高三理科數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷題
新知識(shí)的接受，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)主要在課堂上進(jìn)行，所以要特點(diǎn)重視課內(nèi)的學(xué)習(xí)效率，尋求正確的學(xué)習(xí)方法，今天小編就給大家分享一下高三數(shù)學(xué)，歡迎大家看看哦
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模試題
一、單選題
1.集合 ，則實(shí)數(shù) 的范圍
A. B. C. D.
2.設(shè)命題 函數(shù) 在 上遞增，命題 中，則 ，下列命題為真命題的是
A. B. C. D.
3.函數(shù) 的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù) 的范圍
A. B. C. D.
4.設(shè) 是非零向量，則 是 成立的
A.充要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件
5.設(shè)函數(shù) 在 時(shí)取得最大值，則函數(shù) 的圖象
A.關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
C.關(guān)于直線 對(duì)稱 D.關(guān)于直線 對(duì)稱
6.向量 ,若 ，則
A. B. C. D.
7.函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線方程為
A. B. C. D.
8. 中，角 的對(duì)邊分別為 ，若 ，則角
A. B. C. D.
9.將函數(shù) 的圖象上每一個(gè)點(diǎn)向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù) 的圖象，則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為
A. B.
C. D.
10.函數(shù) 是 上的偶函數(shù)，且 ，若 在 上單調(diào)遞減，則函數(shù) 在 上是
A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.先增后減的函數(shù) D.先減后增的函數(shù)
11.設(shè) 為正數(shù)，且 ，則下列關(guān)系式能成立的是
A. B. C. D.
12.已知 是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)， ，則不等式 的解集為
A. B. C. D.
二、填空題
13.單位向量 的夾角為 ，則 ____________.
14. 中，角 的對(duì)邊分別為 ， ，則 的面積等于____________ .
15.已知 ,則 ___________ .
16.已知函數(shù) ，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_________.
17.若函數(shù) 在 單調(diào)遞增，則 的取值范圍是__________.
三、解答題
18.已知函數(shù) ，其圖象兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為 .
(1)求 的值;
(2)在銳角 中，角 的對(duì)邊分別為 ，若 ， ，面積 ，求 .
19.若對(duì)于函數(shù) 圖像上的點(diǎn) ，在函數(shù) 的圖象上存在點(diǎn) ，使得 與 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，求實(shí)數(shù) 的取范圍.
20. .
(1)討論函數(shù) 在 上的單調(diào)性;
(2)求函數(shù) 在 上的最大值.
21.設(shè)函數(shù) .
(1)當(dāng) 時(shí)，研究函數(shù) 的單調(diào)性;
(2)若對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ，求 的范圍.
22.設(shè)函數(shù) .
(1)討論函數(shù) 極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn) ，求證： .
2019屆山東省師大附中高三上學(xué)期
第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題
數(shù)學(xué)答案
參考答案
1.B
【解析】
【分析】
解出集合M， ，即可轉(zhuǎn)化為 在 很成立，分離參數(shù)法即可求得a.
【詳解】
已知 ，則
因?yàn)?/p>
所以當(dāng) 恒成立
即 恒成立
即
故選B
【點(diǎn)睛】
本題以集合為背景，綜合考察了函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及參數(shù)范圍的求解，綜合性較強(qiáng)，解決該題的關(guān)鍵是由 出發(fā)，得到 在 恒成立，再利用分離參數(shù)的方法求解a的范圍，其主要應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化的思想.
2.C
【解析】
【分析】
分析命題p 和命題q的真假，再由復(fù)合命題的真假判斷.
【詳解】
是復(fù)合函數(shù)，在R上不是單調(diào)函數(shù)，命題p是假命題，在 中，則 成立，命題 q是真命題
所以 為真
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷、三角形中三角函數(shù)關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯判定方法，綜合性較強(qiáng)，意在考查學(xué)生的推理，計(jì)算能力,要求學(xué)生要熟練掌握所考察知識(shí)內(nèi)容.
