高三年級理科上冊數(shù)學考試試卷題
理科和文科的數(shù)學是不一樣的,理科的更加難一點,小編今天下面就給大家整理高三數(shù)學,不會的就來看看吧
高三年級數(shù)學考試試卷題
參考公式:球的表面積公式 球的體積公式
第Ⅰ卷(選擇題滿分60分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.請在答題卷的相應區(qū)域答題.)
1.設集合 , ,則 等于
A. B. C. D.
2.已知復數(shù) ,則 的實部為
A. -1 B. 0 C. 1 D. 3
3.函數(shù) ) 的部分圖象如圖所示,為了得到 的圖象,只需將 的圖象
A. 向右平移 個單位 B.向右平移 個單位
C.向左平移 個單位 D.向左平移 個單位
4. 直線 軸的交點為 ,點 把圓 的直徑分為兩段,則較長一段比上較短一段的值等于
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 某校高三(6)班共有48人,學號依次為1,2,3,…,48,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為6的樣本,已知學號為3,11,19,35,43的同學在樣本中,則還有一個同學的學號應為
A. 27 B. 26 C. 25 D. 24
6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為
A. B.
C. D.
7. 在 展開式中,含 的項的系數(shù)是
A. 36 B. 24 C. -36 D. -24
8. 已知 ,則 的最小值是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 已知實數(shù) 滿足 ,則 的取值范圍是
A. B. C. D.
10.已知雙曲線 的左、右焦點分別 ,以線段 為直徑的圓與雙曲線 在第一象限交于點 ,且 ,則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
11. 定義域為 的函數(shù) 滿足 ,則不等式 的解為
A. B. C. D.
12.如圖,在 中, , , 為
上一點,且滿足 ,若 的
面積為 ,則 的最小值為
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題滿分90分)
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請在答題卷的相應區(qū)域答題.)
13.已知 ,則 .
14.已知 ,則 .
15.執(zhí)行下圖的程序框圖,則輸出的 .
16.已知三棱錐 均為等邊三角形,二面角 的平面角為60°,則三棱錐外接球的表面積是.
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請在答題卷的相應區(qū)域答題.)
17.(本小題滿分12分)
已知數(shù)列 .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項公式;
(Ⅱ)記 為數(shù)列 的前 項和,求數(shù)列 的前 項和 .
18.(本小題滿分12分)
2015年11月27日至28日,中共中央扶貧開發(fā)工作會議在北京召開,為確保到2020年所有貧困地區(qū)和貧困人口一道邁入全面小康社會. 黃山市深入學習貫徹習近平總書記關于扶貧開發(fā)工作的重要論述及系列指示精神,認真落實省委、省政府一系列決策部署,精準扶貧、精準施策,各項政策措施落到實處,脫貧攻堅各項工作順利推進,成效明顯.貧困戶楊老漢就是扶貧政策受益人之一.據(jù)了解,為了幫助楊老漢早日脫貧,負責楊老漢家的扶貧隊長、扶貧副隊長和幫扶責任人經(jīng)常到他家走訪,其中扶貧隊長每天到楊老漢家走訪的概率為
,扶貧副隊長每天到楊老漢家走訪的概率為 ,幫扶責任人每天到楊老漢家走訪的概率為 .
(Ⅰ)求幫扶責任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率;
(Ⅱ)設扶貧隊長、副隊長、幫扶責任人三人某天到楊老漢家走訪的人數(shù)為X,求X的分布列;
(Ⅲ)楊老漢對三位幫扶人員非常滿意,他對別人說:“他家平均每天至少有1人走訪”.請問:他說的是真的嗎?
19.(本小題滿分12分)
如圖1,平面四邊形 中, , , , ,將三角形 沿 翻折到三角形 的位置,如圖2,平面 平面 , 為 中點.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求直線 與平面 所成角的正弦值.
