高考數(shù)學(xué)必修4第三章三角恒等變形綜合檢測題及答案
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高一數(shù)學(xué)必修四第三章三角恒等變形綜合檢測題及答案解析
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°等于( )
A.0 B.12
C.32 D.1
【解析】 sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°
=sin(15°+75°)=sin 90°=1.
【答案】 D
2.在銳角△ABC中,設(shè)x=sin A•sin B,y=cos A•cos B,則x、y的大小關(guān)系為( )
A.x≤y B.x>y
C.x
【解析】 y-x=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
∵C為銳角,∴-cos C<0,
∴y-x<0,即x>y.
【答案】 B
3.若sin α+cos α=tan α(0<α<π2),則α的取值范圍是( )
A.(0,π6) B.(π6,π4)
C.(π4,π3) D.(π3,π2)
【解析】 因?yàn)閟in α+cos α=2sin(α+π4),當(dāng)0<α<π2時(shí),此式的取值范圍是(1,2],而tan α在(0,π4)上小于1,故可排除A,B;在(π3,π2)上sin α+cos α與tan α不可能相等,所以D不正確,故選C.
【答案】 C
4.在△ABC中,若sin C=2cos Asin B,則此三角形必是( )
A.等腰三角形 B.正三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),
∴sin Acos B+cos Asin B=2cos Asin B.
∴sin(A-B)=0,∴A=B,
∴△ABC為等腰三角形.
【答案】 A
5.(2012•陜西高考)設(shè)向量a=(1,cos θ)與b=(-1,2cos θ)垂直,則cos 2θ等于( )
A.22 B.12
C.0 D.-1
【解析】 a=(1,cos θ),b=(-1,2cos θ).
∵a⊥b,∴a•b=-1+2cos2θ=0,
∴cos2θ=12,∴cos 2θ=2cos2θ-1=1-1=0.
【答案】 C
6.當(dāng)0<x<π2時(shí),函數(shù)f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x的最小值為( )
A.2 B.23
C.4 D.43
【解析】 f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x=2cos2x+8sin2x2sin xcos x=cot x+4tan x≥24=4.當(dāng)且僅當(dāng)cot x=4tan x,即tan x=12時(shí)取得等號(hào).故選C.
【答案】 C
7.(2013•江西高考)若sin α2=33,則cos α=( )
A.-23 B.-13
C.13 D.23
【解析】 cos α=1-2sin2α2=1-2×332=1-23=13.
【答案】 C
8.(2013•重慶高考)4cos 50°-tan 40°=( )
A.2 B.2+32
C.3 D.22-1
【解析】 4cos 50°-tan 40°=4sin 40°-sin 40°cos 40°
=4sin 40°cos 40°-sin 40°cos 40°=2sin 80°-sin 40°cos 40°
=sin 80°+sin60°+20°-sin60°-20°cos 40°
=sin 80°+2cos 60°sin 20°cos 40°=sin 80°+sin 20°cos 40°
=sin50°+30°+sin50°-30°cos 40°
=2sin 50°cos 30°cos 40°=3•cos 40°cos 40°=3.
【答案】 C
9.已知f(x)=sin2(x+π4),若a=f(lg 5),b=f(lg 15),則( )
A.a+b=0 B.a-b=0
C.a+b=1 D.a-b=1
【解析】 由題意知f(x)=sin2(x+π4)=1-cos2x+π22=1+sin 2x2,
令g(x)=12sin 2x,則g(x)為奇函數(shù),且f(x)=g(x)+12,a=f(lg 5)=g(lg 5)+12,b=f(lg 15)=g(lg 15)+12,則a+b=g(lg 5)+g(lg 15)+1=g(lg 5)+g(-lg 5)+1=1,故a+b=1.
【答案】 C
10.對(duì)于函數(shù)f(x)=2sin xcos x,下列選項(xiàng)中正確的是( )
A.f(x)在(π4,π2)上是遞增的
B.f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C.f(x)的最小正周期為2π
D.f(x)的最大值為2
【解析】 f(x)=2sin xcos x=sin 2x,
∴f(x)為奇函數(shù),f(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
【答案】 B
二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分,將答案填在題中的橫線上)
11.(2012•江西高考)若sin α+cos αsin α-cos α=12,則tan 2α=________.
【解析】 由sin α+cos αsin α-cos α=12,等式左邊分子、分母同除cos α得,tan α+1tan α-1=12,解得tan α=-3,則tan 2α=2tan α1-tan2α=34.
【答案】 34
12.知α,β∈(0,π4),tan α21-tan2α2=14,且3sin β=sin(2α+β),則α+β=________.
【解析】 由tan α21-tan2α2=14,得tan α=12.由3sin β=sin(2α+β),得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],化簡得tan(α+β)=2tan α=1.由于α,β∈(0,π4),故α+β∈(0,π2),所以α+β=π4.
【答案】 π4
13.若θ是第二象限角,cos θ2-sin θ2=1-sin θ,則角θ2所在的象限是________.
【解析】 ∵1-sin θ= sin θ2-cos θ22
=|sin θ2-cos θ2|=cos θ2-sin θ2,
∴sin θ2<cos θ2.
∵θ是第二象限角,
∴π2+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z.
則π4+kπ<θ2<π2+kπ.k∈Z.
由上可得54π+2kπ<θ2<32π+2kπ,k∈Z.所以θ2是第三象限角.