3.C
【解析】
【分析】
分段函數(shù)的值域?yàn)镽，則函數(shù)y=f(x)在R上連續(xù)且單調(diào)遞增，列出關(guān)于a的不等式組即可求解a的值.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù) 的值域?yàn)?/p>
所以
解得：
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，其題干描述較為隱蔽，需要通過分析其值域?yàn)镽得到該函數(shù)在R上是增函數(shù)，然后根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性條件求解出a的范圍.
4.B
【解析】
【分析】
是非零向量， ，則 方向相同，將 單位化既有 ，反之則不成立.
【詳解】
由 可知： 方向相同， 表示 方向上的單位向量
所以 成立;反之不成立.
故選B
【點(diǎn)睛】
本題考查了相量相等、向量的單位化以及充分必要條件;判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q;二是由條件q能否推得條件p.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想求解外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題來解決.
5.A
【解析】
【分析】
函數(shù) 在 ，可以求出 ，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得.
【詳解】
因?yàn)?時(shí)， 取得最大值，
所以 即
對(duì)稱中心：( ，0)對(duì)稱軸：
故選A
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)解析式和三角函數(shù)性質(zhì)，在確定三角函數(shù)解析式時(shí)需要根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)列出方程組，解析式確定后，再利用解析式去研究三角函數(shù)性質(zhì)，題目意在考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度.
6.B
【解析】
【分析】
根據(jù)向量平行的條件列出關(guān)于x的方程即可求解.
【詳解】
已知 可得 =(12，14)
因?yàn)?/p>
所以14x+24=0
解得：x=
故選B
【點(diǎn)睛】
本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的應(yīng)用，題目思維難度不大，但運(yùn)算是其難點(diǎn)，在代入數(shù)值時(shí)容易出錯(cuò).
7.C
【解析】
【分析】
點(diǎn) 在曲線上，先求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義先求出切線的斜率，有直線的點(diǎn)斜式方程即可寫出切線方程.
【詳解】
，
又
切線方程是：
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，近幾年高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查幾乎年年都有，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，曲線 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù) 就是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率，我們通常用導(dǎo)數(shù)的這個(gè)幾何意義來研究一些與曲線的切線有關(guān)的問題，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，分清是求在曲線某點(diǎn)處的切線方程，還是求過某點(diǎn)處的曲線切線方程.
8.B
【解析】
【分析】
利用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，化解后利用余弦定理求角A即可.
【詳解】
已知
由正弦定理得：
A=
故選B
【點(diǎn)睛】
解三角形問題多為邊角互化，主要用到的知識(shí)點(diǎn)是正、余弦定理以及三角形面積公式，在化解過程中要根據(jù)已知條件的提示進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問題的目的.
9.D
【解析】
【分析】
首先確定平移后的函數(shù)解析式，在求函數(shù)的遞增區(qū)間.
【詳解】
由題意可知平移后的解析式：
函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間：
解得：
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角函數(shù)平移變換及三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生的變換能力、用算能力，三角函數(shù)平移變換前一定要分清變換前的函數(shù)和變換后的函數(shù).
10.D
【解析】
【分析】
由 判斷出函數(shù)f(x)周期為2，根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)性即可解得函數(shù)在 上的單調(diào)性.
【詳解】
已知 ，則函數(shù)周期T=2
因?yàn)楹瘮?shù) 是 上的偶函數(shù)，在 上單調(diào)遞減，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增
即函數(shù)在 先減后增的函數(shù).
故選D
【點(diǎn)睛】
本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的的轉(zhuǎn)化能力和基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力，解題時(shí)需要仔細(xì)分析函數(shù)的“綜合”性質(zhì)后再做出判斷.
11.C
【解析】
【分析】
先將 變形為
由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得 ，在結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖像即可.
【詳解】
已知 則有
由圖像(如圖)可得
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，解決問題時(shí)首先要結(jié)合選項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)系對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)原式進(jìn)行變形，也即構(gòu)造與選項(xiàng)相似的對(duì)數(shù)函數(shù)，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定真數(shù)的大小關(guān)系，其中新構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像是本題的難點(diǎn).