20.(本小題滿分12分)
已知點 在拋物線 上,且 到拋物線焦點的距離為 . 直線 與拋物線交于 兩點,且線段 的中點為 .
(Ⅰ)求直線 的方程.
(Ⅱ)點 是直線 上的動點,求 的最小值.
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)設 是 的極值點,求 的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下, 在定義域內(nèi)恒成立,求 的取值范圍;
(Ⅲ)當 時,證明:
考生注意:請在第22、23兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一個題目計分.作答時,請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目后的方框涂黑.
22.(本小題滿分10分)選修4―4:坐標系與參數(shù)方程
已知平面直角坐標系 ,以 為極點, 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線
過點 ,且傾斜角為 ,圓 的極坐標方程為 .
(Ⅰ)求圓 的普通方程和直線 的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設直線 與圓 交于M、N兩點,求 的值.
23.(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)
(Ⅰ)若 的解集;
(Ⅱ)若函數(shù) 有三個零點,求實數(shù) 的取值范圍.
黃山市2019屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測
高三數(shù)學(理科)參考答案及評分標準
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.C 2.B 3.B 4.A 5. A 6. B 7. D 8. D 9.A 10.A 11.C 12.B
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13. 14. 15. 11 16.
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由 ,得 所以 …………3分
由累乘法得到 ,所以數(shù)列 的通項公式為 ………………6分
(Ⅱ) 由等差數(shù)列前n項和公式得: 所以
…………………………………………………………9分
數(shù)列 的前 項和
……12分
18. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)設幫扶責任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的事件為A ;
∴幫扶責任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率為 ……………………………………3分
(Ⅱ)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. ………………………………4分
;
; ……8分
隨機變量X的分布列為.
X 0 1 2 3
P
…………………………………9分
(Ⅲ) 所以
所以楊老漢說的是真的。 …………………………………………………………………12分
19.(本小題滿分12分)
證明:(Ⅰ)由題意 為等邊三角形,則 ,
在三角形 中, , ,由余弦定理可求得 ,
,即
又平面 平面 ,平面 平面 , 平面
平面 …………………………………………………3分
等邊三角形 中, 為 中點,則 ,且
平面 , …………………………………………………5分
(Ⅱ)以 為坐標原點, 分別為 軸, 軸建立空間直角坐標系,
則 , , , ,
, ……………………………………………7分
設 是平面 的法向量,則 ,
取 ……………………………………………9分
所以直線 與平面 所成角的正弦值為 . ……………………………12分
20. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)拋物線的準線方程為 ,拋物線方程為 ……2分
設 , …4分
直線 的方程為 即 …………………………………………6分
(Ⅱ) 都在直線 上,則 ,設
…8分
又
當 時, 的最小值為 …………………………………………………12分
21.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)∵ ,x=0是f(x)的極值點,∴ ,解得m=1.
經(jīng)檢驗m=1 符合題意 ……………2分
(Ⅱ)由( Ι)可知,函數(shù)f(x)=ex-ln(x+1)+1,其定義域為(-1,+∞).
∵ ………………………………………………4分
設g(x)=ex(x+1)-1,則g′(x)=ex(x+1)+ex>0,所以g(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù),
又∵g(0)=0,所以當x>0時,g(x)>0,即f′(x)>0;當-1
所以f(x)在(-1,0)上為減函數(shù);在(0,+∞)上為增函數(shù);因此, 的最小值為
∵ 0在定義域內(nèi)恒成立,即 ……………………………………………………………7分
(Ⅲ)證明:要證 , .
設 , 即證
當m≤2,x∈(-m,+∞)時, ,故只需證明當m=2時, .
當m=2時,函數(shù) 在(-2,+∞)上為增函數(shù),且 .
故 在(-2,+∞)上有唯一實數(shù)根 ,且 ∈(-1,0).
當 時, ,當 時, ,
從而當 時, 取得最小值. …………………………………………………10分
由 ,得 , 故 .
