高三數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性及最值知識點總結(jié)
高中數(shù)學(xué)客觀題中,主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值及其簡單應(yīng)用,因此同學(xué)們需要了解一下相關(guān)知識點,下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼母呷龜?shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性及最值知識點總結(jié),希望對你有幫助。
高三數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性、最值知識點(一)
單調(diào)性的定義:
1、對于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若對于任意x1,x2∈D,當(dāng)x1f(x2),則稱f(x)是區(qū)間D上的減函數(shù)。
2、如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù),就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),區(qū)間D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)增或減區(qū)間
3、最值的定義:
最大值:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M,滿足: ①對于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,稱M是f(x)的最大值.
最小值:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M,滿足: ①對于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,稱M是f(x)的最小值
判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性的方法:
(1)定義法:其步驟是:
①任取x1,x2∈D,且x1
?、谧鞑頵(x1)-f(x2)或作商
,并變形;
③判定f(x1)-f(x2)的符號,或比較
與1的大小;
④根據(jù)定義作出結(jié)論。
(2)復(fù)合法:利用基本函數(shù)的單調(diào)性的復(fù)合。
(3)圖象法:即觀察函數(shù)在區(qū)間D上部分的圖象從左往右看是上升的還是下降的。
高三數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性、最值知識點(二)
函數(shù)的單詞性
函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性.函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的,它是一個局部概念.
單調(diào)性的單詞區(qū)間
若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。
在單調(diào)區(qū)間上,增函數(shù)的圖像是上升的,減函數(shù)的圖像是下降的。
注:在單調(diào)性中有如下性質(zhì)
↑(增函數(shù))↓(減函數(shù))
↑(增函數(shù))+↑(增函數(shù))= ↑(增函數(shù)) ↑(增函數(shù))-↓(減函數(shù))=↑(增函數(shù)) ↓(減函數(shù))+↓(減函數(shù))=↓(減函數(shù)) ↓(減函數(shù))-↑(增函數(shù))=↓(減函數(shù))
用定義證明函數(shù)的單詞性步驟
1取值
即取x1,x2是該區(qū)間崆的任意兩個值且x1<x2
2作差變形
即求f(x1)-f(x2),通過因式分解,配方、有理化等方法
3定號
即根據(jù)給定的區(qū)間和x2-x1的符號確定f(x1)-f(x2)的符號
4判斷
根據(jù)單詞性的定義得出結(jié)論
判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性的方法
1定義法:其步驟是:
?、偃稳1,x2∈D,且x1
?、谧鞑頵(x1)-f(x2)或作商 ,并變形;
?、叟卸╢(x1)-f(x2)的符號,或比較 與1的大小;
④根據(jù)定義作出結(jié)論。
2復(fù)合法:
利用基本函數(shù)的單調(diào)性的復(fù)合。
3圖象法:
即觀察函數(shù)在區(qū)間D上部分的圖象從左往右看是上升的還是下降的。
函數(shù)最值
函數(shù)最值分為函數(shù)最小值與函數(shù)最大值。
函數(shù)最小值
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為d,如果存在M∈R滿足:
?、賹τ谌我鈱崝?shù)x∈d,都有f(x)≥M;
?、诖嬖趚0∈d。使得f (x0)=M,那么,我們稱實數(shù)M 是函數(shù)y=f(x)的最小值。
函數(shù)最大值
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為d,如果存在M∈R滿足:
?、賹τ谌我鈱崝?shù)x∈d,都有f(x)≤M,
?、诖嬖趚0∈d。使得f (x0)=M,那么,我們稱實數(shù)M 是函數(shù)y=f(x)的最大值。