12.B
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù) 由已知條件 可得F(x)是單調(diào)遞減的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得不等式 的解集.
【詳解】
設(shè) ，
因?yàn)?/p>
所以
即F(x)是單調(diào)遞減的函數(shù)
又因?yàn)?/p>
所以
則不等式 的解集是：
故選B
【點(diǎn)睛】
本題考查了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、抽象函數(shù)不等式解法、構(gòu)造法解不等式;在解決此類問題時(shí)往往需要根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，通過研究新函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)解決方程的根(根的個(gè)數(shù))抽象不等式,其中構(gòu)造函數(shù)要聯(lián)系函數(shù)的和、差、積、商導(dǎo)數(shù)公式.
13.
【解析】
【分析】
先將 平方，再利用向量數(shù)量積求解.
【詳解】
因?yàn)?/p>
所以
【點(diǎn)睛】
本題考查向量數(shù)量積運(yùn)算、向量的模的求解，再求解向量的模時(shí)，常用到： ，該公式的作用就是將向量和實(shí)數(shù)聯(lián)系起來，便于二者的轉(zhuǎn)化與計(jì)算.
14.
【解析】
【分析】
先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面積公式求得 的面積.
【詳解】
化解得：
即：A=B
又
解得：a=b=
【點(diǎn)睛】
本題考查了正、余弦定理、三角形面積公式，解題中主要利用正、余弦定理對(duì)邊角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
15.
【解析】
【分析】
利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式將正弦變?yōu)橛嘞?，在根?jù)二倍角公式即可求解.
【詳解】
有三角函數(shù)誘導(dǎo)公式：
=- +1
=
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，在解決此類問題時(shí)，先觀察角，盡量通過變換使角相同或成為倍角，其次變?nèi)呛瘮?shù)名稱，變換的方法是聯(lián)系三角函數(shù)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).
16.
【解析】函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 ，可得 在 上遞增，又 ，可得 為奇函數(shù)，則 ，即有 ，即有 ，解得 ，故答案為 .
17. .
【解析】 在 上恒成立，
即：
， ，
令
只需 ，則 ，
則a的取值范圍是 .
18.(1)1;(2) .
【解析】
【分析】
(1)先用三角函數(shù)二倍角、降冪公式等將函數(shù)表達(dá)式化解為 的形式，然后求 的值.
(2)由 可得角 ,由面積公式求得ab=2，利用余弦定理即可求得c.
【詳解】
(1) ,
,
∵其圖象兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為 .
∴最小正周期為T=π，
∴ω=1.
(2) ,
,
,
,
.
【點(diǎn)睛】
本題綜合考查了三角函數(shù)的化解、性質(zhì)以及解三角形問題，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)較多;三角函數(shù)化解中，常用到二倍角、降冪公式、輔助角公式等，一般要將解析式化為 的形式后再求解最值、周期、對(duì)稱軸、單調(diào)性等.解三角形主要是應(yīng)用正、余弦定理對(duì)邊角轉(zhuǎn)化.
19.
【解析】
【分析】
圖像上的任意點(diǎn)P在函數(shù)y=g(x)上存在點(diǎn)Q，使得 與 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，等價(jià)于函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖像與y=g(x)恒有交點(diǎn),即可以通過參數(shù)分離求m的范圍.
【詳解】
先求 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)，
問題等價(jià)于 ,
與 有交點(diǎn)，即方程 有解,
即 有解,
設(shè)
,
，當(dāng) 時(shí)，方程 有解.
解法二：函數(shù) 是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
問題等價(jià)于函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象有交點(diǎn),
即 有解,
設(shè)函數(shù) ,
遞增; 遞減，
,
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象有交點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)中參數(shù)的取值范圍，注意運(yùn)用參數(shù)分離法和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，解題中將g(x)存在點(diǎn)Q使其與P對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與g(x)恒有交點(diǎn)是本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵突破點(diǎn).
20.(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.
(2)結(jié)合(1)知函數(shù)單調(diào)性，即可確定出在區(qū)間 上的最值.
