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高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)等差數(shù)列公式

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高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)等差數(shù)列公式

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  高三數(shù)學(xué)等差數(shù)列公式

  等差數(shù)列公式

  等差數(shù)列公式an=a1+(n-1)d

  a1為首項(xiàng),an為第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式,d為公差

  前n項(xiàng)和公式為:Sn=na1+n(n-1)d/2

  Sn=(a1+an)n/2

  若m+n=p+q則:存在am+an=ap+aq

  若m+n=2p則:am+an=2ap

  以上n.m.p.q均為正整數(shù)

  解析:第n項(xiàng)的值an=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)×公差

  前n項(xiàng)的和Sn=首項(xiàng)×n+項(xiàng)數(shù)(項(xiàng)數(shù)-1)公差/2

  公差d=(an-a1)÷(n-1)

  項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1

  數(shù)列為奇數(shù)項(xiàng)時(shí),前n項(xiàng)的和=中間項(xiàng)×項(xiàng)數(shù)

  數(shù)列為偶數(shù)項(xiàng),求首尾項(xiàng)相加,用它的和除以2

  等差中項(xiàng)公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差數(shù)列

  通項(xiàng)公式:公差×項(xiàng)數(shù)+首項(xiàng)-公差

  等差數(shù)列求和公式

  若一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,末項(xiàng)為an那么該等差數(shù)列和表達(dá)式為:

  S=(a1+an)n÷2

  即(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2

  前n項(xiàng)和公式

  注意:n是正整數(shù)(相當(dāng)于n個(gè)等差中項(xiàng)之和)

  等差數(shù)列前N項(xiàng)求和,實(shí)際就是梯形公式的妙用:

  上底為:a1首項(xiàng),下底為a1+(n-1)d,高為n。

  即[a1+a1+(n-1)d]* n/2={a1n+n(n-1)d}/2。

  推理過程

  設(shè)首項(xiàng)為 , 末項(xiàng)為 , 項(xiàng)數(shù)為 , 公差為 , 前 項(xiàng)和為 , 則有:

  當(dāng)d≠0時(shí),Sn是n的二次函數(shù),(n,Sn)是二次函數(shù) 的圖象上一群孤立的點(diǎn)。利用其幾何意義可求前n項(xiàng)和Sn的最值。

  注意:公式一二三事實(shí)上是等價(jià)的,在公式一中不必要求公差等于一。

  求和推導(dǎo)

  證明:由題意得:

  Sn=a1+a2+a3+。。。+an①

  Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②

 ?、?②得:

  2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當(dāng)n為偶數(shù)時(shí))

  Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

  Sn=n(A1+An)/2 (a1,an,可以用a1+(n-1)d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號(hào)里面的數(shù)都是一個(gè)定值,即(A1+An)

  基本公式

  公式 Sn=(a1+an)n/2

  等差數(shù)列求和公式

  Sn=na1+n(n-1)d/2; (d為公差)

  Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)

  和為 Sn

  首項(xiàng) a1

  末項(xiàng) an

  公差d

  項(xiàng)數(shù)n

  表示方法

  等差數(shù)列基本公式:

  末項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)×公差

  項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1

  首項(xiàng)=末項(xiàng)-(項(xiàng)數(shù)-1)×公差

  和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2

  差:首項(xiàng)+項(xiàng)數(shù)×(項(xiàng)數(shù)-1)×公差÷2

  說明

  末項(xiàng):最后一位數(shù)

  首項(xiàng):第一位數(shù)

  項(xiàng)數(shù):一共有幾位數(shù)

  和:求一共數(shù)的總和

  本段通項(xiàng)公式

  首項(xiàng)=2×和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng)

  末項(xiàng)=2×和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng)

  末項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)×公差:a1+(n-1)d

  項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))/ 公差+1 :n=(an-a1)/d+1

  公差= d=(an-a1)/n-1

  如:1+3+5+7+……99 公差就是3-1

  將a1推廣到am,則為:

  d=(an-am)/n-m

  基本性質(zhì)

  若 m、n、p、q∈N

 ?、偃鬽+n=p+q,則am+an=ap+aq

 ?、谌鬽+n=2q,則am+an=2aq(等差中項(xiàng))

  注意:上述公式中an表示等差數(shù)列的第n項(xiàng)。

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