面積公式

　　S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的半長(zhǎng)軸,半短軸的長(zhǎng)).或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長(zhǎng)軸，短軸的長(zhǎng)).

　　定理內(nèi)容

　　如果一條固定直線被甲乙兩個(gè)封閉圖形所截得的線段比都為k，那么甲面積是乙面積的k倍。

　　那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的面積為π * a^2 * b/a=πab

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　　因?yàn)閮奢S焦點(diǎn)在0點(diǎn)，所以橢圓的面積可以分為4個(gè)相等的部分，分別是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四個(gè)區(qū)域，所以只要求出一個(gè)象限間所夾的面積，然后再乘以4就可以得到整個(gè)橢圓的面積。揀最簡(jiǎn)單的來(lái)吧，先求第一象限所夾部分的面積。 根據(jù)定積分的定義及圖形的性質(zhì)，我們可以把這部分圖形無(wú)限分為底邊在x軸上的小矩形，整個(gè)圖形的面積就等于這些小矩形面積和的極限。現(xiàn)在應(yīng)用元素法，在圖 形中任找取一點(diǎn)，然后再取距這點(diǎn)距離無(wú)限近的另一個(gè)點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離記做dx，然后取以dx為底邊，兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的y為高，與曲線相交夠成的封閉的小矩 形的面積s，顯然，s=y*dx 現(xiàn)在求s的定積分，即大圖形的面積S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y關(guān)于x的定積分 步驟：(第一象限全取正，后面不做說(shuō)明) S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 設(shè) x^2/a^2=sin^2t 則 ∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圓周率 ∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 這里需要用到一個(gè)公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 證明如下 sinx=cos(pi/2-x) 設(shè)u=pi/2-x 則 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 則∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*(pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*(pi/2) 則S=a*b*(pi/4) 橢圓面積S_c=a*b*pi 可見(jiàn)橢圓面積與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，所以無(wú)論橢圓位于坐標(biāo)系的哪個(gè)位置，其面積都等于半長(zhǎng)軸長(zhǎng)乘以半短軸長(zhǎng)乘以圓周率。

　　導(dǎo)數(shù)方法

　　設(shè)橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1

　　取第一象限內(nèi)面積 有 y^2=b^2-b^2/a^2*x^2

　　即 y=√(b^2-b^2/a^2*x^2)

　　=b/a*√(a^2-x^2)

　　由于該式反導(dǎo)數(shù)為所求面積，觀察到原式為圓方程公式*a/b，根據(jù)(af(x))'=a*f'(x),且x=a時(shí)圓面積為a^2π/4

　　可得 當(dāng)x=a時(shí)，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=ab/4π

　　即S=abπ。

　　此方法比較容易理解。