【詳解】
(1) ，
0
+ 0 _ 0 + 0 _
的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， 的單調(diào)遞減區(qū)間為
.
(2)由第一問的單調(diào)性可知 .
【點(diǎn)睛】
本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，在解題中首先要準(zhǔn)確求解導(dǎo)函數(shù)，也是關(guān)鍵的步驟，其次是列表確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的最值.
21.(1)函數(shù) 在 上遞增;(2) .
【解析】
【分析】
(1)利用導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
(2) 恒成立，確定a的范圍可以先分離參數(shù)，然后求解新構(gòu)造函數(shù)的最大值.
【詳解】
(1) ,
函數(shù) 在 上遞增 .
(2)對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ， 所以 ，
下面證明充分性：即當(dāng)
當(dāng) ,
設(shè)
且 ,
所以 ,
綜上： .
解法二： ，可化為 ，
設(shè) ,
-1 0 2
+ 0 + 0
極大 極大
，所以 .
解法三當(dāng) ，與題設(shè)矛盾，
當(dāng) ，
設(shè) ,
單調(diào)遞減;
單調(diào)遞增;
單調(diào)遞減，
當(dāng) ,
,
,
綜上： .
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和求參數(shù)范圍;導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是每年高考必考題型，在解題中，首先要準(zhǔn)確求解導(dǎo)函數(shù)，這是解題的關(guān)鍵，因此必須熟練掌握基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和和差積商的導(dǎo)數(shù)以及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)，其次參數(shù)范圍問題也是高考熱點(diǎn)之一，常用的方法是分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法.
22.(1)當(dāng) 時(shí)， 無極值;當(dāng) 時(shí)， 有兩個(gè)極值點(diǎn);當(dāng) 時(shí)， 有一個(gè)極值點(diǎn);(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
(1)分類討論判斷導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程根的個(gè)數(shù)來確定極值點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)由(1)可知當(dāng) 時(shí)， 有兩個(gè)極值點(diǎn)，利用韋達(dá)定理可以構(gòu)造出 關(guān)于a的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最大值.
【詳解】
(1) ,
設(shè) ，
?、偃?即 ，
上單調(diào)遞減， 無極值 .
② ， ,
在 上， 單調(diào)遞減;
在 上 單調(diào)遞增，函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn).
③當(dāng) ，
在 上， 單調(diào)遞增; 上 單調(diào)遞減,
函數(shù) 有一個(gè)極值點(diǎn)，
綜上，當(dāng) ，函數(shù) 無極值;當(dāng) ，函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn);當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有一個(gè)極值點(diǎn) .
(2)由(1)知，當(dāng) 時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)， 且 ，
，
設(shè) 遞增，
,
,
.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解極值點(diǎn)個(gè)數(shù)、證明不等式;求解極值點(diǎn)個(gè)數(shù)其方法是利用導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)結(jié)合原函數(shù)的單調(diào)性來確定，要注意導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，要成為極值點(diǎn)其左右兩邊的單調(diào)性必須相異;不等式的證明其實(shí)質(zhì)還是利用函數(shù)的單調(diào)性確定最值，當(dāng)需要構(gòu)造合理的函數(shù)，這是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷理科
一、選擇題本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若全集U=R，集合 ，B={ }，則 =( )
A.{ } B.{ 或 }
C.{ } D.{ 或 }
2.若 ，則cos2α=( )
A. B. C. D.
3.若非零向量 ， 滿足 ， ，則 與 的夾角為( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.已知函數(shù) ，且 ，則 =( )
A. B. C. D.
5.設(shè) 是平面α內(nèi)的兩條不同直線， 是平面 內(nèi)兩條相交直線，則 的一個(gè)充分不必要條件是( )
A. B. C. D.
6.若直線 與圓 有公共點(diǎn)，則( )
A. B. C. D.
7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.
8.在等比數(shù)列{ }中，若 ， ，則 ( )
A.1 B. C. D.
