高三數(shù)學(xué)單元練習(xí)題:解三角形
高三數(shù)學(xué)單元練習(xí)題:解三角形
在高三復(fù)習(xí)過程中,我們要有效的提高復(fù)習(xí)效率。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家收集整理的高三數(shù)學(xué)《解三角形》的單元練習(xí)題目及其參考答案。
一、選擇題
1.在△ABC中,sinA=sinB,則△ABC是( )
A.直角三角形B.銳角三角形
C.鈍角三角形D.等腰三角形
答案D
2.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,則△ABC是( )
A.直角三角形B.等邊三角形
C.鈍角三角形D.等腰直角三角形
答案B
解析由正弦定理知:sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,
∴tanA=tanB=tanC,∴A=B=C.
3.在△ABC中,sinA=34,a=10,則邊長(zhǎng)c的取值范圍是( )
A.152,+∞B.(10,+∞)
C.(0,10) D.0,403
答案D
解析∵csinC=asinA=403,∴c=403sinC.
∴0
4.在△ABC中,a=2bcosC,則這個(gè)三角形一定是( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
答案A
解析由a=2bcosC得,sinA=2sinBcosC,
∴sin(B+C)=2sin Bcos C,
∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,
∴sin(B-C)=0,∴B=C.
5.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,則sin A∶sin B∶sin C等于( )
A.6∶5∶4 B.7∶5∶3
C.3∶5∶7 D.4∶5∶6
答案B
解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,
∴b+c4=c+a5=a+b6.
令b+c4=c+a5=a+b6=k (k>0),
則b+c=4kc+a=5ka+b=6k,解得a=72kb=52kc=32k.
∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.
6.已知三角形面積為14,外接圓面積為π,則這個(gè)三角形的三邊之積為( )
A.1B.2
C.12D.4
答案A
解析設(shè)三角形外接圓半徑為R,則由πR2=π,
得R=1,由S△=12absinC=abc4R=abc4=14,∴abc=1.
二、填空題
7.在△ABC中,已知a=32,cosC=13,S△ABC=43,則b=________.
答案23
解析∵cosC=13,∴sinC=223,
∴12absinC=43,∴b=23.
8.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A=60°,a=3,b=1,則c=________.
答案2
解析由正弦定理asinA=bsinB,得3sin60°=1sinB,
∴sinB=12,故B=30°或150°.由a>b,
得A>B,∴B=30°,故C=90°,
由勾股定理得c=2.
9.在單位圓上有三點(diǎn)A,B,C,設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則asinA+b2sinB+2csinC=________.
答案7
解析∵△ABC的外接圓直徑為2R=2,
∴asinA=bsinB=csinC=2R=2,
∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.
10.在△ABC中,A=60°,a=63,b=12,S△ABC=183,則a+b+csinA+sinB+sinC=________,c=________.
答案12 6
解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.
∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183,
∴sinC=12,∴csinC=asinA=12,∴c=6.
三、解答題
11.在△ABC中,求證:a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
證明因?yàn)樵凇鰽BC中,asinA=bsinB=csinC=2R,
所以左邊=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA
=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右邊.
所以等式成立,即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
12.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,試判斷△ABC的形狀.
解 設(shè)三角形外接圓半徑為R,則a2tanB=b2tanA
⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA
⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA
⇔sinAcosA=sinBcosB
⇔sin2A=sin2B
⇔2A=2B或2A+2B=π
⇔A=B或A+B=π2.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
能力提升
13.在△ABC中,B=60°,最大邊與最小邊之比為(3+1)∶2,則最大角為( )
A.45°B.60°C.75°D.90°
答案 C
解析 設(shè)C為最大角,則A為最小角,則A+C=120°,
∴sinCsinA=sin120°-AsinA
=sin120°cosA-cos120°sinAsinA
=32tanA+12=3+12=32+12,
∴tanA=1,A=45°,C=75°.
14.在△ABC中,a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若a=2,C=π4,
cosB2=255,求△ABC的面積S.
解cosB=2cos2B2-1=35,
故B為銳角,sinB=45.
所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.
由正弦定理得c=asinCsinA=107,
所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.
1.在△ABC中,有以下結(jié)論:
(1)A+B+C=π;
(2)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C;
(3)A+B2+C2=π2;
(4)sin A+B2=cos C2,cos A+B2=sin C2,tan A+B2=1tan C2.