綜上,當m≤2時, 即 >m.………………………………………12分
22.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)將直線 的參數(shù)方程代入圓 的方程,得:
23.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)
高三數(shù)學上學期期末試卷理科生
第Ⅰ卷
一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的).
1.已知集合 , ,則 ( )
A. B. C. D.
2.已知復數(shù) ( ),其中i為虛數(shù)單位,若 為實數(shù),則 的值為( )
A. B. C. D.
3.已知 ,則下列關系正確的是( )
A. B. C. D.
4.下圖是某企業(yè)產(chǎn)值在2008年~2017年的年增量(即當年產(chǎn)值比前一年產(chǎn)值增加的量)統(tǒng)計圖(單位:萬元),下列說法正確的是( )
A.2009年產(chǎn)值比2008年產(chǎn)值少
B.從2011年到2015年,產(chǎn)值年增量逐年減少
C.產(chǎn)值年增量的增量最大的是2017年
D.2016年的產(chǎn)值年增長率可能比2012年的產(chǎn)值年增長率低
5.等比數(shù)列 的前 項和 ,若對任意正整數(shù) 等式 成立,則 的值為( )
A.-3 B.1 C.-3或1 D.1或3
6.已知 ABC中, ,延長BD交AC于E,則 ( )
A. B. C. D.
7.函數(shù) 的圖象大致為( )
A. B.
C. D.
8.已知 是某球面上不共面的四點,且 ,則此球的體積為( )
A. B. C. D.
9.已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ,實軸長為2,漸近線方程為 , ,點N在圓 上,則 的最小值為
A. B.2 C. D.3
10.公元263年左右,我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.小華同學利用劉徽的“割圓術(shù)”思想在半徑為1的圓內(nèi)作正 邊形求其面積,如圖是其設計的一個程序框圖,則框圖中應填入、輸出 的值分別為( )
(參考數(shù)據(jù): )
A. B.
C. D.
11.已知點P(-1,0),設不垂直于x軸的直線l與拋物線
y 2=2x交于不同的兩點A、B,若x軸是∠APB的角平分線,
則直線l一定過點( )
A.(,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(-2,0)
12.設函數(shù) ,其中 ,若僅存
在兩個正整數(shù) 使得 ,則 的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷(非選擇題)
二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分).
13.若 的展開式中常數(shù)項為-12,則a=____.
14.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為____.
15.設數(shù)列 的前n項和為 ,若 且 (n≥2)則 的通項公式 _______.
16.如右圖,正方體 中, 是 的中點, 是側(cè)面 上的動點,且 //平面 ,則 與平面 所成角的正切值的最大值是_________.
三、解答題(共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.在 中,角 所對的邊分別為 ,且 .
(1)求 的值;
(2)若 ,點 在線段 上, , ,求 的面積.
18.如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB 平面BEC,BE EC,AB=BE=EC=2,G,F(xiàn)分別是線段BE,DC的中點.
(1)求證: 平面 ;
(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.
19.為了改善市民的生活環(huán)境,信陽市決定對信陽市的1萬家中小型化工企業(yè)進行污染情況摸排,并出臺相應的整治措施.通過對這些企業(yè)的排污口水質(zhì),周邊空氣質(zhì)量等的檢驗,把污染情況綜合折算成標準分100分,發(fā)現(xiàn)信陽市的這些化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布N(50,162),分值越低,說明污染越嚴重;如果分值在[50,60]內(nèi),可以認為該企業(yè)治污水平基本達標.
(1)如圖信陽市的某工業(yè)區(qū)所有被調(diào)查的化工企業(yè)的污染情況標準分的頻率分布直方圖,請計算這個工業(yè)區(qū)被調(diào)查的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值,并判斷該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平是否基本達標;
(2)大量調(diào)査表明,如果污染企業(yè)繼續(xù)生產(chǎn),那么標準分低于18分的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為10萬元,標準分在[18,34)內(nèi)的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為4萬元.長沙市決定關停80%的標準分低于18分的化工企業(yè)和60%的標準分在[18,34)內(nèi)的化工企業(yè),每月可減少的直接損失約有多少?