9.已知 滿足約束條件 ，且 的最小值為2，則常數(shù) =( )
A.2 B.﹣2 C.6 D.3
10.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在鱉臑 中， 平面 ，且 ， ，點(diǎn) 在棱 上運(yùn)行，設(shè) 的長度為 ，若 的面積為 ，則 的圖象大致是( )
A. B.
C. D.
11.已知圓 , ，考慮下列命題：①圓C上的點(diǎn)到(4，0)的距離的最小值為 ;②圓C上存在點(diǎn)P到點(diǎn) 的距離與到直線 的距離相等;③已知點(diǎn) ，在圓C上存在一點(diǎn) ，使得以 為直徑的圓與直線 相切，其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
12.定義在[0，+∞)上的函數(shù) 滿足： .其中 表示 的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意正數(shù) 都有 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A.(0，4] B.[2，4]
C.(﹣∞，0)∪[4，+∞) D.[4，+∞)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上).
13.垂直于直線 并且與曲線 相切的直線方程是 。
14.曲線 ， 與直線 有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 。 .
15.已知 為數(shù)列{ }的前 項(xiàng)和， 且 .則{ }的通項(xiàng)公式為 。
16.已知菱形ABCD的邊長為 ，∠D=60°，沿對(duì)角線BD將菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值為 ，則該四面體ABCD外接球的體積為 。
三.解答題(共6大題，17題10分，其余每題12分，共70分)
17.設(shè) 的內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 ，且 .
(1)求 的值;
(2)若 ，求 面積的最大值.
18.數(shù)列{ }中， ， ，且滿足 ，
(1)設(shè) ，求 ;
(2)設(shè) ， ， ， ，是否存在最大的正整數(shù) ，
使得對(duì)任意 均有 成立?若存在求出 的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.
19.如圖，在底面是正三角形的三棱錐P﹣ABC中，PA=AB=2，PB=PC= .
(1)求證：PA⊥平面ABC;
(2)若點(diǎn)D在線段PC上，且直線BD與平面ABC所成角為 ，求二面角D﹣AB﹣C的余弦值.
20.已知圓 與 軸相切于點(diǎn)(0，3)，圓心在經(jīng)過點(diǎn)(2，1)與點(diǎn)(﹣2，﹣3)的直線 上.
(1)求圓 的方程;
(2)圓 與圓 ： 相交于M、N兩點(diǎn)，求兩圓的公共弦MN的長.
21.如圖，在斜三棱柱 中， ， ， ，側(cè)面
與底面 所成的二面角為120°， 分別是棱 、 的中點(diǎn)
(1)求 與底面 所成的角;
( 2 )證明 平面 ;
(3)求經(jīng)過 四點(diǎn)的球的體積.
22.已知函數(shù) ， ，且曲線 在 處的切線方程為 .
(1)求 的值;
(2)求函數(shù) 在[0，1]上的最小值：
(3)證明：當(dāng) 時(shí)， .
數(shù)學(xué)試卷答案
一、選擇題本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1--5 B C C A B 6--10 D B C B A 11--12 C C
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上.
13 . 3x+y+6=0 14. 15. an=n+1 16. 8 π
三.解答題(共6大題，17題10分，其余每題12分，共70分)
17.解：(1)△ABC中，3acosC=3b﹣2c，
由正弦定理得：3sinAcosC=3sinB﹣2sinC，
∴3sinAcosC=3sin(A+C)﹣2sinC，
∴3cosAsinC=2sinC，
∵sinC≠0，
∴ ，
∵A∈(0，π)，
∴ ----------------------5分
(2)由(1)知 ，可得： ，
由余弦定理得： ， ，
∴ ，
∴bc≤9(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”號(hào))
可得： ，
即△ABC面積的最大值為 .------------------10分。
18.解：(1)由 知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d，則 .
