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高考數(shù)學(xué)必修4第三章三角恒等變形綜合檢測題及答案

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  考試是檢測學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要手段和方法,考前需要做好各方面的知識(shí)儲(chǔ)備。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的高一數(shù)學(xué)必修四第三章三角恒等變形綜合檢測題,請(qǐng)認(rèn)真復(fù)習(xí)!

  高一數(shù)學(xué)必修四第三章三角恒等變形綜合檢測題及答案解析

  一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

  1.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°等于(  )

  A.0    B.12

  C.32    D.1

  【解析】 sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°

  =sin(15°+75°)=sin 90°=1.

  【答案】 D

  2.在銳角△ABC中,設(shè)x=sin A•sin B,y=cos A•cos B,則x、y的大小關(guān)系為(  )

  A.x≤y B.x>y

  C.x

  【解析】 y-x=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,

  ∵C為銳角,∴-cos C<0,

  ∴y-x<0,即x>y.

  【答案】 B

  3.若sin α+cos α=tan α(0<α<π2),則α的取值范圍是(  )

  A.(0,π6) B.(π6,π4)

  C.(π4,π3) D.(π3,π2)

  【解析】 因?yàn)閟in α+cos α=2sin(α+π4),當(dāng)0<α<π2時(shí),此式的取值范圍是(1,2],而tan α在(0,π4)上小于1,故可排除A,B;在(π3,π2)上sin α+cos α與tan α不可能相等,所以D不正確,故選C.

  【答案】 C

  4.在△ABC中,若sin C=2cos Asin B,則此三角形必是(  )

  A.等腰三角形 B.正三角形

  C.直角三角形 D.等腰直角三角形

  【解析】 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),

  ∴sin Acos B+cos Asin B=2cos Asin B.

  ∴sin(A-B)=0,∴A=B,

  ∴△ABC為等腰三角形.

  【答案】 A

  5.(2012•陜西高考)設(shè)向量a=(1,cos θ)與b=(-1,2cos θ)垂直,則cos 2θ等于(  )

  A.22 B.12

  C.0 D.-1

  【解析】 a=(1,cos θ),b=(-1,2cos θ).

  ∵a⊥b,∴a•b=-1+2cos2θ=0,

  ∴cos2θ=12,∴cos 2θ=2cos2θ-1=1-1=0.

  【答案】 C

  6.當(dāng)0<x<π2時(shí),函數(shù)f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x的最小值為(  )

  A.2 B.23

  C.4 D.43

  【解析】 f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x=2cos2x+8sin2x2sin xcos x=cot x+4tan x≥24=4.當(dāng)且僅當(dāng)cot x=4tan x,即tan x=12時(shí)取得等號(hào).故選C.

  【答案】 C

  7.(2013•江西高考)若sin α2=33,則cos α=(  )

  A.-23 B.-13

  C.13 D.23

  【解析】 cos α=1-2sin2α2=1-2×332=1-23=13.

  【答案】 C

  8.(2013•重慶高考)4cos 50°-tan 40°=(  )

  A.2 B.2+32

  C.3 D.22-1

  【解析】 4cos 50°-tan 40°=4sin 40°-sin 40°cos 40°

  =4sin 40°cos 40°-sin 40°cos 40°=2sin 80°-sin 40°cos 40°

  =sin 80°+sin60°+20°-sin60°-20°cos 40°

  =sin 80°+2cos 60°sin 20°cos 40°=sin 80°+sin 20°cos 40°

  =sin50°+30°+sin50°-30°cos 40°

  =2sin 50°cos 30°cos 40°=3•cos 40°cos 40°=3.

  【答案】 C

  9.已知f(x)=sin2(x+π4),若a=f(lg 5),b=f(lg 15),則(  )

  A.a+b=0 B.a-b=0

  C.a+b=1 D.a-b=1

  【解析】 由題意知f(x)=sin2(x+π4)=1-cos2x+π22=1+sin 2x2,

  令g(x)=12sin 2x,則g(x)為奇函數(shù),且f(x)=g(x)+12,a=f(lg 5)=g(lg 5)+12,b=f(lg 15)=g(lg 15)+12,則a+b=g(lg 5)+g(lg 15)+1=g(lg 5)+g(-lg 5)+1=1,故a+b=1.