(附:若隨機變量 ,則 , , )
20.已知橢圓 過點 ,且其中一個焦點的坐標為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)過橢圓 右焦點 的直線與橢圓交于兩點 ,在 軸上是否存在點 ,使得 為定值?若存在,求出點 的坐標;若不存在,請說明理由.
21.設 是 在點 處的切線.
(1)求證: ;
(2)設 ,其中 .若 對 恒成立,求 的取值范圍.
(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分。
22.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系 中,以坐標原點 為極點,以 軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線 的極坐標方程為 ,已知直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),點 的直角坐標為 .
(1)求直線和曲線 的普通方程;
(2)設直線和曲線 交于 兩點,求 .
23.選修4-5:不等式選講
已知函數(shù) .
(1)若不等式 恒成立,求實數(shù) 的最大值;
(2)當 ,函數(shù) 有零點,求實數(shù) 的取值范圍.
參考答案
1.B 2.B 3.A 4.D
對 ,2009年產(chǎn)值比2008年產(chǎn)值多 萬元,故 錯誤;
對 ,從2011年到2015年,產(chǎn)值年增量逐年增加,故 錯誤;
對 ,產(chǎn)值年增量的增量最大的不是2017年,故 錯誤;
對 ,因為增長率等于增長量除以上一年產(chǎn)值,由于上一年產(chǎn)值不確定,所以2016年的產(chǎn)值年增長率可能比2012年的產(chǎn)值年增長率低, 對,故選D.
5.C設等比數(shù)列 的公比為 ,因為 ,所以 ,兩式相減,有 ,而 ,所以 ,當 時,令 得 ,解得 ;當 時,令 得 ,解得 ,所以 或 ,
6.D取特殊三角形,令 ,則有 ,直線BD的方程為 ,化簡得 ,令 ,解得 ,所以 , ,故選D.
7.D因為 ,所以 為奇函數(shù),不選A,C,
又因為 ,所以選D.
8.A因為 所以
因為 ,所以 為邊長為1得正方體四個頂點,外接球半徑為 ,
因此球的體積為 ,選A.
9.C因為 ,所以點M在雙曲線C右支上,因為漸近線方程為 ,所以 圓 ,即 ,設圓心為 ,
則有 ,選C.
10.C在半徑為 的圓內(nèi)作出正 邊形,分成 個小的等腰三角形,
每一個等腰三角形兩腰是 ,頂角是 ,所以正 邊形面積是 ,
當 時, ;當 時, ;
當 時, ;符合 ,輸出 ,故選C.
11.B根據(jù)題意,直線的斜率不等于零,并且直線過的定點應該在x軸上,
設直線的方程為 ,與拋物線方程聯(lián)立,消元得 ,
設 ,因為x軸是∠APB的角平分線,所以AP、BP的斜率互為相反數(shù),所以 ,結(jié)合根與系數(shù)之間的關系,整理得出 ,
即 , ,解得 ,所以過定點 ,
12.A令 因為僅存在兩個正整數(shù) 使得 ,即僅有兩個整數(shù)使得 ,令 ,解得 且當 , ;當 , 所以 且 , 所以當 時, ,另一個滿足條件的整數(shù)為2所以 ,代入解得 綜上, 的取值范圍為
13.-1因為 的展開式中常數(shù)項為 ,
14. 從圖中可以發(fā)現(xiàn),對應的圓錐的高是2,底面圓的半徑是 ,
故剩余部分的底面的面積為 ,
所以該幾何體的體積為 ,故答案是 .
15.
時,由 可得 化為 是公差為 ,首項為的等差數(shù)列, , 時, ,又因為 ,故答案為 .