故an=a1+(n﹣1)d=10﹣2n.………………………(3分)
由an=10﹣2n≥0，解得n≤5.故
當(dāng)n≤5時(shí)Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=9n﹣n2
當(dāng)n>5時(shí)Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=
-----6分
-----------10分
從而
故數(shù)列Tn是單調(diào)遞增數(shù)列，又因 是數(shù)列中的最小項(xiàng)，
要使 恒成立，故只需 成立即可，
由此解得m<8，由于m∈Z*，
故適合條件的m的最大值為7.-----------12分。
19.證明：(Ⅰ)∵在底面是正三角形的三棱錐P﹣ABC中，PA=AB=2，PB=PC=2 .
∴PA2+AB2=PB2，PA2+AC2=PC2，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC.--------------------------------5分
(Ⅱ)以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B( ，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，
設(shè)D(0，b，c)， ，0≤λ≤1，則(0，b，c﹣2)=(0，2λ，﹣2λ)，
∴D(0，2λ，2﹣2λ)， =(﹣ ，2λ﹣1，2﹣2λ)，
∵直線BD與平面ABC所成角為 ，平面ABC的法向量 =(0，0，1)，
∴sin = = ，
解得 或λ=2(舍)，
∴D(0，1，1)，---------------------------------------------------8分
=( )， =(0，1，1)，
設(shè)平面ABD的法向量 =(x，y，z)，
則 ，取x=1，得 =(1，﹣ ， )，---------------10分
平面ABC的法向量 =(0，0，1)，
設(shè)二面角D﹣AB﹣C的平面角為θ，
則cosθ= = = .
∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值為 .-------------------------------12分
20.解：(Ⅰ)經(jīng)過點(diǎn)(2，1)與點(diǎn)(﹣2，﹣3)的直線方程為 ，
即y=x﹣1.
由題意可得，圓心在直線y=3上，
聯(lián)立 ，解得圓心坐標(biāo)為(4，3)，
故圓C1的半徑為4.
則圓C1的方程為(x﹣4)2+(y﹣3)2=16;---------------------6分
(Ⅱ)∵圓C1的方程為(x﹣4)2+(y﹣3)2=16，
即x2+y2﹣8x﹣6y+9=0，
圓C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9=0，
兩式作差可得兩圓公共弦所在直線方程為3x+4y﹣9=0.
圓C1的圓心到直線3x+4y﹣9=0的距離d= .
∴兩圓的公共弦MN的長為 .---------------------------12分
21.解：(Ⅰ)過A1作A1H⊥平面ABC，垂足為H.
連接AH，并延長交BC于G，于是∠A1AH為A1A與底面ABC所成的角.
∵∠A1AB=∠A1AC，∴AG為∠BAC的平分線.
又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G為BC的中點(diǎn).
因此，由三垂線定理A1A⊥BC.
∵A1A∥B1B，且EG∥B1B，∴EG⊥BC.
于是∠AGE為二面角A﹣BC﹣E的平面角，
即∠AGE.
由于四邊形A1AGE為平行四邊形，得∠A1AG=60°.-----------4分
(Ⅱ)證明：設(shè)EG與B1C的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P為EG的中點(diǎn).連接PF.
在平行四邊形AGEA1中，因F為A1A的中點(diǎn)，故A1E∥FP.
而FP⊂平面B1FC，A1E⊄平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC.-------- 7分
(Ⅲ)連接A1C.在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，A1A=A1A，
則△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B.由已知得A1A=A1B=A1C=a.
又∵A1H⊥平面ABC，∴H為△ABC的外心.
設(shè)所求球的球心為O，則O∈A1H，且球心O與A1A中點(diǎn)的連線OF⊥A1A.
在Rt△A1FO中，A1O= = = .
故所求球的半徑R= a，球的體積V= πR3= πa3.-------------12分
22.解：(1)∵f(x)=ex﹣ax2，
∴f′(x)=ex﹣2ax，
∴f′(1)=e﹣2a=b，f(1)=e﹣a=b+1，
∴a=1，b=e﹣2.
(2)由(1)得：f(x)=ex﹣x2，
∴f′(x)=ex﹣2x，[f′(x)]′=ex﹣2，
∴f′(x)在(0，ln2)上遞減，在(ln2，+∞)上遞增.
