(1)由(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4，
令x=0得(0-3)4=a0，
所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0=(2-3)4-81=-80. 6分
(2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，
令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4.①
令x=-1得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.②
所以由①②有(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4)
=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625. 12分
19. (本小題滿分12分)
解：(1) 4分
(2) 8分
(3) 12分
20. (本小題滿分12分)
解：根據(jù)題意可設(shè)容器的高為x，容器的體積為V，
則有 V=(90﹣2x)(48﹣2x)x=4x3﹣276x2+4320x，(0
求導(dǎo)可得到：V′=12x2﹣552x+4320 6分
由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36.
所以當(dāng)0
當(dāng)10
所以當(dāng)x=10，V有最大值V(10)=19600 11分
答：當(dāng)高為10，最大容積為19600. 12分
21. (本小題滿分12分)
解：(1)
3分
(2)猜想： 5分
證明：①當(dāng) 時(shí)， 成立 6分
②假設(shè)當(dāng) 時(shí)猜想正確，即
∴ 7分
由于
∴ ，即 成立 11分
由①②可知，對(duì) 成立 12分
22. (本小題滿分12分)
解：(1)當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=1+lnx.
因?yàn)閒′(x)= ，從而f′(1)=1.
又f(1)=1，
所以曲線y=f(x)在點(diǎn) (1，f(1))處的切線方程y-1=x-1，
即x-y=0. 3分
(2)當(dāng)k=5時(shí)，f(x)=lnx+ -4.
因?yàn)閒 ′(x)= ，從而
當(dāng)x∈(0，10)，f ′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(10，+∞)時(shí)，f ′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=10時(shí)，f(x)有極小值.
因f(10)=ln10-3<0，f(1)=6>0，所以f(x)在(1，10)之間有一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)閒(e4)=4+ -4>0，所以f(x)在(10，e4)之間有一個(gè)零點(diǎn). 7分
從而f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
(3)方法一：由題意知，1+lnx- >0對(duì)x∈(2，+∞)恒成立，
即 k< 對(duì)x∈(2，+∞)恒成立.
令h(x)= ，則h′(x)= .
設(shè)v(x)=x-2lnx-4，則v′(x)= .
當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)， v′(x)(x)>0，所以v(x)在(2，+∞)為增函數(shù).
因?yàn)関(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0，v(9)=5-2ln9>0，
所以存在x0∈(8，9)，v(x0)=0，即x0-2lnx0-4=0.
當(dāng)x∈(2，x0)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=x0時(shí)，h(x)的最小值h(x0)= .
因?yàn)閘nx0= ，所以h(x0)= ∈(4，4.5).
故所求的整數(shù)k的最大值為4. 12分
方法二：由題意知，1+lnx- >0對(duì)x∈(2，+∞)恒成立.
f(x)=1+lnx- ，f ′(x)= .
?、佼?dāng)2k≤2，即k≤1時(shí)，f′(x)>0對(duì)x∈(2，+∞) 恒成立，
所以f(x)在(2，+∞)上單調(diào)遞增.
而f(2)=1+ln2>0成立，所以滿足要求.
?、诋?dāng)2k>2，即k>1時(shí)，
當(dāng)x∈(2，2k)時(shí)，f ′(x)<0， f(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(2k，+∞)，f ′( x)>0，f(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=2k時(shí)，f(x)有最小值f(2k)=2+ln2k-k.
從而f(x)>0在x∈(2，+∞)恒成立，等價(jià)于2+ln2k-k>0.
令g(k)=2+ln2k-k，則g′(k)= <0，從而g(k) 在(1，+∞)為減函數(shù).
因?yàn)間(4) =ln8-2>0，g(5) =ln10-3<0 ，
所以使2+ln2k-k<0成立的最大正整數(shù)k=4.
綜合①②，知所求的整數(shù)k的最大值為4.
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