16. 設 分別為 邊上的中點,則 四點共面,且平面 平面 ,又 面 , 落在線段 上, 是 與平面 所成的角,
,設 的中點為,則當 與重合時 最小,此時 與平面 所成角的正切值有最大值為 ,故答案為 .
17.(1)因為 ,由正弦定理得:
即 ,
在 中, ,所以
,兩邊平方得:
由 , , 得
解得:
所以 的面積
18. 解法一:(Ⅰ)如圖,取 的中點 ,連接 , ,又G是BE的中點, ,
又F是CD中點, ,由四邊形ABCD是矩形得, ,所以 .從而四邊形 是平行四邊形,所以 ,,又 ,所以 .
(Ⅱ)如圖,在平面BEC內(nèi),過點B作 ,因為 .
又因為AB 平面BEC,所以AB BE,AB BQ
以B為原點,分別以 的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(xiàn)(2,2,1).因為AB 平面BEC,所以 為平面BEC的法向量,
設 為平面AEF的法向量.又
由 取 得 .
從而
所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為 .
解法二:(Ⅰ)如圖,取 中點 ,連接 , ,又 是 的中點,可知 ,
又 面 , 面 ,所以 平面 .
在矩形ABCD中,由M,F(xiàn)分別是AB,CD的中點得 .
又 面 , 面 ,所以 面 .
又因為 , 面 , 面 ,
所以面 平面 ,因為 面 ,所以 平面 .
19. (Ⅰ)該工業(yè)區(qū)被調(diào)查的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值:
,
故該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平基本達標;
(Ⅱ)化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布N(50,162)
標準分在[18,34)內(nèi)的概率,
∴60%的標準分在[18,34)內(nèi)的化工企業(yè),每月可減少的直接損失為:
萬元,
標準分低于18分的概率, ,
∴ 萬元
故信陽市決定關停80%的標準分低于18分的化工企業(yè)和60%的標準分在[18,34)內(nèi)的化工企業(yè),每月可減少的直接損失約有
20. (1)由已知得 ,∴ ,則 的方程為 ;
(2)假設存在點 ,使得 為定值,
當直線的斜率不為 時,可設直線的方程為 ,
聯(lián)立 , 得
設 ,則 ,
要使上式為定值, 即與 無關,應有
解得 ,此時
當直線的斜率為 時,不妨設 ,當 的坐標為 時
綜上,存在點 使得 為定值.
21. (1)設 ,則 ,所以 .所以 .
令 . 滿足 ,且 .
當 時, ,故 單調(diào)遞減;
當 時, ,故 單調(diào)遞增.
所以, .所以 .
(2)法一: 的定義域是 ,且 .
?、?當 時,由(1)得 ,
所以 .
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增, 所以 恒成立,符合題意.
?、?當 時,由 ,且 的導數(shù) ,
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增. 因為 ,
于是存在 ,使得 .
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞減,在區(qū)間 上單調(diào)遞增,
所以 ,此時 不會恒成立,不符合題意.
綜上, 的取值范圍是 .
法二:∵
∴
當
當
令 =
令 ,
故 ,故 ,
綜上 .
22. (1)∵ρsin2α﹣2cosα=0,∴ρ2sin2α=4ρcosα,
∴曲線C的直角坐標方程為y2=4x.
由 消去,得 .∴直線l的直角坐標方程為 .
(2)點M(1,0)在直線l上,
設直線l的參數(shù)方程 (t為參數(shù)),A,B對應的參數(shù)為t1,t2.
將l的參數(shù)方程代入y2=4x,得 .
于是 , .
∴ .
23. (Ⅰ) .
∵ ,
∴ 恒成立當且僅當 ,
∴ ,即實數(shù) 的最大值為1.
(Ⅱ)當 時,
∴ ,
∴ 或
∴ ,∴實數(shù) 的取值范圍是 .
高三數(shù)學上學期期末試題參考
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每個小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.復數(shù) 的虛部是
A. B.2 C. D.
2.已知集合 , ,則
A. B. C. D.
3.已知命題 若 ,則 ;命題 、 是直線, 為平面,若 // , ,則 // .下列命題為真命題的是
A. B. C. D.
4.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額 (單位:億元)的折線圖.
