2、函數(shù)：

　　(1)定義(傳統(tǒng))：如果在某變化過程中有兩個(gè)變量x，y并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。

　　(2)函數(shù)的集合定義：設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱

　　f：x→y為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)f(x)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{ f(x)|x∈A}叫做函數(shù)f(x)的值域。顯然值域是集合B的子集。

　　3、構(gòu)成函數(shù)的三要素：

　　定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則。

　　值域可由定義域唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，值域一定相同，它們可以視為同一函數(shù)。

　　4、函數(shù)的表示方法：

　　(1)解析法：如果在函數(shù)y=f(x)(x∈A)中，f(x)是用代數(shù)式(或解析式)來表達(dá)的，則這種表示函數(shù)的方法叫做解析式法;

　　(2)列表法：用表格的形式表示兩個(gè)量之間函數(shù)關(guān)系的方法，稱為列表法;

　　(3)圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

　　注意：函數(shù)的圖象可以是一個(gè)點(diǎn)，或一群孤立的點(diǎn)，或直線，或直線的一部分，或若干曲線組成。

　　映射f：A→B的特征：

　　(1)存在性：集合A中任一a在集合B中都有像;

　　(2)惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一個(gè);

　　(3)方向性：從A到B的映射與從B到A的映射一般是不一樣的;

　　(4)集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

　　(1)函數(shù)兩種定義的比較：

　?、傧嗤c(diǎn)：1°實(shí)質(zhì)一致2°定義域，值域意義一致3°對(duì)應(yīng)法則一致

　?、诓煌c(diǎn)：1°傳統(tǒng)定義從運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)出發(fā)，對(duì)函數(shù)的描述直觀，具體生動(dòng).

　　2°近代定義從集合映射觀點(diǎn)出發(fā)，描述更廣泛，更具有一般性.

　　(2)對(duì)函數(shù)定義的更深層次的思考：

　　映射與函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)是一種特殊的映射f：A→B，其特殊性表現(xiàn)為集合A，B均為非空的數(shù)集. .函數(shù):AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集!據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有任意個(gè)。小結(jié)：函數(shù)概念8個(gè)字：非空數(shù)集上的映射。

　　對(duì)于映射這個(gè)概念，應(yīng)明確以下幾點(diǎn)：

　?、儆成渲械膬蓚€(gè)集合A和B可以是數(shù)集，點(diǎn)集或由圖形組成的集合以及其它元素的集合.

　?、谟成涫怯蟹较虻?，A到B的映射與B到A的映射往往是不相同的.

　　③映射要求對(duì)集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有象，而這個(gè)象是唯一確定的.這種集合A中元素的任意性和在集合B中對(duì)應(yīng)的元素的唯一性構(gòu)成了映射的核心.

　　④映射允許集合B中的某些元素在集合A中沒有原象，也就是由象組成的集合

　　.

　　⑤映射允許集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多對(duì)一”或“一對(duì)一”，不能是“一對(duì)多”.

　　一一映射：設(shè)A，B是兩個(gè)集合，f：A→B是從集合A到集合B的映射，如果在這個(gè)映射的作用下，對(duì)于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么這個(gè)映射叫做從A到B上的一一映射. 一一映射既是一對(duì)一又是B無余的映射.

　　在理解映射概念時(shí)要注意：⑴A中元素必須都有象且唯一; ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一?？偨Y(jié)：取元任意性，成象唯一性。

　　對(duì)函數(shù)概念的理解：

　　函數(shù)三要素

　　(1)核心——對(duì)應(yīng)法則等式y(tǒng)=f(x)表明，對(duì)于定義域中的任意x，在“對(duì)應(yīng)法則f”的作用下，即可得到y(tǒng).因此，f是使“對(duì)應(yīng)”得以實(shí)現(xiàn)的方法和途徑.是聯(lián)系x與y的紐帶，從而是函數(shù)的核心.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，對(duì)應(yīng)法則可以用一個(gè)解析式來表示，但在不少較為復(fù)雜的問題中，函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則f也可以采用其他方式(如圖表或圖象等).

　　(2)定義域定義域是自變量x的取值范圍，它是函數(shù)的一個(gè)不可缺少的組成部分，定義域不同而解析式相同的函數(shù)，應(yīng)看作是兩個(gè)不同的函數(shù). 在中學(xué)階段所研究的函數(shù)通常都是能夠用解析式表示的.如果沒有特別說明，函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的所有實(shí)數(shù)x的集合.在實(shí)際問題中，還必須考慮自變量所代表的具體的量的允許取值范圍問題.

　　(3)值域值域是全體函數(shù)值所組成的集合.在一般情況下，一旦定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)的值域也就隨之確定.因此，判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，只要看其定義域與對(duì)應(yīng)法則是否完全相同，若相同就是同一個(gè)函數(shù)，若定義域和對(duì)應(yīng)法則中有一個(gè)不同，就不是同一個(gè)函數(shù). 同一函數(shù)概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)。

　　(4)關(guān)于函數(shù)符號(hào)y=f(x)

　　1°、y=f(x)即“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示.僅僅是函數(shù)符號(hào)，不是表示“y等于f與x的乘積”.f(x)也不一定是解析式.

　　2°、f(x)與f(a)的區(qū)別：f(x)是x的函數(shù)，在通常情況下，它是一個(gè)變量.f(a)表示自變量x=a時(shí)所得的函數(shù)值，它是一個(gè)常量即是一個(gè)數(shù)值.f(a)是f(x)的一個(gè)當(dāng)x=a時(shí)的特殊值.

　　3°如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同雖然表示自變量的與函數(shù)的字母不相同，那么它們?nèi)匀皇峭粋€(gè)函數(shù)，但是如果定義域與對(duì)應(yīng)法則中至少有一個(gè)不相同，那么它們就不是同一個(gè)函數(shù).