∴f′(x)≥f′(ln2)=2﹣2ln2>0，
∴f′(x)在[0，1]上遞增，
∴f(x)max=f(1)=e﹣1，
∴f(x)在[0，1]上的最小值為e﹣1.
(3)證明：∵f(0)=0，由(2)得f(x)過(1，e﹣1)
且y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(e﹣2)x+1，
故可猜測(cè)x>0，x≠1時(shí)，f(x)的圖象恒在切線y=(e﹣2)x+1的上方，
下面證明當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>(e﹣2)x+1
設(shè)h(x)=f(x)﹣(e﹣2)x﹣1，x>0，
∴h′(x)=ex﹣2x﹣e+2，
[h′(x)]′=ex﹣2，
由(2)知：h′(x)在(0，ln2)上遞減，在(ln2，+∞)上遞增，
∵h(yuǎn)′(0)=3﹣>0，h′(1)=0，0
∴h′(ln2)<0，
∴存在x0∈(0，1)，使得h′(x)=0，
∴x∈(0，x0)∪(1，+∞)時(shí)，h′(x)>0;
x∈(x0，1)時(shí)，h′(x)<0，
故h(x)在(0，x0)上遞增，在(x0，1)上遞減，在(1，+∞)上遞增，
又h(0)=h(1)=0，
∴h(x)≥0當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.
故 ，x>0，
令φ(x)=lnx+1﹣x，則φ′(x)= ﹣1，
∴x∈(0，1)時(shí)，φ′(x)>0，x∈(1，+∞)時(shí)，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(0，1)上遞增，在(1，+∞)上遞減，
∴φ(x)≤φ(1)=0，
∴lnx+1﹣x≤0，
即x≥1+lnx.
∴ ≥x≥1+lnx，
∴ex+(2﹣e)x﹣1≥xlnx+x，
即ex+(1﹣e)x﹣xlnx﹣1≥0成立，
∴x>0時(shí)，g(x)≤f(x)⇔xlnx﹣x2+(e﹣1)x+1≤ex﹣x2⇔ex+(1﹣e)x﹣xlnx﹣1≥0，
綜上所述，x>0時(shí)，g(x)≤f(x).
高三數(shù)學(xué)理科上學(xué)期期中試卷
一.選擇題(本題共12小題，每題5分，共60分.每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的)
1. 已知集合 , ,求 ( )
A. B. C. D.
2. 若 ，則下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3. 設(shè) 為向量，則 是 的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也必要條件
4. 點(diǎn) 位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知 >0， >0，且 ， 的等比中項(xiàng)是1，若m= ，n= ，則m+n的最小值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且滿足 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
7.將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位后得到函數(shù) ，則 具有性質(zhì)( )
A. 最大值為1，圖象關(guān)于直線 對(duì)稱 B. 在 上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)
C. 在 上單調(diào)遞增，為偶函數(shù) D. 周期為π，圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
8.已知 若 ,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.如圖，在棱長為1的正方體中 ，點(diǎn) 在線段 上運(yùn)動(dòng)，則下列命題錯(cuò)誤的是( )
A. 異面直線 和 所成的角為定值 B. 直線 和平面 平行
C. 三棱錐 的體積為定值 D. 直線 和平面 所成的角為定值
10. 若 為鈍角三角形，其中角 為鈍角，若 ，則 的取值范圍是( )A. B. C. D.
11. 已知 ，若 的最大值最小值分別為 ,求 ( )
A. B. C. D.
12. 若方程 有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 ，且 ，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二.填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)
13. 已知函數(shù) ,求曲線 在 處的切線方程___.
14. 向量 與 夾角 ， , 在 方向上的投影為1，求 _______.
15. 已知實(shí)數(shù) 滿足 ，求 的取值范圍__________
16.已知數(shù)列 前 項(xiàng)和 ，且 ，
?、?② ③ ④ ，則上面四個(gè)命題中真命題的序號(hào)為____.
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟.)
17.(本小題滿分12分)
在 中，角 所對(duì)的邊分別是 ， 為其面積，若 .