則下列結(jié)論中表述不正確的是
A.從2000年至2016年,該地區(qū)環(huán)境基礎
設施投資額逐年增加;
B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎設施的投資額比
2000年至2004年的投資總額還多;
C.2012年該地區(qū)基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番 ;
D.為了預測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎設施投資額,根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為 )建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型 ,根據(jù)該模型預測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎設施投資額為256.5億元.
5. 函數(shù) 的圖象大致為
6. 若 滿足約束條件 ,則 的最小值為
A. 1 B.2 C.-2 D.-1
7.若 , , ,則 的大小關系為
A. B.
C. D.
8.若點 在拋物線 上,記拋物線 的焦點為 ,直線 與拋物線的另一交點為B,則
A. B. C. D.
9.某幾何體示意圖的三視圖如圖示,已知其主視圖的周長為8,
則該幾何體側(cè)面積的最大值為
A. B. C. D.
10.已知在區(qū)間 上,函數(shù) 與函數(shù) 的圖象交于點P,設點P在x軸上的射影為 , 的橫坐標為 ,則 的值為
A. B. C. D.
11.已知雙曲線C: 的左、右焦點分別為 ,坐標原點O關于點 的對稱點為P,點P到雙曲線的漸近線距離為 ,過 的直線與雙曲線C右支相交于M、N兩點,若 , 的周長為10,則雙曲線C的離心率為
A. B.2 C. D.3
12. 如圖,在三棱柱 中, 底面 ,∠ACB=90°,
為 上的動點,則 的最小值為
A. B. C.5 D.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13. 的展開式中 的系數(shù)為_______;
14.若向量 、 不共線,且 ,則 _______;
15. 已知函數(shù) ,若 ,則實數(shù) 的取值范圍是 ;
16. 已知 ,則 .
三、解答題:共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.第17題~第21題為必考題,每個試題考生都必須做答.第22題~第23題為選考題,考生根據(jù)要求做答.
(一)必考題:共60分
17.(12分)
已知數(shù)列 的前n項和為 ,且滿足 , .
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)若等差數(shù)列 的前n項和為 ,且 , ,求數(shù)列 的前 項和 .
18.(12分)
如圖,在三棱錐P-ABC中,正三角形PAC所在平面與等腰三角形
ABC所在平面互相垂直,AB=BC,O是AC中點,OH⊥PC于H.
(1)證明:PC⊥平面BOH;
(2)若 ,求二面角A-BH-O的余弦值.
19.(12分)
某公司培訓員工某項技能,培訓有如下兩種方式,方式一:周一到周五每天培訓1小時,周日測試;方式二:周六一天培訓4小時,周日測試.公司有多個班組,每個班組60人,現(xiàn)任選兩組(記為甲組、乙組)先培訓,甲組選方式一,乙組選方式二,并記錄每周培訓后測試達標的人數(shù)如下表,其中第一、二周達標的員工評為優(yōu)秀.
第一周 第二周 第三周 第四周
甲組 20 25 10 5
乙組 8 16 20 16
(1)在甲組內(nèi)任選兩人,求恰有一人優(yōu)秀的概率;
(2)每個員工技能測試是否達標相互獨立,以頻率作為概率.
(i)設公司員工在方式一、二下的受訓時間分別為 、 ,求 、 的分布列,若選平均受訓時間少的,則公司應選哪種培訓方式?
(ii)按(i)中所選方式從公司任選兩人,求恰有一人優(yōu)秀的概率.
20.(12分)
已知橢圓 : 的上頂點為A,以A為圓心,橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點分別為 、 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)設不經(jīng)過點A的直線 與橢圓 交于P、Q兩點,且 ,試探究直線 是否過定點?若過定點,求出該定點的坐標,若不過定點,請說明理由.