【答案】 第三象限角
14.函數(shù)f(x)=sin2(2x-π4)的最小正周期是________.
【解析】 f(x)=1-cos22x-π42
=1-cos4x-π22=1-sin 4x2,
∴最小正周期T=2π4=π2.
【答案】 π2
15.(2012•江蘇高考)設(shè)α為銳角,若cos(α+π6)=45,則sin(2α+π12)的值為________.
【解析】 ∵α為銳角且cos(α+π6)=45,
∴sin(α+π6)=35.
∴sin(2α+π12)=sin[2(α+π6)-π4]
=sin 2(α+π6)cos π4-cos 2(α+π6)sin π4
=2sin(α+π6)cos(α+π6)-22[2cos2(α+π6)-1]
=2×35×45-22[2×(45)2-1]=12225-7250=17250.
【答案】 17250
三、解答題(本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16.(本小題滿分12分)(2013•遼寧高考)設(shè)向量a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈0,π2.
(1)若|a|=|b|,求x的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=a•b,求f(x)的最大值.
【解】 (1)由|a|2=(3sin x)2+sin2 x=4sin2x,
|b|2=cos2x+sin2x=1,
及|a|=|b|,得4sin2x=1.
又x∈0,π2,從而sin x=12,
所以x=π6.
(2)f(x)=a•b=3sin x•cos x+sin2x
=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-π6+12,
當(dāng)x=π3∈0,π2時(shí),sin2x-π6取最大值1.
所以f(x)的最大值為32.
17.(本小題滿分12分)若2sin(π4+α)=sin θ+cos θ,2sin2β=sin 2θ,求證:sin 2α+12cos 2β=0.
【證明】 由2sin(π4+α)=sin θ+cos θ得2cos α+2sin α=sin θ+cos θ,兩邊平方得
2(1+sin 2α)=1+sin 2θ,即
sin 2α=12(sin 2θ-1), ①
由2sin2β=sin 2θ得,1-cos 2β=sin 2θ. ②
將②代入①得
sin 2α=12[(1-cos 2β)-1]得
sin 2α=-12cos 2β,
即sin 2α+12cos 2β=0.
18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)討論f(x)在區(qū)間0,π2上的單調(diào)性.
【解】 (1)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4
=22sin ωx•cos ωx+22cos2ωx
=2(sin 2ωx+cos 2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2.
因?yàn)閒(x)的最小正周期為π,且ω>0,
從而有2π2ω=π,故ω=1.
(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+π4)+2.
若0≤x≤π2,則π4≤2x+π4≤5π4.
當(dāng)π4≤2x+π4≤π2,即0≤x≤π8時(shí),f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)π2<2x+π4≤5π4,即π8
綜上可知,f(x)在區(qū)間0,π8上單調(diào)遞增,在區(qū)間π8,π2上單調(diào)遞減.
19.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2,x∈R(其中ω>0).
(1)求函數(shù)f(x)的值域;
(2)若對(duì)任意的a∈R,函數(shù)y=f(x),x∈(a,a+π]的圖像與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),試確定ω的值(不必證明),并求函數(shù)y=f(x),x∈R的單調(diào)增區(qū)間.
【解】 (1)f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2=2sin ωxcos π6-cos ωx-1
=2sin(ωx-π6)-1,
∵x∈R,∴f(x)的值域?yàn)閇-3,1].
(2)由題意得函數(shù)f(x)的周期為π.
∴2πω=π,∴ω=2,
∴f(x)=2sin(2x-π6)-1.
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z.
得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-π6,kπ+π3],k∈Z.
圖1
20.(本小題滿分13分)如圖1,以O(shè)x為始邊作角α與β(0<β<α<π),它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q,已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-35,45).
(1)求sin 2α+cos 2α+11+tan α的值;
(2)若OP→•OQ→=0,求sin(α+β).
【解】 (1)由三角函數(shù)定義得cos α=-35,sin α=45,
則原式=2sin αcos α+2cos2α1+sin αcos α=2cos αsin α+cos αsin α+cos αcos α
=2cos2α=2×(-35)2=1825.
(2)∵OP→•OQ→=0,∴α-β=π2.
∴β=α-π2.
∴sin β=sin(α-π2)=-cos α=35,
cos β=cos(α-π2)=sin α=45.
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=45×45+(-35)×35=725.
21.(本小題滿分13分)(2012•湖北高考)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2ωx+23sin ωx•cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的圖像關(guān)于直線x=π對(duì)稱,其中ω,λ為常數(shù),且ω∈(12,1).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(π4,0),求函數(shù)f(x)的值域.
【解】 (1)因?yàn)閒(x)=sin2ωx-cos2ωx+23sin ωx•cos ωx+λ=-cos 2ωx+3sin 2ωx+λ=2sin(2ωx-π6)+λ,
由直線x=π是y=f(x)圖像的一條對(duì)稱軸,可得sin(2ωπ-π6)=±1,
所以2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z),即ω=k2+13(k∈Z).
又ω∈(12,1),k∈Z,所以k=1,故ω=56.
所以函數(shù)f(x)的最小正周期是6π5.
(2)由y=f(x)的圖像過點(diǎn)(π4,0),得f(π4)=0,
即λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sin π4=-2,即λ=-2.
故f(x)=2sin(53x-π6)-2,函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2-2,2-2].
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