數(shù)學(xué)平面向量高復(fù)習(xí)考題訓(xùn)練題(含答案)
數(shù)學(xué)平面向量高復(fù)習(xí)考題訓(xùn)練題(含答案)
考試是檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要手段和方法,考前需要做好各方面的知識(shí)儲(chǔ)備。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的數(shù)學(xué)平面向量高復(fù)習(xí)考題訓(xùn)練題,希望對(duì)大家有所幫助!
數(shù)學(xué)平面向量高復(fù)習(xí)考題訓(xùn)練題及答案
高考專題訓(xùn)練(八) 平面向量
A級(jí)——基礎(chǔ)鞏固組
一、選擇題
1.已知向量OA→=(3,-4),OB→=(6,-3),OC→=(2m, m+1).若AB→∥OC→,則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.-3 B.-17
C.-35 D.35
解析 AB→=OB→-OA→=(3,1),因?yàn)锳B→∥OC→,
所以3(m+1)-2m=0,解得m=-3.
答案 A
2.已知|a|=|b|=2,(a+2b)•(a-b)=-2,則a與b的夾角為( )
A.π6 B.π3
C.π2 D.2π3
解析 由(a+2b)•(a-b)=|a|2+ a•b-2|b|2=-2,得a•b=2,即|a||b|cos〈a,b〉=2,cos〈a,b〉=12.故〈a,b〉=π3.
答案 B
3.(2014•四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析 ∵a=(1,2),b=(4,2),∴c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2).又∵c與a的夾角等于c與b的夾角 ,∴cos〈c,a〉=cos〈c,b〉.∴c•a|c||a|=c•b|c||b|.即5m+85|c|=8m+2025|c|,解得m=2.
答案 D
4.(2014•全國(guó)大綱卷)若向量a,b滿足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,則|b|=( )
A.2 B.2
C.1 D.22
解析 ∵(a+b)⊥a,|a|=1,∴(a+b)•a=0,
∴|a|2+a•b=0,∴a•b=-1.
又∵(2a+b)⊥b,∴(2a+b)•b= 0.
∴2a•b+|b|2=0.∴|b|2=2.
∴|b|=2,選B.
答案 B
5.設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A,B,C,向量m=(3sinA,sinB),n=(cosB,3cosA),若m•n=1+cos(A+B),則C=( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
解析 依題意得 3sinAcosB+3cosAsinB=1+cos(A+B),
3sin(A+B)=1+cos(A+B),3sinC+cosC=1,
2sinC+π6=1,sinC+π6=12.又π6<C+π6<7π6,
因此C+π6=5π6,C=2π3,選C.
答案 C
6.在平面上,AB1→⊥AB2→,|OB1→|=|OB2→|=1,AP→=AB1→+AB2→.若|OP→|<12,則|OA→|的取值范圍是( )
A.0,52 B .52,72
C.52,2 D.72,2
解析 由題意得點(diǎn)B1,B2在以O(shè)為圓心,半徑為1的圓上,點(diǎn)P在以O(shè)為圓心半徑為12的圓內(nèi),又AB1→⊥AB2→,AP→=AB1→+AB2→,所以點(diǎn)A在以B1B2為直徑的圓上,當(dāng)P與O點(diǎn)重合時(shí),|OA→|最大為2,當(dāng)P在半徑為12的圓周上,|OA→|最小為72.∵P在圓內(nèi),∴|OA→|∈72,2.
答案 D
二、填空題
7.(2014•北京卷)已知向量a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且λ a+b=0(λ∈R),則|λ|=________.
解析 |b|=22+12=5,由λa+b=0,得b=-λa,
故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=|b||a|=51=5.
答案 5
8.如圖,在△ABC中,BO為邊AC上的中線,BG→=2GO→,若CD→∥AG→,且AD→=15AB→+λAC→(λ∈R),則λ的值為________.
解析 因?yàn)镃D→∥AG→,所以存在實(shí)數(shù)k,使得CD→=kAG→.CD→=AD→-AC→=15AB→+(λ-1)AC→,又由BO是△ABC的邊AC上的中線,BG→=2GO→,得點(diǎn)G為△ABC的重心,所以AG→=13(AB→+AC→),所以15AB→+(λ-1)AC→=k3(AB→+AC→),由平 面向量基本定理可得15=k3,λ-1=k3,解得λ=65.
答案 65
9.在△ABC所在的平面上有一點(diǎn)P滿足PA→+PB→+PC→=AB→,則△PBC與△ABC的面積之比是________.
解析 因?yàn)镻A→+PB→+PC→=AB→,所以PA→+PB→+PC→+BA→=0,即PC→=2AP→,所以點(diǎn)P是CA邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn),故S△PBCS△ABC=PCAC=23.
答案 23
三、解答題
10.已知向量AB→=(3,1),AC→=(-1,a),a∈R
(1)若D為BC中點(diǎn),AD→=(m,2),求a,m的值;
(2)若△ABC是直角三角形,求a的值.
解 (1)因?yàn)锳B→=(3,1),AC→=(-1,a),
所以AD→=12(AB→+AC→)=1,1+a2.
