直擊高考數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)六類解經(jīng)典型錯誤
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要講究方法和技巧，用對方法做什么事情都會事半功倍，而學(xué)會分析錯題則是進(jìn)步的關(guān)鍵。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的相關(guān)指導(dǎo)方法，希望對大家有所幫助!
直擊高考數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)六類解經(jīng)典型錯誤
1. 思考問題不縝密，對隱含條件挖掘不充分.
2. 對參數(shù)的具體范圍限制不準(zhǔn)，求軌跡方程時忘了考慮實際意義而未除去不合題意的解.
3. 分類討論意識不強(qiáng)，解題過程不嚴(yán)密而導(dǎo)致錯解. 分類討論是解圓錐曲線問題的常用方法，對于同一類圓錐曲線的焦點在x軸上或y軸上的問題，應(yīng)用分類討論來解. 判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求曲線的軌跡方程，只要所給問題含有字母參數(shù)，一般都離不開分類討論.
4. 在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意二次項的系數(shù)為零的情況，以及判別式Δ≥0的限制.對于求交點、弦長、中點、斜率、對稱點、存在性問題等都應(yīng)當(dāng)在Δ>0的限制下實施.
5. 由于思維定式的消極影響，造成生搬硬套、張冠李戴的錯解現(xiàn)象.
6. 不能用適當(dāng)?shù)挠嬎慵记杀荛_繁瑣的計算.
過點P(1，2)總可作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，則k的取值范圍是________.
錯解 當(dāng)點P在圓外時，過點P可作圓的兩條切線，即12+22+k+4+k2-15>0，化簡得k2+k-6>0，解得k>3或k<-2.
剖析 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件為D2+E2-4F>0.我們?nèi)绻雎粤诉@一限制條件，就會擴(kuò)大參數(shù)的取值范圍. 解題時，我們在關(guān)注題目關(guān)鍵字的同時要深挖題目本身所具備的隱含條件.
等腰三角形的頂點是A(4，2)，底邊的一個端點是B(3，5)，求另一個端點C的軌跡方程.
錯解 設(shè)點C的坐標(biāo)為(x，y)，由AC=AB得(x-4)2-(y-2)2=10.
剖析 解題后沒有認(rèn)真檢驗，造成解的不嚴(yán)密. 實際上題目要求的幾何條件有兩個：①A，B，C三點要組成三角形;②A，B，C三點組成的三角形是等腰三角形. 錯解在解題過程中只是根據(jù)條件②“AC=AB”將軌跡方程轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的含x，y的方程，因此所求出的方程能滿足條件②而無法保證滿足條件①. 求三角形頂點的軌跡要考慮三點是否共線，這往往是易被我們忽視的一個問題.
正解 設(shè)點C的坐標(biāo)為(x，y)，依題意得AC=AB，由兩點間的距離公式，可得：■=■，兩邊平方得(x-4)2+(y-2)2=10.
又A，B，C為三角形的三個頂點，所以A，B，C三點不共線，即點B，C不能重合且B，C不能為一直徑的兩端點，所以點C的橫坐標(biāo)x≠3且■≠4，點C的橫坐標(biāo)x≠3且x≠5. 故點C的軌跡方程是(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3且x≠5).
剖析 (1)雙曲線的定義掌握不夠熟練，屬于概念性錯誤;
(2)未進(jìn)行分類討論，雙曲線上的點P可能有兩種情況：P在左支上或在右支上.
正解 由雙曲線第一定義：PF1-PF2?搖=8，所以9-PF2=8，所以PF2=1或17. 當(dāng)P在左支上時，P到右焦點F2的距離最小值為c+a=10;當(dāng)P在右支上時，P到右焦點F2的距離最小值為c-a=2. 因此，應(yīng)排除PF2=1，點P到焦點F2的距離為17.
若動圓P過點N(-2，0)，且與圓M：(x-2)2+y2=8外切，求動圓P的圓心的軌跡方程.
剖析 沒有考慮到動圓圓心P的取值范圍，也就是在求軌跡方程過程中沒有檢驗曲線和方程是否等價.
正解 由PN=r和PM=r+2■直接消去r得到PM-PN=2■，由雙曲線的定義知所求曲線為雙曲線的一支，使用定義法得a=■，c=■=2，b=■，所以所求軌跡方程為■-■=1(x≤-■).
■ 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓■+y2=1的左、右焦點. 設(shè)過定點M(0，2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點)，求直線l的斜率k的取值范圍.
錯解 顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l：y=kx+2，A(x1，y2)，B(x2，y2)，聯(lián)立y=kx+2，x2+4y2-4=0，消去y，整理得：(1+4k2)x2+16kx+12=0?、?
剖析 以上解答看似天衣無縫，實則犯了我們經(jīng)常會忽視的錯誤，即忽略了方程①必須滿足Δ>0這個條件，從而導(dǎo)致參數(shù)k的取值范圍不準(zhǔn)確. 在考慮用違達(dá)定理前，不應(yīng)忘記對根的存在性的判定.
正解 由Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)>0得k<-■或k>■，將其與-2<k<2取交集便得正確答案k-2<k<-■或■<k 設(shè)點A的坐標(biāo)為(a，0)(a∈R)，則曲線y2=2x上的點到A點的距離的最小值為________.
錯解 設(shè)最小值為d，則d2=(x-a)2+y2=x2-(2a-2)x+a2=[x-(a-1)]2+(2a-1). a∈R，所以x=a-1時，d2取最小值2a-1，所以dmin=■.
剖析 忽視了拋物線中x的取值范圍. 圓錐曲線中，坐標(biāo)的取值范圍是有限制的，如圓x2+y2=r2中，-r≤x≤r;橢圓■+■=1中，-a≤x≤a;雙曲線■-■=1中，x≤-a或x≥a.
正解 接上，因為x∈[0，+∞)，所以當(dāng)a≥1時，d■■=2a-1，dmin=■;當(dāng)a<1時，d■■=a2，dmin=a.
已知F是拋物線y2=4x的焦點，Q是準(zhǔn)線與x軸的交點，直線l經(jīng)過點Q且與拋物線有唯一公共點，求直線l的斜率.
錯解 由題知：Q(-1，0)，設(shè)直線l的方程為y=k(x+1)，聯(lián)立y=k(x+1)，y2=4x得k2x2+(2k2-4)x+k2=0. 因為直線l與拋物線有唯一公共點，所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0，解得k=1或k=-1.
剖析 直線與曲線有唯一公共點，只有聯(lián)立直線方程和曲線方程，所得的是一元二次方程時，其充要條件才是Δ=0，而本題中涉及方程k2x2+(2k2-4)x+k2=0的二次項系數(shù)是k2，需對k=0與k≠0兩種情況進(jìn)行討論. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一直是高考考查的重點，我們在設(shè)直線時一定要把握如下原則，即首先判斷直線斜率是否存在，在斜率存在的情況下，再討論斜率為零與不為零的情形. 比如此題我們可作如下改編，過點(0，1)作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點，這樣的直線有( )
A. 1條 B. 2條
C. 3條?搖 D. 0條
正確答案為3條，這里我們就需要首先考慮斜率不存在的情況.
正解 當(dāng)k=0時，方程有一根，此時也滿足直線與拋物線有唯一公共點;當(dāng)k≠0時，Δ=(2k2-4)2-4k4=0，解得k=1或k=-1. 因此，所求直線的斜率為k=0或k=1或k=-1.
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