  【答案】 C

  10.對(duì)于函數(shù)f(x)=2sin xcos x,下列選項(xiàng)中正確的是(  )

  A.f(x)在(π4,π2)上是遞增的

  B.f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

  C.f(x)的最小正周期為2π

  D.f(x)的最大值為2

  【解析】 f(x)=2sin xcos x=sin 2x,

  ∴f(x)為奇函數(shù),f(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

  【答案】 B

  二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分,將答案填在題中的橫線上)

  11.(2012•江西高考)若sin α+cos αsin α-cos α=12,則tan 2α=________.

  【解析】 由sin α+cos αsin α-cos α=12,等式左邊分子、分母同除cos α得,tan α+1tan α-1=12,解得tan α=-3,則tan 2α=2tan α1-tan2α=34.

  【答案】 34

  12.知α,β∈(0,π4),tan α21-tan2α2=14,且3sin β=sin(2α+β),則α+β=________.

  【解析】 由tan α21-tan2α2=14,得tan α=12.由3sin β=sin(2α+β),得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],化簡得tan(α+β)=2tan α=1.由于α,β∈(0,π4),故α+β∈(0,π2),所以α+β=π4.

  【答案】 π4

  13.若θ是第二象限角,cos θ2-sin θ2=1-sin θ,則角θ2所在的象限是________.

  【解析】 ∵1-sin θ= sin θ2-cos θ22

  =|sin θ2-cos θ2|=cos θ2-sin θ2,

  ∴sin θ2<cos θ2.

  ∵θ是第二象限角,

  ∴π2+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z.

  則π4+kπ<θ2<π2+kπ.k∈Z.

  由上可得54π+2kπ<θ2<32π+2kπ,k∈Z.所以θ2是第三象限角.

  【答案】 第三象限角

  14.函數(shù)f(x)=sin2(2x-π4)的最小正周期是________.

  【解析】 f(x)=1-cos22x-π42

  =1-cos4x-π22=1-sin 4x2,

  ∴最小正周期T=2π4=π2.

  【答案】 π2

  15.(2012•江蘇高考)設(shè)α為銳角,若cos(α+π6)=45,則sin(2α+π12)的值為________.

  【解析】 ∵α為銳角且cos(α+π6)=45,

  ∴sin(α+π6)=35.

  ∴sin(2α+π12)=sin[2(α+π6)-π4]

  =sin 2(α+π6)cos π4-cos 2(α+π6)sin π4

  =2sin(α+π6)cos(α+π6)-22[2cos2(α+π6)-1]

  =2×35×45-22[2×(45)2-1]=12225-7250=17250.

  【答案】 17250

  三、解答題(本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

  16.(本小題滿分12分)(2013•遼寧高考)設(shè)向量a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈0,π2.

  (1)若|a|=|b|,求x的值;

  (2)設(shè)函數(shù)f(x)=a•b,求f(x)的最大值.

  【解】 (1)由|a|2=(3sin x)2+sin2 x=4sin2x,

  |b|2=cos2x+sin2x=1,

  及|a|=|b|,得4sin2x=1.

  又x∈0,π2,從而sin x=12,

  所以x=π6.

  (2)f(x)=a•b=3sin x•cos x+sin2x

  =32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-π6+12,

  當(dāng)x=π3∈0,π2時(shí),sin2x-π6取最大值1.

  所以f(x)的最大值為32.

  17.(本小題滿分12分)若2sin(π4+α)=sin θ+cos θ,2sin2β=sin 2θ,求證:sin 2α+12cos 2β=0.