21.(12分)
已知函數(shù) ( , ).
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(2)當 時, ,求k的取值范圍.
(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.
22. [選修4-4:坐標系與參數(shù)方程] (10分)
已知曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,過極點的兩射線 、 相互垂直,與曲線C分別相交于A、B兩點(不同于點O),且 的傾斜角為銳角 .
(1)求曲線C和射線 的極坐標方程;
(2)求△OAB的面積的最小值,并求此時 的值.
23. [選修4 5:不等式選講] (10分)
已知函數(shù) ,
(1)當a=2時,求不等式 的解集;
(2)當 時不等式 恒成立,求 的取值范圍.
(理科)參考答案
一、本解答給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應的評分細則.
二、對計算題當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定給分,但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半;如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.
三、解答右端所注分數(shù),表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).
四、只給整數(shù)分數(shù).
一、選擇題
題序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B D A D A D C B B C
解析:8.依題意易得 , ,由拋物線的定義得 ,聯(lián)立直線AF的方程與拋物線的方程消去y得 ,得 , 則 ,故 .
9. 由三視圖知,該幾何體為圓錐,設底面的半徑為r,母線的長為 ,則 ,又S側(cè)= (當且僅當 時“=”成立)
10. 依題意得
.
11. 依題意得點P , ,由雙曲線的定義得 周長為 ,由此得 , ,故 .
12. 由題設知△ 為等腰直角三角形,又 平面 ,
故∠ =90°,將二面角 沿 展開成平面圖形,
得四邊形 如圖示,由此, 要取得最小值,當且
僅當 三點共線,由題設知∠ ,
由余弦定理得 .
二、填空題
題序 13 14 15 16
答案 224 3
解析:
15. 因函數(shù) 為增函數(shù),且為奇函數(shù), , ,
解得 .【學生填 或 或 都給滿分】
16. 依題意可得 ,其最小正周期 ,且 故
三、解答題
17.解:(1)當 時, ,----------------------------------------------------------------------------1分
由 得 ( ),
兩式相減得 ,又 ,
∴ ( ), ------------------------------------------------------------------------------3分
又 ,∴ ( ), --------------------------------------------------------4分
顯然 , ,即數(shù)列 是首項為3、公比為3的等比數(shù)列,
∴ ; --------------------------------------------------------------------------------6分
(2)設數(shù)列 的公差為d,則有 ,由 得 ,解得 ,--------8分∴ , --------------------------------------------------------------------9分
又 --------------------------------------------10分
∴
.--------------------------------------------------------------------12分
18.解:(1)∵AB=BC,O是AC中點,
∴ BO⊥AC,---------------------------------------------1分
又平面PAC⊥平面ABC,
且 平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,
∴ BO⊥平面PAC,-------------------------------------3分
∴ BO⊥PC,又OH⊥PC,BO∩OH=O,
∴ PC⊥平面BOH;------------------------------------5分
(2)易知PO⊥AC,又BO⊥平面PAC,
如圖,以O為原點,OB所在的直線為x軸,建立空間直角
坐標系O - xyz,由 易知 ,OC=2,
, ,
∴ , , , ,
, , , -----------------------------------7分
設平面ABH的法向量為 ,
則 , ∴ ,取x=2,得 ,----------------------9分
由(1)知 是平面BHO的法向量,易知 ,------10分
設二面角A-BH-O的大小為 ,顯然 為銳角,
則 ,
∴ 二面角A-BH-O的余弦值為 .------------------------------------------------------------12分
【其它解法請參照給分】
19.解:(1)甲組60人中有45人優(yōu)秀,任選兩人,
恰有一人優(yōu)秀的概率為 ;--------------------------------------------3分
(2)(i) 的分布列為
5 10 15 20
P
,----------------------------------------------6分
的分布列為
4 8 12 26
P
,
∵ ,∴公司應選培訓方式一;----------------------------------------------------9分
(ii)按培訓方式一,從公司任選一人,其優(yōu)秀的概率為 ,
則從公司任選兩人,恰有一人優(yōu)秀的概率為 .-------------------------12分
20. 解:(1)依題意知點A的坐標為 ,則以點A圓心,以 為半徑的圓的方程為:
,------------------------------------------------------------------------------------1分
令 得 ,由圓A與y軸的交點分別為 、