又AD→=(m,2),所以m=1,1+a=2×2,解得a=3,m=1.
(2)因?yàn)椤鰽BC是直角三角形,所以A=90°或B=90°或C=90°.
當(dāng)A=90°時(shí),由AB→⊥AC→,
得3×(-1)+1•a=0,所以a=3;
當(dāng)B=90°時(shí),因?yàn)锽C→=AC→-AB→=(-4,a-1),
所以由AB→⊥BC→,
得3×(-4)+1•(a-1)=0,所以a=13;
當(dāng)C=90° 時(shí),由BC→⊥AC→,
得-1×(-4)+a•(a-1)=0,
即a2-a+4=0,因?yàn)閍∈R,所以無解.
綜上所述,a=3或a=13.
11.在△ABC中,已知2AB→•AC→=3|AB→|•|AC→|=3BC→2,求角A、B、C的大小.
解 設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
由2AB→•AC→=3|AB→|•|AC→|,得2bccosA=3bc,
所以cosA=32.
又A∈(0,π),因此A=π6.
由3|AB→|•|AC→|=3BC→2,得cb=3a2.
于是sinC•sinB=3sin2A=34.
所以sinC•sin5π6-C=34.
sinC•12cosC+32sinC=34,
因此2sinC•cosC+23sin2C=3,
sin2C-3cos2C=0,
即2sin2C-π3=0.
由A=π6知0<C<5π6,
所以-π3<2C-π3<4π3,
從而2C-π3=0,或2C-π3=π,
即C=π6或C=2π3,
故A=π6,B=2π3,C=π6,或A=π6,B=π6,C=2π3.
B級(jí)——能力提高組
1.
已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是AC邊上的動(dòng)點(diǎn),且AP→=λAB→,AQ→=(1-λ)AC→ ,λ∈R,則BQ→•CP→的最大值為( )
A.32 B.-32
C.38 D.-38
解析 如圖,BQ→•CP→=(BA→+AQ→)•(CA→+AP→)=[BA→+(1-λ)AC→]•(CA→+λAB→)=AB→•AC→-λAB→ 2-(1-λ)AC→2+λ(1-λ)AB→•AC→=(λ-λ2+1)×cos60°-λ+λ-1=-12λ-122-38,0≤λ≤1,所以當(dāng)λ=12時(shí),BQ→•CP→的最大值為-38,選D.
答案 D
2.(2014•安徽卷)已知兩個(gè)不相等的非零向量a,b,兩組向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成.記S=x1•y1+x2•y2+x3•y3+x4•y4+x5•y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值. 則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號(hào)).
?、賁有5個(gè)不同的值;
?、谌鬭⊥b,則Smin與|a|無關(guān);
?、廴鬭∥b,則Smin與|b|無關(guān);
?、苋魘b|>4|a|,則Smin>0;
?、萑魘b|=2|a|,Smin=8|a|2,則a與b的夾角為π4.
解析 對(duì)于①,若a,b有0組對(duì)應(yīng)乘積,則S1=2a2+3b2,若a,b有2組對(duì)應(yīng)乘積,則S2=a2+2b2+2a•b,若a,b有4組對(duì)應(yīng)乘積,則S3=b2+4a•b,所以S最多有3個(gè)不同的值,①錯(cuò)誤;因?yàn)閍,b是不等向量,所以S1-S3=2a2+2b2-4a•b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2 +b2-2a•b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3<S2<S1,故Smin=S3=b2+4a•b,對(duì)于②,當(dāng)a⊥b時(shí),Smin=b2與|a|無關(guān),②正確;對(duì)于③,顯然Smin與|b|有關(guān),③錯(cuò)誤;對(duì)于④,設(shè)a,b的夾角為θ,則Smin=b2+4a•b>16|a|2+16|a|2cosθ=16|a|2(1+cosθ)≥0,故Smin>0,④正確;對(duì)于⑤,|b|=2|a|,Smin=4|a|2+8|a|2cosθ=8|a|2,所以cosθ=12,又θ∈[0,π],所以θ=π3,⑤錯(cuò)誤.因此正確命題是②④.
答案?、冖?/p>
3.已知向量m=3sinx4,1,n=cosx4,cos2x4.
(1)若m•n=1,求cos2π3-x的值;
(2)記f(x)=m•n,在△ABC中,角A ,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.
解 (1)m•n=3sinx4cosx4+cos2x4
=32sin x2+12•cosx2+12=sinx2+π6+12.
又∵m•n=1,∴sinx2+π6=12.
cosx+π3=1-2sin2x2+π6=12,
cos2π3-x=- cosx+π3=-12.
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,
由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC.
∴2sinAcosB=sin(B+C).
∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且sinA≠0.
∴cosB=12.又∵0<B<π,∴B=π3.
∴0<A<2π3.
∴π6<A2+π6<π2,12<sinA2+π6<1.
又∵f(x)=m•n=sinx2+π6+12,
∴f(A)=sinA2+π6+12.
故函數(shù)f(A)的取值范圍是1,32.
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