  【證明】 由2sin(π4+α)=sin θ+cos θ得2cos α+2sin α=sin θ+cos θ,兩邊平方得

  2(1+sin 2α)=1+sin 2θ,即

  sin 2α=12(sin 2θ-1), ①

  由2sin2β=sin 2θ得,1-cos 2β=sin 2θ. ②

  將②代入①得

  sin 2α=12[(1-cos 2β)-1]得

  sin 2α=-12cos 2β,

  即sin 2α+12cos 2β=0.

  18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4(ω>0)的最小正周期為π.

  (1)求ω的值;

  (2)討論f(x)在區(qū)間0,π2上的單調(diào)性.

  【解】 (1)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4

  =22sin ωx•cos ωx+22cos2ωx

  =2(sin 2ωx+cos 2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2.

  因?yàn)閒(x)的最小正周期為π,且ω>0,

  從而有2π2ω=π,故ω=1.

  (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+π4)+2.

  若0≤x≤π2,則π4≤2x+π4≤5π4.

  當(dāng)π4≤2x+π4≤π2,即0≤x≤π8時(shí),f(x)單調(diào)遞增;

  當(dāng)π2<2x+π4≤5π4,即π8

  綜上可知,f(x)在區(qū)間0,π8上單調(diào)遞增,在區(qū)間π8,π2上單調(diào)遞減.

  19.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2,x∈R(其中ω>0).

  (1)求函數(shù)f(x)的值域;

  (2)若對(duì)任意的a∈R,函數(shù)y=f(x),x∈(a,a+π]的圖像與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),試確定ω的值(不必證明),并求函數(shù)y=f(x),x∈R的單調(diào)增區(qū)間.

  【解】 (1)f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2=2sin ωxcos π6-cos ωx-1

  =2sin(ωx-π6)-1,

  ∵x∈R,∴f(x)的值域?yàn)閇-3,1].

  (2)由題意得函數(shù)f(x)的周期為π.

  ∴2πω=π,∴ω=2,

  ∴f(x)=2sin(2x-π6)-1.

  令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z.

  得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z.

  ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-π6,kπ+π3],k∈Z.

  圖1

  20.(本小題滿分13分)如圖1,以O(shè)x為始邊作角α與β(0<β<α<π),它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q,已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-35,45).

  (1)求sin 2α+cos 2α+11+tan α的值;

  (2)若OP→•OQ→=0,求sin(α+β).

  【解】 (1)由三角函數(shù)定義得cos α=-35,sin α=45,

  則原式=2sin αcos α+2cos2α1+sin αcos α=2cos αsin α+cos αsin α+cos αcos α

  =2cos2α=2×(-35)2=1825.

  (2)∵OP→•OQ→=0,∴α-β=π2.

  ∴β=α-π2.

  ∴sin β=sin(α-π2)=-cos α=35,

  cos β=cos(α-π2)=sin α=45.

  ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β

  =45×45+(-35)×35=725.

  21.(本小題滿分13分)(2012•湖北高考)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2ωx+23sin ωx•cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的圖像關(guān)于直線x=π對(duì)稱,其中ω,λ為常數(shù),且ω∈(12,1).

  (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;

  (2)若y=f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(π4,0),求函數(shù)f(x)的值域.

  【解】 (1)因?yàn)閒(x)=sin2ωx-cos2ωx+23sin ωx•cos ωx+λ=-cos 2ωx+3sin 2ωx+λ=2sin(2ωx-π6)+λ,

  由直線x=π是y=f(x)圖像的一條對(duì)稱軸,可得sin(2ωπ-π6)=±1,

  所以2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z),即ω=k2+13(k∈Z).

  又ω∈(12,1),k∈Z,所以k=1,故ω=56.

  所以函數(shù)f(x)的最小正周期是6π5.

  (2)由y=f(x)的圖像過點(diǎn)(π4,0),得f(π4)=0,

  即λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sin π4=-2,即λ=-2.

  故f(x)=2sin(53x-π6)-2,函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2-2,2-2].
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