可得 ,解得 ,-------------------------------------------------------3分
故所求橢圓 的方程為 .----------------------------------------------------------------4分
(2)解法1:由 得 ,可知PA的斜率存在且不為0,
設直線 ---------------① 則 -------------②----------------------6分
將①代入橢圓方程并整理得 ,可得 ,
則 ,-------------------------------------------------------------------------------------------------8分
類似地可得 ,----------------------------------------------------------9分
由直線方程的兩點式可得:直線 的方程為 ,------------------------------11分
即直線 過定點,該定點的坐標為 .---------------------------------------------------------12分
【解法2:若直線l垂直于x軸,則AP不垂直于AQ,不合題意,
可知l的斜率存在,又l不過點(0,1),設l的方程為 ,
又設點 ,則 ,
由 得 ,
由 ,消去y得 ,----------------------------6分
,當 即 時,
-------① ---------②-----------------------------------------7分
又 , ,--------------------------8分
于是有 ,-----------③---------------------9分
將①②代入③得
整理得: ,--------------------------------------------------------------------------------------11分
滿足 ,這時直線 的方程為 ,直線 過定點 .------------------12分】
(21)解:(1) .--------------------------1分
?、偃?,當 時, , 在 上單調(diào)遞增;
當 時, , 在 上單調(diào)遞減.----------------------3分
?、谌?,當 時, , 在 上單調(diào)遞減;
當 時, , 在 上單調(diào)遞增.
∴當 時, 在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減;
當 時, 在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增.-------------------5分
(2) ( ),
當 時,上不等式成立,滿足題設條件;-----------------------------------------------------6分
當 時, ,等價于 ,
設 ,則 ,
設 ( ),則 ,
∴ 在 上單調(diào)遞減,得 .-------------------------------------9分
?、佼?,即 時,得 , ,
∴ 在 上單調(diào)遞減,得 ,滿足題設條件;--------------------10分
?、诋?,即 時, ,而 ,
∴ , ,又 單調(diào)遞減,
∴當 , ,得 ,
∴ 在 上單調(diào)遞增,得 ,不滿足題設條件;
綜上所述, 或 .--------------------------------------------------------------------------12分
22. 解:(1)由曲線C的參數(shù)方程,得普通方程為 ,
由 , ,得 ,
所以曲線C的極坐標方程為 ,[或 ] ---------------------------3分
的極坐標方程為 ; --------------------------------------------------------------------5分
(2)依題意設 ,則由(1)可得 ,
同理得 ,即 ,-------------------------------------------------7分
∴
∵ ∴ ,∴ , -----------------9分
△OAB的面積的最小值為16,此時 ,
得 ,∴ . --------------------------------------------------------------------------10分
23.解:(1)①當 時, ,
解得 ,---------------------------------------------------------------------------------------------1分
?、诋?時, ,
解得 ,----------------------------------------------------------------------------------------2分
?、郛?時,
解得 ,----------------------------------------------------------------------------------------------3分
綜上知,不等式 的解集為 .-----------------------------------5分
(2)解法1:當 時, ,---------------6分
設 ,則 , 恒成立,
只需 , -------------------------------------------------------------------------------------8分
即 ,解得 ----------------------------------------------------------------------10分
【解法2:當 時, ,------------------------------------------------6分
,即 ,即 ----------------------------------7分
?、佼?時,上式恒成立, ;-----------------------------------------------------------8分
?、诋?時,得 恒成立,
只需 ,
綜上知, . --------------------------------------------------------------------------------10分】
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