(1)求角 的大小;
(2)設(shè) 的平分線 交 于 ， .求 的值
18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ， = ，記數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .若對(duì) ， 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍. [來源:學(xué),,網(wǎng)Z,X,
19.(本小題滿分12分)已知 和 是函數(shù) 的兩個(gè)零點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù) 的值;
(2)設(shè)函數(shù) ，若不等式 在 上恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(3) ,若 有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
20.(本小題滿分12分)如圖， 是 的中點(diǎn)，四邊形 是菱形，平面 平面 , , , .
(1)若點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)，證明： 平面 ;
(2)求平面 與平面 所成的銳二面角的余弦值.
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)討論函數(shù) 零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)對(duì)任意的 ， 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
(二)選考題(共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做第一題計(jì)分)
22.在平面直角坐標(biāo)系 中，直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，直線 的參數(shù)程為 ( 為參數(shù))，設(shè)直線 與 的交點(diǎn)為 ，當(dāng) 變化時(shí)點(diǎn) 的軌跡為曲線 .
(1)求出曲線 的普通方程;
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 的極坐標(biāo)方程為 ，點(diǎn) 為曲線 的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) 到直線 的距離的最小值.
23.已知函數(shù) .
(1)當(dāng) 時(shí)，解不等式 ;
(2)設(shè)不等式 的解集為 ，若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
高三 理科數(shù)學(xué)
一.選擇題(本題共12小題，每題5分，共60分.每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的)
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C C B A B A D B A A
二.填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)
13、 14、2 15、 16、②④
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟.)
17. (本小題滿分12分)
解：(1)由 得 ……….2分
得 ………4分
(2)在 中,由正弦定理得
所以 ………7分
…….9分
所以
所以 。……12分
18. (本小題滿分12分)
解： (1)當(dāng) 時(shí)， ，……1分
當(dāng) 時(shí)， ……3分
即： ， 數(shù)列 為以2為公比的等比數(shù)列 ……5分
(2)由 bn=log2an得bn=log22n=n，則cn= = = - ，……7分
Tn=1- + - +…+ - =1- = .
∵ ≤k(n+4)，∴k≥ = . ……9分
∵n+ +5≥2 +5=9，當(dāng)且僅當(dāng)n= ，即n=2時(shí)等號(hào)成立，
∴ ≤ ，因此k≥ ，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為 ……12分
19. (本小題滿分12分)
解：(1) ，j即 . ……2分
(2)由已知可得 ，
所以 在 上恒成立可化為 ，……4分
化為 ，令 ，則 ，……6分
因 ，故 ，
記 ，因?yàn)?，故 ，
所以 的取值范圍是 . ……8分
(3)原方程可化為 ，
令 則 有兩個(gè)不等實(shí)根 且 或 ,
記 ，
則 或 ，……10分
兩不等式組解集分別為 與 , 的取值范圍是 . ……12分
20(本小題滿分12分)
21(本小題滿分12分)
(二)選考題(共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做第一題計(jì)分)
22.(1)將 ， 的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;
，① ，②①×②消 可得： ，……3分
因?yàn)?，所以 ，所以 的普通方程為 .……5分
(2)直線 的直角坐標(biāo)方程為： .由(1)知曲線 與直線 無公共點(diǎn)，
由于 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)， ， )，……7分
所以曲線 上的點(diǎn) 到直線 的距離為：
，……9分
所以當(dāng) 時(shí)， 的最小值為 .……10分
23.解(1)當(dāng) 時(shí)，原不等式可化為 ，
?、佼?dāng) 時(shí)，原不等式可化為 ，解得 ，所以 ;
②當(dāng) 時(shí)，原不等式可化為 ，解得 ，所以 .
?、郛?dāng) 時(shí)，原不等式可化為 ，解得 ，所以 ，
綜上所述，當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為 或 .……5分
(2)不等式 可化為 ，
依題意不等式 在 恒成立，……7分
所以 ，即
即 ，所以 ，
解得 ，故所求實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .……10分
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