高考數(shù)學柯西不等式知識點總結(jié)
高考數(shù)學柯西不等式知識點總結(jié)
柯西不等式和排序不等式是兩個非常重要的不等式，它們在高等數(shù)學中的應(yīng)用很普遍。下面學習啦小編給大家?guī)砀呖紨?shù)學柯西不等式知識點，希望對你有幫助。
高考數(shù)學柯西不等式知識點(一)
所謂柯西不等式是指:設(shè)ai，bi∈R(i=1，2…，n，)，則(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等號當且僅當==…=時成立。
柯西不等式證法:
柯西不等式的一般證法有以下幾種：
(1)柯西不等式的形式化寫法就是：記兩列數(shù)分別是ai， bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則我們知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函數(shù)無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移項得到結(jié)論。
(2)用向量來證.
m=(a1，a2......an) n=(b1，b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.
因為cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
這就證明了不等式.
柯西不等式還有很多種，這里只取兩種較常用的證法.
柯西不等式應(yīng)用:
可在證明不等式，解三角形相關(guān)問題，求函數(shù)最值，解方程等問題的方面得到應(yīng)用。
巧拆常數(shù)：
例：設(shè)a、b、c 為正數(shù)且各不相等。
求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均為正數(shù)
∴為證結(jié)論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
證明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立
∴原不等式成立。
像這樣的例子還有很多，詞條里不再一一列舉，大家可以在參考資料里找到柯西不等式的證明及應(yīng)用的具體文獻.
柯西簡介:
1789年8月21日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。
他在純數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學的功力是相當深厚的，很多數(shù)學的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式...在數(shù)學寫作上，他是被認為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經(jīng)典之作，不過并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此他還曾被人批評高產(chǎn)而輕率，這點倒是與數(shù)學王子相反，據(jù)說，法國科學院''會刊''創(chuàng)刊的時候，由于柯西的作品實在太多，以致于科學院要負擔很大的印刷費用，超出科學院的預(yù)算，因此，科學院后來規(guī)定論文最長的只能夠到四頁，所以，柯西較長的論文只得投稿到其他地方。
柯西在代數(shù)學、幾何學、誤差理論以及天體力學、光學、彈性力學諸方面都有出色的工作。特別是，他弄清了彈性理論的基本數(shù)學結(jié)構(gòu)，為彈性力學奠定了嚴格的理論基礎(chǔ)。
高考數(shù)學柯西不等式知識點(二)
一、一般形式
(∑(ai))(∑(bi)) ≥ (∑ai·bi)
等號成立條件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均為零。
一般形式的證明
(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2
證明：
等式左邊=(ai·bj+aj·bi)+.................... 共n2 /2項
等式右邊=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2 /2項
用均值不等式容易證明 等式左邊≥等式右邊 得證
二、向量形式
|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)
等號成立條件：β為零向量，或α=λβ(λ∈R)。
向量形式的證明
令m=(a1，a2，…，an)，n=(b1，b2，…，bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<<b>m，n>=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos<<b>m，n> ∵cos<<b>m，n>≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) 注：“√”表示平方根。
高考數(shù)學得分技巧
在三門主科中，只有數(shù)學最容易拉開距離，也最為同學、家長所關(guān)心。由于高考的特殊性，有些同學在考試開始的前5分鐘就已亂了方寸，導致誰都不希望的結(jié)果。
1.做好前面5個小題。不要小看這幾個小題，對穩(wěn)定情緒，鼓舞士氣有很大作用。有些同學就是由于前面?zhèn)€別小題做得不順，影響整個考試情緒。而一旦前面發(fā)揮得好，會感到一路順手，所向披靡。
2.認真審題。由于前面題目簡單，想抓緊時間做完，以便騰出時間做后面的難題，結(jié)果把題目看錯了，非?？上?。如2000年上海卷第1題就有不少同學犯這種低級錯誤。
3.確實遇到暫時不會做的題目，可以放一放，但很多同學做不到。擔心前面就有不會做，后面肯定更難，從而心慌手抖，頭腦一片空白。
要知道難易對大家都一樣，你不會別人可能也不會。遇到暫時不會做的題目要敢于“合理放棄”，必要時你可以抬頭看看，周圍的人還在做這道難題，讓他們浪費時間吧，我去做會做的題目。這種心理暗示會減少你的壓力，等會做的做完了，狀態(tài)很好，勢如破竹，再回過來，有時一看就會了，這就能使你出色發(fā)揮。
4.對多數(shù)同學而言，最后兩題的最后一問是“用不著”做的，如果前面不細心失誤而把時間放攻難題上是得不償失，犯了策略性錯誤。
5.心理素質(zhì)不太好的同學，不一定要先看整個試卷，因為遇到難題會緊張。
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